Geometric Reductivity--A Quotient Space Approach
Pramathanath Sastry, C. S. Seshadri
给出了约化代数群是几何约化的又一证明。我们表明，商的半稳定的轨迹（由一个线性行动的约化代数群上的射影概形）存在，并从这个哈布什定理（芒福德猜想）如下。
We give another proof that a reductive algebraic group is geometrically reductive. We show that a quotient of the semi-stable locus (by a linear action of a reductive algebraic group on a projective scheme) exists, and from this Haboush's Theorem (Mumford's Conjecture) follows.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Reductivity properties over an affine base
当基环不是域时，群概型的幂约性是一个基本概念，与不变量子环的有限生成密切相关。几何约化性在这一背景下较弱且不太相关。我们给出了这些属性和它们的连接的调查。
Invariant rings through categories
我们制定了一个概念的“几何还原”在一个抽象的范畴设置，我们称之为充分性。主要定理指出，充分性条件意味着不变量环是非线性生成的。这个结果适用于双代数上的模范畴、双代数上的余模范畴和仿射基上的有限型代数栈上的拟凝聚层范畴。
"Geometric quotients are algebraic schemes" based on Fogarty's idea
设S是Noether概型，f：X->Y是S-概型的满射S-态射，X是S上的有限型.我们讨论是什么使Y成为有限型。首先证明了如果S是优的，Y是约化的，f是泛开的，则Y是有限型的.我们应用这一点来理解“Geometric contricents are algebraic schemes，Adv.Math.48（1983），166- 171”中的Fogarty定理，它是群方案G在Noether基方案S上是平坦的特殊情况。也就是说，如果G是作用在X上的有限型有限型概形，f是它的严格轨道空间，则Y是有限型的.利用这里的技巧，我们还证明了当f是平坦的时，Y是有限型的.如果S是优的，f是真的，Y是诺特的，也是如此。
Existence and properties of geometric quotients
本文研究了一般情形下群胚的等价性和栈的粗模空间。几何商并不总是范畴的，但我们提出了一个自然的拓扑条件下，几何商是范畴的。我们还证明了有限平坦广群胚的几何对偶的存在性，并给出了明确的局部描述。利用类似的方法，我们给出了具有有限稳定子的平坦广群的子群的存在性的一个简单证明。由于证明不使用诺特方法并且对一般代数空间和代数栈有效，因此我们获得了Keel和Mori定理的稍微改进的版本。
Homological Projective Duality via Variation of Geometric Invariant Theory Quotients
我们提供了一个几何方法来构造Lefschetz集合和朗道-金兹伯格同调投影对偶的几何不变理论的一个变化。这种方法产生的同调投影的Veronese嵌入在朗道金兹伯格模型的设置。我们的结果也扩展到一个相对的同调投射对偶框架。
A correspondence of good G-sets under partial geometric quotients
对于一个复簇$\hat X$，其作用为一个约化群$\hat G$，且其几何商$π: \hat X \to X$与一个闭正规子群$H \subset \hat G$有关，我们证明了允许良好的$G=\hat G / H$-子的$X$的开集与具有良好的$\hat G$-子的$\hat X$的开集双射对应.我们用它来计算GIT-腔室和它们的相关的对角作用的$\text{PGL}_2$对$(\mathbb{P}^1)^n$在某些子锥的$\text{PGL}_2$ -有效锥通过一个环面作用在仿射空间。这使我们能够代表这些复曲面品种与球迷决定凸几何。
The geometric genus of splice-quotient singularities
本文提出了 splice-quotient 环奇点的几何亏格计算公式，并探讨了相关同调群的维度问题。
Degeneration of the Leray spectral sequence for certain geometric quotients
证明了商映射$U_{n,d} \to U_{n,d}/G$的有理上同调Leray谱序列在$E_2$退化，其中$U_{n,d}$是$\PP^n(\C)$中次数为$d$的光滑超曲面的方程的仿射簇，$G$是一般线性群.
