A Lower Bound on the List-Decodability of Insdel Codes
本文针对插入删除码是否存在Johnson型界这一开放问题，提出一个新的列表可解码性下界，证明Hayashi-Yasunaga界不紧致，并利用新界给出多种已知码的插入删除列表可解码性结果。
2023-08-13 cs.IT math.IT
Improved Johnson-type Bounds for Insertion-Deletion Codes
Research Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Shandong University（山东大学数学交叉科学研究中心）
通过将每个局部列表编码为二进制常重码，改进了Hayashi和Yasunaga关于插入-删除码的Johnson型界，并利用McEliece-Rodemich-Rumsey-Welch界得到渐近速率界。
2026-08-18 cs.IT math.CO math.IT
Key Reduction of McEliece's Cryptosystem Using List Decoding
为了减小公钥的大小，提出了基于代码的McEliece密码系统的不同变体。所有这些变体都使用非常结构化的代码，这为利用底层结构的新攻击打开了大门。在本文中，我们表明，并元变体可以设计为抵抗所有已知的攻击。针对二进制Goppa码的列表译码算法的新研究，说明了如何在给定公钥大小的情况下提高其安全级别。使用国家的最先进的列表解码算法，而不是唯一的解码，我们表现出约4%的标准McEliece密码系统的密钥大小增益和高达21%的调整后的二元变量。
2011-11-15 cs.CR cs.IT math.IT
On the List Decodability of Insertions and Deletions
在这项工作中，我们研究的问题列表解码的插入和删除。我们提出了一个约翰逊型上限的最大列表大小。只有当插入发生时，绑定才有意义。我们的界限意味着，有二进制码的率$Ω(1)$，是列表解码从一个$0.707$ -分数的插入。对于任何$τ_\mathsf{I} \geq 0$和$τ_\mathsf{D} \in [0,1)$，存在速率$Ω(1)$的$q$ -元代码，其可从$τ_\mathsf{I}$ -插入分数和$τ_\mathsf{D}$ -缺失分数列表解码，其中$q$仅取决于$τ_\mathsf{I}$和$τ_\mathsf{D}$。我们还提供了有效的编码和解码算法，用于从$τ_\mathsf{I}$ -插入分数和$τ_\mathsf{D}$ -任何$τ_\mathsf{I} \geq 0$和$τ_\mathsf{D} \in [0,1)$的缺失分数进行列表解码。基于约翰逊型界，我们推导出一个Plotkin型上界的代码大小的Levenshtein度量。
2020-02-17 cs.IT math.IT
Toric codes over finite fields
在本文中，一类纠错码与复曲面簇相关联，复曲面簇与有限域$\fff_q$上定义的扇形相关联，类似于与曲线相关联的Goppa码类。对于满足一定条件的复曲面码，我们提出了一种有效的对偶Goppa码的译码算法。列举了许多实例。对于小的$q$，这些代码中的许多代码具有超过Gilbert-Varshamov界限的参数。事实上，使用复曲面代码，我们构造了一个$(n,k,d)=(49,11,28)$代码在$\fff_8$，这是优于任何其他已知的代码中列出的Brouwer的在线表中的$n$和$k$。
2003-07-30 cs.IT math.AG math.CO
Bounds on List Decoding of Rank-Metric Codes
到目前为止，还没有多项式时间的列表解码算法（超过一半的最小距离）的Gabidulin码。这些码可以被看作是秩度量等效的里德-所罗门码。在本文中，我们提供的秩度量码的列表大小的界限，以了解是否多项式时间列表解码是可能的，或者它是否只适用于指数时间复杂度。证明了列表大小的三个界限。第一个是Gabidulin码的指数下界，并表明对于这些代码，没有多项式时间列表解码超出约翰逊半径存在。其次，指数上界推导出，这适用于任何秩度量码的长度$n$和最小秩距离$d$。第三个界限证明，存在一个秩度量码在$\Fqm$的长度$n \leq m$，使列表的大小是指数的长度为任何半径大于一半的最小秩距离。这意味着不存在类似于Hamming度量中Johnson界的仅依赖于$n$和$d$的多项式上界。这三种秩度量界与汉明度量下的码界都有很大的不同。
