Horizontal submanifolds of groups of Heisenberg type
研究Heisenberg型Carnot群的极大水平子群。我们分类的尺寸一半的典型分布（“拉格朗日”），并说明了一些值得注意的小尺寸。一个无穷小分类的任意极大水平子流形如下的结果。
2005-10-20 math.DG
Convex Functions on Sub-Riemannian Manifolds. I
我们找到了一种不同的方法来定义凸函数的次黎曼设置。子黎曼流形上的函数是非完整测地线凸的，如果它对任何非完整（最直）测地线的约束是凸的。在卡诺群的情况下，这个定义与Danniell-Garofalo-Nieuhn的定义一致（相当于Lu-Manfredi-Stroffolini的定义）。非完整测地线是用水平联络线定义的。引入了一个新的对应于水平连接的距离，并证明了近正则点与Carnot-Carathèodory距离等价。研究了凸函数的一些基本性质。特别地，我们证明了任何非完整测地线凸函数局部有界的上面是局部Lipschitz的Carnot-Carathèodory距离。
2007-01-10 math.DG
Polar Coordinates in Carnot groups II
本文研究 Carnot 群的可极化性，证明了若 Carnot 群支持具有适当性质的水平极坐标系，则该群是可极化的，从而确立了该性质的充要条件。
2022-08-09 math.AP math.DG math.MG
Jet spaces on Carnot groups
$\mathbb R^n$上的喷流空间已经被证明具有分层李群（也称为卡诺群）的正则结构。我们构造了适用于水平微分的分层李群上的喷流空间，并证明了这些喷流空间本身也是分层李群。此外，我们表明，这些喷流空间支持接触映射的延拓理论，特别是，Bäcklund型定理成立。这些结果的一个副产品是嵌入定理，表明每个分层李群的步骤$s+1$可以嵌入到喷流空间的分层李群的步骤$s$。
2023-02-28 math.DG
Geodesic convexity and closed nilpotent similarity manifolds
某些幂零李群具有类似于作用于欧几里得空间的相似群的变换群。我们称这样的对为幂零相似结构。这是值得注意的情况下，所有卡诺集团和他们的分支。我们推广了Fried的一个定理：具有幂零相似结构的闭流形是完备的或辐射的，在后一种情况下，对于没有点的空间结构是完备的。证明依赖于一个设置中的凸参数的推广，在由李代数给出的坐标，我们研究测线段，而不是线性段。我们展示了经典的后果闭流形的几何模型的边界上的秩一对称空间。
2020-03-06 math.DG
Korevaar-Schoen Energy and Interpolations of Fractional Sobolev mappings on Carnot groups
该研究将欧氏空间的弱接触方程结果推广到次黎曼框架下的Carnot群，探究分数阶Sobolev映射的Korevaar-Schoen能量与插值性质，证明满足弱接触方程的映射属于特定水平分数阶Sobolev空间，建立插值定理并刻画Korevaar-Schoen能量的极小化子。
2026-10-09 math.DG math.FA math.MG
Sub-Riemannian curvature of Carnot groups with rank-two distributions
本文所讨论的曲率概念是黎曼截曲率的一个广泛推广。它首先由Agrachev、Barilari和Rizzi在arXiv：1306.5318中引入，并且它被定义用于广泛的一类最优控制问题：一个统一的框架，包括诸如黎曼、次黎曼、芬斯勒和次芬斯勒结构的几何结构。本文研究了秩为2的卡诺群的广义截面曲率。特别地，我们考虑了具有Goursat型水平分布的Cartan群和Carnot群。在这些卡诺群中，我们刻画了充分等正则测地线。对于具有水平Goursat分布的卡诺群，我们证明了它们的广义截面曲率仅依赖于分布的恩格尔部分。这个卡诺群族自然包含了三维海森堡群和恩格尔群。此外，我们还表明，在恩格尔和嘉当群存在初始余向量，有一个无限的离散集的时间，在相应的丰富测地线是不等正则的。
