Rational Curves on K3 Surfaces
Jun Li, Christian Liedtke
我们证明了具有奇Picard秩的射影K3曲面包含无穷多条有理曲线。我们的证明扩展了Bogomolov-Hassett-Tschinkel方法，即，利用稳定映射的模空间和正特征约化。
We show that projective K3 surfaces with odd Picard rank contain infinitely many rational curves. Our proof extends the Bogomolov-Hassett-Tschinkel approach, i.e., uses moduli spaces of stable maps and reduction to positive characteristic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Smooth rational curves on rational surfaces
考虑从固定的射影曲线到射影曲面的非常数态射的参数化方案。在该方案与曲面上的$1$ -圈的Chow簇之间存在一个有理映射。我们证明，如果曲线是非奇异的，那么这个有理映射是一个态射。因此，我们得到，如果曲面是有理的，并且我们固定一个包含非奇异有理曲线的因子类，那么在这个因子类上参数化有理曲线的方案是不可约的.进一步地，如果类具有非负自交，则有理曲线的格式具有期望维数。
Rational curves in Fano hypersurfaces and tropical curves
利用热带曲线和退化理论的思想，我们证明了任何Fano超曲面（更一般的Fano完全相交）是由最多的二次有理曲线扫描。
Rational curves on the compactified moduli space of rational curves with marked points
研究了带有$n$标记点的有理节点曲线的模空间$X_n=\bar{\mathcal{M}_{0,n}}$上的有理曲线的可能同调类.在$X_5$和$X_6$的情况下，相关的同调类属于我们明确描述的某些多面体锥。不是锥中的所有同调类都对应于有理曲线，但所有离锥壁足够远的类都对应。对$X_5$的证明是显式的，对$X_6$的证明是用计算机进行的.
A characterization of the rational normal curve
本文利用曲线的秩函数给出了有理正态曲线的一个特征。
Approximating curves on real rational surfaces
本文给出实有理曲面上简单闭曲线可被光滑有理曲线逼近的拓扑充要条件，并研究了给定复自交数的逼近问题。
On rational curves in n-space with given normal bundle
证明了法丛固定的射影$n$ -空间中（非参数化）有理曲线的模空间的分支的稳定合理性，只要这些分支支配平面上浸入的有理曲线的模空间.
Rational curves of degree four with two inner Galois points
我们刻画了具有两个或多个内伽罗瓦点的四次平面有理曲线。用计算机证明了具有三个内Galois点的四次平面有理曲线的存在性。这将是第一个有三个参数的曲线的例子。我们的结果意味着Miura的界限是尖锐的有理曲线。
Linear systems of rational curves on rational surfaces
给定特征为零的代数闭域上的射影非奇异有理曲面S上的曲线C，我们关心S上的线性系Lambda的集合Omega_C满足C在Lambda中，dim Lambda > 0，且Lambda的一般成员是一条有理曲线.论文的主要结果给出了Omega_C的完整描述，特别是刻画了Omega_C非空的曲线C。
Semiring isomorphisms between rational function semifields of tropical curves induce isomorphisms between tropical curves
证明了两条热带曲线的有理函数半域之间的半环同构诱导出这两条热带曲线之间的可扩映射。这种半环同构和可扩映射涉及有理函数的零点和极点及其度数。作为推论，我们证明了热带曲线的自同构群同构于其有理函数半域的$\boldsymbol{T}$ -代数自同构群，其中$\boldsymbol{T} := (\boldsymbol{R} \cup \{ -\infty \}, \operatorname{max}, +)$是热带半域.最后，我们描述了所有热带曲线的有理函数半域的所有半环自同构。
Low-degree Rational curves on hypersurfaces in projective spaces and their degenerations
研究了射影空间中一般Fano超曲面上的有理曲线，主要是通过将超曲面及其周围的射影空间退化为可约簇。证明了具有平衡法丛的低次有理曲线的存在性结果，并改进了低次有理曲线空间不可约的一些结果.
