The linearity of traces in monoidal categories and bicategories
我们证明了在任何对称幺半范畴中，如果上极限的权是绝对的，那么任何可对偶对象的图的上极限也是可对偶的。此外，在这种情况下，如果上极限的自同态由图的自同态导出，则其迹可以计算为图中对象上的迹的线性组合。这个结果的形式性质使得它很容易推广到同伦上下文中的迹（使用导子）和双范畴中的迹。这些推广包括欧拉示性数和莱夫谢茨数沿上纤序列的可加性，以及Reidemeister迹的类似结果，还有群作用集合的轨道计数定理，以及EI范畴上同伦余极限的一般公式。
2014-06-30 math.AT math.CT
K-theory for 2-categories
本文建立了对称monoidal双范畴同伦理论与联结谱的等价性。为此，我们发展了$Γ$ -2-范畴对象理论。在证明过程中，我们建立了对称monoidal双范畴和2-范畴图的独立兴趣的严格化结果。
2017-12-05 math.AT math.CT math.KT
Skew structures in 2-category theory and homotopy theory
我们研究Quillen模型范畴配备了一个monoidal斜闭结构，下降到一个真正的monoidal闭结构的同伦范畴。我们的例子是2-范畴的，包括置换范畴和双范畴。使用斜框架，我们适应艾伦伯格和凯利的定理有关monoidal和封闭的结构同伦设置。这是适用于建设monoidal双范畴所产生的伪交换2单子的Hyland和权力。
2016-01-20 math.AT math.CT
Coherence for indexed symmetric monoidal categories
本文针对索引对称幺半范畴这一双范畴细化结构，拓展现有相干定理，证明由其定义的双范畴上一大类运算具有典范同构，并引入判定同构存在性的严格图形演算。
2023-06-19 math.AT math.CT
Bicategorical homotopy fiber sequences
Small Bénabou的双范畴，特别是Mac Lane的幺半范畴，都有很好理解的分类空间，这些空间赋予它们的胞元几何意义。本文对双范畴与其分类空间的同伦型之间的关系作了一些研究。主要是将Quillen定理A和B推广到双范畴之间的lax函子上。
2013-09-17 math.AT math.CT
The Classification of Two-Dimensional Extended Topological Field Theories
我们提供了一个完整的生成元和关系表示的2维扩展无向和有向bordism双范畴对称monoidal双范畴。从而对任意目标双范畴的二维扩展拓扑域论进行了分类。作为一个直接的推论，我们得到一个具体的分类时，目标是对称monoidal双范畴的代数，双模，和intertwiners在一个固定的交换基环。在定向的情况下，这样一个扩展的拓扑域论等价于指定一个（非交换的）可分对称Frobenius代数。全文共分三章。第一个发展了一个变种的更高的莫尔斯理论，并使用它来获得一个组合描述的表面适用于更高的范畴语言后使用。第二章是对对称么半群双范畴理论的一个扩展性的讨论。我们介绍了几个更严格的变种对称monoidal bicategory的概念，并给出了一个非常一般的治疗的概念表示的发电机和关系。最后，我们提供了主机的严格化和一致性的结果对称monoidal双范畴。最后一章主要讨论扩展的tqfts。我们给出了一个精确的处理扩展bordism bicategory配备了额外的结构（如框架或方向）。我们应用前两章的结果来获得有向和无向边界双范畴的简单表示，并描述了为其他结构选择获得这种分类的一般方法。我们研究的后果，我们的分类时，目标是双范畴的代数，双模，地图，在一个固定的交换基环。
2014-08-02 math.AT
Nerves and classifying spaces for bicategories
本文探讨了与任何双范畴C有关的各种单纯和伪单纯对象之间的关系。它证明了这样一个事实，即所有这些可能的候选“C的神经”的几何实现是同伦等价的。因此，这些实现中的任何一个都可以被视为双范畴的分类空间BC。它的另一个主要结果证明了一个直接的推广的同伦Colimit定理'的bicategories：当同伦colimit建设是由应用分类空间函子到图的bicategories得到的空间图，所产生的空间具有同伦类型的某一bicategory，称为' Grothendieck建设上的ESTA '。我们的研究结果提供了所有合理的扩展到双范畴的Quillen的定义的“分类空间”的一个类别的几何实现的类别的Grothendieck神经的一致性，它们被应用到monoidal（张量）类别通过元素的“delooping”建设。