2013-07-18 cs.IT math.IT
On the list recoverability of randomly punctured codes
我们表明，一个良好的距离的代码的随机打孔列表可恢复超出约翰逊界。特别是，这意味着有里德-所罗门码是列表恢复超出约翰逊界限。先前已知存在不具有此性质的Reed-Solomon码。作为一个直接的推论，我们的主要定理，我们得到更好的程度上的不平衡扩展，来自里德-所罗门码。
2020-07-03 cs.CC cs.DM cs.IT
List Decoding of Locally Repairable Codes
我们表明，本地可修复码（LRC）可以列表解码有效地超出约翰逊半径的参数范围很大，利用本地纠错能力。推导了新的译码半径，并分析了其渐近行为。我们给出了一个一般的列表解码算法LRC，实现这个半径以及一个明确的实现一类LRC的基础上里德-所罗门码（Tamo-Barg LRC）。在此基础上，给出了一种低复杂度的概率唯一译码算法，并对其成功概率进行了分析。
2018-05-08 cs.IT math.IT
Bounds on List Decoding Gabidulin Codes
关于Gabidulin码的一个公开问题是多项式时间列表解码超过最小距离的一半是否可能。在这篇文章中，我们给出了列表大小的下限和上限，即，在接收到的字周围的球中的码字的数量。下界表明，如果这个球的半径大于约翰逊半径，则这个列表大小可以是指数的，因此，多项式时间列表解码是不可能的。列表大小的上限使用子空间属性。
2012-05-02 cs.IT math.IT
List Decoding of Tanner and Expander Amplified Codes from Distance Certificates
该研究提出基于平方和半定规划层级与距离证书的列表译码算法，实现Tanner码、扩展器距离放大码等多类码接近Johnson界的列表译码，给出了对应时间复杂度与码性能结论。
2023-11-03 cs.DS cs.IT math.IT
List Decoding of 2-Interleaved Binary Alternant Codes
本文研究了$2$ -交织二元交替码的列表译码。所提出的算法的原理是基于一个列表解码算法（交织）Reed-Solomon码和算法（非交织）交替码的组合。推导出一个新的上界的解码半径和列表的大小示出缩放多项式的代码参数。虽然它仍然是一个开放的问题，这个上限是否是可实现的，所提供的仿真结果表明，超过二进制约翰逊半径的解码半径可以实现与所提出的算法的解码成功的概率很高。
2022-02-11 cs.IT math.IT
Bounds on List Decoding of Linearized Reed-Solomon Codes
线性里德-所罗门码是一类秩和度量码，它满足Singleton界。在和秩度量的两个极端情况下，它们与Reed-Solomon码（Hamming度量）和Gabidulin码（秩度量）相一致。在这些极端情况下的列表解码已经得到了很好的研究，这两个代码类在列表大小方面的行为非常不同，但对于一般情况则一无所知。在本文中，我们推导出一个下界的列表大小的LRS码，这是，对于一个大类的LRS码，指数直接以上的约翰逊半径。此外，我们表明，一些家庭的线性Reed-Solomon码与常数块不能列表解码超出唯一的解码半径。
2021-02-05 cs.IT math.IT
List-decoding of AG codes without genus penalty
本文针对代数几何码提出不可分 GS 列表译码算法，通过引入不可分指数 e 将亏格惩罚降低为原来的 1/p^e，并给出相应复杂度分析。
2023-07-09 cs.IT math.AG math.IT