2017-02-08 math.DG math.MG math.OC
A rectifiability result for finite-perimeter sets in Carnot groups
该研究在Carnot群框架下提出了一种可能更弱的锥性质可求长概念，证明有限周长集的约化边界可被可数个具该性质的子集覆盖，还推导了锥内含水平方向时的可数可求长性，并验证其在丝状群中成立。
2023-10-04 math.AP math.DG math.GR
The Sard problem in step 2 and in filiform Carnot groups
我们研究了一些著名的卡诺群类中端点映射的Sard问题。我们的第一个主要结果涉及步骤2卡诺群，其中我们提供了异常集余维的下界（仅取决于群的代数）;结果表明我们的界总是至少为3，这改进了arXiv：1503.03610中证明的结果，并解决了arXiv：1709.02854中出现的问题。在我们的第二个主要结果中，我们刻画了丝状群中的反常集，并证明它要么是一条水平线，要么是一个三维代数簇。
2022-03-30 math.DG math.MG math.OC
Horizontal normal map on the Heisenberg group
基于Heisenberg群上函数的次黎曼结构，研究了Heisenberg群上函数的H-次微分和H-正规映射的概念。特别地，通过H-次微分在每一点的非空性给出了函数凸性的一个特征。
2008-11-14 math.DG
On the sub-Riemannian geometry of the quaternionic Heisenberg group
Chungnam National University（忠南国立大学）；University of Patras（帕特雷大学）；Yamaguchi University（山口大学）
本文研究四元数Heisenberg群的子黎曼几何，通过定义一系列黎曼度量并分析其极限，刻画了测地线和距离，并推导了超曲面的水平平均曲率公式。
2026-01-27 math.DG
Isoperimetric, Sobolev and Poincaré inequalities on hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups
本文研究齐次维数为Q的k步卡诺群G中的光滑子流形。在其他结果中，我们将证明一个等周不等式，它适用于具有或不具有边界$\partial S$的$C^2$ -光滑紧致超曲面S; S和$\partial S$被赋予它们的齐次测度，实际上等价于G上关于某个齐次度量$\varrho$的内在（Q-1）维和（Q-2）维Hausdorff测度;见第5节。这推广了一个经典的不等式，涉及超曲面的中曲率，由Michael和Simon [63]证明，并由Allard [1]独立证明。特别是，从这个结果可以推导出一些相关的Sobolev型不等式;见第7节。证明策略受经典证明策略的启发。特别地，我们将从证明一些线性等周不等式开始。一旦证明了这一点，就可以推导出一个局部单调性公式，然后通过一个覆盖论证来结束证明。然而，我们强调，由于我们不同的几何设置，存在许多差异。在本文中特别开发的一些工具依次是"爆破“定理，它也适用于特征点，以及HS梯度的光滑Coarea公式;见第3节和第4节。其他工具是水平分部积分法公式和H-周长的第一个变化已经在[68]，[69]中发展，并在这里推广到具有非空特征集的超曲面。这些结果的一些自然的应用是在最小和常数水平中曲率超曲面的研究。此外，我们将证明一些纯水平的，局部的和整体的庞加莱型不等式以及一些相关的事实和结论;见第4节和第5节。
2009-10-29 math.AP math.DG
Blow-up estimates at horizontal points and applications
层群中光滑子流形的水平点对于Carnot-Carnovel 'odory距离起着奇点的作用。当我们考虑超曲面时，它们与众所周知的特征点重合。分两步得到了$C^{1,1}$光滑子流形在所有水平点上的黎曼曲面测度的逐点估计。作为应用，我们建立了计算任意$C^{1,1}$子流形的球面Hausdorff测度的积分公式.我们的技巧还表明，$C^2$光滑子流形到处承认一个内在的爆破和极限集是一个内在齐次代数簇。