2009-03-30 math.AT math.CT
2-Dimensional Categories
这本书是一个介绍2-范畴和bicategories，假设只有最基本的方面的范畴论。回顾了基本的范畴论，然后系统地讨论了2-/双范畴，粘贴图，松弛函子，2-/双极限，Duskin神经，2-神经，双范畴中的分离和单子，2-单子，双等价，双范畴的Yoneda引理，以及双范畴的相干定理。接下来讨论格罗滕迪克纤维化和格罗滕迪克结构，然后是三范畴，monoidal双范畴，格雷张量积和双范畴。一些基本的，但很难找到的结果的完全详细的证明是第一次。有练习和大量的动机和解释，这本书对初学者和专家都很有用。
2020-06-17 math.AG math.AT math.CT
Bicategorical homotopy pullbacks
同伦理论的高级范畴结构已成为一个相关的一部分，机器的代数拓扑和代数K理论，本文载有贡献的研究之间的关系Bénabou的bicategories和同伦类型的分类空间。本文主要通过在合理的必要条件下，用双范畴图$\mathcal{A}\to\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{A}'$对分类空间上的连续映射的同伦纤维积给出双范畴理论解释，来陈述和证明Quillen定理B的一个推广.给出了幺半范畴和交叉模的同伦拉回研究的应用。
2014-04-10 math.AT math.CT
Symmetric monoidal categories and $Γ$-categories
本文构造了相干交换幺半范畴范畴的一个对称幺半群闭模型范畴。本文的主要目的是建立一个协调可换幺半范畴范畴的模型范畴与一个置换（或严格对称monoidal）范畴的自然模型范畴$\mathbf{Perm}$之间的Quillen等价，它不是一个对称monoidal闭模型范畴.这个Quillen等价的右伴随是经典的Segal神经函子。
2019-10-09 math.AT math.CT math.KT
Presentably symmetric monoidal infinity-categories are represented by symmetric monoidal model categories
我们证明了标题中的定理。更准确地说，我们证明了更强的声明，每一个对称monoidal左伴随函子之间的presentably对称monoidal无穷大范畴是由一个强对称monoidal左Quillen函子之间的单纯，组合和左适当的对称monoidal模型范畴。
2017-03-10 math.AT math.CT
$\infty$-operads as symmetric monoidal $\infty$-categories
利用Lurie的对称Monoidal包络函子给出了$\infty$ -运算的两种新的描述：一类是对称Monoidal $\infty$ -范畴，其基础的对称Monoidal $\infty$ -群胚是自由的;另一类是对称Monoidal $\infty$ -范畴，其上有一个到有限集的对称Monoidal函子（不交并为张量积）.后者导致$\infty$ -操作的第三个描述，作为一个本地化的预层$\infty$ -范畴，我们使用这个给一个简单的证明之间的等价性Lurie的和Barwick的模型$\infty$ -操作。
2022-09-11 math.AT math.CT
Tensor product for symmetric monoidal categories
我们对对称幺半范畴引入了一个张量积，它具有以下性质。用SMC表示以小对称幺半范畴、箭对称半群函子和2-胞体半群自然变换为对象的2-范畴。我们的张量积加上一个合适的单位是SMC上的结构的一部分，该结构是对称monoidal闭范畴的2-范畴版本。这个结构非常简单。特别是在张量的结合律和对称律以及单位消去律中涉及的箭头是2-自然的，并且满足严格交换图的相干公理。我们还证明了SMC的范畴商由其2-胞腔所生成的同余构成，且具有对称的么半群闭结构。
2008-06-11 math.AT math.CT
Equivariant symmetric monoidal structures