List Decoding of Insertions and Deletions
列表解码的插入和删除的Levenshtein度量被认为是。两个序列之间的Levenshtein距离是将一个序列变成另一个序列所需的插入和缺失的最小数量。在本文中，约翰逊式上界的最大列表的长度时，列表解码的Levenshtein度量导出。这个界限只取决于代码的长度和最小Levenshtein距离，接收到的字的长度和字母表的大小。它表明，多项式时间列表解码超过一半的Levenshtein距离是可能的许多参数。此外，我们还证明了一个下界的列表解码的删除与著名的二进制Varshamov-Tenengolts（VT）代码，这表明，最大列表大小呈指数增长的删除的数量。最后，给出了一个有效的VT码两次插入/删除的链表译码算法。这个解码器可以被修改为一个多项式时间的列表解码器的任何常数数量的插入/删除。
2017-11-17 cs.IT math.IT
Some Gabidulin Codes cannot be List Decoded Efficiently at any Radius
Gabidulin码可以被看作是Reed-Solomon码的秩度量等价物。最近证明，使用子空间多项式，Gabidulin码不能被列表解码超出所谓的约翰逊半径。另一个结果是通过考察子空间与其子空间多项式之间的关系，构造出循环子空间码。在本文中，这些子空间码被用来证明两个界的列表大小在某些Gabidulin码的解码。第一个界限是存在的，表明指数大小的列表存在于具有特定参数的代码中。第二个界限显式地呈现指数大小的列表，用于不同的参数集。这两个界限排除了有效地列表解码的几个家庭的Gabidulin码的任何半径超过一半的最小距离的可能性。到目前为止，这样的结果仅针对非线性秩度量码而不是Gabidulin码。使用一个标准的操作称为提升，相同的结果也遵循一类重要的恒定维子空间码。
2016-10-14 cs.IT math.IT
Every list-decodable code for high noise has abundant near-optimal rate puncturings
我们表明，任何q元码具有足够好的距离可以随机打孔，以获得高概率，一个代码，是列表解码半径$1 - 1/q - ε$与接近最佳的速率和列表大小。我们的研究结果意味着，“大多数”里德-所罗门码的列表解码超出约翰逊界，解决了长期存在的开放问题，是否有任何里德-所罗门码满足这一标准。更准确地说，我们表明，里德-所罗门码随机评估点，具有高概率，列表解码半径$1 - ε$列表大小$O(1/ε)$和速率$Ω(ε)$。作为我们的论点的第二个推论，我们得到了改进的界限上的列表可解码的随机线性码在大字段。我们的方法利用了高维概率的技术。以前的工作使用类似的工具来获得随机线性码的列表可解码性的界限，但界限不随字母表的大小而缩放。在本文中，我们使用一个链接参数来处理大的字母表大小。
2013-10-07 cs.IT math.IT
New List Decoding Algorithms for Reed-Solomon and BCH Codes
本文设计了一种有理曲线拟合算法，并将其应用于Reed-Solomon码和BCH码的列表译码。所提出的列表解码算法表现出以下重要性质。1该算法为（广义）$(n, k, d=n-k+1)$ Reed-Solomon码校正高达$n(1-\sqrt{1-D})$的错误，该码匹配Johnson界，其中$D\eqdef \frac{d}{n}$表示归一化最小距离。与Guruswami-Sudan算法相比，前者需要多重性，这决定了算法的复杂性，$O(n(1-\sqrt{1-D}))$，而后者需要多重性$O(n^2(1-D))$。在目前最有效的实现中，前者的复杂度为$O(n^{6}(1-\sqrt{1-D})^{7/2})$，而后者的复杂度为$O(n^{10}(1-D)^4)$。2.在多重性被设置为1的情况下，导数列表校正能力精确地位于常规硬判决解码和最优列表解码之间。此外，候选码字的数量是上限由一个常数为一个固定的码率，因此，衍生算法表现出二次复杂度$O(n^2)$。3.通过利用Berlekamp算法的独特性质，该算法校正了窄意义$(n, k, d)$二进制BCH码的高达$\frac{n}{2}(1-\sqrt{1-2D})$的错误，其匹配二进制码的Johnson界。算法复杂度为$O(n^{6}(1-\sqrt{1-2D})^7)$。
