一些反演公式和Stirling数公式
Some inversion formulas and formulas for Stirling numbers
摘要：
本文给出了一些新的反演公式和两个新的Stirling数公式。
英文摘要：
In the paper we present some new inversion formulas and two new formulas for Stirling numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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置换的对称generating functions和Euler-Stirling统计量
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用Stirling数表示的Bernoulli数和Genocchi数的一个新的显式公式
A new explicit formula for Bernoulli and Genocchi numbers in terms of Stirling numbers
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这两种斯特林数通过Schläfli和Gould的两个组合恒等式相互联系。使用q-类似的斯特林数定义为反演生成函数，我们提供了q-类似的两个身份。证明是计算性的，我们留下一个开放的问题，找到一个更组合的。
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各种统计量的圈积定义通过规范的话，“有色”右到左的最小值和“有色”下降。结果表明，关于这些统计量的精化计数具有良好的二项式Stirling型递推公式。这些扩展的斯特林数确定（通过矩阵求逆）对偶系统，这也被证明具有组合实现内的圈积。上述设定也产生了具有指定统计量的子集上的MacMahon型等分布定理。
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An explicit formula for Bell numbers in terms of Stirling numbers and hypergeometric functions
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用第二类Stirling数表示Bernoulli数的一个显式公式
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该研究发现了一个以第二类Stirling数表示Bernoulli数的显式计算公式，为数论相关计算提供了新的显式表达工具。
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关于第二类$r$ -Stirling数的伯努利多项式的一个显式公式
An explicit formula for Bernoulli polynomials in terms of $r$-Stirling numbers of the second kind
本文建立了用第二类$r$ -Stirling数计算在非负整数点的伯努利多项式的显式公式。
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计算第二类Bernoulli数和第一类Stirling数的显式公式
Explicit formulas for computing Bernoulli numbers of the second kind and Stirling numbers of the first kind
本文通过建立计算对数函数倒数的$n$阶导数的新的显式公式，给出了计算第二类Bernoulli数和第一类Stirling数的新的显式公式。作为这些公式的结果，导出了第一类Stirling数的一个递推公式和阶乘$n!$的倒数的一个新表示.最后，作者找到了与第一类Stirling数有关的几个恒等式和整表示.
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Formulas involving Cauchy polynomials, Bernoulli polynomials, and generalized Stirling numbers
本文建立 Cauchy 数与多项式同多种特殊数和多项式的新恒等式，研究其高阶导数与 poly-Cauchy 推广，并提出统一的多参数框架。
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用Stirling数证明Bernoulli数的一个公式
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第一类带符号和无符号Stirling数生成公式的彩色证明
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我们描述的标准生成公式的无符号和有符号的斯特林数的第一类，从一个自然的组合解释的基础上循环着色排列的证明。
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阶乘和拉格朗日反演公式的渐近展开
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用Lah数和Stirling数计算Bell数的一个显式公式
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斯特灵公式的简单推导
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斯特林公式，$n!$对$n$大的渐近展开式，或$Γ(z)$对$z\to \infty$的渐近展开式，直接从递归方程$Γ(z+1) =z Γ(s)$和归一化条件$Γ({1/2}) =\sqrtπ$导出。
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关于第二类Stirling数的一个公式及其在不稳定$K$中的应用--矮小复射影空间理论
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证明了第二类Stirling数$S(n, k)$的一个公式。作为推论，对于奇数$n$和偶数$k$，证明了$k!S(n, k)$是$k+1\leq j\leq n$的$j!S(n, j)$的最大公因数的正倍数。作为代数拓扑学的应用，还得到了发育不良的复射影空间的不稳定$K^1$ -群的同构。
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利用Jacobi-Trudi公式计算Stirling行列式
Using the Jacobi-Trudi formula to compute Stirling determinants
我们使用Jacobi-Trudi公式来执行这两种斯特林数的行列式的“显式”评估。我们还在第二页末尾的个人网站上提供了一个Maple包。
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关于Stirling数的一个非组合定义
On a non-combinatorial definition of Stirling numbers
在组合数学中，斯特林数可以用几种方式定义。[1]中给出了一个这样的定义，其中提出了对Stirling数的广泛考虑。本文给出了这两类Stirling数的另一种定义。即，第一类Stirling数出现在ln x的n阶导数的闭公式中。第二类斯特林数也以同样的方式出现在f（e^x）的n阶导数公式中，其中f（x）是任意光滑实函数。这些事实使我们能够在微分学的框架内定义斯特林数。这些定义可能很有趣，因为任意函数都出现在其中。通过选择适当的函数，仅利用导数就可以得到Stirling数的不同性质。利用导数的简单性质，我们得到了Stirling数的三个重要性质。首先是所谓的两项递归关系，从中可以很容易地推导出斯特林数的组合意义。其次，我们得到了幂到落因子的展开公式，反之亦然。这些展开式通常用作Stirling数的定义，如[1]。最后，我们得到了Stirling数和Bell数的指数母函数。作为副积，得到了函数f（e^x）和f（ln x）的$n$阶导数的闭公式.