2008-07-28 math.DG math.MG
On potentials for sub-Laplacians and geometric applications
本文提出了一种在同构卡拉尼集团中利用几何完备性估计极集哈代维度的新方法，并应用于CR几何等领域。
2025-12-24 math.AP math.DG
Metric currents, differentiable structures, and Carnot groups
我们研究理论的度量电流的Ambrosio和Kirchheim的设置空间承认可微结构的意义上的Cheeger和基思。我们证明了度量形式消失的意义上的Cheeger一组也必须消失时，与电流集中沿该集。从这一点，我们推导出一个推广的链式法则，并表明，绝对连续质量的电流是由积分对可测的$k$ -向量场。进一步证明了：如果度量空间是一个具有Carnot-Carathéodory距离的Carnot群，则当$θ\in Ω^{1}(\mathbb{G})$零化$\mathbb G$的水平丛时，每个度量流$T$满足$T\lfloor_θ=0$和$T\lfloor_{dθ}=0$.此外，这个条件是一个关于黎曼度量的度量流扩展到关于卡诺-卡拉西奥多里度量的度量流的充要条件，只要这个度量流是局部正规的，或者具有绝对连续的质量。
2011-02-06 math.DG math.FA math.MG
Semigenerated step-3 Carnot algebras and applications to sub-Riemannian perimeter
本文对卡诺群中有限内蕴周长集的研究作出了贡献。我们的目的是刻画在哪些群中，唯一具有恒定内禀法线的集合是垂直半空间。我们的观点是代数的：当且仅当由每个水平半空间生成的半群是垂直半空间时，这种现象发生。我们把具有这种性质的卡诺群称为\emph{semigenerated}。对于卡诺群的幂零性步骤3，我们提供了一个完整的半代方面的表征，这些群体是否没有任何恩格尔型的子。这里引入的恩格尔型群是最小的（就同数而言）反例。此外，我们还给出了任意步长卡诺群半生成的一些充分判据。为此，我们定义了一类新的卡诺群，我们称之为类型$(\Diamond)$，它推广了以前由M定义的类型$(\star)$的概念。马奇作为一个应用，我们得到了在$ (\Diamond) $型群和没有任何Engel型代数作为商的第3步群中，对于有限周长的集合，在Franchi，Serapioni和Serra-Cassano意义下得到了一个强可求正性结果.
2020-04-18 math.DG math.GR math.MG
Horizontal Holonomy for Affine Manifolds
本文考虑光滑连通有限维流形$M$，具有和乐群$H^{\nabla}$的仿射联络$\nabla$，以及光滑完全不可积分布$Δ$.我们定义$Δ$ -水平和乐群$H^{\;\nabla}_Δ$为$H^{\nabla}$的子群，它是由$\nabla$ -平行传输帧只沿着与$Δ$相切的环得到的.我们首先设置$H^{\;\nabla}_Δ$的基本属性，并展示如何使用滚动形式主义（\cite{ChitourKokkonen}）来研究它。特别地，证明了$H^{\;\nabla}_Δ$是一个李群.此外，我们研究了一个明确的例子，$M$是一个自由的步骤，两个齐次卡诺群和$\nabla$是列维-Civita连接与黎曼度量$M$，并表明，在这种特殊情况下，连接组件的身份$H^{\;\nabla}_Δ$是紧凑的，严格包括在$H^{\nabla}$。
2014-11-02 math.DG math.OC
Sub-Riemannian heat kernels and mean curvature flow of graphs
我们引入了一个次黎曼模拟的Bence-Merriman-Osher扩散驱动算法，并表明它导致弱解的水平中曲率流的图在次黎曼卡诺群。证明遵循最初由L. C. Evans在欧氏空间中建立的，并基于子图的特征函数的次黎曼热流与相应图的水平中曲率之间关系的新结果.
