A sufficient condition for visibility paths in simple polygons
本文给出了简单多边形中可见路径的一个充要条件的简单证明。可见性路径是一条曲线，使得简单多边形内的每个点都至少从路径上的一个点可见。这个结果对于寻找简单多边形内的最短守望者路线是必不可少的，特别是当路线被限制为曲线路径时。
2022-12-02 cs.CG
The Visibility Center of a Simple Polygon
我们引入多边形内一组点的\emph{visibility center}-一个点$c_V$，使得从$c_V$到该组中任何点的最大测地距离最小化。对于一个由$n$顶点和一组$m$点组成的简单多边形，我们给出了一个寻找可见性中心的$O((n+m) \log {(n+m)})$时间算法。我们在$O(n \log n)$时间内找到了简单多边形中\emph{all}点的可见中心。我们的算法减少了可见性中心的问题，找到一组半多边形内的多边形，这是独立的利益的测地线中心的问题。我们给出了该问题的一个$O((n+k) \log (n+k))$时间算法，其中$k$是半多边形的个数.
2022-12-04 cs.CG
An improved judgement algorithm of point in-out convex polygons
提出了一种通过垂线的交点判断点在简单凸多边形内外的方法。它将点确定为两条直线围成的区域，从而将点在凸多边形内外的判定问题转化为点在四边形内外的判定问题。该算法的复杂度为O（1）到O（n）。实验结果表明，该算法具有较少的交集，大大提高了判断的效率。
2022-06-06 cs.CG
Geodesic Fréchet Distance Inside a Simple Polygon
我们推出了一个诱人的替代参数搜索，适用于非测地线和测地线Fréchet优化问题。这种随机化方法是基于红-蓝交叉点的一种变体，与参数搜索相比，它的优雅和实用效率很有吸引力。我们提出了两个多边形曲线之间的测地线Fréchet距离的第一个算法$A$和$B$内的一个简单的边界多边形$P$。测地线Fréchet决策问题的求解速度几乎与其非测地线同胞一样快，并且在$O(k)$预处理之后需要$O(N^{2\log k)$时间和$O(k+N)$空间，其中$N$是$A$和$B$的复杂度中较大的一个，$k$是$P$的复杂度。在$O(k+N^{2\log kN\log N)$期望时间和$O(k+N^{2)$空间中用随机方法求解测地线Fréchet优化问题.这个运行时间只比标准的非测地线Fréchet算法大一个对数因子（Alt and Godau 1995）。结果还提出了测地Fréchet距离在一个多边形域的障碍和测地Hausdorff距离套点或套线段内的一个简单的多边形$P$。
2008-02-20 cs.CG cs.DS
Self-approaching paths in simple polygons
我们研究包含在一个简单的多边形的自逼近路径。自接近路径是连接两个点的有向曲线，使得沿着该路径移动的点与任何未来位置之间的欧几里得距离不增加，即，对于沿着曲线$|ac| \ge |bc|$以该顺序出现的所有点$a$、$b$和$c$。我们分析的性质，并提出了最短的自逼近路径的一个特征。特别是，我们表明，一个最短的自我接近的路径连接两个点内的多边形可以被迫使用一般类的非代数曲线。虽然这使得它很难设计一个精确的算法，我们展示了如何找到一个自我接近的路径内的多边形连接两个点的计算模型下，假设我们可以计算渐开线曲线的高阶。最后，我们给出了一个算法来测试一个给定的简单多边形是否是自逼近的，也就是说，是否存在一个自逼近路径的任何两个点内的多边形。
2017-03-17 cs.CG
Space-efficient Algorithms for Visibility Problems in Simple Polygon
给定一个由$n$顶点组成的简单多边形$P$，研究了空间有效算法的设计问题：（i）计算$P$内点的可见多边形，（ii）计算$P$内线段的弱可见多边形，（iii）计算$P$内点对之间的最小连接路径.对于问题（i），提出了两个算法。第一种是就地算法，其中输入数组可能会丢失。它只使用O（1）的额外空间，除了输入数组。第二个假设输入是在只读数组中给出的，它需要$O(\sqrt{n})$额外的空间。这两个算法的时间复杂度都是O（n）。对于问题（ii），我们假设输入多边形是在只读数组中给出的。我们提出的算法运行在$O(n^2)$时间使用O（1）额外的空间。对于问题（iii），我们提出的算法的时间和空间复杂度分别为$O(kn)$和O（1）; $k$是给定的点对之间的最小链接路径的长度（链接的数量）。
2012-04-12 cs.CG
Convex Covering Using Collections of Convex Polygons and Set Cover
针对带孔凸多边形的凸覆盖问题，本文提出先收集大凸多边形再求解多个集合覆盖问题的启发式算法，并在CG:SHOP 2023挑战赛中获得第二名。
2025-06-19 cs.CG
The geodesic edge center of a simple polygon
