Injective edge-coloring of graphs with small maximum degree
本文证明最大度不超过4且平均度小于8/3的图的内射边色数至多为7。
2025-09-11 math.CO
Exact square coloring of subcubic planar graphs
研究了次立方平面图的正合平方色数。图G的正方形染色是指任意两个距离为2的顶点都有不同颜色的顶点染色。在G的这种着色中使用的最小颜色数是它的正方形色数，记为$χ^{\sharp 2}(G)$。这个概念与其他类型的基于距离的着色有关，也与内射着色有关。事实上，对于无三角形图，精确平方染色和内射染色是一致的。证明了平面图的特殊子类：次三次二部平面图和次三次无K4-minor图的正方形色数不超过4的紧界。然后，我们把注意力转向富勒烯图类，这是三次平面图的面大小为5和6。我们刻画了正方形色数为3的富勒烯图。此外，支持Chen，Hahn，Raspaud和Wang的一个猜想（所有的次立方平面图是5-可注入着色的），我们证明了富勒烯图的任何诱导子图的正方形色数至多为5。这是通过首先证明一个最小反例必须在最多80个顶点上，然后计算验证所有这些图的声明来完成的。
2021-01-24 cs.DM math.CO
A note on the injective edge coloring of graphs with bounded maximum degree
Middle Tennessee State University（中田纳西州立大学）；Augustana College（奥古斯塔纳学院）
本文针对最大度至少为4的图，将单射边色数的上界从2(Δ-1)²改进为2(Δ-1)²-Δ+3。
2026-10-06 math.CO
Injective colorings of Sierpiński-like graphs and Kneser graphs
本文建立单射色数与色数、边色数的关系，确定 Sierpiński 图及根积的单射色数，并刻画 Sierpiński 图与 Kneser 图的完美单射可着色性。
2024-09-16 math.CO
Injective edge-coloring of claw-free graphs with maximum degree 4
本文证明了最大度不超过4的无爪图的单射色指数至多为13，给出了该图类单射边染色的上界。
2025-09-11 math.CO
Injective colorings of sparse graphs
令$mad(G)$表示$G$的最大平均度（在所有子图上），令$χ_i(G)$表示$G$的内射色数。证明了若$mad(G) \leq 5/2$，则$χ_i(G)\leqΔ(G) + 1$ ;若$mad(G) < 42/19$，则$χ_i(G)=Δ(G)$ .设$G$是一个具有围长$g(G)$和$Δ(G)\geq 4$的平面图.我们证明，如果$g(G)\geq 9$，那么$χ_i(G)\leqΔ(G)+1$ ;同样，如果$g(G)\geq 13$，那么$χ_i(G)=Δ(G)$。
2010-07-05 math.CO
Injective Edge Chromatic Index of a Graph
图$G$中的三条边$e_{1}, e_{2}$和$e_{3}$是连续的，如果它们形成一条路径（以此顺序）或一个长度为3的圈。图$G = (V,E)$的内射边染色是$G$的边的染色$c$，使得如果$e_{1}, e_{2}$和$e_{3}$是$G$中的连续边，则$c(e_{1})\neq c(e_3)$。内射边着色数$χ_{i}^{'}(G)$是在这种着色中允许的最小颜色数。本文给出了几类图的$χ_{i}^{'}(G)$的精确值，给出了$χ_{i}^{'}(G)$的上界和下界，证明了检验$χ_{i}^{'}(G)= k$是否为NP-完全图.
2015-10-09 math.CO
Injective choosability of subcubic planar graphs with girth 6
图$G$的内射着色是指对图$G$的顶点进行颜色分配，使得具有公共邻居的任意两个顶点具有不同的颜色。一个图$G$是$k$ -可内射选择的，如果对任何列表分配$L$，其中$|L(v)| \geq k$对所有$v \in V(G)$，$G$有一个单射$L$ -着色.内射着色在纠错码理论中有应用，并且与其他可着色性概念密切相关。本文证明了围长至少为6的次立方可平面图是5-可内射选择图。这加强了Lužar、Škrekovski和Tancer的一个结果，即围长至少为7的次立方可平面图是5-可注入着色的。我们的结果也改进了其他几个结果在特定情况下。
2017-07-09 math.CO
Injective chromatic number of outerplanar graphs
图的内射染色是指两个相邻顶点的颜色不同的顶点染色。$G$具有$k-$内射染色的最小整数$k$称为$G$的内射色数，记为$χ_i(G)$ .研究了具有最大度$Δ$和围长$g$的外平面图的内射色数.证明了对于任意的外平面图，$χ_i(G)\leq Δ+2$，且此界是紧的。然后证明了具有$Δ=3$，$χ_i(G)\leq Δ+1$的外平面图，围长为3且$4$的外平面图的界是紧的.最后证明了具有$Δ=3$，$g\geq 6$和$Δ\geq 4$，$g\geq 4$的$2-$连通外平面图的内射色数等于$Δ$ .