2008-12-10 cs.CC cs.IT math.IT
Erasure List-Decodable Codes from Random and Algebraic Geometry Codes
引入擦除列表解码以通过输出可能的候选列表来校正大量擦除。在本文中，我们考虑了随机线性码和代数几何码的列表解码擦除错误。本文的贡献是双重的。首先，我们证明了，对于任意的$0<R<1$和$ε>0$（$R$和$ε$是独立的），随机线性码是具有恒定列表大小$2^{O(1/ε)}$的擦除列表可解码码的概率很高，该擦除列表可解码码可以校正擦除的一部分$1-R-ε$，即，随机线性码实现了信息速率和擦除错误分数之间的信息理论最佳折衷。其次，我们证明了代数几何码是良好的纠删列表可译码码。准确地说，对于任何$0<R<1$和$ε>0$，来自Garcia-Stichtenoth塔的速率$R$的$q$ -元代数几何码可以校正具有列表大小$O(1/ε)$的擦除错误的$1-R-\frac{1}{\sqrt{q}-1}+\frac{1}{q}-ε$部分。这改进了应用于代数几何码的Johnson界。此外，这些代数几何码的列表解码可以在多项式时间内实现。
2014-01-13 cs.IT math.IT
List-decodable Codes and Covering Codes
列表可译码是理论计算机科学中的一个活跃的研究课题，关于列表对Johnson半径的可译码性和列表译码容量定理有着普遍的结果。在本文中，我们表明，率，列表可解码半径和列表的大小是密切相关的经典主题的覆盖码。我们基于各种覆盖码证明了一般有限度量空间中列表可解码码的新的通用简单但强的上界。一般覆盖码上界可以应用于球的体积不仅取决于半径，还取决于球心的情况。那么覆盖半径或覆盖码的大小的任何好的上界都意味着列表可解码码的大小的好的上界。当码长较大时，我们的结果对最近的STOC 2020中的Hamming度量列表可解码码的广义Singleton上界给出了指数改进。从一般的覆盖码上界出发，给出了平均半径列表可译码码的广义Singleton上界。我们还建议研究组合覆盖列表可译码码作为组合列表可译码码的自然推广。我们应用我们的一般覆盖码上界列表可解码的秩度量码，列表可解码的子空间码，列表可解码的插入码列表可解码的删除码，列表可解码的和秩度量码和列表可解码的置换码。得到了关于秩度量码、子空间码、秩和度量码以及各种度量的置换码的非列表可译码性的一些新的较好结果。
2022-05-27 cs.IT math.IT
Improved decoding of Folded Reed-Solomon and Multiplicity Codes
在这项工作中，我们展示了新的和改进的折叠Reed-Solomon码和多重码的纠错性能。这两类代码都是基于有限域上的多项式，并且都是编码理论最新进展的来源。折叠里德-所罗门码是已知的第一个实现列表解码能力的代码的显式构造;多元多重性码是高速率局部可纠正码的第一个构造;单变量多重性码也被认为可以实现列表解码能力。然而，以前的分析，这些代码的纠错性能没有得到最佳的结果。特别是，在列表解码设置，列表大小的保证是多项式的块长度，而不是常数;和多元多重性代码，本地列表解码算法不能超越约翰逊界。在本文中，我们表明，折叠Reed-Solomon码和多重码实际上是比以前已知的列表解码和本地列表解码的情况下。更确切地说，我们首先表明，折叠RS码实现列表解码能力与恒定的列表大小，独立的块长度;和高速率的单变量多重性代码也可以列表恢复与恒定的列表大小。使用我们的结果单变量多重性代码，我们表明，多变量多重性代码是高速率，本地列表可恢复的代码。最后，我们展示了如何将上述结果与标准工具相结合，以获得容量，实现本地列表可解码代码的查询复杂度显着低于以前已知的。
2018-05-03 cs.IT math.IT
List Decodable Quantum LDPC Codes
该工作构造了接近最优速率-距离权衡的量子LDPC码，利用平方和凸松弛将距离放大码的列表解码归约为基码的唯一解码，实现了多项式时间内达到Johnson界的列表解码。