多边形的测地边中心是多边形内的点c，它使c到多边形任何边的最大测地距离最小，其中测地距离是多边形内的最短路径距离。给出了一个求简单多边形测地线中心的线性时间算法。这改进了Lubiw和Naredla以前的O（n log n）时间算法[欧洲算法研讨会，2021]。该算法建立在Pollack、Sharir和Rote [离散和计算几何，1989年]提出的一种寻找简单多边形测地顶点中心的算法以及Ahn、Barba、Bose、De Carufel、Korman和Oh [离散和计算几何，2016年]对线性时间的改进之上。从多边形的测地线最远边沃罗诺伊图可以很容易地找到测地线的边中心。虽然测地线最近边沃罗诺伊图（中轴）可以在线性时间中找到，但在线性时间中找到沃罗诺伊图是一个悬而未决的问题。作为测地边中心算法的第一步，我们给出了一个线性时间算法来寻找限制在多边形边界上的测地最远边沃罗诺伊图。
2023-03-21 cs.CG
On Guarding Orthogonal Polygons with Sliding Cameras
正交多边形$P$内的滑动摄像机是一名控球后卫，它沿着$P$中的正交线段$P$来回移动。如果从$p$到$γ$的垂线在$P$内部，则滑动摄像机$g$可以看到$P$中的点$p$。本文给出了最少滑动摄像机数保护$P$问题的第一常数因子近似算法。接下来，我们证明了滑动警卫问题是线性时间可解的，如果（适当定义）的对偶图的多边形有界树宽。最后，我们研究了滑动摄像机的画廊定理，从而给出了相对于顶点数$n$所需的保护数的上界和下界。
2016-04-25 cs.CG
Exact VC-dimension for $L_1$-visibility of points in simple polygons
VC维在有效保护美术馆的算法问题中起着重要的作用。我们证明了在一个简单的多边形内，大多数$5$点可以被$L_1$ -可见多边形粉碎，并给出了一个例子，其中5点被粉碎。VC维正好是$5$。上界的证明思想与以往的方法不同。关键词：画廊，VC维，$L_1$ -可见性，多边形
2017-05-04 cs.CG
Simple Agents Learn to Find Their Way: An Introduction on Mapping Polygons
本文介绍了利用自主智能体进行简单多边形映射的问题。我们专注于极简代理，从顶点到顶点沿着直线在多边形内移动，使用他们的传感器收集在每个顶点的本地观测。我们的注意力围绕的问题是否一个给定的配置传感器和移动能力的代理允许他们捕捉足够的数据，以得出结论的多边形的全球布局。特别是，我们研究了一个简单的多边形的可见性图重建的问题，无论是内部或多边形的边界上移动的代理。我们的目标是提供洞察力的代理试图映射多边形所面临的算法挑战。我们提出了一个概述的技术，用于解决这个问题的代理，配备了简单的感觉能力。我们用传感器来说明这些技术，传感器可以测量视线之间的角度或识别先前的位置。我们给出了一个概述，在组合几何以及图形探索的相关问题。
2012-02-16 cs.CG
Circle packing in regular polygons
研究了正多边形内大量全等且不重叠的圆的堆积问题。我们已经设计了有效的算法，允许一个生成配置的$N$密集的圆内的一个正多边形，我们已经进行了密集的数值实验，跨越几个多边形（最大数量的方面考虑在这里被$16$）和$200$圆（$400$圆的特殊情况下的等边三角形和正六边形）。我们已经发现的一些配置可能不是填充分数的全局最大值，特别是对于$N \gg 1$，由于该问题的计算复杂性很大，但尽管如此，它们应该在给定的$N$下为填充分数提供良好的下限。这是第一个系统的数值研究包装的正多边形，以前只进行了等边三角形，广场和圆形。
2022-12-23 cond-mat.soft cs.CG
On the Complexity of Half-Guarding Monotone Polygons
我们考虑一个变种的艺术画廊的问题，所有的警卫仅限于看到一个单调的多边形内的权利。我们称这种守卫为：半守卫。我们提供了一个多项式时间近似点守卫整个单调多边形。我们将最好的近似40从[11]改进为8。我们还提供了一个NP-硬度减少点守卫一个单调的多边形与半后卫。
2022-04-27 cs.CG
The robot skin placement problem: a new technique to place triangular modules inside polygons
Tsinghua University（清华大学）；University of Genoa（热那亚大学）
为机器人提供大规模的机器人皮肤是一个具有挑战性的目标，特别是在考虑具有不同形状和曲率的表面时。这个问题源于触觉感知的技术进步，特别是两个要求：（i）用触觉传感器覆盖机器人表面的最大可能区域，以及（ii）使用廉价的可复制硬件模块。给定特定形状的模块，最佳放置它们的问题需要最大化可以固定在所选机器人身体部位上的模块的数量。与基于受计算几何启发的方法（例如，包装），我们提出了一种新的布局设计方法的灵感来自物理的见解，称为迭代放置（ItPla），安排模块，如果物理力作用在他们身上。从文献中的一些案例研究被认为是评估算法。
2017-11-28 cs.CG cs.RO
A New Balanced Subdivision of a Simple Polygon for Time-Space Trade-off Algorithms