Descent of coherent sheaves and complexes to geometric invariant theory quotients
在特征为零的域上固定一个方案$X$，该域具有约化代数群$G$的作用。给出了$X$上的$G$ -等变相干层或$X$上的$G$ -等变相干层的上界复形降为好商$X//G$的充要条件.这给出了$X//G$的凝聚导出范畴作为$X$的等变导出范畴的容许子范畴的描述。
The geometric K-theory of quotient stacks
本文将几何K-理论的构造精化至任意excellent基上商叠的有理K-理论，证明其是该叠K-理论内蕴分解的一部分，并建立了便于计算的诸多性质。
The chow weight structure for geometric motives of quotient stacks
本文在任意系数下为商栈[X/G]的几何动机导出范畴构造了Chow权结构，并证明其核恢复Chow动机范畴。
Resolution for Sheaf of Differential Operators on Smooth Free Geometric Quotient of Linear Action of Algebraic Group
本文给出了代数群的自由线性作用的光滑几何导数上的微分算子层的整体分解。我们决议的条款涉及对称和交替权力的向量丛很容易构造几何代数群和向量空间上的行为。
Geometric construction of quotients $G/H$ in supersymmetry
第一作者和Zubkov [13]证明了给定特征$\ne 2$的任意域上的仿射代数超群$\mathbb{G}$和闭子超群$\mathbb{H}$，fppf拓扑中的faisceau $\mathbb{G} \tilde{/} \mathbb{H}$是超方案，因此实际上是商超方案$\mathbb{G}/\mathbb{H}$，它具有理想的性质。我们通过直接构造后一个超模式$\mathbb{G}/\mathbb{H}$来证明这一点。我们的证明明确地描述了$\mathbb{G}/\mathbb{H}$的结构层，并揭示了商的一些新的几何特征，其中包括Brundan [2]所希望的特征，并且在这里首次给出了一般性的特征.
Variations of geometric invariant quotients for pairs, a computational approach
研究了由超曲面和超平面构成的对偶的GIT紧化。我们提供了一个通用设置来表征导致不同GIT商的所有极化。此外，我们描述了一个有限集单参数子群足以确定任何GIT商的稳定性。我们刻画了非稳定和严格半稳定对的所有极大轨道，以及严格半稳定对的极小闭轨道。我们的构造给出了Fano和Calabi-Yau超曲面的对数光滑对空间的自然紧化。
Towards the affine and geometric invariant theory quotients of the Borel moment map
本文研究了Borel矩映射$(r,s,i,j)\mapsto [r,s]+ij$，给出了构造几何不变理论（GIT）矩阵$μ_B^{-1}(0)/\!\!/_{\det}B$和$μ_B^{-1}(0)/\!\!/_{\det^{-1}}B$以及仿射商$μ_B^{-1}(0)/\!\!/B$的算法.我们还提供了一个洞察的奇异轨迹的$2^n$不可约组件的$μ_B$。最后，类似于Hilbert-Chow态射，我们讨论了Borel集的GIT商是奇点的奇点的分解。
Variation of Geometric Invariant Theory Quotients
几何不变理论给出了一种方法，用于构造代数簇上的群作用的等价物，代数簇在许多情况下表现为参数化几何对象（向量丛、极化簇等）的同构类的模空间。商取决于一个充分的线性化线丛的选择。如果两个选择产生相同的结果，则它们是等价的。先验地，有无限多的选择，因为有无限多的同构类的线性化的样本线丛。因此，几个基本问题自然产生。等价类的集合以及非同构的等价类的集合是有限的吗？在等价类的变化下，商是如何变化的？本文在约化代数群在非奇异投射代数簇上作用的情况下，对这些问题给出了部分回答。我们将证明，在给出射影几何等价的丰富的线丛中，只有1000个等价类。这些类在欧几里得空间中的某个凸锥中跨越某些凸子集（腔室）;当我们穿过一堵墙将一个腔室与另一个腔室分开时，相应的商经历了类似于Mori翻转的双有理变换。
Cohomology pairings on singular quotients in geometric invariant theory
本文将给出几何不变理论代数的交上同调中的互补维数的交上同调类的配对公式，其中半稳定性不一定与稳定性相同（尽管我们对作用作了一些较弱的假设）。我们还给出了公式相交配对的决议的奇异性（或更准确地说，部分决议，因为orbifold奇异性是允许的）的conjecents。
On algebro-geometric quotients of torus-invariant subvarieties of the flag variety
本文研究了旗流形中torus不变子变种的代数几何商，通过matroid理论方法分解为薄施布特细胞，并证明了其存在性及拓扑结构。