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连接 Stirling 数与 $k$-bonacci 和
Connecting the Stirling numbers and $k$-bonacci sums
本文通过建立先前确定的求和公式与实验确定的公式之间的双射关系并进行代数证明，揭示了 Stirling 数出现在 $k$-bonacci 公式中的原因。
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多元第一类和第二类Stirling多项式
Multivariate Stirling Polynomials of the first and second kind
考虑了两个双指数族的齐次和等压多项式在几个不定数：（部分）指数贝尔多项式$B_{n,k}$和一个新的家庭$S_{n,k}$，使$X_1^{-(2n-1)}S_{n,k}$和$B_{n,k}$服从反演律，推广的第一和第二类斯特林数。这两个多项式族都以李系数的形式出现在某些高阶导数的展开式中。用$D^j(φ)$（固定函数$φ$的$j$阶导数）代替待定函数$X_j$表明，$S_{n,k}$和$B_{n,k}$都是分别依赖于$φ$及其逆函数$\overlineφ$的微分多项式。一些新的光由此孔泰的解决方案的拉格朗日反演问题的贝尔多项式。根据Haiman和Schmitt的说法，这个解本质上是Faà di Bruno Hopf代数上的对极。它可以用$X_1^{-(2n-1)}S_{n,1}$表示。此外，建立了适用于整个$S_{n,k}$族（$1\leq k\leq n$）的一般展开式以及$S_{n,k}$的系数的封闭表达式。斯特林数的几个重要性质被证明是相应多项式之间关系的特殊情况。作为一个非平凡的例子，Schlömilch型公式推导表达$S_{n,k}$的贝尔多项式$B_{n,k}$，反之亦然。
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广义 Stirling 数和 Eulerian 数的显式公式
Explicit formulae for generalized Stirling and Eulerian numbers
本文通过推广 Carlitz 的 $q$-差分算子，推导出第二类 Stirling 数多种扩展的显式求和公式，并将 $q$-Eulerian 数推广至 Lagrange 多项式扩展，给出了递推关系与显式公式。
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MacMahon等分布定理在有序集划分上的推广
An extension of MacMahon's Equidistribution Theorem to ordered set partitions
我们证明了Haglund的一个猜想，它可以被看作是一个推广的均匀分布的反转数和主要指数排列有序集分区。Haglund的猜想隐含地定义了两个统计有序集分区和国家，他们是equidistributed。隐含的反演统计量等价于Steingrímsson、Ishikawa、Kasraoui和Zeng研究的有序集划分的统计量，并且已知在$q$ -Stirling数方面具有良好的分布。由此产生的主要指标之间的组合关系表现出$q$ -斯特林数和欧拉-Mahonian分布的对称群，解决了Steingrímsson提出的问题。
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牛顿积分与斯特林公式
The Newton integral and the Stirling formula
我们提出的细节逻辑上最简单的积分足以推导斯特林渐近公式n！它是牛顿积分，定义为任何基元在积分区间端点处的值之差。我们在它的框架下详细地回顾了斯特林公式的两个推导过程。第一个近似log（1）+log（2）+.+ log（n）与积分，第二个使用经典的Γ函数和Fubini型结果。我们提到n！的另外两个整表示。
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与退化第二类 Stirling 数相关的组合恒等式
Combinatorial identities related to degenerate Stirling numbers of the second kind
本文研究退化第二类 Stirling 数的性质、恒等式、递推关系与显式表达式，并结合退化 Euler 公式探讨相关多项式和幂级数。
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用第二类Stirling数计算欧拉多项式的显式公式
Explicit formulae for computing Euler polynomials in terms of Stirling numbers of the second kind
本文初步统一和推广了涉及函数$\frac{\pm1}{e^{\pm t}-1}$及其导数的八个恒等式。利用其中的一个恒等式，作者建立了计算欧拉多项式和双参数欧拉多项式的两个显式公式。
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类Stirling数和类Dobinski公式的新公式
New formulas for Stirling-like numbers and Dobinski-like formulas
第二类$Stirling$数的扩展和$Dobinski$类公式在一系列毕业生练习中提出。我最近发现的一些新公式可以在源文件$ [1]$中找到。这些扩展自然包含众所周知的$q$扩展。这些指示性的参考文献是指向arxiv所属的计算机科学基础的广阔领域的一部分。
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一类广义Stirling数的组合逼近
Combinatorial approach of certain generalized Stirling numbers
利用组合方法研究了一类广义Stirling数的一些性质，包括显式公式和递推关系。进一步推导出了这些数的对称函数表达式。