基于等变同伦理论中观察到的结构，我们定义了对称monoidal范畴的一个等变推广：一个$G$ -对称幺半范畴。它们不仅记录了由任意有限$G$ -集索引的对称么半群乘积，而且记录了对称么半群幂。然后，我们定义$G$ -交换幺半群的自然扩张的普通交换幺半群这一新的背景。使用这种机器，然后我们描述当Bousfield本地化等变谱保持一定的运算代数结构，我们探索的后果，我们的定义类别的模块在$G$ -交换幺半群。
2016-10-10 math.AT math.CT
Closed symmetric monoidal structure and flow
流的类别不是完全封闭的。我们构造了一个封闭的对称幺半群结构，而且从计算机科学的观点来看，它具有令人满意的行为。
2003-08-07 math.AT math.CT
Monoidal Relative Categories Model Monoidal $\infty$-Categories
Kyoto University（京都大学）
本文证明单调相对范畴的同调理论等价于单调∞-范畴的同调理论，并在对称单调情况下同样成立。通过应用，证明了每个可呈现的单调或可呈现的对称单调∞-范畴都由单调或对称单调模型范畴呈现。
2026-03-27 math.AT math.CT
A Bicategory Approach to Differential Cohomology
给出了微分上同调的一种双范畴方法。基于Bunke-Schick公理，将对称么半群广群与上同调理论的微分加细联系起来。它被证明，这样的微分加细是唯一的等价的相应的对称monoidal广群和现有的唯一性结果的理性甚至理论解释在这个框架内。此外，我们展示了如何bicategory形式主义可以用来给一个简单的建设的微分细化的任何广义上同调理论的基础上，完善的陈省身字符的严格变换的bicategories。
2013-02-28 math.AT math.GT
Parsummable categories as a strictification of symmetric monoidal categories
证明了Schwede定义的parsummable范畴的同伦理论关于范畴的基本等价于通常的对称幺半范畴的同伦理论.特别是，这产生了一个对称的幺半范畴范畴的模型，这些范畴配备了严格的交换、结合和酉（但只是部分定义的）运算。
2021-05-12 math.AT math.CT
The 2-monoidal structure of symmetric sequences
EPFL, Switzerland（瑞士洛桑联邦理工学院）
该研究证明Dwyer与Hess提出的对称序列范畴的2-幺半结构猜想，通过分析两种幺半结构的相互作用，得出每个operad都具有Day-operad结构的结论。
2026-09-01 math.AT math.CT
Infinity categories with duality and hermitian multiplicative infinite loop space machines
本文证明具有对偶的预加性无穷范畴可产生直和埃尔米特K-理论谱，并构造E-无穷环谱，同时给出典范对偶的存在性及对偶的分类与扭曲。
2025-03-31 math.AT math.CT math.KT
Normed symmetric monoidal categories
我们引入$N_\infty$空间的范畴模型，我们称之为赋范对称幺半范畴（NSMCs）。这些都是普通的对称幺半范畴，配备了相容的范数映射族，当专门用于特定的一类例子时，它们揭示了吉鲁-梅-梅林-奥索尔诺的等变对称么半群范畴与希尔-霍普金斯的等变对称么半群范畴之间的联系。我们还给出了一个操作的解释的Mac巷相干定理，并将其推广到包括NSMCs。除此之外，该定理确保NSMC的分类空间是$N_\infty$空间。最后，我们扩展我们的相干定理，包括NSMCs严格的关系。
2020-08-17 math.AT math.CT
Symmetric monoidal extensions and graph cobordisms between finite sets
本文针对对称幺半$(\u221e,n)$-范畴，发展了一套工具以显式描述自由对称幺半扩张，并应用于构造有限集间图配边的对称幺半$(\u221e,2)$-范畴，作为有限集范畴的扩张，恢复了Barkan--Steinebrunner和Galatius的结果。
2025-09-26 math.AT math.CT
Quasistrict symmetric monoidal 2-categories via wire diagrams
本文给出Schommer-Pries引入的拟严格对称monoidal 2-范畴的一个简单的解释。我们重新制定的定义，使用图形演算称为线图，这有利于计算，并强调所发挥的核心作用的interchangor一致性同构。