我们有一个只读存储器用于输入，一个只写流用于输出。对于正整数参数s，s-工作空间算法是除了用于输入的存储器之外仅使用工作空间的$O(s)$字的算法。本文提出了一种$O(n^2/s)$ -时间$s$ -工作空间算法，用于将简单多边形细分为复杂度为$O(\max\{n/s,s\})$的$O(\min\{n/s,s\})$子多边形.作为细分的应用，对以下三个几何问题的时空权衡问题进行了改进：（1）计算简单$n$ -边形内两点间的最短路径，（2）计算简单$n$ -边形内一点的最短路径树，（3）计算简单$n$-边形的三角剖分.此外，我们进一步改进了第二个问题的算法。
2018-04-10 cs.CG
Visibility Graphs, Dismantlability, and the Cops and Robbers Game
我们研究版本的警察和强盗的追求逃避游戏的可见性图的多边形，和多边形内的直边和曲边。每个玩家都有关于另一个玩家位置的完整信息，玩家轮流，当警察到达与抢劫犯相同的地点时，抢劫犯被抓获。在可见性图中，我们表明警察总是可以赢，因为可见性图是可识别的，这是有趣的，因为可见性图与其他已知的图形类的少数结果之一。我们扩展这表明，警察赢得游戏中，玩家沿着直线段内的任何多边形，更一般地说，内任何简单连接的平面区域有一个合理的边界。从本质上讲，我们的问题是一种追求逃避使用的链接度量，而不是欧几里德度量，我们的结果提供了一类有趣的无限cop-win图。
2016-01-06 cs.CG
Near Optimal Line Segment Weak Visibility Queries in Simple Polygons
本文考虑了在给定的简单多边形P内计算任意查询线段pq（或WVP（pq））的弱可见性多边形（WVP）的问题。我们提出了一种算法，该算法对P进行预处理并创建一个数据结构，从该结构中以输出敏感的方式有效地报告WVP（pq）。我们的算法在预处理阶段需要O（n^2 log n）的时间和O（n^2）的空间来报告任何查询线段pq的WVP（pq），时间为O（log^2 n +| WVP（pq）|).我们提高了预处理时间和空间的当前结果为这个问题的代价更多的查询时间。
2013-09-30 cs.CG
Weak Visibility Queries of Line Segments in Simple Polygons and Polygonal Domains
在本文中，我们考虑的问题，计算弱可见多边形的任何查询线段$pq$（或$WVP(pq)$）内一个给定的多边形$P$。我们的第一个非平凡的算法运行在简单的多边形，并需要$O(n^3 \log n)$时间和$O(n^3)$空间在预处理阶段报告$WVP(pq)$的任何查询线段$pq$的时间$O(\log n + |WVP(pq)|)$。我们还给出了一个算法来计算一个查询线段的弱可见性多边形在一个非简单的多边形与$h$成对不相交的多边形障碍与$n$顶点总数。该算法在预处理阶段需要$O(n^2 \log n)$时间和$O(n^2)$空间，在查询时间为$O(n\hbar \log n + k)$时计算$WVP(pq)$，其中$\hbar$是至多$\min(h,k)$的输出敏感参数，$k = O(n^2h^2)$是输出大小.这是迄今为止关于这个问题的最佳查询时间结果。
2013-10-27 cs.CG
Peeling potatoes near-optimally in near-linear time
本文考虑如下几何优化问题：求一个包含在给定的具有$n$顶点的简单多边形$P$中的面积最大的凸多边形。我们给出了一个随机的近线性时间$(1-\varepsilon)$近似算法：在$O(n( \log^2 n + (1/\varepsilon^3) \log n + 1/\varepsilon^4))$时间，我们找到一个凸多边形包含在$P$，概率至少$2/3$，面积至少$(1-\varepsilon)$倍的最优解的面积。我们也得到了类似的结果计算$P$内的凸多边形的最大周长的变体。为了实现这些结果，我们提供了新的几何概率的结果。第一个结果是与$P$内随机均匀选择的两个点相互可见的概率和$P$内最大凸体的面积相关的界限。第二个结果是任何平面凸体$K$的周长与$K$内部均匀随机样本的凸包的周长之间的差的期望值的界限。
2017-10-14 cs.CG cs.DS math.MG
A Coreset for Approximate Furthest-Neighbor Queries in a Simple Polygon
本研究针对简单多边形内的近似最远邻查询问题，证明存在大小为O(1/ε²)的核集，可支持存储需求与点集规模无关的ε-近似查询，并给出了相应的核集构建时间复杂度。
2024-03-07 cs.CG
On $r$-Guarding Thin Orthogonal Polygons
保护多边形是计算几何中的一个古老而又深入研究的问题。这里我们考虑以下变体：我们假设多边形在某种意义上是正交的和薄的，并且我们考虑一个点$p$来保护一个点$q$当且仅当由$p$和$q$跨越的最小轴对齐矩形在多边形内部。一个简单的证明表明，这个问题是NP-困难的正交多边形与洞，即使多边形是薄的。如果没有洞，那么薄多边形就变成树多边形，因为所谓的多边形的对偶图是树。众所周知，对于树多边形来说，找到$r$ -guards的最小集合是多项式，但运行时是$\tilde{O}(n^{17})$。我们在这里表明，使用不同的方法，运行时间变成线性的，回答了Biedl等人提出的问题。（SoCG 2011）。此外，该方法更通用，允许指定要保护的点的子集和要使用的保护，并且它推广到具有$h$孔或厚度$K$的多边形，在$h+K$中变得固定参数易处理。