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辫子拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的Stirling数
Stirling Numbers in Braid Matroid Kazhdan-Lusztig Polynomials
第一类限制Whitney数出现在拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的组合递归中。在辫状拟阵（与分划格、完全图、A型Coxeter排列和对称群相关联的拟阵）的特殊情况下，这些受限的Whitney数是第一类Stirling数。我们利用这一观察获得的Kazhdan-Lusztig多项式的系数辫子拟阵的第一类斯特林数的产品的总和的公式。这导致了第一类Stirling数和第二类Stirling数之间的新恒等式，以及辫子拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的非递归公式。
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Stirling数、Lah数和二项式系数的卷积
Convolutions for Stirling numbers, Lah numbers, and binomial coefficients
我们提出了各种身份的卷积涉及斯特林数的两种，拉数，和二项式系数的形式。还讨论了某些卷积多项式。证明是基于几个级数变换公式。
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关于第一类非中心Stirling数
On Non-central Stirling Numbers of the First Kind
本文证明了第一类非中心Stirling数s（n，k，a）自然地出现在幂函数与n阶函数乘积的导数的展开式中.我们首先得到这些数的一个递推关系，然后，利用Leibnitz规则，我们得到这些数的一个显式公式。我们还得到了s（n，1，a）的一个显式公式，然后导出了与这些数有关的几个组合恒等式。
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Chebyshev-Stirling数和第二类Stirling数的渐近性
Asymptotics of Chebyshev-Stirling and Stirling numbers of the second kind
对于Jacobi-Stirling数的一种特殊情况--Chebyshev-Stirling数，利用局部中心极限定理导出了渐近公式.基本的概率方法也适用于经典的第二类斯特林数。从而建立了对这些数的渐近分析的一个补充。
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部分排列的 Mahonian-Stirling 统计量
Mahonian-Stirling statistics for partial permutations
本文为部分排列构造了与逆序数等分布的 MacMahon 主指标类比，建立 Haglund-Remmel-Wilson 型恒等式，并用 Laguerre 有向图推广了 Jacobi-Rogers 多项式的组合解释。
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Stirling置换对偶集的交替游程的Enumeration
Enumeration of a dual set of Stirling permutations by their alternating runs
本文用交错游程数来计数一个Stirling置换的对偶集。研究了生成函数的性质，包括递归关系、文法解释和卷积公式。
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限制Stirling置换
Restricted Stirling permutations
本文研究了具有一定数量的平顶、下降和上升的模式限制Stirling置换的生成函数。研究了生成函数的性质，包括对称性和显式公式。对某些等分布给出了组合解释。
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关于渐近性、Stirling数、Γ函数和多对数
On asymptotics, Stirling numbers, Gamma function and polylogs
本文应用Euler-Maclaurin公式，求出了和$\sum_{k=1}^n (\log k)^p / k^q$，~ $\sum k^q (\log k)^p$，~ $\sum (\log k)^p /(n-k)^q$，~ $\sum 1/k^q (\log k)^p $的封闭形式到任意阶的渐近展开式（$p,q \in\N$）.这些表达式通常相当简化，并且系数是可识别的常数。渐近的常数项是$ζ^{(p)}(\pm q)$（前两个和）、0（第三个和）或产生新的数学常数（第四个和）。这使得$ζ^{(p)}(\pm q)$的数值计算速度比任何当前软件都快。其中一个常数也出现在函数$\sum_{n\geq 2} (n\log n)^{-s}$在$s=1$处奇点附近的展开式中;这需要不完全Γ函数的渐近性。操作涉及polylogs，我们找到了一个表示的尼尔森积分，以及神秘的伯努利数。应用包括$(-z/\log(1-z))^k$的泰勒系数的渐近增长的测定。给出了第一类Stirling数的渐近性及其用调和数表示的公式。
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斯特林数的卷积恒等式
Convolution Identities of Stirling Numbers
本研究利用生成函数法求解线性递推关系，用两类斯特林数表示解，并推导出两组组合恒等式，涵盖了已知的斯特林数卷积公式，丰富了相关组合数学结论。
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Bell数和Stirling数的精化