2014-09-07 math.AT math.CT math.QA
Equivariant algebraic $K$-theory of symmetric monoidal Mackey functors
本文统一了等变对称幺半范畴的代数 K 理论构造，并证明每个连通 genuine G-谱等价于 Bohmann-Osorno 范畴 Mackey 函子的等变代数 K 理论。
2025-05-11 math.AT math.KT
A homotopy theory of coherently commutative monoidal quasi-categories
本文的主要目的是构造一个相干交换monoidal拟范畴的对称monoidal闭模型范畴。我们构建另一个模型类别结构，其conquerant对象（本质上）是那些coCartesian纤维化，它代表的对象，被称为对称monoidal准范畴在文献中。我们继续建立两个模型类别之间的奎伦等价。
2020-05-03 math.AT math.CT
Operads within monoidal pseudo algebras
运算的一般概念，其中包括作为实例，运算最初设想研究闭路空间，以及更高的运算中出现的球形方法，以高维代数。在本文的框架中，人们也可以描述对称和编织类似物的高操作，可能是重要的弱对称，高维monoidal结构的研究。
2004-10-08 math.AT math.CT
Coalgebras in the Dwyer-Kan localization of a model category
我们发现，弱monoidal Quillen等价诱导等价的对称monoidal $\infty$范畴的Dwyer-Kan本地化的对称monoidal模型范畴。这个结果将导出$\infty$ -范畴中余代数的Dold-Kan对应.此外，它表明，Shipley的曲折的Quillen等价提升到一个明确的对称monoidal等价的$\infty$ -范畴的稳定的Dold-Kan对应。研究了与monoidal幺半范畴相关的同伦凝聚余代数。我们展示的例子时，这些余代数不能刚性化。也就是说，它们的$\infty$ -范畴不等价于严格余代数在通常的monoidal模型范畴的谱和连接离散$R$ -模中的Dwyer-Kan局部化。
2021-12-17 math.AT math.CT
Admissible replacements for simplicial monoidal model categories
本文利用Dugger万有模型范畴构造，为单纯与组合对称幺半群模型范畴构造了具有更好operadic性质的替换，并证明稳定情形下当幺半群单位是紧生成元时，此类范畴可由交换环谱分类，且与唯一确定的交换环谱上的模强幺半群Quillen等价。
2021-07-15 math.AT math.CT
On the Kelly monoidal structure of $Λ$-sequences and unital operads
本文研究了Λ序列的凯利单体结构，证明了其与对称序列右模的同构，并建立了普遍的正常弱单体结构，将单位运算子识别为单体。
2026-02-13 math.AT math.CT
Equivalence of Operads over Symmetric Monoidal Categories
本文研究了两个对称幺半范畴之间的Quillen模型范畴性质推广到它们的对称序列范畴和运算范畴的条件。给定一个Quillen等价$λ: \mathcal{C}=Ch_{\Bbbk,t} \leftrightarrows \mathcal{D}: R,$，使得$\mathcal{D}$是任意对称幺半范畴，伴随对$(λ, R)$是弱monoidal范畴，我们证明了连通运算范畴$Op_\mathcal{C}$和$Op_\mathcal{D}$是Quillen等价的.当我们用$\mathcal{C}$ -幺半群和$\mathcal{D}$ -幺半群的子范畴代替这些范畴时，这扩展了Schwede-Shipley（\cite{SS03}）的一个类似结果。
2019-06-13 math.AT
A symmetric monoidal fracture square
本文研究从K-局部与K-完备子范畴恢复刚性紧生成对称幺半稳定∞-范畴，并保持对称幺半结构，推广至G-谱情形，给出各向同性分离的对称幺半变体。
2024-11-08 math.AG math.AT math.CT
Is $D$ symmetric monoidal?