2016-04-25 cs.CG
An Algorithm for Computing Constrained Reflection Paths in Simple Polygon
设$s$为$P$内的源点，$t$为$n$ -顶点简单多边形内的目的点。$P$内部的$s$和$t$之间的欧氏最短路径和最小链路路径已经得到了很好的研究。这两种路径都是简单的分段凸路径。然而，在漫反射或镜面反射的情况下计算最佳路径似乎并不是一件容易的事情。从光源$s$到$P$内部的$t$的路径被称为漫反射路径，如果该路径的转向点位于$P$的边界边缘的内部。如果漫反射路径在$s$和$t$之间的所有漫反射路径中具有最小数量的转向点，则该漫反射路径被认为是最优的。最小漫反射路径可能并不简单。在低次多项式时间内计算最小漫反射路径的问题仍然是一个悬而未决的问题。在我们寻求理解的几何结构的最小漫反射路径与最短路径和最小链接路径，我们定义了一种新的漫反射路径称为约束漫反射路径，其中（i）的路径是简单的，（ii）它只相交的屋檐之间的欧几里德最短路径$s$和$t$，和（iii）它相交每个屋檐正好一次。为了计算从$s$到$t$的最小约束漫反射路径，提出了一种$O(n(n+β))$时间算法，其中$β=Θ(n^2)$是最坏情况下的时间算法。这里，$β$取决于多边形的形状。我们还建立了最小约束漫反射路径和最小漫反射路径的一些性质。本文介绍的约束漫反射路径提供了新的几何见解到迄今为止未知的结构和形状的最佳反射路径。
2014-05-01 cs.CG
A Time-space Trade-off for Computing the Geodesic Center of a Simple Polygon
本文研究了工作空间有限时简单多边形测地线中心的计算问题。对于一个$n$ -顶点简单多边形，我们给出了一个时空权衡算法，找到测地线中心在$O(T(n, s) \log^2 n+ \frac{n^2}{s} \log n)$预期的时间，并使用$O(s)$额外的空间字，其中$s\in Ω(\log n) \cap O(n)$，和$T(n, s)$是所需的时间构造一个简单多边形内的一个给定的点的最短路径树，在深度优先顺序，与$O(s)$额外的空间。将Oh和Ahn（Mammica 2019）的最短路径树应用于当前已知的最佳时空权衡，我们的算法在$O(\frac{n^2}{s} \log^3 n)$预期时间内运行。
2019-08-29 cs.CG
Reachability by Paths of Bounded Curvature in a Convex Polygon
设$B$是一个在平面内运动的点机器人，其路径被约束为曲率最大为1的向前运动，并且设$P$是一个具有$n$顶点的凸多边形。给定一个初始配置（一个位置和一个方向的旅行）$B$内的$P$，我们描述的区域的所有点的$P$可以达到的$B$，并表明它具有复杂性$O(n)$。我们给出了计算该区域的$O(n^2)$时间算法。我们表明，一个点是可达的，只有当它可以达到的路径类型CCSCS，其中C表示一个单位圆弧和S表示线段。
2010-08-25 cs.CG
Polygon-Universal Graphs
我们研究了一个作图的基本问题：给定一对图$(G,C)$，图$G$和$G$中的圈$C$，以及一个简单的多边形$P$，在$P$中是否有一个$G$的直线图，它将$C$映射到$P$？我们说这样一幅$(G,C)$的图尊重$P$。我们充分刻画了这些实例$(G,C)$是通用的，也就是说，他们有一个图纸，尊重$P$任何简单的（不一定是凸的）多边形$P$。具体来说，我们确定了两个必要条件的一个实例是通用的。这两个条件都是纯粹基于图和循环距离，并且易于检查。我们证明这两个条件也是充分的。此外，如果一个实例$(G,C)$是平面的，也就是说，如果存在一个平面图的$G$与$C$的外表面上，我们表明，相同的条件保证每个简单的多边形$P$的存在一个平面图的$(G,C)$，尊重$P$。如果$(G,C)$是双泛的，那么我们的证明直接暗示了一个线性时间算法来构造一个尊重给定多边形$P$的绘图。
2021-03-11 cs.CG
Catching a Polygonal Fish with a Minimum Net
给定平面上的多边形$P$，可以在单位正方形内任意平移、旋转和放大，目标是找到一组线，使得其中至少有一条线总是命中$P$，并且线的数量最小。我们证明了解总是一个规则的网格或一组等距的平行线，其距离取决于$P$。
2021-01-12 cs.CG
On multiple connectedness of regions visible due to multiple diffuse reflections
已知从内部点$s$直接可见（可照明）的简单多边形$P$的区域$V(s)$是单连通的。Aronov等人的\cite{addpp981}确定，由于多边形$P$边界上的至多一次漫反射，从内部点$s$可见的简单多边形的区域$V_1(s)$也是单连通的。在本文中，我们建立的区域$V_2(s)$，从$s$可见，由于最多两个漫反射可能是多连通的，我们证明了一个$n$边的简单多边形与一个点$s$内的建设，使和区域$P$可见，从$s$后，最多两个漫反射是多连通的。
2003-06-02 cs.CG cs.DM cs.GR
Memory-Constrained Algorithms for Simple Polygons