2017-06-07 math.CO
Nordhaus-Guddam Type Relations of Three Graph Coloring Parameters
设G是一个单图。图G的顶点的染色称为：（i）2-真染色，如果距离为2的顶点接收不同的颜色;（ii）内射染色，如果拥有共同邻居的顶点接收不同的颜色;（iii）正方形染色，如果距离至多为2的顶点接收不同的颜色。本文研究了2-真色数、单射色数和平方色数的Nordhaus-Guddam型不等式.
2012-09-11 math.CO
Injective edge colorings of degenerate graphs and the oriented chromatic number
本文研究退化图的内射色指数，给出d-退化图的上界O(d^3 log Δ)，并证明有向色数不超过内射色指数的指数函数，从而改进曲面图的有向色数上界至O(g^6400)，解决了一个猜想。
2023-08-29 math.CO
Injective (edge) colorings of generalized Sierpiński graphs
Madanapalle Institute of Technology and Science（马达纳帕莱理工学院）；University of Maribor（马里博尔大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）
本文研究了广义西尔皮ński 图的可 injective (边) 颜色化问题，确定了标准西尔皮ński 图的 injective 染色数，并证明了当 G 为环时 injective 染色数为 3，同时给出了关于边染色数的结论。
2026-04-22 math.CO
Graphs with Flexible Labelings allowing Injective Realizations
我们考虑图在平面上的实现，使得邻顶点之间的距离满足由边标号给出的约束。如果有无穷多个这样的实现，计算模刚性运动，标签被称为灵活的。一个灵活的标签的存在，可能是非通用的，已经组合的特点是存在一个所谓的NAC着色。然而，相应的实现往往是非内射的。本文主要研究具有无穷多个内射实现的柔性标号。我们提供了一个必要的组合条件存在这样的标签的基础上也NAC着色的图。通过引入新的工具，这样的标号的建设，我们表明，必要条件也是足够的8个顶点，但这是不正确的，在一般情况下，更多的顶点。
2019-12-19 math.CO
Injective coloring of graphs revisited
本文从开装填与二步图两个视角重探图的单射着色，给出单射色数新界及极值刻画，证明等号判定的 NP 完全性，并分析二步图团数与极大开装填着色。
2022-07-28 math.CO
Spectral bounds for distance coloring and packing parameters of graphs via semidefinite programming
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Harbin Engineering University（哈尔滨工程大学）
利用谱图论和半定规划方法，获得了与距离染色和打包相关的几个图参数的尖锐谱界，包括内射色数、开打包数、内射色指数和强色指数，并应用于超立方体的码覆盖数和开打包数，得到新的精确值和加强界。
2026-06-03 math.CO
Reconfiguring colorings of graphs with bounded maximum average degree
图$G$的$k$ -着色的重新配置图$R_k(G)$具有作为顶点集的$G$的所有可能的$k$ -着色的集合，并且如果两个着色在$G$的恰好一个顶点的颜色上不同，则两个着色是相邻的。令$d, k \geq 1$为整数，使得$k \geq d+1$。证明了对任意$ε> 0$和任意具有$n$顶点和最大平均度$d - ε$的图$G$，$R_k(G)$具有直径$O(n(\log n)^{d - 1})$ .这大大加强了现有的几项成果。
2020-11-24 cs.DM math.CO
List coloring the square of sparse graphs with large degree