证明了某个函子$D\colon\text{Sp}^Σ(\text{Ch}^+)\to\text{Ch}$是对称幺半群.这个函子在其他地方用于发展对称光谱和链复形的模型范畴论，这些模型范畴理论在$\mathbb{N}$或$\mathbb{Z}$上分级。
2020-01-21 math.AT
A note on the composition product of symmetric sequences
我们考虑对称序列的合成产品的情况下，基本的对称monoidal结构不与上产品交换。即使这个合成积不是对称序列上的幺半群结构，它也有足够的结构，即一个“正规oplax”幺半群积的结构，能够定义幺半群（然后是基础范畴上的运算符）并构成一个bar构造。这项工作的主要好处是在双重设置中，它允许我们为cooperads定义cobar构造。
2012-04-03 math.AT math.CT
Coalgebras in symmetric monoidal categories of spectra
证明了球谱上的余代数在对称谱、正交谱、$Γ$ -空间、$\mathcal{W}$ -空间和EKMM $\mathbb{S}$ -模范畴中都是余交换的.我们的结果只适用于这些严格的幺半范畴的光谱，并不适用于$\infty$类别设置。
2018-04-17 math.AT
Reedy diagrams in symmetric monoidal model categories
给定一个小范畴$I$和一个闭对称monoidal范畴$\mm$，我们证明了具有对象积的图范畴$\mm^I$是一个闭对称幺半范畴.然后证明了如果$I$是Reedy范畴且$\mm$有与其乘积相容的模型结构，那么只要$\mm$是共纤生成的，那么$\mm^I$上的Reedy模型结构也是相容的.
2020-03-18 math.AT
Invertibility and parity in symmetric monoidal categories
Case Western Reserve University（凯斯西储大学）；The Ohio State University Newark（俄亥俄州立大学纽瓦克分校）
本文引入了形式态之间可逆对象的奇偶性概念，并利用其证明了相应的协整定理。通过自由置换范畴的详细处理及超整数的骨骼模型，展示了两者之间的等价关系。
2026-04-16 math.AT math.CT
What are symmetric monoidal categories?
University of Southern California（南加州大学）；The University of Chicago（芝加哥大学）；MIT（麻省理工学院）；Haverford（哈弗福德学院）；Wellesley（韦尔斯利学院）
研究对称幺半范畴，证明其2-范畴与$\sP$-伪代数及严格特殊$\sF$-伪代数的2-范畴等价，此等价为无限循环空间理论提供简化增强，有独立研究意义。
2026-07-16 math.AG math.AT math.CT
Algebras and modules in monoidal model categories
我们构造模型范畴结构的幺半群和模的对称幺半群模型范畴，满足额外的公理，幺半群公理，应用对称谱和$Γ$ -空间。
1998-01-19 math.AT
Symmetric monoidal G-categories and their strictification
给出了真对称monoidal G-范畴的运算定义，证明了它的分类空间是真E_ \infty G-空间.我们通过发展一些非常普遍的范畴连贯理论来做到这一点。我们结合角落和古尔斯基，权力，缺乏的结果，制定严格的理论，伪代数的操作和单子。它专门把真正的对称么半群G-范畴严格化为真正的置换G-范畴。我们所有的工作都发生在一个一般的内部分类框架中，这个框架有许多不同的专门化。当G是一个有限群时，本文的理论与前人的工作相结合，将等变无限闭路空间理论从严格的空间级输入推广到更一般的范畴级输入.它把真正的对称monoidal G范畴作为输入到一个等变无限闭路空间机器，该机器给出真正的G谱作为输出。
2019-07-24 math.AT
A symmetric monoidal and equivariant Segal infinite loop space machine