2024-11-06 cs.IT math.IT quant-ph
Weight distribution bounds to relate minimum distance, list decoding, and symmetric channel performance
AIMS Rwanda（卢旺达非洲数学研究所）
本文研究了纠错码的最坏情况和随机噪声性质之间的关系，探讨了最小距离、列表解码半径和噪声信道块错误概率的联系，改进了线性码在对称信道上的性能界限。
2026-04-03 cs.IT math.IT
Decoding Insertions/Deletions via List Recovery
本文将插入/删除解码问题归约为列表恢复问题，并应用于 Reed-Solomon 码，首次实现 k>2 时的高效插入/删除解码，同时改进了 Davey-MacKay 信道下的速率-错误权衡。
2025-05-05 cs.IT math.IT
Random Reed-Solomon Codes are List Recoverable with Optimal List Size
本文证明随机评估点的 Reed-Solomon 码在任意输入列表大小下可实现达到容量且输出列表大小最优的列表可恢复性，超越了列表恢复 Johnson 界，扩展了随机 RS 码列表译码的近期研究。
2024-04-03 cs.CC cs.IT math.CO
Points-Polynomials Incidence Theorem with Applications to Coding Theory
本研究将有限域点线关联结果推广到点与有界次数多项式的关联，通过关联矩阵奇异值分解和群代数分析得到关联数界，并将其应用于RS码的平均半径列表译码，证明特定长度RS码可在恒定列表大小下实现该译码，填补了此前该领域的研究空白。
2023-12-20 cs.IT math.CO math.IT
Error Decoding of Locally Repairable and Partial MDS Codes
在这项工作中，它表明，本地可修复码（LRC）可以有效地列表解码超出约翰逊半径的大范围的参数，通过利用本地纠错能力。推导了相应的译码半径，并分析了其渐近行为。提出了实现该半径的LRC的一般列表解码算法，以及作为Reed-Solomon码的子码（例如，Tamo-Barg LRC）。在此基础上，给出了一种低复杂度的概率LRC唯一译码算法，并分析了其成功概率。本文的第二部分研究了LRC码和部分最大距离可分（PMDS）码的交织译码。针对一类特定的LRC，研究了交织译码的成功概率。对于PMDS码，它表明，有一个广泛的参数，交织解码可以增加其解码半径超过最小距离，使成功解码的概率接近$1$时，代码长度趋于无穷大。
2020-09-15 cs.IT math.IT
Optimal Proximity Gap for Folded Reed--Solomon Codes via Subspace Designs
利用子空间设计证明折叠Reed-Solomon码在容量范围内具有(δ,ε)-邻近间隙，达到最优列表解码半径。
2026-06-11 cs.CC cs.IT math.IT
Improved List-Decodability of Reed--Solomon Codes via Tree Packings
本文通过树打包定理，构造了在指数大有限域上几乎达到列表解码容量的Reed-Solomon码，并推广到列表恢复，同时提出超图树打包猜想以追求最优非渐近列表可解码性。
2023-12-26 cs.IT math.CO math.IT
List Decoding Barnes-Wall Lattices