Fundamental group of a geometric invariant theoretic quotient
设$M$是定义在代数闭域上的不可约光滑射影簇，它具有一个连通的约化仿射代数群$G$的作用，${\mathcal L}$是$M$上的$G$ -等变非常充分线丛.假设GIT商$M/\!\!/G$是非空集。证明了由有理映射$M\, \longrightarrow\, M/\!\!/G$诱导的代数基本群$π_1(M)\, \longrightarrow\, π_1(M/\!\!/G)$的同态是同构.如果$k\,=\, \mathbb C$，那么我们证明了上述有理映射$M\, \longrightarrow \, M/\!\!/G$诱导拓扑基本群之间的同构。
A ratio of integration between quotients in geometric invariant theory
设T是连通约化群G的一个极大环面，它线性作用在一个射影簇X上，使得所有半稳定点都是稳定的。本文比较了Chow类的几何不变理论商X//G上的积分与由G的李代数上的伴随表示与T的李代数上的伴随表示的商所诱导的T -等变向量丛的顶Chern类所扭曲的Chow类的某些提升的几何不变理论商X//T上的积分。我们提供了一个纯粹的代数证明，任何两个这样的积分之间的比率是一个不变的群G，它等于阶的外尔群的根系G分解成不可约根系类型$A_n$，任何自然数n。作为一个推论，我们能够通过应用辛几何中Martin的一个相关结果来消除对根系的这种限制。
Moduli spaces of decomposable morphisms of sheaves and quotients by non-reductive groups
本文将几何不变论的方法推广到自同构群为非约化的可分解层之间的同态的情形。给定群$\Aut(E)\times\Aut(F)$在Hom（E，F）上的自然作用的线性化，如果同态关于幂幺根的轨道包含在关于自同构群的自然约化子群的稳定轨迹中，则称同态是稳定的。我们遇到有效的数值条件的线性化，使相应的开集的半稳定同态承认一个良好的和投影商的意义上的几何不变理论，这个商是另外一个几何商的稳定同态。
Stratifying quotient stacks and moduli stacks
非约化线性代数群作用的几何不变理论（GIT）的最新结果允许我们分层[X/H]形式的商栈，其中X是射影概形，H是具有线性作用于X的内部分次幂幺根的线性代数群，以这样的方式，每个层[S/H]具有几何商S/H。这导致了模量堆叠的分层（例如，射影概形上的层），使得每个层具有粗糙的模空间。
Factorization Theorem for Projective Varieties with Finite Quotient Singularities
本文证明了任意两个具有有限商奇点的双有理射影簇都可以通过一个约化代数群实现为一个非奇异射影簇的两个几何GIT代数。然后，通过应用几何不变理论商的变分理论（[3]），我们证明了它们是由一系列GIT跨壁翻转相关的。
Quotients of affine spaces for actions of reductive groups
本文研究了约化群在仿射空间上的作用。我们证明了群的特征标空间上存在一个扇形结构，它参数化了可能的不变子。在本文的后半部分，我们研究了这些同调元的各种几何性质：我们计算了它们的Chow环和上同调环（如果我们在复数上工作），两者都具有有理系数。实际上，循环图是一个同构。进一步，我们构造了约化基方案上的此类同调环族，并计算了Chow环和上同调环。最后，我们证明了nef线丛的高上同调群在我们得到的几何等价物上为零。
Constructing quotients of algebraic varieties by linear algebraic group actions
本文根据Mumford的几何不变理论（GIT），讨论了在特征为零的代数闭域上的不可约簇上构造线性代数群作用的几何不变式的问题。本文调查了一些最近的工作几何不变理论和变量的品种由线性代数群行动，以及背景材料的线性代数群，芒福德的GIT和一些挑战，非还原设置提出。早期的工作的两个作者在设置的幂幺群行动扩展到处理行动的任何线性代数群。给定线性代数群H在不可约簇$X$上的作用的线性化数据，定义了稳定点的开子集$X^s$，该子集允许几何商簇$X^s/H$。我们构造了商$X^s/H$的射影完备化，通过考虑一个适当的推广的群作用的一个行动的约化群的约化包络和使用Mumford的GIT。在好的情况下，人们也可以根据还原包络的稳定性（在还原群的芒福德意义上）计算稳定轨迹$X^s$。
The Decomposition Theorem and the Intersection Cohomology of Quotients in Algebraic Geometry
本文将交上同调的分解定理应用于几何不变论商，将商的交上同调与作用量的半稳定点的交上同调联系起来。设一个连通的约化复代数群$G$线性作用在复射影簇$X$上.证明了：若$1 \to N \to G \to H \to 1$是连通约化群的短正合序列，$X^{ss}$是$N$作用于$X$的半稳定点集，则几何不变理论商$X^{ss}//N$的$H$ -等变交上同调是$X^{ss}$的$G$ -等变交上同调的直和项.