我们考虑有界最大平均度图的平方着色问题，即在保证相邻或有共同邻居的两个顶点接收不同颜色的情况下对顶点着色的问题。Borodin等人在2004年和2008年证明了围长至少为7且最大度足够大的平面图$Δ$的平方是列表$(Δ+1)$ -可染的，而围长为6且最大度任意大的平面图的平方不是列表$(Δ+1)$ -可染的。根据欧拉公式，围长至少为$6$的平面图的最大平均度小于$3$，围长至少为$7$的平面图的最大平均度小于$14/5<3$ .我们加强了他们的结果，证明了存在一个函数$f$使得任何具有最大平均度$m<3$和最大度$Δ\geq f(m)$的图的平方都是列表$(Δ+1)$ -可染的. $3$的这一界是最优的，在这个意义上，上述平面图的周长$6$有最大平均度小于$3$和任意大的最大度，而他们的平方不能是$(Δ+1)$ -着色。这同样适用于列表单射$Δ$ -着色。
2013-08-20 cs.DM math.CO
Lower Bounds and properties for the average number of colors in the non-equivalent colorings of a graph
该研究聚焦图的非等价着色平均颜色数这一图不变量，推导其一般性质与特定图类取值，提出多个下界猜想并验证其在三角化图、最大度≤2的图等类上成立。
2021-04-29 cs.DM math.CO
Upper bounds on the average number of colors in the non-equivalent colorings of a graph
该研究围绕图的非等价着色平均颜色数问题，给出了适用于所有图的通用上界，还针对阶数n、最大度为1、2或n-2的图推导了更精确的上界，丰富了图着色理论相关结论。
2021-05-03 cs.DM math.CO
Graphs with maximum degree D at least 17 and maximum average degree less than 3 are list 2-distance (D+2)-colorable
对于最大平均度有界的图，我们考虑2-距离染色问题。这是一个对顶点进行着色的问题，同时确保相邻或有共同邻居的两个顶点接收不同的颜色。已知围长至少为6且最大度为D的平面图当D>=24时是列表2-距离（D+2）-可着色的（Borodin and Ivanova（2009）），当D>=18时是列表2-距离（D+2）-可着色的（Borodin and Ivanova（2009））。我们在这里证明D>=17在这两种情况下都是足够的。更一般地，我们证明了最大平均度小于3且D>=17的图是列表2-距离（D+2）-可着色的。这个证明可以转置到列表内射（D+1）-染色上。
2013-01-29 cs.DM math.CO
Incidence coloring of graphs with high maximum average degree
无向图G的关联是一对$(v,e)$，其中$v$是$G$的顶点，$e$是与$v$关联的$G$的边。如果以下情况之一成立：（i）$v = w$，（ii）$e = f$或（iii）$vw = e$或$f$，则两个事件$(v,e)$和$(w,f)$相邻。$G$的关联着色为$G$的每个关联指定一种颜色，以使相邻的关联获得不同的颜色。2005年，Hosseini Dolama \emph{et al.} ~ \citep{ds05}证明了所有最大平均度严格小于$3$的图都可以用$Δ+3$颜色进行关联着色.最近，\emph{et al.} ~ \citep{Bonamy}证明了最大度至少为$4$且最大平均度严格小于$\frac{7}{3}$的图允许关联$(Δ+1)$ -着色.在本文中，我们给出了所需的颜色数的界限$4$和$6$之间的不同的值之间的界限具有最大平均度的着色图。特别地，我们证明了每一个图的最大程度至少$7$和最大平均程度小于$4$承认一个关联$(Δ+3)$ -染色。这个结果意味着每个最大度至少为$7$的无三角形平面图都是关联$(Δ+3)$ -可着色的。证明了最大平均度小于6的图都有关联$(Δ+ 7)$ -染色.更一般地，我们证明$Δ+k-1$颜色是足够的最大平均度小于$k$和最大程度是足够大的。
2015-01-27 cs.DM math.CO
2-distance list $(Δ+ 3)$-coloring of sparse graphs
图的2-距离列表k-染色是图的顶点的正常染色，其中每个顶点具有至少k个可用颜色的列表，并且距离至多为2的顶点不能共享相同的颜色。证明了最大平均度小于$\frac83$和最大度小于$Δ\geq 4$的图以及最大平均度小于$\frac{14}5$和最大度小于$Δ\geq 6$的图的2-距离列表$(Δ+ 3)$ -染色的存在性.