恒定工作空间算法对输入数组具有只读访问权限，并且只能使用O（1）个$O(\log n)$位的附加字，其中$n$是输入的大小。我们假设一个简单的$n$ -边形由它的顶点的有序序列给出。我们证明了我们可以在$O(n^2)$时间内找到平面直线图的三角剖分。我们还考虑预处理一个简单的多边形的最短路径查询时，空间约束放松，允许$s$字的工作空间。经过$O(n^2)$时间的预处理，我们能够在$O(n^2/s)$时间内解决多边形内任意两点之间的最短路径查询。
2012-06-29 cs.CG
Single-Point Visibility Constraint Minimum Link Paths in Simple Polygons
我们解决了以下问题：给定一个简单的多边形$P$的$n$顶点和两个点$s$和$t$内，找到它们之间的最小链接路径，使一个给定的目标点$q$是可见的至少一个点上的路径。该方法是基于划分的一部分$P$到一个源点等链接距离的面数。这种划分本质上是一种最短路径映射（SPM）。本文提出了一个具有$O(n)$时间界的最优算法，其时间复杂度与标准最小链路问题的时间复杂度相同。
2021-02-28 cs.CG cs.DS
A Linear-time Algorithm for Orthogonal Watchman Route Problem with Minimum Bends
给定具有$ n $顶点的正交多边形$ P $，守望者路由问题的目标是找到$ P $中的最小长度的路径$ S $，使得多边形$ P $的每个点从$ S $的至少一个点可见。换句话说，在守望者路线问题中，我们必须计算$ n $顶点的简单多边形内的最短守望者路线，使得多边形内部及其边界上的所有点对路线上的至少一个点可见。如果路径与多边形正交，则称为正交守望者路径问题。该问题的目标之一是找到具有尽可能少的弯曲次数的正交路径。对于给定多边形为单调多边形的正交守望者路径问题，给出了一个线性时间算法。我们的算法也可用于简单正交多边形$ P $上的问题，其中由$ P $的垂直分解导出的对偶图是一条路径，称为路径多边形。
2017-08-04 cs.CG
Convex Polygon Containment: Improving Quadratic to Near Linear Time
本文研究凸多边形包含问题，提出一种新算法将 $k=3$ 时的运行时间从 $Ω(n^2)$ 改进至 $O(n$polylog $n)$，推广至一般 $k$ 实现 $O(k^{O(1/ε)}n^{1+ε})$ 时间，并证明相似副本数量新界限，反驳了先前猜想。
2024-03-20 cs.CG
Segment Visibility Counting Queries in Polygons
令$P$为具有$n$顶点的简单多边形，并令$A$为$P$内的一组$m$点或线段。我们开发的数据结构，可以有效地计数从$A$是可见的查询点或查询段的对象的数量。我们的主要目标是获得快速的（$O(\mathop{\textrm{polylog}} nm$）查询时间，同时使用尽可能少的空间。如果查询是单个点，则简单的基于可行性多边形的解决方案使用$O(nm^2)$空间来实现$O(\log nm)$查询时间。在$A$也只包含点的情况下，我们提出了一个更小的，$O(n + m^{2 + \varepsilon}\log n)$空间，数据结构的基础上的多边形的层次分解。在这些结果的基础上，我们解决了查询是线段和$A$只包含点的情况。这里的主要复杂性在于，线段可能与多边形分解的多个区域相交，并且一个点可能看到多个这样的片段。尽管有这些问题，我们展示了如何实现$O(\log n\log nm)$查询时间只使用$O(nm^{2 + \varepsilon} + n^2)$空间。最后，我们表明，我们甚至可以处理的情况下，对象在$A$段具有相同的界限。
2022-01-10 cs.CG
A Nearly Optimal Algorithm for the Geodesic Voronoi Diagram in a Simple Polygon
在n个顶点的简单多边形内的m个点站点的测地线沃罗诺伊图是将多边形细分成m个单元，每个单元一个站点，使得单元中的所有点在测地线距离下共享相同的最近站点。最著名的建造时间的下限是Omega（n + m log m），而匹配的上限是一个长期存在的开放问题。最新的构造算法实现了O（（n+m）log（n +m））和O（n+ mlog mlog^2 n）时间，分别对于m=Omega（n）和m=O（n / log^3 n）是最优的。本文给出了一个时间复杂度为O（n+m（log m+ log^2 n））的构造算法，并且在O（log n）时间内计算一个Voronoi顶点的意义下，该构造算法几乎是最优的，因此构造时间也是O（n+ mlog m）.换句话说，我们把在最佳时间内构造图的问题简化为在O（log n）时间内计算单个Voronoi顶点的问题。
2018-03-09 cs.CG
Large $k$-gons in a 1.5D Terrain
给定的是1.5D地形$\mathcal{T}$，即，$x$-$\mathbb{R}^2$中的单调多边形链。对于一个给定的$2\le k\le n$，我们的目标是近似的最大面积或周长凸多边形的确切或最多的$k$顶点内$\mathcal{T}$。对于一个常数$k>3$，我们设计了一个FPTAS，有效地近似最大的凸多边形与最$k$顶点，在一个因素$(1-ε)$。对于$k=2$的情况，我们设计了一个$O(n)$时间精确算法来计算$\mathcal{T}$中最长的线段，对于$k=3$，我们设计了一个$O(n \log n)$时间精确算法来计算$\mathcal{T}$中最大周长的三角形。