有限域上（Hamming度量下）的列表译码纠错码问题近年来得到了广泛的研究。由于线性码和点格在R^N中具有相似的离散结构，以及它们在复杂性理论、密码学和编码理论中的许多共同应用，我们开始了格的列表解码研究。即：对于R^N中的格点L，给定R^N中的目标向量r和距离参数d，输出L中距离r为d的所有格点w的集合。在这项工作中，我们专注于组合和算法的问题有关的列表解码的研究家庭的Barnes-Wall格。我们的主要贡献是双重的：1）我们给紧（多项式）组合界的最坏情况下的列表大小，显示它是多项式的格维数为任何错误半径有界远离格的最小距离（在欧几里德范数）。2)在Micciancio和Nicolosi（ISIT '08）的唯一译码算法的基础上，我们给出了一个列表译码算法，该算法在任意错误半径下，在格维数和最坏情况下的列表大小上都是时间多项式。此外，我们的算法是高度并行化的，并与足够多的处理器可以在并行时间内运行，只有多边对数的格维。特别是，我们的研究结果意味着多项式时间列表解码算法的任何错误半径有界远离最小距离，从而击败了典型的障碍纠错码所造成的约翰逊半径。
2012-04-07 cs.CC cs.DS cs.IT
Explicit rank-metric codes list-decodable with optimal redundancy
我们构建了一个显式家庭的线性秩度量码在任何字段${\mathbb F}_h$，使有效的列表解码高达一个分数$ρ$的错误的秩度量与率$1-ρ-ε$，任何所需的$ρ\in (0,1)$和$ε> 0$。以前，这样的代码的蒙特卡罗构造是已知的，但这实际上是第一个明确的构造正速率秩度量代码的列表解码超出唯一的解码半径。我们的代码是著名的Gabidulin代码，编码线性化多项式的低程度通过其值在线性独立的点的集合的子码。通过将消息多项式限制到${\mathbb F}_h$ -子空间来挑选子码，该子空间避开由于Guruswami和Xing（STOC'13）而在用于Gabidulin码的线性代数列表解码器中出现的扩展字段${\mathbb F}_{h^t}$上的结构化子空间。这个子空间是通过将Guruswami和Kopparty（FOCS'13）构造的子空间设计与Dvir和Lovett（STOC'12）的子空间回避变体相结合而获得的。我们建立了一个类似的结果，子空间码，这是一个集合的子空间，其中每对低维交叉，并已受到广泛关注，最近在网络编码的上下文中。我们还给出了明确的子码折叠Reed-Solomon（RS）码的小折叠顺序，是列表解码（在汉明度量）与最佳冗余，动机的事实，列表解码RS码减少到列表解码这样的折叠RS码。然而，由于我们仅列表解码这些码的子码，因此约翰逊半径仍然是列表解码RS码的最佳已知…
2013-12-02 cs.CC cs.DM cs.IT
Decoding Multivariate Multiplicity Codes on Product Sets
多重性Schwartz-Zippel引理限制了多元多项式在乘积集上的零点的总多重性。这个引理激发了Kopparty，Saraf和Yekhanin的多重性代码[J. ACM，2014]，他们展示了如何使用这个引理来构造高速率的本地可解码代码。然而，关于这些代码的算法结果关键地依赖于这样的事实，即多项式是在向量空间上而不是在任意乘积集上求值的。在这项工作中，我们展示了如何解码的多元多重码的大的多重性在多项式时间在有限的产品集（领域的大特征和零特征）。以前这样的解码算法甚至对于正的错误分数也是未知的。相比之下，我们的工作一直到代码的距离，特别是超过了唯一解码界和约翰逊界。对于超过约翰逊界限的错误，甚至这些代码的组合列表decodablity是未知的。我们的算法是一个应用程序的经典多项式方法直接到多元设置。特别是，我们不依赖于减少从多变量到单变量的情况下，是典型的基于多变量多项式的解码代码的许多现有的结果。然而，多项式方法在多变量设置中的普通应用不会产生列表大小的多项式上限。我们得到一个多项式约束的列表大小采取另一种观点的多元多重性代码。在这个视图中，我们使用一组新的变量$z$将所有相同阶的偏导数粘合在一起。然后，我们应用多项式方法，将其视为$z$中有理函数的域$\mathbb{F}(z)$上的一个问题。
2020-12-02 cs.CC cs.DM cs.IT
Combinatorial limitations of average-radius list-decoding