2021-05-04 cs.DM math.CO
Acyclic edge coloring of sparse graphs
如果图$G$中不存在双色圈，则称图$G$的正常边染色是无圈的.用$χ'_a(G)$表示的$G$的非循环色指数是使得$G$具有非循环边$k$ -着色的最少颜色数$k$。图$G$的最大平均度，记为$\mad(G)$，是$G$的所有子图的平均度的最大值。本文证明了若$\mad(G)<4$，则$χ'_a(G)\leq{Δ(G)+2}$ ;若$\mad(G)<3$，则$χ'_a(G)\leq{Δ(G)+1}$ .这意味着每个无三角形可平面图$G$是无圈边$(Δ(G)+2)$ -可着色的。
2012-02-28 cs.DM math.CO
$2$-distance $(Δ+1)$-coloring of sparse graphs using the potential method
一个图的$2$ -距离$k$ -染色是一个顶点的真$k$ -染色，其中距离至多为2的顶点不能共享相同的颜色。证明了最大平均度小于$\frac{18}{7}$且最大度为$Δ\geq 7$的图的$2$ -距离（$Δ+1$）-染色的存在性.作为推论，每个围长至少为$9$和$Δ\geq 7$的可平面图允许一个$2$ -距离$(Δ+1)$ -染色.证明使用潜在的方法来减少新的配置相比，经典的方法$2$距离着色。
2021-04-03 cs.DM math.CO
Curvature from Graph Colorings
设G=（V，E）为有限简单图，色数为c，色多项式为色多项式C（x）. G的每个点图着色f定义一个指数i_f（x），满足Poincare-Hopf定理sum_xi_f（x）=chi（G）.作为指数期望结果的一个变体，我们证明了E[i_f（x）]等于曲率K（x），满足Gauss-Bonnet sum_x K（x）= χ（G），其中期望是包含C（c）个c色可能着色的有限概率空间上的平均，且每个着色的概率相同.
2014-10-05 cs.DM math.CO
$2$-distance $(Δ+2)$-coloring of sparse graphs
一个图的$2$ -距离$k$ -染色是一个顶点的真$k$ -染色，其中距离至多为2的顶点不能共享相同的颜色。本文证明了最大平均度小于$\frac{8}{3}$的图的$2$ -距离（$Δ+2$）-染色的存在性（分别为. $\frac{14}{5}$）和最大程度$Δ\geq 6$（分别$Δ\geq 10$）。作为推论，每个围长至少为$8$（分别为. $7$）和最大程度$Δ\geq 6$（分别$Δ\geq 10$）允许$2$ -距离$(Δ+2)$ -着色.
2021-09-24 cs.DM math.CO
On coloring graphs with well-distributed edge density
本文引入平均遗传图类，证明其色数的新上界并改进先前结果，同时证明3-着色问题在该类上仍为NP难，且可在多项式时间内判定该类性质。
2025-08-08 cs.CC cs.DM math.CO
List 3-dynamic coloring of graphs with small maximum average degree
图$G$的$r$ -动态$k$ -染色是一种真$k$ -染色，使得对于任何顶点$v$，$N_G(v)$中至少有$\min\{r,°_G(v) \}$不同的颜色.图$G$的$r$ -动态色数$χ_r^d(G)$是使得存在$G$的$r$ -动态$k$ -染色的最小$k$.图$G$的{ \em列表$r$ -动态色数}记为$ch_r^d(G)$。最近，Loeb等人[UI]证明了平面图的$3$ -动态色数列表至多为10。Cheng等人[Lai-16]研究了具有$χ_3^d (G) \leq 4, \ 5$或$6$的最大平均条件。另一方面，Song等人[SLW]表明，如果$G$是周长至少为6的平面，则任何$r\ge 3$的$χ_r^d(G)\le r+5$。本文利用最大平均度研究了表3-动态染色。我们证明了$ch^d_3(G) \leq 6$如果是$mad(G) < \frac{18}{7}$，$ch^d_3(G) \leq 7$如果是$mad(G) < \frac{14}{5}$，以及$ch^d_3(G) \leq 8$如果是$mad(G) < 3$。所有的边界都很紧。
2017-09-22 math.CO
Maximum average degree and relaxed coloring
如果$V(G)$可划分为$b$独立集$O_1,O_2,\ldots,O_b$和$a$集$D_1, D_2,\ldots, D_a$，且$D_1, D_2,\ldots, D_a$的导出图的最大度至多为$d$，则称一个图是$(d, d, \ldots, d, 0, \ldots, 0)$的$a$和$0$的$b$的$(d, d, \ldots, d, 0, \ldots, 0)$ -可着色图.图$G$的最大平均度$mad(G)$是$G$的所有子图的最大平均度。对非负整数$a, b$，证明了若$mad(G)< \frac{4}{3}a + b$，则$G$是$(1_1, 1_2, \ldots, 1_a, 0_1, \ldots, 0_b)$ -可着色的.
2018-06-19 math.CO
Fast Recoloring of Sparse Graphs
在本文中，我们证明了，对于每一个图的最大平均度有界远离$d$，任何$(d+1)$ -染色可以转化为任何其他一个内的一个多项式数量的顶点邻接，使在每一步，当前的着色是适当的。特别地，它意味着我们可以将可平面图的任何$8$ -染色变换为具有多项式个数的染色的任何其他$8$ -染色。这些结果证明了Cereceda，van den Heuvel和Johnson的一个猜想，即$d$ -退化图的任何$(d+2)$染色都可以用多项式个数的染色变换成其它任何染色.证明了$d$ -退化图的任何$(2d+2)$ -染色都可以用线性的染色数变换成其它的染色.