2022-06-06 cs.CG
A (7/2)-Approximation Algorithm for Guarding Orthogonal Art Galleries with Sliding Cameras
考虑在具有$n$顶点的正交多边形$P$内沿着正交线段$s$来回移动的滑动摄像机。当且仅当存在包含$p$的线段与$s$成直角相交且完全包含在$P$中时，相机才能看到$P$内的点$p$。在最小滑动摄像机（MSC）问题中，目标是以最少的滑动摄像机数量来保护$P$。本文给出了一个求解任意具有$n$顶点的简单正交多边形上的MSC问题的$O(n^{5/2})$ -时间$(7/2)$ -近似算法，回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的一个问题.据我们所知，这是第一个常数因子近似算法这个问题。
2013-09-28 cs.CG
A New Optimal Algorithm for Computing the Visibility Area of a simple Polygon from a Viewpoint
给定一个平面上由$ n $顶点组成的简单多边形$ \mathcal {P} $。我们研究的问题，从一个给定的观点$ q $内$ \mathcal {P} $只允许次线性变量的工作空间的可见性区域的计算。在没有任何内存约束的情况下，这个问题以前在$ O(n) $ -时间和$ O(n) $ -变量空间中解决。在一个较新的研究中，一个点的可见性区域可以在$ O(n) $ -时间中计算，使用$ O(\sqrt{n}) $变量作为工作空间。本文提出了一种利用$ O(c/\log n) $变量空间计算可视面积的最优时间算法，其中$ c<n $是临界顶点数。我们将算法保持在线性时间内，并尽可能地减少空间。
2018-04-05 cs.CC cs.CG cs.DS
New Hardness Results for Guarding Orthogonal Polygons with Sliding Cameras
设$P$为正交多边形。考虑沿着正交线段$s\in P$来回行进的滑动相机作为其\emph{trajectory}。如果存在点$q\in s$，使得$pq$是完全在$P$内部的垂直于$s$的线段，则摄像机可以看到点$p\in P$。在\emph{minimum-cardinality sliding cameras problem}中，目标是找到具有最小基数的滑动相机的集合$S$以保护$P$（即，$P$中的每个点都可以被某个滑动摄像机看到），而在\emph{minimum-length sliding cameras problem}中，目标是找到这样一组$S$，以便最小化$S$中的摄像机沿其行进的轨迹的总长度。在本文中，我们首先解决了最小长度滑动摄像机问题的复杂性，通过证明即使对于带孔的正交多边形，它也是多项式可处理的，回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的问题。接下来我们证明了当允许$P$有洞时，最小基数滑动摄像机问题是\textsc{NP} -困难的，这部分回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的另一个问题。
2013-03-09 cs.CG
Reconstructing a convex polygon from its $ω$-cloud
$ω$ -楔形是包含在从单个点（顶点）发出的两条射线之间的点的闭合集合，并且由角度$ω< π$分开。给定一个凸多边形$P$，我们放置$ω$ -楔形，使得$P$在楔形内，并且两条射线都与$P$相切。$ω$ -楔形的所有这样的放置的顶点位置的集合被称为$P$的$ω$ -云。我们研究重建多边形$P$从其$ω$ -云。以前的工作重建$P$从探头与$ω$ -楔需要的知识之间的相切点$P$和两个射线的$ω$ -楔除了顶点的位置。这里我们考虑仅给出最大$ω$ -云的设置。我们给出了两个条件下，它唯一地定义$P$：（i）当$ω< π$是固定/给定的，或（ii）当什么是已知的是，$ω< π/2$。我们表明，如果这两个条件都不成立，那么$P$可能不是唯一的。我们表明，当唯一性条件成立，多边形$P$可以重建$O(n)$时间与$O(1)$工作空间，除了输入，其中$n$是弧的数量在输入$ω$ -云。
2019-03-20 cs.CG
A Note on Approximating 2-Transmitters
简单正交多边形P中的k-发送器是沿着P内的正交线段s来回行进的移动守卫。如果s上存在点q使得线段pq垂直于s并且pq与P的边界相交于至多k个点，则k-发送器可以看到P中的点p。本文对保护单调正交多边形的最少2-发射机数问题给出了一个2-近似算法。
2015-12-05 cs.CG
A Straightforward Preprocessing Approach for Accelerating Convex Hull Computations on the GPU