Geometric Invariant Theory via Cox Rings
我们考虑了约化群在一类具有非生成Cox环的簇上的作用，例如，在射影空间的乘积上的对角作用的经典情形。给定这样一个行动，我们通过组合数据的Cox环的所有最大的开子集，使商是quasiprojective或嵌入到一个环面品种。作为应用，我们得到了一个明确的描述的腔室结构的线性化的样本锥和几个Gelfand-MacPherson型对应关系约化群的代数与环面作用的代数。此外，我们的方法提供了许多由此产生的商空间的几何信息。
Arrangements, multiderivations, and adjoint quotient map of type ADE
本文的第一部分是关于超平面排列的对数向量场层的代数几何方面的综述。第二部分证明了ADE型伴随商映射的相对de Rham上同调（二次）与某些多重导子的模自然同构。同构由Kostant-Kirillov形式的Gauss-Manin导数得到。
Relative Geometric Invariant Theory: Reductive and Non-reductive
本文通过构造良好商并给出希尔伯特-芒福德描述，统一处理约化与非约化群作用的几何不变量理论，并应用于不稳定对象模空间、带重数箭图表示及射流。
Variation of geometric invariant theory quotients and derived categories
本文研究了几何不变理论中线性化的变化所涉及的规范Landau-Ginzburg模型的因子分解的导出范畴之间的关系。在变分的假设下，我们证明了导出范畴通过半正交分解是可比较的，并描述了互补成分。我们还验证了一个问题所提出的Kawamata：我们表明，$D$ -等价和$K$ -等价符合这样的变化。结果被应用于获得一个简单的归纳描述的导出范畴的相干层投射复曲面Deligne-Mumford堆栈。这恢复了川俣定理，即所有投射复曲面Deligne-Mumford堆栈都有完整的例外集合。利用类似的方法，我们证明了稳定的加权有理曲线的Hassett模空间也具有完全例外集。作为最后的应用，我们将展示我们的结果如何恢复Orlov的$σ$ -模型/Landau-Ginzburg模型对应。
Quotients and invariants of AS-sets equipped with a finite group action
利用实代数集在有限群G作用下的几何商，构造了GAS集关于AS-图的等变同胚的不变量，包括值在Z中的加法不变量.
Towards non-reductive geometric invariant theory
研究了代数群在光滑射影簇X上的线性作用。一个指导性的目标，我们是要了解的上同调的“同调”下这样的行动，通过推广（从还原到非还原群作用）现有的方法，涉及芒福德的几何不变理论（GIT）。我们专注于幂幺群H的作用，并定义了稳定点X^s和半稳定点X^{ss}的集合，它们通常可以通过还原GIT方法显式计算，在还原作用的情况下，它们还原为Mumford的标准定义。我们将这些与文献中的定义进行比较。结果包括：（1）确定不变量环是否是非线性生成的几何准则，（2）X^s的几何商的存在性，以及（3）X^{ss}的规范“包络商”簇的存在性，记为X//H，其中（4）有一个由还原GIT商给出的射影完备化，（5）自身是射影的，并且当k[X]^H是n-生成的时，同构于Proj（k[X]^H）。
Compact Kaehler quotients of algebraic varieties and Geometric Invariant Theory
给定复约化李群G在正规簇X上的作用，我们证明了X的每个解析Zerkiki-开子集都是关于X上某个G-线性化Weil因子的半稳定点集，且X上的每个解析Zerkiki-开子集都具有一个具有射影商空间的解析Hilbert商.应用这一结果的代数簇上的哈密顿作用，我们证明了半稳定性的动量映射是等价的GIT-半稳定性的意义上的芒福德和豪森。由此可知，给定代数哈密顿G簇的紧动量映射子的个数是有限的。作为进一步的推论，我们得到了具有紧Kaehler商的簇的投影性判据.此外，作为我们讨论的副产品，我们给出了一个完整的凯勒非投影代数曲面的例子，这可能是独立的利益。
On some Quotients Modulo Nonreductive Groups
本文证明了射影空间上某些类层态射空间的几何逆的存在性，模是自同构自同构群的典范作用。
Projective completions of graded unipotent quotients