2014-11-25 cs.DM math.CO
Local convergence of random graph colorings
设$G=G(n,m)$是一个随机图，其平均度$d=2m/n$低于$k$ -可着色性阈值.如果我们对$G$的$k$ -着色$σ$进行均匀随机采样，那么我们可以对分配给相距很远的顶点的颜色之间的相关性说些什么呢？根据统计物理学的预测，对于低于所谓的{ \em凝聚阈值} $d_c(k)$的平均度，分配给远处顶点的颜色是渐近独立的[Krzakala等人：美国国家科学院院刊2007]。我们证明了这个猜想$k$超过一定的常数$k_0$。更一般地说，我们调查的联合分布的$k$ -着色，$σ$诱导局部上的有界深度的任何固定数量的顶点的邻域。此外，我们指出了重建问题的影响。
2015-01-26 cs.DM math.CO math.PR
Kempe changes in degenerate graphs
我们考虑图的$n$顶点上的$k$ -染色的Kempe变换.如果图是$(k-1)$ -退化的，则它的所有$k$ -着色直到Kempe变化都是等价的。然而，从证明中产生的两个$k$着色之间的序列在顶点数上可以是指数的。一个有趣的开放性问题是它是否可以变成多项式。我们证明了这是可能的，在更强的假设下，图的树宽最多$k-1$。也就是说，任何两个$k$ -着色等价于$O(kn^2)$ Kempe变化。我们调查其他限制（列表着色，有界最大平均度，度界）。作为主要结果，我们得到了：给定一个具有最大度$Δ$的$n$ -顶点图，除非$Δ= 3$和某个连通分支是一个3-棱柱，否则$Δ$ -着色直到$O(n^2)$ Kempe变换都是等价的.
2021-12-04 cs.DM math.CO
On locating and neighbor-locating colorings of sparse graphs
本文研究稀疏图的定位着色与邻域定位着色，给出给定邻域定位色数下稀疏图最大阶数的上界并构造接近达到该界的图族，同时证明相关判定问题对稀疏图是NP-完全的。
2024-08-01 cs.DM math.CO
Improved bounds for coloring locally sparse hypergraphs
Institute for Advanced Study（高等研究院）；Princeton University（普林斯顿大学）
该研究改进了局部稀疏超图着色的界限，提出了高效的列表着色算法，并在随机超图中实现了最优的列表着色方法。
2026-02-08 cs.DM cs.DS math.CO
Proper conflict-free coloring of sparse graphs
图的{ \it真无冲突$c$ -染色}是一个真$c$ -染色，使得每个非孤立点都有一个颜色在其邻域上只出现一次.这一概念由Fabrici等人正式提出，证明了平面图有一个正确的无冲突8-染色，并构造了一个没有正确的无冲突5-染色的平面图。Caro、Petruševski和Škrekovski进一步研究了这个着色概念，特别是研究了保证$c\in\{4,5,6\}$正确的无冲突$c$ -着色的最大平均度的上界。沿着这些路线，我们完全确定的最大平均度的图$G$，表示为$mad(G)$，这保证了一个适当的无冲突的$c$着色所有$c$的阈值，也提供了紧密的例子。也就是说，对于$c\geq 5$，我们证明了一个图$G$与$mad(G)\leq \frac{4c}{c+2}$有一个适当的无冲突$c$ -染色，除非$G$包含一个$1$ -细分的$c+1$顶点上的完全图。当$c=4$，我们证明了一个图$G$与$mad(G)<\frac{12}{5}$有一个适当的无冲突$4$ -染色，除非$G$包含一个诱导$5$ -圈.此外，我们还证明了围长至少为5的平面图有一个适当的无冲突$7$ -染色。
2022-04-12 math.CO
k-forested choosability of graphs with bounded maximum average degree
一个单图的正常点染色是$k$ -森林的，如果由任意两个色类的顶点诱导的图是一个最大度小于$k$的森林.如果对于与每个顶点$v$相关联的$q$颜色的给定列表，存在$G$的$k$ -森林着色，使得每个顶点从其自己的列表接收颜色，则图是$k$ -森林$q$ -可选择的。本文证明了当最大平均度分别小于小于12/5、8/3或3时，具有最大度$Δ\geq k\geq 4$的图的$k$森林可选择性至多为$\lceil\fracΔ{k-1}\rceil+1$、$\lceil\fracΔ{k-1}\rceil+2$或$\lceil\fracΔ{k-1}\rceil+3$.