在[MMO]（arXiv：1704.03413）中，我们改进和推广了等变无限闭路空间理论，给出了如何从具有适当结构的$G$ -空间构造$G$ -谱.本文构造了等变Segal机的一个新变体，它从有限集范畴$\scr{F}$而不是从有限$G$ -集范畴${\scr{F}}_G$出发，并且等价于Shimakawa和[MMO]中所研究的机.与[MMO]中的机器不同，新机器给出了从$\scr{F}$ - $G$ -空间的对称幺半范畴到正交$G$ -谱的对称幺半范畴的松弛对称么半群函子.我们将它与悬浮$G$ -谱和Eilenberg-MacLane $G$ -谱通过松弛对称monoidal函子从基$G$ -空间和从阿贝尔群到$\scr{F}$ - $G$ -空间相乘。即使是非等变的，这也给出了西格尔机器的一个有吸引力的新变体。这个新的变体使得理论的等变推广本质上是形式的，因此很可能适用于其他情况。
2018-09-05 math.AT
Homotopy theory of non-symmetric operads
我们赋予范畴的非对称操作与自然的模型结构。我们的工作没有任何限制，我们的操作，只假设通常的假设模型类别与对称monoidal结构。我们还研究了这些操作代数范畴丰富的非对称monoidal模型范畴。
2011-01-09 math.AT math.CT math.QA
Genuine vs. naïve symmetric monoidal G-categories
本文证明在等变弱等价意义下，真正的对称幺半 G-范畴等价于带 G-作用的普通对称幺半范畴，并给出全局无限环路空间的运算子模型及与 G-可部分求和范畴的等价。
2023-09-30 math.AT
G-symmetric monoidal categories of modules over equivariant commutative ring spectra
我们描述了某些等变交换环谱上的等变模范畴上的乘法结构。在我们以前的工作的N-无限环谱的基础上，我们构造了类别的等变运算模的N-无限环结构的等变线性等距运算。这些范畴的模被赋予等变对称monoidal结构，这相当于“同伦范畴中的不完全Mackey函子”的结构。特别地，我们构造了满足双陪集公式的内范数。我们认为，本文的工作作为第一步，等变导出代数几何。
2018-04-24 math.AT
Mixed Hodge structures and formality of symmetric monoidal functors
我们使用混合霍奇理论表明，函子的奇异链的有理系数是正式作为一个宽松的对称monoidal函子，当限制到复杂的计划，其重量过滤上同调满足一定的纯度性质。这直接应用于运算符的形式，或者更一般地说，应用于由着色运算符编码的代数结构。我们还证明了一个对偶语句，与应用程序的形式在理性同伦理论的背景下。在一般情况下，复杂的计划与非纯重量过滤，我们涉及的奇异链函子的重量谱序列的首项定义的函子。
2022-10-26 math.AT
Symmetric spectra
长期的狩猎对称幺半范畴的频谱终于结束了成功的同时发现的第三作者的发现对称谱和Elmendorf-Kriz-Mandell-May类别的S-模。本文在单纯集和拓扑空间的基础上定义并研究了对称谱的模型范畴。我们证明了对称谱范畴是闭的对称么半群，并且对称么半群结构与模型结构相容。我们证明了对称谱的模型范畴与Bousfield和Friedlander谱范畴是Quillen等价的。我们证明了么半群公理成立，从而得到了环谱的模型范畴和给定环谱上的模。
1998-03-04 math.AT
A Monoidal Model for Multilinearization
利用有限集和注入的范畴，我们构造了一个新的模型的多函子的多重线性化空间之间出现在古德威利演算的衍生物。我们表明，该模型产生一个宽松的monoidal函子从范畴的对称函子序列的空间的对称序列的范畴后，评估在单位。
2018-10-15 math.AT
Monoidal uniqueness theorems for stable homotopy theory
我们证明了谱的稳定同伦范畴上的么半群积是唯一的。这加强了工作，这位作者与施韦德的唯一性模型的稳定同伦理论的频谱。作为一个应用程序，我们表明，与一个额外的假设基础模型结构马戈利斯公理唯一确定稳定的同伦范畴的谱monoidal等价。此外，这里构造的等价给出了已知的等价的各种对称幺半范畴的谱（S-模，\W -空间，正交谱，单纯函子）与对称谱的统一结构。并讨论了模、代数和交换代数在这些范畴中的等价性。
2000-12-04 math.AT
On the global homotopy theory of symmetric monoidal categories
本文证明可和范畴的整体同伦论可由对称幺半范畴建模，并等价于可和单纯集的同伦论，为整体相干交换幺半群提供桥梁。
2023-05-16 math.AT