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我们介绍了贝尔，阶乘，和无符号斯特林数的第一和第二类，团结的乱序，对合，相关阶乘，相关贝尔，不完全斯特林，限制阶乘，限制贝尔，和$r$ -乱序数（可能更多！）的新的改进。通过结合分析组合学、投影演算和概率论的方法，我们得到了这些数的几个递推关系和封闭形式表达式。通过专门我们的结果的经典情况下，我们恢复明确的公式贝尔和斯特林数的总和组成。
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关于第二类Legendre-Stirling数的渐近正态性
On the asymptotic normality of the Legendre-Stirling numbers of the second kind
利用局部中心极限定理导出了第二类Legendre-Stirling数的渐近公式。从而对最近发表的Chebyshev-Stirling数的渐近分析进行了补充。此外，我们还给出了修正Legendre-Stirling数的渐近正态性和单峰性的结果。
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象限标记网格模式与r-Stirling数
Quadrant Marked Mesh Patterns and the r-Stirling Numbers
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第一类矩生成Stirling数及其应用
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路数渐近性与Stirling数
Path count asymptotics and Stirling numbers
我们得到了建立在二维欧拉图上的无限图中某些路的数目的增长率公式。推论是关于第一类和第二类斯特林数的恒等式。
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关于Stirling数和Dobinski型公式的影扩张
On umbral extensions of Stirling numbers and Dobinski-like formulas
考虑了第二类stirling数的阴影扩张，给出了多宾斯基式的各种公式，包括新的公式。这些扩张自然包含了两个著名的q扩张。因此，进一步的连续本影扩展q-斯特林数在这里以双重方式实现。由于本影q-扩展的dobinski公式也可以解释为q-泊松分布随机变量的幂的平均值，所以在本影扩张的定义域中，由两个观测值所表示的q-扩张是一种奇点。其他相关的可能性是解决与文件的关闭问题和建议，就其他已经存在的扩展，而这些其他类型的扩展正在提供一个简短的有限的调查。在那里，牛顿插值公式和均差与本影符号语言一起，在描述touchard的一般指数多项式的性质及其可能的推广方面显得很有帮助，而且是必然的。指数结构或具有其指数公式的代数等价预制件似乎也自然相关。
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逆序数统计量对于逆序序列
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Tianjin University（天津大学）；Université de Strasbourg et CNRS（斯特拉斯堡大学与法国国家科学研究中心）
本文研究了逆序序列上五个统计量的联合分布，引入了原本用于排列的逆序数统计量，并恢复了经典排列统计量及Catalan和Narayana数。
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贝塔分布与相关的第二类斯特林数
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Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego（弗罗茨瓦夫大学数学研究所）；Institut de Mathématiques de Bourgogne, UMR 5584 CNRS, Université de Bourgogne（勃艮第大学数学研究所）
本文基于贝塔分布的矩，推导出关联第二类斯特林数的公式并给出其上下界。
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混合限制Stirling数
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本文研究了对块的大小有附加条件的混合分拆。我们给出了一般公式和生成函数。我们认为在更详细的特殊情况下，确定的生成函数，一些递归和连接r-斯特林数。为了获得我们的结果，我们使用纯组合参数，经典的操作生成函数，并得出生成函数，我们应用的符号方法。
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sinc 和 sinhc 函数的实数幂的若干级数展开式以及以第二类中心阶乘数和第二类 Stirling 数为项的偏 Bell 多项式的若干公式
Several series expansions for real powers and several formulas for partial Bell polynomials of sinc and sinhc functions in terms of central factorial and Stirling numbers of second kind
本文利用 Faà di Bruno 公式、第二类中心阶乘数和第二类 Stirling 数，建立了 sinc 与 sinhc 函数实数幂的级数展开式，并给出相关偏 Bell 多项式闭式公式及组合数恒等式。
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与Spivey Bell数公式有关的几个恒等式的Rook理论证明