2011-02-19 cs.DM math.CO
On Star 5-Colorings of Sparse Graphs
图$G$的一个\textit{star $k$-coloring}是$G$的一个真（顶点）$k$ -着色，使得长度为3的路径上的顶点至少接收三种颜色。给定一个图$G$，它的\textit{star chromatic number}，记作$χ_s(G)$，是使$G$允许星$k$ -染色的最小整数$k$.研究稀疏图的星染色是一个活跃的研究领域，特别是在图的最大平均度方面;图$G$的\textit{maximum average degree}，记作$mad(G)$，是$\max\left\{ \frac{2|E(H)|}{|V(H)|}:{H \subset G}\right\}$。已知对于图$G$，如果$mad(G)<\frac{8}{3}$，则$χ_s(G)\leq 6$，并且如果$mad(G)< \frac{18}{7}$且其围长至少为6，则$χ_s(G)\le 5$。我们改进了这两个结果表明，对于图$G$，如果$mad(G)\le \frac{8}{3}$，那么$χ_s(G)\le 5$。作为直接推论，我们得到了围长至少为8的平面图具有星5-染色，改进了已知的平面图具有星5-染色的围长条件。
2019-09-25 math.CO
Strong edge-coloring of graphs with maximum edge weight seven
University of Memphis（孟菲斯大学）
本文利用discharging方法证明，最大边权为7且平均度小于40/13的图的强色指数不超过13，并确定了给定最大边权的图的最大可能平均度。
2025-09-23 math.CO
Flexible list coloring of graphs with maximum average degree less than $3$
本文证明最大平均度小于3的图是ε-灵活3-可选的，推广了可约子图框架以允许任意大阶数，并蕴含了围长为6的平面图的相关结论。
2025-01-28 math.CO
A Fast Coloring Oracle for Average Case Hypergraphs
本文提出了一种简单且基础的确定性2-染色算法，避免了regularity lemma，重新证明了平均情况超图2-可染性的相关定理，并进一步设计出平均期望运行时间仅为O(1)的快速染色预言机。
2025-07-14 cs.CC cs.DS math.CO
Coloring of the square of Kneser graph $K(2k+r,k)$
Kneser图$K(n,k)$是其顶点是$n$元素集的$k$ -元素子集的图，如果它们不相交，则两个顶点相邻。图$G$的正方形$G^2$是定义在$V(G)$上的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为2，则$G^2$中的两个顶点$u$和$v$相邻。确定Kneser图$K(n, k)$的平方色数是一个有趣的图着色问题，也与相交族问题有关。当$n \geq 3k-1$时，$K(2k, k)$的平方是完美匹配，$K(n, k)$的平方是完全图。因此，$K(2k +1, k)$的平方着色作为第一个非平凡的情况进行了研究。在本文中，我们专注于确定$r \geq 2$的$χ(K^2(2k+r,k))$的问题。最近，Kim和Park \cite{KP2014}证明了$χ(K^2(2k+1,k)) \leq 2k+2$如果$ 2k +1 = 2^t -1$对于某个正整数$t$。本文推广了这一结果，证明了对任何具有$1 \leq r \leq k -2$的整数$r$，（a）$χ(K^2 (2k+r, k)) \leq (2k+r)^r$，如果$2k + r = 2^t$对某个整数$t$，和（b）$χ(K^2 (2k+r, k)) \leq (2k+r+1)^r$，如果$2k + r = 2^t-1$对某个整数$t$ .另一方面，在\cite{KP2014}中显示$χ(K^2 (2k+r,…
2014-12-10 math.CO
Acyclic edge coloring of graphs
图$G$的{\em无圈边染色}是一个真边染色，使得由任意两个色类导出的子图是线性森林（最大度不超过2的无圈图）.图$G$的{\em无圈色指数} $\chiup_{a}'(G)$是图$G$的无圈边着色所需的最少颜色数。Fiamčík（1978）证明了$\chiup_{a}'(G) \leq Δ(G) + 2$，其中$Δ(G)$是$G$的最大程度。这个猜想被称为非循环边着色猜想（AECC）。一个最大度至多为$κ$的图$G$是{\em $κ$-删除-最小}，如果对$G$的每个真子图$H$，$\chiup_{a}'(G) > κ$和$\chiup_{a}'(H) \leq κ$都有.本文的目的是给出$κ$-删除极小图的结构引理。利用结构引理，首先证明了AECC对最大平均度小于4的图（\autoref{NMAD4}）成立。其次证明了AECC对与长度不超过4的圈相邻的无三角形的平面图成立，并附加了一个条件，即每个$5$-圈最多有3条边包含在三角形中（\autoref{NoAdjacent}），由此我们可以得到一些已知的结果作为推论.第三，证明了平面图$G$不含相交三角形，满足$\chiup_{a}'(G) \leq Δ(G) + 3$（\autoref{NoIntersect}）.最后，我们考虑了一个极端的情况，并证明了：如果$G$是一个具有$Δ(G) \geq 3$的图，并且所有的$3^{+…