本文的目的是证明经典几何不变理论（GIT）对于具有分次幂幺根的非约代数群$H$在射影概形$X$上的线性作用有一个有效的类比.这里$H$的线性作用需要扩展到半直积$\hat{H} = H \rtimes \mathbb{G}_m$与乘法单参数群，该乘法单参数群作用在$H$的幂幺根$U$的李代数上，所有权严格为正，并且集中了$H$的Levi子群$R \cong H/U$。我们证明了$X$有一个$H$不变的开子概型（“帽稳定轨迹”），它具有由$H$作用的几何商。这个几何商有一个射影完备化，它是$X$与仿射线乘积的爆破的开子概型的$\hat{H}$的范畴商（实际上是一个好商）;通过额外的爆破，可以得到本身是几何商的射影完备化。此外，利用Hilbert-Mumford准则结合显式blow-up构造，可以有效地描述$X$的帽子稳定轨迹以及$X$与仿射线乘积的blow-up的相应开子集.应用包括在固定的非奇异射影概形上的固定的Harder-Narasimhan型的层和Higgs丛的模空间的构造，以及固定奇异的不稳定的射影曲线的模空间的构造。最近，第一和第四作者将约化GIT超曲面的上同调理论推广到本文所研究的非约化情形，并用它证明了次数上有多项式界的一般射影超曲面的Green-Griffiths-Lang和Kobayashi双曲性定理。
On the GIT quotient of Grassmannians by one dimensional torus
本文研究格拉斯曼流形在对应单根的一维环面作用下的GIT商结构，利用外尔群组合刻画半稳定轨迹，分析轨道结构并计算相关几何不变量。
Geometric Invariant Theory based on Weil Divisors
给定约化群在正规簇上的作用，构造了所有允许良商与拟投射或除商空间的不变开子集。我们的方法扩展了已知的结构，如芒福德的几何不变理论。我们得到了几个新的Hilbert-Mumford型定理，并将Bialynicki-Birula和Swiecicka关于具有半单群作用的簇的射影准则从光滑推广到奇异情形.
The Complex Ball-quotient Structure of the Moduli Space of Certain Sextic Curves
从Deligne-Mostow理论和K3曲面的周期两个角度研究了一类奇异重数为3的六次曲线的模空间.在这两种情况下，我们都可以通过复双曲球的算术代数来描述模空间。我们在定理7.4中证明了两个球商结构可以用几何的方式统一起来。
Homogeneous Coordinates and Quotient Presentations for Toric Varieties
推广锥投射环面品种，我们提出了任意环面品种作为准仿射环面品种的继承人。这样的商表示对应于生成拓扑的Weil因子组。包含Cartier因子的组定义自由因子，而$\QQ$ -Cartier因子定义几何因子。每个商表示产生齐次坐标。使用齐次坐标，我们表示拟相干层的多阶模和描述的一组态射到一个环面品种。
Compactifications defined by arrangements I: the ball quotient case
定义了球商中排列补的自然紧化。我们表明，当这个补充有一个模空间的解释，那么这种紧化往往是一个自然出现的几何不变理论。我们用光滑四次曲线和有理椭圆曲面的模空间来说明这一点。
Proper triangular Ga-actions on A^4 are translations
本文描述了特征为0的域上的Noether正规基概型X上的局部平凡A^3-丛上的真局部可三角化的可加群作用的几何逆元的结构。在dim X=1的情况下，我们特别证明了每个这样的作用是一个平移，其几何商同构于X上秩为2的向量丛的全空间。因此，特征为0的域上的仿射4空间A^4上的每个真可三角化的Ga作用都是一个与A^3同构的几何商平移。
Moments and Large Geometric Monodromy for Linearly Constrained Kloosterman Families
本文确定了线性约束 Kloosterman 族的顶权层的连通几何幺正群，通过四阶矩恒等式和射影射线论证，在无需有限群分类的情况下证明其为特殊线性群 SL_r(n)。
Stability conditions on free abelian quotients
研究光滑射影簇在有限阿贝尔群自由作用下的商簇上的斜率稳定向量丛和Bridgeland稳定性条件，证明了覆盖上的G不变几何稳定性条件与商簇上关于群表示的对偶群不变的几何稳定性条件之间的解析同构，并应用于描述自由阿贝尔商簇稳定性流形中的连通分支。
Geometric invariant theory for graded unipotent groups and applications