Rook theoretic proofs of some identities related to Spivey's Bell number formula
利用车的位置证明了Spivey的Bell数公式及与之相关的一些恒等式，特别是涉及Stirling数的卷积恒等式和Bell数的关系式.为了涵盖尽可能多的特殊情况下，我们工作的广义斯特林数所产生的车模型的高盛和Haglund。另一种组合解释的第二型广义$q$ -Stirling数的Remmel和Wachs也介绍了该方法用于获得早期的身份可以很容易地适应。
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排列的倒位序列的条形图统计
Statistics on bargraphs of inversion sequences of permutations
本文研究了长度为n的反演序列的面积统计量和周长统计量的联合分布。由该分布所满足的递推关系导出了普通母函数和指数母函数的函数方程。在某些特殊情况下，给出了关于I_n的各统计量之和的显式表达式。对于记录水平数、下降数和上升数的统计量，对I_n的联合分布也作了类似的处理。一些连接之间的具体情况下，后者的分布和斯特林数的第一类和欧拉数。
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与势多项式相关的 $B$-Stirling 数
$B$-Stirling numbers associated to potential polynomials
本文引入与势多项式相关的第一类和第二类 $B$-Stirling 数，提供递推公式并实现两类数间的相互计算。
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第一类Stirling数的对角递归关系
Diagonal recurrence relations for the Stirling numbers of the first kind
本文给出了第一类Stirling数的对角递推关系。作为副产品，作者还恢复了第二类贝尔多项式特殊值的三个显式公式。
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关于鞍点方法和Stirling公式的一个奇异恒等式
A curious identity in connection with saddle-point method and Stirling's formula
证明了形式幂级数意义下的奇异恒等式：\[ \int_{-\infty}^{\infty}[y^m] \exp\left(-\frac{t^2}2 +\sum_{j\ge3}\frac{(it)^j}{j!}\, y^{j-2}\right)\mathrm{d} t = \int_{-\infty}^{\infty}[y^m] \exp\left(-\frac{t^2}2+ \sum_{j\ge3}\frac{(it)^j}{j}\, y^{j-2}\right)\mathrm{d} t, \] for $m=0,1,\dots$，其中$[y^m]f(y)$表示$f$的泰勒展开式中$y^m$的系数.从鞍点方法的角度，这个身份的一般性也进行了检查。
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Spivey和Mezo Bell数公式的推广
Generalizations of Bell number formulas of Spivey and Mezo
我们提供了q-推广斯皮维的贝尔数公式在各种设置考虑统计不同的组合结构。这导致新的身份涉及q-斯特林数的两种和q-拉数。作为推论，我们得到了二项系数和q-二项式系数的恒等式.我们的结果同时也推广了Mezo最近的r-Stirling数公式。最后，我们提供了一个组合的证明和改进徐的Spivey公式的推广到广义Stirling数的许和Shiue。要做到这一点，我们开发了一个组合的解释，这些数字的扩展拉分布。
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第二类受限r - 斯特林数
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National Higher School of Mathematics（国立高等数学学院）；USTHB, RECITS Laboratory（阿尔及利亚科学技术大学，RECITS实验室）
研究第二类受限\((r,d)\)-斯特林数，通过施加距离限制推广\(r\)-斯特林数，建立递推关系、公式、生成函数及恒等式等。
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包含第一类斯特林数的置换固定点求和规则
Sum rules for permutations with fixed points involving Stirling numbers of the first kind
CEA, DAM, DIF（法国原子能与替代能源委员会，技术研究中心，达姆研究所）；Université Paris-Saclay, CEA, Laboratoire Matière en Conditions Extrêmes（巴黎萨克雷大学，法国原子能与替代能源委员会，极端条件物质实验室）
本文提出基于第一类斯特林数的置换固定点求和规则，并推导了二项系数的求和规则，同时探讨了与贝尔数的关系。
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广义$q$ -Stirling数与正规序
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关于下降数的扁平化k-Stirling排列的计数
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本文证明扁平化k-Stirling排列与类型B集合划分的着色变体双射对应，并用加权标记结构给出其基数和下降多项式的指数生成函数及若干计数公式。
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