2014-04-05 cs.DM math.CO
Coloring graphs with dense neighborhoods
本文证明了：任何具有最大度$Δ$的图，如果其诱导子图在任意一个顶点的所有邻域的集合上的平均度超过$\frac{6k^2}{6k^2 + 1}Δ+ k + 6$，则它要么是$(Δ- k)$ -可着色的，要么在多于$Δ- 2k$的顶点上含有团.在$k=1$的情况下，我们将平均度的界改进为$\frac23Δ+ 4$，将团数的界改进为$Δ-1$。作为推论，我们证明了每个图都满足$χ\leq \max\set{ω, Δ- 1, 4α}$，每个图都满足$χ\leq \max\set{ω, Δ- 1, \ceil{\frac{15 + \sqrt{48n + 73}}{4}}}$。
2012-10-01 math.CO
I,F-partitions of Sparse Graphs
星型$k$ -染色是一个真$k$ -染色，其中两个色类的并集导出一个星型森林。虽然每个可平面图都是4-可着色的，但不是每个可平面图都是星4-可着色的.一种产生星4-着色的方法是将顶点集划分为2-独立集和森林;这样的划分称为I，F-划分。我们使用势函数和放电的组合来证明每个最大平均度小于$\frac{5}{2}$的图都有一个I，F-划分，这是尖锐的，回答了Cranston和West的一个问题[放电方法指南，arXiv：1306.4434]。这个结果意味着围长至少为10的可平面图是星4-可着色的，改进了Bu，Cranston，Montassier，Raspaud，and Wang [Star coloring of sparse graphs，J.图论62（2009），201-219]的先前结果。
2015-10-12 cs.DM math.CO
Necessary Spectral Conditions for Coloring Hypergraphs
Hoffman证明了对于简单图$G$，色数$χ(G)$服从$χ(G) \le 1 - \frac{λ_1}{λ_{n}}$，其中$λ_1$和$λ_n$分别是$G$邻接矩阵的最大和最小特征值. Lovász后来证明了$χ(G) \le 1 - \frac{λ_1}{λ_{n}}$对任何（可能是负的）加权邻接矩阵。本文给出了Lovász定理的一个概率证明，并将其推广到Hoffman定理在允许一定比例的边冲突时的推广.利用这个结果，我们证明了如果一个3-一致超图是2-可着色的，则有$\bar d \le -\frac{3}{2}λ_{\min}$，其中$\bar d$是平均度，$λ_{\min}$是基础图的最小特征值.我们进一步推广$k$ -一致超图，为案件$k=4$和$5$，考虑几个变种的基础图。
2014-12-11 cs.DM math.CO
Graph k-Coloring in Average Sublinear Time
Harvard University（哈佛大学）；MIT（麻省理工学院）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
该研究打破了图k着色平均复杂度的二次壁垒，证明其平均复杂度为Θ(nk)且最优，还得到了探针复杂度为poly(k)的局部计算算法。
2026-07-30 cs.CC cs.DS math.CO
Equitable Colorings of Borel Graphs
Hajnal和Szemerédi证明了，如果$G$是一个有限图，其最大度为$Δ$，则对每一个整数$k \geqslant Δ+1$，$G$都有一个含有$k$颜色的正常染色，其中每两个颜色类的大小最多相差$1$ ;这样的染色称为均匀染色。我们得到一个类似的结果无限图中的Borel设置。具体地说，我们证明了，如果$G$是一个有限的最大程度$Δ$的非周期Borel图，那么对于每个$k \geqslant Δ+ 1$，$G$有一个Borel正确的$k$ -染色，其中每两个颜色类是由$G$的Borel全半群的元素。特别地，这样的着色对于每个$G$不变概率测度是公平的。我们还建立了一个可测量的版本的结果Kostochka和Nakprasit公平的$Δ$ -着色的小平均度的图。也就是说，如果$Δ\geqslant 3$，$G$在$Δ+ 1$顶点上不含团，且$μ$是无原子$G$ -不变概率测度，使得$G$关于$μ$的平均度至多为$Δ/5$，则$G$有$μ$ -公平$Δ$ -着色.作为对这一结果的证明步骤，我们建立可测和列表着色扩展的加强布鲁克斯定理由于Kostochka和Nakprasit。
2021-10-01 math.CO math.LO