我们研究了列表解码的某些组合方面，其动机是已知的上限（$O(1/γ)$的）和下限（$Ω_p(\log (1/γ))$的）之间的指数差距，用于以远离容量的速率$γ$解码高达半径$p$所需的列表大小，即，$1-\h(p)-γ$（此处为$p\in (0,1/2)$和$γ> 0$）。我们的主要结果如下：我们证明了在任何速率为$1-\h(p)-γ$的二进制码$C \subseteq \{0,1\}^n$中，一定存在一个$Ω_p(1/\sqrtγ)$码字的集合$\mathcal{L} \subset C$，使得$\mathcal{L}$中的点到它们的质心的平均距离至多为$pn$。换句话说，必须存在具有低“平均半径”的$Ω_p(1/\sqrtγ)$码字。“列表解码的标准概念对应于使用码字集合到中心的最大距离而不是平均距离。平均半径形式本身是很自然的，并且是由经典的约翰逊界限所暗示的。剩下的结果涉及列表解码的标准概念，并有助于澄清列表解码的组合景观：1。我们给一个简短的简单的证明，在所有固定的字母表，上述$Ω_p(\log (γ))$下界。早些时候，这个界限是由布利诺夫斯基的一个复杂的、更一般的结果得出的。2.我们表明，一个{ \em不能}提高$Ω_p(\log (1/γ))$下界通过技术的基础上确定的零速率制度的列表解码的恒定重量的代码。3.我们展示了一个“反向连接”，表明列表解码的常重码意味着…
2013-06-29 cs.CC cs.IT math.CO
Classification of independent sets in signed Johnson graphs and applications to kissing arrangements
Nazarbayev University；Nazarbayev University Research Administration
本文研究符号Johnson图J±(n,4)中最大独立集的结构，通过算法枚举n≤12（n≠11）的所有同构类，发现n=12时存在1579个非同构最大独立集，其中1575个来自三种构造，其余为(12,4,4)-码的提升，并证明对n≡2或4 mod 6，所有最大独立集源于Steiner四元系统。
2026-06-02 cs.IT math.CO math.IT
Restricted Isometry of Fourier Matrices and List Decodability of Random Linear Codes
本文证明了F_q上随机线性码在半径（1 - 1/q-ε）上是列表可解的，其列表长度L = O（1/ε ^2），速率R = Ω_q（ε ^2/（log^3（1/ε））.直到（1/ε）中的多对数因子和依赖于q的常数因子，这匹配列表大小的下限L = Ω_q（1/ε ^2）和速率的上限R = O_q（ε ^2）。在此之前，只有q = 2的特殊情况下才知道存在（而不是大量）这样的代码（Guruswami，Hastad，Sudan和Zuckerman，2002）。为了获得我们的结果，我们采用了一个宽松的版本，众所周知的约翰逊约束列表解码，翻译的平均汉明距离码字之间的列表解码保证。我们还证明了所需的平均距离保证举行的代码提供了一个自然的复杂的矩阵编码的码字满足限制等距属性相对于欧几里德范数（RIP-2）。对于随机二进制线性码的情况，该矩阵与压缩感知文献中充分研究的Hadamard-Walsh变换矩阵的随机子矩阵一致。最后，我们改进了Rudelson和Vershynin（2008）关于长度为N的k-稀疏信号精确重建所需的随机频率样本数量的分析。具体来说，我们将样本数从O（k log（N）log^2（k）（log k + loglog N））提高到O（k log（N）log^3（k））。该证明涉及绑定的相关高斯过程的预期上确界，通过使用一个改进的过程定义的度量分析。这种改进对于我们在列表解码中的应用…
2012-07-04 cs.IT math.CO math.IT
Exponential decay of intersection volume with applications on list-decodability and Gilbert-Varshamov type bound