一种加速点集凸包计算的有效策略是通过丢弃内部点来过滤输入点。在本文中，我们提出了这样一个简单而有效的预处理方法，通过利用GPU。我们的方法背后的基本思想是丢弃位于由16个端点形成的凸多边形内的点。由于点集的极值点在所有点旋转相同角度时不会发生变化，因此可以在原始点集中找到四组具有最小或最大x或y坐标的极值点。这16个端点然后用于形成凸多边形。我们检查所有输入点，并丢弃位于凸多边形内部的点。我们使用剩余的点来计算期望的凸包。实验结果表明：采用该预处理算法时，与不采用该方法的情况相比，平均加速比约为4倍~ 5倍，最佳情况下加速比约为5倍~ 6倍。此外，在大多数实验测试中，超过99%的输入点可以被丢弃。
2014-05-28 cs.CG
Geodesic Order Types
简单多边形$P$内部两点$a$和$b$之间的测地线是$P$内部连接$a$和$b$的最短多边形路径。因此，它是无约束点集上的直线段到多边形环境的自然推广。在本文中，我们使用这个扩展推广的概念的顺序类型的一组点在欧几里德平面测地线顺序类型。特别地，我们证明了，对于任何点集$S$和至少四个点的有序子集$\mathcal{B} \subseteq S$，总是可以构造多边形$P$，使得$\mathcal{B}$的点定义~ $S$ w.r.t.~的测地线壳。$P$，按指定顺序。此外，我们表明，一个抽象的秩序类型来自对偶的帕普斯安排可以实现为测地线秩序类型。
2017-08-21 cs.CG
The Geodesic Fréchet Distance Between Two Curves Bounding a Simple Polygon
本文研究界定简单多边形的两条曲线之间的测地弗雷歇距离，提出了任意精度下的近线性时间近似算法，并在凸多边形情形下给出线性时间精确算法，显著改进了此前的2-近似结果。
2025-05-08 cs.CG
Obstructing Visibilities with One Obstacle
在过去的几年中，图的障碍表示已经得到了相当深入的研究。我们专注于可以由单个障碍物表示的图形。给定一个（拓扑开放的）多边形$C$和在$C$的补中的一般位置上的点的有限集合$P$，可见性图$G_C(P)$对于$P$中的每个点都有一个顶点，对于$P$中可以彼此看到的任何两个点$p$和$q$，即$\overline{pq} \cap C=\emptyset$，都有一个边$pq$。我们画$G_C(P)$直线。给定一个图$G$，我们想计算$G$的障碍表示，即障碍$C$和一组点$P$，使得$G=G_C(P)$。该问题的复杂性是开放的，即使对于点恰好是一个简单多边形的顶点和障碍是一个简单多边形可见性图问题的补充的情况。有两种类型的障碍物;内部障碍物位于可见性图形的补充的有界组件中，而外部障碍物位于无界组件中。我们表明，一类图的内部障碍表示是无与伦比的一类图，有一个外部障碍表示。我们进一步证明了任何顶点数不超过7或周长不超过6的图都有一个外障碍表示，而对于顶点数为8且周长为8的特定图则不成立。最后，我们考虑了外部障碍图三明治问题：给定图$G$和$H$在同一顶点集上，是否存在图$K$使得$G \subseteq K \subseteq H$和$K$具有外部障碍表示？我们证明，即使对于共二部图，这个问题也是NP难的。经过一些修改，我们的证明也表明，内部障碍图三明治问题，单障碍图三明治问题，和简单多边形可…
2016-09-01 cs.CG cs.DM math.CO
Canonical polygon Queries on the plane: a New Approach
点上的多边形检索问题是对平面上的一组$n$点进行预处理的问题，以便给定多边形查询，可以有效地报告位于其中的点的子集。它在计算机图形学、CAD应用、空间数据库和GIS开发任务等领域都有很大的兴趣。本文研究平面上的规范$k$ -顶点多边形查询问题。一个规范的$k$ -顶点多边形查询总是满足以下特定的属性：一个点检索查询可以转换成一个线性数量（相对于顶点的数量）的点检索正交对象，如矩形和三角形（在整个这项工作中，我们称三角形正交，如果它的两个边是轴平行的）。我们提出了两个新的算法，这个问题。第一个需要$O(n\log^2{n})$空间和$O(k\frac{log^3n}{loglogn}+A)$查询时间。第一种算法的一个简单的修改方案导致我们的第二种解决方案，它消耗$O(n^2)$空间和$O(k \frac{logn}{loglogn}+A)$查询时间，其中$A$表示答案的大小，$k$是顶点的数量。一般多边形检索问题的最佳先前解决方案使用$O(n^2)$空间，并在$O(k\log{n}+A)$时间内回答查询，其中$k$是顶点数。它也非常复杂，难以用标准命令式程序设计语言（如C或C++）实现。
2009-07-30 cs.CG cs.DS
Expanding Visibility Polygons by Mirrors upto at least K units
我们考虑通过将$¶$的一些边转换为镜像，在简单多边形$¶$内扩展给定点$q$ $(VP(q))$的可见性多边形$(VP)$。我们将证明，寻找镜像边的问题，以增加至少$k$单位面积的$VP(q)$的几个变化是NP完全的，或NP困难的。其中$k$是给定值。我们处理单反射镜和多反射镜，以及镜面反射或漫反射类型。在镜面反射中，单个入射方向被反射成单个出射方向。漫反射被认为是光线从给定表面以所有可能的角度反射。本文论述了寻找镜像边以将\emph{at least} $k$面积单位添加到$VP(q)$。在镜面反射类型的情况下，我们只考虑单反射，多反射的情况仍然是开放的。镜面情况下的问题比较棘手。我们构造一个简单的多边形为每个给定的3-SAT问题的实例。有一些特定的尖峰，只有通过某些特定的镜像边缘才能看到。因此，为了具有最小数量的镜边缘，需要仅选择这些镜中的一个来看到特定尖峰。每个子句对应一个子句-gadget，每个变量对应一个变量-gadget。3-SAT公式具有$n$变量和$m$子句，因此当且仅当3-SAT公式可满足时，将至少为$k$的区域添加到$V P(q)$所需的最小镜像数为$l = 3m+n+1$。这种简化在以下两种情况下有效：将$¶$的至少$k$顶点添加到$VP(q)$，以及将$VP(q)$扩展至少$k$单位面积。