设$U$是复数上的分次幂幺群，在这个意义上它有乘法群的扩张$\hat{U}$，使得乘法群在$U$的李代数上的共轭作用的所有权严格为正。给定$U$在一个射影簇$X$上的任何作用，延伸到一个$\hat{U}$的作用，该作用相对于$X$上的一个样本线丛是线性的，那么只要人们愿意用一个张量幂来代替线丛，并通过一个适当的（理性）的特点，并提供了一个额外的条件是满足这是在经典GIT的条件，不应该有严格的半稳定点的行动，证明了$\hat{U}$ -不变量构成一个半生成的分次代数，并且证明了从$X$的半稳定子集到包络商的自然射是满射的，并将包络商表示为半稳定子集的几何商.应用这个结果，用$X$与射影线的乘积代替$X$，我们得到一个射影簇，它是$X$与仿射线的乘积的不变开子集的$\hat{U}$的几何商，并且包含$X$的U-不变开子集的几何商作为开子集，该几何商通过$U$的作用。此外，$X$的这些开子集及其与仿射线的乘积可以使用类似于经典GIT中的Hilbert-Mumford准则的准则来描述。
Quotients of MGL, their slices and their geometric parts
设$x_1, x_2,\ldots$是Lazard环$\mathbb{L}^*=MU^{2*}$的齐次多项式生成元系，$MGL_S$表示基模式$S$上的运动稳定同伦范畴中的Voevodsky代数配边谱，$S$在域$k$上本质光滑.根据Voevodsky切片塔的第0个切片$s_0MGL_S$与$MGL_S/(x_1, x_2,\ldots)$的Hopkins-Morel-Hoyois同构（在反转$k$的特性之后），Spitzweck将$MGL_S$的剩余切片计算为$s_nMGL_S=Σ^n_TH\mathbb{Z}\otimes \mathbb{L}^{-n}$（同样，在反转$k$的特性之后）。我们应用Spitzweck的方法来计算切片的商谱$MGL_S/(\{x_i:i\in I\})$ $I$的任意子集的$\mathbb{N}$，以及模$p$版本$MGL_S/(\{p, x_i:i\in I\})$和本地化相对于一个系统的均匀元素在$\mathbb{Z}[\{x_j:j\not\in I\}]$。在情况下$S=\text{Spec}\, k$，$k$领域的特征零，我们应用这表明，$\mathcal{E}$的本地化的商$MGL$如上所述，有一个自然的同构的理论与支持\[ Ω_*(X)\otimes_{\mathbb{L}^{-*}}\mathcal{E}^{-2*,-*}(k)\t…
Torsion points on Fermat quotients of the form $y^n = x^d + 1$
我们对费马矩阵$y^n = x^d + 1$上的所有几何扭点进行了分类，其中$n, d \ge 2$是互质的.此外，我们分类所有的几何扭转点上的一般超椭圆曲线$y^n = (x - a_1) \cdots (x - a_d)$，推广Poonen和Stoll，谁认为超椭圆$n = 2$的情况下的结果。
Quotient Spaces Modulo Algebraic Groups
证明了若一个约化群概型适当作用于一个概型，则几何商作为一个代数空间存在。从而得到了Spec Z上正则极化簇模空间的存在性。
The CompGIT package: a computational tool for Geometric Invariant Theory quotients
本文介绍了 SageMath 软件包 CompGIT，用于计算射影空间在单群作用下的几何不变理论（GIT）商，描述了非稳定、不稳定及严格多稳定轨迹，并探讨了其在代数几何中的应用与未来发展方向。
Variation of Non-reductive Geometric Invariant Theory
还原GIT商对线性化选择的依赖性的壁室结构是众所周知的。在这篇文章中，我们首先给出了一个简短的调查非还原GIT，适用于当幂幺根是"分次"的最新结果。然后，我们检查依赖这些非还原的线性化和一个额外的参数，选择单参数子群分级的幂幺根，并得出一个类似的图片还原的。
Quotients by Groupoids
我们表明，如果一个平坦的群计划的行为适当，有限的稳定器，在一个代数空间，那么一个商存在作为一个单独的代数空间。更一般地说，我们表明任何平坦群的家庭的稳定是有限的有一个统一的几何，统一的范畴的代数空间的商。我们的论点是基本的，基本上是自成一体的。
A^1-homotopy groups, excision, and solvable quotients