给出了度量空间中球有小交的一些自然的充分条件。粗略地说，当度量空间是（i）膨胀的，（ii）良好分布的，以及（iii）球边界上的某个随机变量有一个小尾巴时，就会发生这种情况。作为应用，我们证明了球在Hamming、Johnson空间和对称群中的相交体积随它们的中心漂移而指数衰减。为了验证条件（iii），我们证明了具有利普希茨条件的函数在切片上的大偏差不等式.然后，我们使用这些估计的交集体积$\bullet$随机$q$ -ary码的列表可解码性得到了一个尖锐的下界，证实了李和伍特斯的猜想;和$\bullet$改进经典界Levenshtein从1971年的常数重量码的一个因素，线性的尺寸，解决了一个问题提出的江和Vardy。我们的概率的观点也提供了一个统一的框架，以获得其他吉尔伯特-Varshamov型界限的改进，给概念上简单和计算的证明$q$ -ary码，置换码，和球形码。另一个结果是对代码数量的计数结果，显示了大代码的大量存在。
2022-01-03 cs.IT math.CO math.IT
Continuous Optimization for Decoding Errors
本论文提出了基于受限证明系统和抽象正则性引理的列表解码框架，为Tanner codes、AEL和量子LDPC等码设计了多项式时间解码算法，并改进了超越Johnson界的列表大小与纠错半径。
2024-08-26 cs.DS cs.IT math.IT
Random Gabidulin Codes Achieve List Decoding Capacity in the Rank Metric
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
研究加比杜林码在秩度量中的列表可译码性这一长期开放问题，通过证明足够大字母表上的随机加比杜林码以高概率达到秩度量列表译码最优广义Singleton界，解决该问题，并给出高阶MRD码理论及GM - MRD定理等技术贡献。
2026-07-28 cs.IT math.CO math.IT
Optimal Reconstruction Codes with Given Reads in Multiple Burst-Substitutions Channels
本文研究多突发替换信道的最优重构码，建立纠错能力、读取次数与列表大小的权衡，并给出错误球界、改进的 Gilbert-Varshamov 界、最小冗余度及高效列表重构算法。
2025-06-15 cs.IT math.CO math.IT
Fast list-decoding of univariate multiplicity and folded Reed-Solomon codes
本研究提出随机化算法，将单变量重数码与折叠Reed-Solomon码的列表译码时间优化至$\tilde{O}(n)$，同时设计了两类代数问题的快速算法，推广了经典幂级数模逆算法。
2024-03-12 cs.CC cs.IT math.IT
Improved Decoding of Expander Codes
我们研究了由Sipser和Spielman \cite{SS96}提出的经典扩展码。给定任何常数$0< α, \varepsilon < 1/2$，和一个任意的二分图与$N$顶点的左边，$M < N$顶点的右边，和左度$D$，使任何左子集$S$的大小最多$αN$至少有$(1-\varepsilon)|S|D$邻居，我们证明了相应的线性码给出的奇偶校验的权利至少有大约$\frac{αN}{2 \varepsilon }$的距离。当$\varepsilon < 1/2$时，这严格优于$2(1-\varepsilon ) αN$ \cite{Sudan2000note, Viderman13b}的最佳已知的先前结果，并且当$\varepsilon $小时，显著地改进了先前的结果。此外，我们表明，这个距离是紧的一般，从而提供了一个完整的表征一般扩展码的距离。接下来，我们提供了几个有效的解码算法，大大提高了以前的结果，无论何时$\varepsilon < \frac{1}{4}$的错误纠正的分数。最后，我们还给出了一般扩展码的列表译码半径的一个界，在某些情况下，它优于经典的Johnson界（例如，当图形几乎是规则的并且代码具有高速率时）。我们的技术利用新的组合性质的二部扩展图。特别是，我们建立了一个新的规模扩张的权衡，这可能是独立的利益。
2022-01-10 cs.CC cs.DS cs.IT