Two lower bounds for $p$-centered colorings
本文针对$p$-中心染色问题，构造了浅次图平均度多项式有界的单调图类，证明其所需颜色数超多项式于$p$；并证明最大度$\Delta$的图存在下界$\Omega(\Delta^{2-1/p} p \ln^{-1/p}\Delta)$，匹配已知上界至对数因子。
2020-10-28 cs.DM math.CO
List strong edge coloring of some classes of graphs
图的{ \em强边染色}是图的正常边染色，其中每个色类都是诱导匹配。图的{ \em强色数}是图的强边染色所需的最少颜色数。以类似的方式，我们可以定义列表形式的强边染色和列表形式的强色指数。本文证明了：如果$G$是一个最大度至多为4且最大平均度小于$3$的图，则其列表强色指数至多为$3Δ+ 1$，其中$Δ$是$G$的最大度.另外，我们证明了如果$G$是一个可平面图，其最大度至少为$4$，围长至少为$7$，则列表强色指数至多为$3Δ$ .
2017-04-14 math.CO
Star 5-edge-colorings of subcubic multigraphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为4的路或圈是双色的。一个多重图$G$是星$k$ -边可着色的，如果$χ'_{s}(G)\le k$。Dvoák，Mohar and Šámal [Star chromatic index，J Graph Theory 72（2013），313- 326]证明了每个次三重图都是星$7$ -边可着色的，并证明了每个次三重图都应该是星$6$ -边可着色的. Kerdjoudj，Kostochka和Raspaud考虑了简单图的列表问题，证明了最大平均度小于$7/3$的次立方图是星列表- $5$ -边可着色的.已知具有最大平均度$14/5$的图不一定是星$5$ -边可着色的。本文证明了最大平均度小于$12/5$的次三重图是星$5$ -边可着色的.
2017-11-22 math.CO
The DP-coloring of the square of subcubic graphs
该研究针对次立方图平方图的DP着色问题，基于最大平均度参数，通过放电法得出两个DP着色数结论并证明首个界的紧性，丰富了距离着色与DP着色相关研究。
2024-05-15 math.CO
Odd coloring of sparse graphs and planar graphs
一个图的{ \it奇$c$ -染色}是一个真$c$ -染色，使得每个非孤立点都有一个颜色在其邻域上出现奇数次.这一概念最近由Petru \v sevski和\v Skrekovski提出，并引起了相当大的关注。Cranston研究了最大平均度有界的图的奇染色，证明了每一个具有$mad(G)\leq \frac{4c-4}{c+1}$的图$G$对$c\geq 4$都有$c$-奇染色，并证明了对$c\in\{5, 6\}$的猜想.特别地，围长至少为$7$和$6$的可平面图分别具有奇$5$ -染色和奇$6$ -染色.我们完全解决了克兰斯顿猜想。对于$c\geq 7$，我们表明，该猜想是真实的，在一个更强的形式，隐含地建议由克兰斯顿，但对于$c=4$，我们构造反例，其中都包含$5$ -循环。另一方面，我们证明了一个图$G$与$mad(G)<\frac{22}{9}$和没有诱导$5$ -圈有一个奇$4$ -染色。这意味着围长至少为11的平面图具有奇$4$ -染色。我们还证明了围长至少为5的平面图有奇$6$ -染色。
2022-12-23 math.CO
Strong edge-coloring of sparse graphs with Ore-degree 7 or 8
University of Memphis（孟菲斯大学）
本文通过流方法和Hall定理，证明了Ore度为7或8的稀疏图的强色指数界，改进了之前的结果。
2026-01-27 math.CO
Degree-choosability of proper conflict-free list coloring of sparse graphs
Faculty of Science and Technology, Keio University（庆应义塾大学理工学部）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）；Faculty of Information Studies, Novo Mesto（新梅斯托信息学院）；Rudolfovo - Science and Technology Centre Novo Mesto（鲁多尔福沃-新梅斯托科学与技术中心）；School of Mathematical and Science, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数理学院）
本文研究了稀疏图的正冲突自由列表着色问题，证明了最大平均度受限的图在特定度数加常数条件下具有正冲突自由可选择性。
2026-01-22 math.CO