本文研究了A^1-同伦群的一些性质：连通性的几何解释，切除结果，以及A^1-同伦理论意义下连通可解群在覆盖空间上的自由作用对同伦项的重新解释.这些概念和结果非常适合于通过几何不变量理论来研究某些连续性。作为可解群簇几何的一个研究案例，我们研究光滑环面簇的A^1-同伦群。我们给出了保证光滑（真）复曲面簇的低次A^1-同伦群为零的简单组合条件（用扇形表示）。最后，在某些情况下，我们实际上可以计算光滑复曲面簇的“下一个”非零A^1-同伦群（超过π_1^{A^1}）。从这个观点来看，A^1-同伦理论，即使对代数几何结构极其敏感，对于大类有趣的簇来说，几乎和普通同伦一样“容易处理”（在低次上）。
Geometric Invariant Theory and Einstein-Weyl Geometry
本文综述了复曲面簇的几何不变量理论，并给出了它在Einstein-Weyl几何中的应用。我们计算的Minitwistor空间的本田度量的图像作为一个分类商根据最有效的线性化。其结果是复加权射影空间CP_（1，1，2）。我们还找到并分类所有可能的替代品。
Categorical quotients for actions of groupoids on varieties
本文证明不可数基域上Weyl群胚对仿射簇作用的几何商在k-概形范畴中万有，通过改编Mumford等人的结果并利用闭点和Jacobson概形。
Cohomologie non ramifiée de degré 3 : variétés cellulaires et surfaces de del Pezzo de degré au moins 5
我们考虑了特征为零的任意域上的几何胞腔簇$X$。研究了第三类非分歧上同调群$H^3_{nr}(X,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$的常数部分的商.对于$X$，一个光滑紧化的泛torsor在一个几何有理曲面上，我们证明了这个商是有限的。对于$X$ a del Pezzo曲面的次数为$\geq 5$，我们证明了这个商为零，除非$X$是一个del Pezzo曲面的次数为8的特殊类型。
A note on smooth quotients of Prym varieties
该文研究平展二重覆盖的Prym簇上几何起源伪反射，证明g≥4时此类伪反射阶为2，推出g≥5时对应非平凡有限群仅为ℤ/2ℤ或(ℤ/2ℤ)²（后者仅g≤7时存在），改进了已有结果。
Toward a geometric construction of fake projective planes
给出了一个射影曲面成为伪射影平面商的判别准则。我们也给出了详细的信息，椭圆纤维化的$(2,3)$ -椭圆曲面，这是一个伪射影平面的商的最小分辨率。作为结果，我们给出了只具有尖点的${\mathbb Q}$ -同调射影平面的一个分类.
Bloch's conjecture for surfaces with involutions and of geometric genus zero
设$S$是一个具有$p_g=0$的光滑射影曲面，$ι$是作用在$S$上的正则对合，$W$是商曲面$S/ι$的奇点的分解.本文证明了Bloch猜想对曲面$S$成立当且仅当它对曲面$W$成立.这产生Bloch的猜想为所有的表面$S$时，同样的猜想是正确的去奇异商$W$。特别是，布洛赫猜想适用于所有数值Godeaux表面与对合，“一半”Campedelli表面与对合，表面的Craighero和Gattazzo，一些Catanese表面和其他例子。将同样的方法应用到$K3$ -曲面上，证明了如果$K3$ -曲面$S$中存在一个商为Enriques型的正则对合，则原动机$M(S)$是有限维的.
Moduli spaces for $Θ$-strata and non-reductive quotients
本文利用过滤栈和分级栈给出了关于分级幂零群作用几何商存在性的$\hat{U}$-定理的新证明，并将其推广至任意特征、族中作用及一般$Θ$-层。
Relative Dolbeault Geometric Langlands via the Regular Quotient
本文针对仿射齐性球面簇$X=T^*X$的Dolbeault情形提出相对几何朗兰兹猜想，以正则商理论为工具在多类对称空间情形下验证猜想，推广了Hitchin的膜对偶猜想。
Height on GIT quotients and Kempf-Ness theory
本文在几何不变论（GIT）的意义下研究了商簇的高度。我们概括了一个建设的Burnol和我们概括了不同的下界的高度半稳定点由于博斯特，张，Gasbarri和陈。为了证明Burnol公式的高度上的商，我们开发了一个肯普夫-奈斯理论的设置Berkovich解析空间，完成了以前的工作Burnol。
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