Counting real rational curves on K3 surfaces
我们提供了一个真正的模拟的Yau-Zaslow公式计数有理曲线的$K3$表面。
Rational Curves on K3 Surfaces
证明了一般K3曲面上的线性系组存在有理曲线，且超平面类中的所有有理曲线都是小亏格的一般K3曲面上的节点.
Unirational Differential Curves and Differential Rational Parametrizations
本文研究了单有理微分曲线及其相应的微分有理参数化。我们首先研究无理微分曲线的适当微分有理参数化的基本性质。然后证明了真线性微分有理参数方程的隐式化问题可以用微分结式来解决。此外，对于线性微分曲线，我们给出了一个算法，以确定是否隐式给定的线性微分曲线是单有理的，并在肯定的情况下，计算适当的微分有理参数化的微分曲线。
Smooth Rational Curves on Singular Rational Surfaces
我们分类所有复杂的表面与商奇异，不包含任何光滑的有理曲线，假设的典范除子的表面是不是伪有效的。作为推论，我们表明，如果$X$是一个log del Pezzo表面，使每个封闭点$p\in X$，有一个平滑曲线（局部解析）通过$p$，然后$X$包含至少一个光滑的有理曲线。
The rationality of the moduli spaces of trigonal curves of odd genus
证明了奇亏格$g>4$三角曲线的模空间是有理的。
Singularities of Rational Curves on K3 surfaces
证明了一般K3曲面的任一亏格的本原类中的每一条有理曲线都是结点曲线。
The rationality of the moduli spaces of trigonal curves
证明了当亏格被4整除时三角曲线的模空间是有理的。
Rational Curves on Varieties
本文旨在介绍品种上有理曲线的处理思想和技巧。重点研究了具有多条有理曲线的曲面，它们是有理曲线和曲面的高维类似物。前六个部分密切关注讲座的J. Kollár在暑期学校"高维品种和有理点"。这些笔记是由C.阿劳霍和大量编辑后。修订版本，新增2个章节。
Rational Curves on Del Pezzo Manifolds
利用初等专门化方法研究了指数$n$ -折叠$n-1$ Fano上的有理曲线的性质.在$n=3$情形下，我们证明了一个计算通过适当点数的有理曲线的简单公式。的参数有直接的变形理论的后果，转化为这些曲线的正常束的属性。
Rational Cuspidal Curves
应要求提交。这篇2008年的硕士论文（挪威奥斯陆大学）没有新的结果，但它提供了平面有理尖点曲线的概述，特别是低次曲线。请注意，新的结果在这个主题和相关主题的合理尖点曲线的Hirzebruch曲面已发表后，这篇论文写的。
Rational cuspidal curves with four cusps on Hirzebruch surfaces
这篇文章的目的是阐明的问题有多少和什么样的尖点的有理尖点曲线上的Hirzebruch表面可以有。我们使用双有理变换来构造有理尖点曲线与四个尖点的Hirzebruch曲面，并找到这些曲线的相关结果。
The irreducibility of the spaces of rational curves on del Pezzo surfaces
我们证明了del Pezzo曲面上的有理曲线的空间要么是不可约的要么是空的，只有一个唯一的例外。
Rational curves and MBM classes on hyperkahler manifolds: a survey
本文研究不可约全纯辛流形上的有理曲线和双有理压缩。我们调查最近的一些结果关于极小有理曲线，它们的变形，极值射线与这些曲线，和几何的凯勒锥。
The Stack of Rational Nodal Curves
在这一系列的三篇论文中，我们开始研究由亏格为0的节点曲线组成的堆栈的有理Chow环，特别是我们完全确定了由至多3个节点的曲线组成的子堆栈的有理Chow环。在这第一篇论文中，我们构造了堆栈的合理节点曲线和分层的节点，并表明，从通用曲线的堆栈的映射是不可表示的类别的计划。
Rational curves of degree 16 on a general heptic fourfold