2017-08-03 cs.CG
Kinetic Geodesic Voronoi Diagrams in a Simple Polygon
本文研究简单多边形内线性运动站点的测地Voronoi图，证明平分线和Voronoi中心的变化次数至多为$O(m^3)$且紧，并基于此构建了线性空间、每事件$O(\log^2 m)$时间的紧凑动力学数据结构。
2023-07-09 cs.CG
Query-points visibility constraint minimum link paths in simple polygons
本研究针对简单多边形内两点间受查询点可见性约束的最小链接路径问题，提出基于链接最短路径图的算法，分别实现O(n)和O(n^3)预处理时间，支持对数时间查询。
2021-10-28 cs.CG
Exploring Simple Triangular and Hexagonal Grid Polygons Online
University of Bonn（波恩大学）；Braunschweig University of Technology（布伦瑞克工业大学）
我们研究了移动机器人在一个未知的细胞环境中移动的近视眼的在线探索问题（又名覆盖）的六边形和三角形作为类型的细胞。要探索一个单元格，机器人必须进入它。一旦进入，机器人就知道3个或6个相邻单元格中的哪一个存在，哪些是边界边缘。机器人的任务是访问给定环境中的每个细胞并返回到起点。我们的兴趣是在一个短的探索之旅，也就是说，在保持多个细胞访问的数量小。对于不含障碍物的任意环境，我们提供了一种策略，对于六边形网格，产生长度S <= C + 1/4 E - 2.5的旅行，对于三角形网格，产生长度S <= C + E - 4的旅行。C表示给定环境的单元格数（区域），E表示给定环境的边界边数（周长）。此外，我们表明，我们的策略是4/3竞争力在这两种类型的网格，我们提供了14/13的六边形网格和7/6三角形网格的下限。
2010-12-23 cs.CG cs.RO
A New Upper Bound for the VC-Dimension of Visibility Regions
在本文中，我们证明了以下事实。设P是一个任意的简单多边形，S是P内任意一组15个点，则存在S的一个子集T，它不是“视觉上可辨别的”，也就是说，T不等于S与P中任何点v的可见区域vis（v）的交集。自从Valtr在1998年证明了d \in [6，23]成立以来，在这个界上没有取得任何进展。根据ε-网定理，我们的约简立即意味着覆盖P所需的守卫数量的上限较小。
2012-06-25 cs.CG
Embedding a balanced binary tree on a bounded point set
给定一个具有n个顶点的无向平面图G和一个位于简单多边形P内的n个点的集合S，G在S上的点集嵌入是G的一个平面图，使得每个顶点映射到S的一个不同点，并且边是由P包围的多边形链。本文给出了一个新的算法，它在O（m^2 + n（log n）^2 + mn）时间内把一个n点平衡二叉树BBT嵌入到一个由m边形P围成的n点集S上，每条边最多有O（m）次弯曲.
2013-10-21 cs.CG cs.DS
Optimizing generalized kernels of polygons
本文研究多边形在方向集旋转下的广义核的计算与维护，提出高效算法，确定核非空的角度区间及优化面积或周长的角度，并扩展到多个方向的情形。
2024-12-17 cs.CG
Sometimes Two Irrational Guards are Needed
Utrecht University（乌得勒支大学）
研究探讨了在艺术 gallery 问题中，使用两个卫兵时可能需要无理数坐标的情况，填补了关于无理数卫兵必要性的理论空白。
2026-02-16 cs.CG
CudaChain: A Practical GPU-accelerated 2D Convex Hull Algorithm
提出了一种实用的GPU加速凸包算法和一种基于排序的平面点集预处理方法。该算法由两个阶段组成：（1）在GPU上进行两轮预处理;（2）在CPU上完成期望凸包的计算。我们首先丢弃位于由四个端点形成的四边形内的内部点，然后将剩余的点分布到几个（通常是四个）子区域中。对于每个点的子集，我们首先对它们进行并行排序，然后使用SPA进行第二轮丢弃，最后为当前剩余的点形成一个简单的链。通过直接连接子区域中的所有链，可以很容易地生成简单的多边形。最后通过计算简单多边形的凸包来获得输入点的期望凸包。我们使用Thrust库来实现并行排序、约简和分区，以提高效率和简单性。实验结果表明，该算法在20 M点的情况下，比Qhull算法有5 ~ 6倍的加速比。因此，该算法简单，效率高，在实际应用中具有一定的竞争力。
2015-08-22 cs.CG