2013-01-19 math.AP math.DG
Convex isoperimetric sets in the Heisenberg group
我们刻画了具有水平周长的Heisenberg群中的凸等周集。首先证明了一类有界变差平面上向量场的Sobolev正则性，并与曲率方程有关。然后，通过近似-重新参数化的论证，我们证明了凸等周集的边界是由Carnot-Caratheodory距离的测地线划分的。
2006-07-26 math.CA math.DG
Regularity of sets with constant horizontal normal in the Engel group
在具有Carnot群结构的Engel群中，研究了局部有限的次黎曼周长的子集和具有常次黎曼法线的子集。我们证明了这些集合的可求正性：更确切地说，我们表明，在某些特定的坐标，它们是整个Lipschitz函数的上图（相对于欧几里德距离）。然而，我们发现，当它们被写为关于法线方向的内在上图时，定义集合的函数甚至可能不连续。然而，我们可以证明，人们总是可以找到其他水平方向，使集合是函数的上图，该函数对于内在距离是Lipschitz连续的（特别是对于欧氏距离是Hölder连续的）。进一步讨论了具有常水平法线的集合类的PDE刻画。最后，我们表明，我们的整流论证延伸到第一类丝状群的情况下。
2012-01-30 math.AP math.DG math.GR
Displacement convexity of Invariant Measures and curvature bounds of isometric actions
Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universidade Estadual de Campinas（坎皮纳斯州立大学）；Max-Planck-Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进研究所数学系）
该研究针对紧致李群的真等距作用，刻画了不变概率测度空间上内能泛函的位移凸性，建立了其与加权商空间Bakry–Émery曲率条件的等价关系，推广了von Renesse–Sturm定理。
2026-08-28 math.DG math.DS math.PR
Polynomial and horizontally polynomial functions on Lie groups
我们推广了李群上的多项式函数的概念和卡诺群上的水平仿射映射的概念。我们将左不变向量场代数$\mathfrak g$的子集$S$固定在李群$\mathbb G$上，并假设$S$ Lie生成$\mathfrak g$。我们说一个函数$f:\mathbb G\to \mathbb R$（或者更一般地说是$\mathbb G$上的一个分布）是$S$ -多项式，如果对于所有的$X\in S$都存在$k\in \mathbb N$，使得迭代导数$X^k f$在分布意义上为零。首先，我们表明，所有的$S$ -多项式函数（以及分布）表示的解析函数，如果指数$k$在前面的定义是独立的$X\in S$，他们形成一个有限维向量空间。其次，如果$\mathbb G$是连通的且幂零的，我们证明了$S$ -多项式函数是Leibman意义下的多项式函数.对于非幂零群，同样的结果可能不成立.最后，我们证明了在连通幂零李群中，在Leibman意义下是多项式，在指数图上是多项式，以及在$\mathfrak g$方向上某个固定次数的混合导数为零是等价的概念.
2020-11-27 math.DG math.FA math.GR
Stability theorems for H-type Carnot groups
本文引入二阶Carnot群的H型偏差，给出其消失等价于H型结构，并建立水平梯度与次Laplace调和性的逆向解析刻画，还提出并在一类各向异性Heisenberg群上验证定量稳定性猜想。
2022-08-09 math.AP math.DG math.MG
Tubular neighborhoods in the sub-Riemannian Heisenberg groups
研究了次黎曼海森堡群$\mathbb{H}^n$，$n\ge 1$中$δ_E$到闭集$E$的Carnot-Carathéodory距离.在较弱的条件下证明了$δ_E$的$\mathbb{H}$ -正则性，并引入了奇点的一般概念.当$E$是欧氏$C^k$子流形$k\ge 2$时，我们证明了$δ_E$是奇异集之外的$C^k$.当$E$的边界为类$C^2$时，得到了管状邻域的体积的显式表达式，在奇异集之外，根据$\partial E$的水平主曲率和函数$\langle N,T\rangle/|N_h|$及其切导数.
2017-09-21 math.DG math.MG