根据H. Clemens，一般射影超曲面上的有理曲线的空间的维数应该等于由朴素维数计数所预测的数。在$\mathbb{P}^5$中的7次一般超曲面的情况下，该猜想预言只有有理曲线应该是直线。Hana和Johnsen对次数最多为15的有理曲线验证了这一点。在这里，我们扩展他们的结果表明，没有有理曲线的程度16谎言的一般heptic四倍。
Rational curves on $V_5$ and rational simple connectedness
本文研究了五次Fano三重$V_5\subset \mathbb{P}^6$的有理单连通性，证明了具有$d \ge 1$的模空间$\overline{M}_{0,0}^{\text{bir}}(V_5,d)$的单有理性.利用显式双有理方法得到了二次超曲面和del Pezzo曲面上有理曲线的特殊模空间的许多进一步的单有理性结果。
Rational curves on hypersurfaces
设$(X,D)$是一个对，其中$X$是一个投射簇。我们详细研究了$X$上的有理曲线的行为以及$-(K_X+D)$和$D$的正性如何影响$D$上的有理曲线的行为。特别是，我们给出了$D$的组件的uniruledness和合理的连通性的标准。
Rational curves on hypersurfaces of low degree, II
这是“低次超曲面上的有理曲线”，数学AG/0203088的延续。证明了如果d^2+d+1 < n and d >2，则对P^n中d次一般超曲面Xd，对每个e次，X上e次有理曲线空间本身是有理连通簇.
Curve-rational functions
设$W$是实代数簇$X$的实点集的子集。我们研究了哪些函数$f: W \to \mathbb R$是有理函数对$X$的限制。我们引入两个新概念：${\it curve-rational \, functions}$（即，代数曲线上的连续有理数）和${\it arc-rational\, functions}$（即，代数曲线弧上的连续有理）。我们证明，在温和的假设下，以下类别的功能一致：连续遗传理性（最近推出的第一个命名的作者），曲线理性和弧理性。特别地，如果$W$是半代数的且$f$是弧有理的，则$f$是连续的且是半代数的。我们还证明了定义在开集上的弧-有理函数是弧解析的（即，解析弧上的解析）。此外，我们还研究了簇的乘积上的有理函数。作为应用，我们得到了正则函数的一个特征。最后，我们在复代数簇的框架下得到了类似的结果。
Apolar Ideal and Normal Bundle of Rational Curves
在我们以前的工作[1]中，我们解决了确定有理曲线法丛分裂的问题。利用非极性理论，我们可以刻画由法丛和限制切丛的分裂型定义的有理曲线的Hilbert格式中的某些特殊子簇.
Normal bundles of rational curves in Grassmannians
本研究针对格拉斯曼流形中有理曲线法丛的平衡性质问题，证明了一般有理曲线的法丛可分解为次数相差至多2的线丛直和，补充了射影空间外该类性质的研究结论。
Remarks on lines and minimal rational curves
我们确定了任意秩和度的稳定丛的模空间$M$中的所有直线。最后给出了极小有理曲线的一个进一步应用。
A Simple Proof that Rational Curves on K3 are Nodal
给出了一般K3曲面的本原类中的每一条有理曲线都是结点曲线的简单证明。
On the maximum number of rational points on singular curves over finite fields
给出了有限域上具有多个有理点的奇异曲线的一种构造。这种构造使我们能够证明关于定义在Fq上的几何亏格为g和算术亏格为$π$的绝对不可约射影代数曲线上的最大有理点个数的一些结果。
On the Variety of Rational Curves of Degree $d$ in $\Bbb P^n$
我们构造了$\Bbb P^n$中的$d$度连通曲线集上的不可约射影簇的标准结构，其中有理分量（某些分量可以是多重的）。在这种结构下，有理曲线的集合是Zebriki拓扑中的开子集。
Rational curves on wonderful compactifications of symmetric varieties
这是一篇博士论文。首先，我们提供一些一般的背景下奇妙的品种和模空间的有理曲线。通过对复数的研究，我们证明了对称空间的奇妙紧化上没有标记点的有理曲线的模空间一般不是不可约的。最后，我们证明了在奇群紧化的情形下，没有标志点且源不可约的有理曲线的集合是不可约的。
Small rational curves on the moduli space of stable bundles
对亏格g >= 2的光滑射影曲线C和C上的1次线丛L，设M：= SU_{C}（r;L）是秩为r且行列式L固定的稳定向量丛的模空间.本文研究了M上的小有理曲线，并估计了小有理曲线轨迹的余维数。特别地，当r = 3时，我们确定所有小的有理曲线。
Rational families of vector bundles on curves, II
这是“曲线上的有理向量丛族，I”的继续。设C是亏格至少为2的光滑射影曲线，M是C上秩为2的模空间，稳定的向量丛，具有固定的1次行列式。对任意k>0，求出M上k次有理曲线空间的所有不可约分支及其极大有理连通分支。
On covering and quasi-unsplit families of rational curves
研究了射影簇上有理曲线覆盖族的极值性质。其中，我们表明，在正常和Q-阶乘的投影各种尺寸最多为4，每一个覆盖和拟不可分裂家庭的有理曲线产生几何极值射线的森锥。
Constructing rational curves on K3 surfaces
我们开发了一个混合特征版本的Mori-Mukai技术，用于在K3曲面上生成有理曲线。我们减少模p，产生有理曲线上产生的K3表面上的有限域，并提升到特征零。作为应用，我们证明了一类二次生成的具有Picard群的复K3曲面都有无穷多条有理曲线.
Geometry of moduli spaces of rational curves in linear sections of Grassmannian $Gr(2,5)$
证明了Grassmannian $Gr(2,5)$的线性截面中次数至多为$3$的有理曲线的模空间都是有理簇.我们还研究了它们的紧化和双有理几何。
Enumeration of rational plane curves tangent to a smooth cubic
本文利用扭曲稳定映射计算了与光滑平面三次曲面有预定接触的有理d次平面曲线的个数。
Rational curves on the supersingular K3 surface with Artin invariant 1 in characteristic 3
本文用多种方法证明了特征3中Artin不变量为1的超奇异K3曲面上112条非奇异有理曲线的存在性。利用这些有理曲线，我们得到了K3曲面上的$(16)_{10}$-构型和$(280_{4}, 112_{10})$-构型.此外，我们还利用Leech格的理论研究了Picard格。112条非奇异有理曲线对应于112个Leech根。
Khovanskii-finite rational curves of arithmetic genus 2
研究了算术亏格为2的有理曲线的Khovanski-有限赋值的存在性。我们提供了一个半明确的描述度$n+2$有理曲线在$\mathbb{P}^n$的算术亏格两个承认Khovanski有限估值的轨迹。此外，我们描述了一个有效的方法来确定是否有一个有理曲线的算术亏格2定义在数域上允许Khovanski有限赋值。这提供了一个标准，以决定是否允许这种曲线复曲面退化。最后，我们证明了有理曲线与一个单一的单支奇点总是Khovanski有限的，如果他们的算术亏格是足够小的。
Rational curves and points on K3 surfaces
研究了K3曲面上代数点的分布。
Uniform families of minimal rational curves on Fano manifolds
众所周知，Picard数为1的有理齐次流形上的极小有理曲线族是一致的，在这个意义上，流形的切丛在族的每条曲线上具有相同的分裂类型。在这份说明中，我们证明了某些-更强-均匀性条件上的一个家庭的最小的有理曲线上的一个Fano流形皮卡德数1允许证明，流形是齐次的。
Log canonical models for the moduli space of pointed stable rational curves
我们运行Mori的程序来计算带因子$K +\sum a_{i}ψ_{i}$的稳定有理曲线的模空间。我们证明了，在不假设F猜想的情况下，该对的双有理模型是加权点稳定有理曲线的Hassett模空间，而不需要对权系数作任何修改.
Finiteness of rational curves of degree 12 on a general quintic threefold
我们证明了以下陈述，预测克莱门斯猜想：一个通用的五次三重只包含1000多个光滑的有理曲线的程度12。
Characteristic numbers of rational nodal curves in $\mathbb{P}^3$
本文计算了$\mathbb{P}^3$中一个结点通过给定数目的点、直线并与给定数目的平面相切的有理曲线的个数。
Rational curves on fibered Calabi-Yau manifolds
证明了具有椭圆纤维空间结构和有限基本群的大于2维的光滑射影复流形，只要其典范丛相对平凡，总包含有理曲线.作为这一结果的应用，我们证明了任何允许纤维化到一般纤维为阿贝尔簇的曲线上的Calabi-Yau流形总是包含一条有理曲线.
Curves with rational families of quasi-toric relations
本研究探究可具有拟环面关系有理族的平面曲线类型，拓展了Takahashi、Tokunaga的正面结果与作者的负面结果。
Shimura Varieties, Kummer Varieties, and Rational Curves
对于七条或更多椭圆曲线的非常一般的乘积$A$，$A$的库默尔簇上的每一条有理曲线平凡地投影到至少一个因子的库默尔簇上。因此，一个非常一般的成员的某些家庭的交换品种参数化的连接志村品种的酉型的性质，它的库默品种没有有理曲线。
Density of Rational Curves on K3 Surfaces
证明了在强拓扑下，有理曲线的并在非常一般的K3曲面上是稠密的，而椭圆曲线的并在非常一般的K3曲面的第一喷射空间上是稠密的.
Fibrations by plane projective rational quartic curves in characteristic two
本文在特征二下对平面射影有理四次曲线纤维化进行了完整的双有理等价分类。
Rational curves of degree 10 on a general quintic threefold
我们证明了“强形式”的克莱门斯猜想在度10。也就是说，在P^4中的一般五次三重F上，只有100条10次光滑有理曲线，并且每条曲线都以法丛O（-1 ^2.此外，在10次中，F中没有奇异的、约化的和不可约的有理曲线，也没有任何具有有理分量的约化的、可约的和连通的曲线。
Spines for amoebas of rational curves
对于每一条有理复曲线$C \subset (\mathbf{C}^\times)^n$，我们关联一条有理回归曲线$Γ\subset \mathbf{R}^n$，使得$C$的变形虫$\mathcal{A}(C) \subset \mathbf{R}^n$在距离$Γ$有界的距离内。根据Passare和Rullgård介绍的术语，我们将$Γ$称为$\mathcal{A}(C)$的主干。我们用样条来描述有理复曲线序列的热带极限。
Rigid isotopy classification of real degree-4 planar rational curves with only real nodes (An elementary approach)
我们证明了一个基本的方法来分类，刚性合痕，所有的节点度4真正的有理曲线在$\mathbb{RP}^2$只有真正的二重点。我们展示了如何将弦图与节点实度为4的平面有理曲线相关联，并证明了这类曲线由它们的弦图定义为刚性合线。
An Algorithm to Find Rational Points on Elliptic Curves Related to the Concordant Form Problem
我们推导出一个有效的算法，以找到解决欧拉的协调形式问题和椭圆曲线上的有理点与这个问题。
Rational curves on Fermat hypersurfaces
本文研究了$\PP^{p^r+1}_k$中次$p^r+1$ Fermat超曲面上的有理曲线，其中$k$是特征$p$的代数闭域.关键是Frobenius态射的存在使得有理曲线的行为与特征0.我们证明了如果存在$N_0$使得对于所有的$e\geq N_0$都存在一个度$e$在$X$上非常自由的有理曲线，那么$N_0> p^r(p^r-1)$ .
Finding large families of rational curves through Bend-and-Break
该研究提出新构造方法，加深有理曲线与反典范除子正性的联系，证明具大藤田不变量的簇有大型有理曲线族，构造奇异法诺簇上的自由有理曲线，还推导出法诺超曲面上曲线空间维数的结论。
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