The recursion operator for a constrained CKP hierarchy
Chuanzhong Li, Kelei Tian, Jingsong He, Yi Cheng
本文给出了1-约束CKP族的一个递归算子，并利用该递归算子证明了1-约束CKP族在条件$q=r$下可约化为mKdV族.
This paper gives a recursion operator for a 1-constrained CKP hierarchy, and by the recursion operator it proves that the 1-constrained CKP hierarchy can be reduced to the mKdV hierarchy under condition $q=r$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Recursion operators of the BKP hierarchy and the CKP Hierarchy
本文在BKP（CKP）族的约束下，通过一个新的算子$B$，得到了Lax算子$L$中的奇动力学变量$u_{2k+1}$可以由偶动力学变量$u_{2k}$显式表示的结论.利用算子$B$，通过流方程和递归算子给出了BKP族和CKP族在$(2n+1)$ -约化下的本质区别.给出了BKP和CKP族在$(2n+1)$ -约化下的递归算子的形式公式。为了说明这种方法，显式地为BKP和CKP层次的3-约简构造了两个递归运算符。$u_2$的$t_7$流是由$t_1$流通过上述递归算子生成的，它与3-约化下的流方程生成的相应流是一致的。
CKP hierarchy and free Bosons
本文利用自由玻色子，从τ函数的角度研究了CKP族的一些可积性质。首先利用自由玻色子构造了修正的CKP族，并给出了相应的Lax结构。然后利用自由玻色子的方法得到了约束CKP方程与修正CKP方程的对应解。然后利用达布变换与平方本征函数对称性的关系，将CKP族的达布变换用自由玻色子表示，从而更好地理解CKP族的达布变换的本质.特别地，CKP层次的附加对称性可以被看作是CKP达布变换的无穷小生成元。在此基础上，我们最终得到了CKP附加对称对自由玻色子构造的CKP τ函数的作用。
Tau-function of the multi-component CKP hierarchy
本文证明了多分量CKP层次结构tau函数的存在性，并揭示了其与多分量KP层次结构tau函数的关联。
Kadomtsev-Petviashvili turning points and CKP hierarchy
利用KP τ-函数给出了C型Kadomtsev-Petviashvili族（CKP）的一个特征.也就是说，我们证明了CKP族可以通过KP族的奇次流对第二个流的转向点轨迹的限制来识别。阐明了CKP tau函数的概念，并将其与KP tau函数联系起来。代数几何的解决方案，特别是椭圆形的解决方案进行了详细讨论。给出了具有不动点的全纯对合曲线的θ函数的一个新恒等式。
The "ghost" symmetry in the CKP hierarchy
本文系统地研究了CKP族中的“鬼”对称性对Lax算子、Dressing算子、本征函数和τ函数的作用。在这个过程中，本征函数的谱表示的开发和平方本征函数势进行了研究。
Tau function of the CKP hierarchy and non-linearizable Virasoro symmetries
我们引入了一个单一的tau函数，表示的CKP的层次到一个广义广田“双线性”方程。的行动上的tau功能的额外的对称性的层次计算，其中涉及严格超过一个中心的扩展的$w^C_\infty$ -代数。作为应用，证明了与CKP族的某些约化等价的C型Drinfeld-Sokolov族的Virasoro对称在作用于tau函数时是不可线性化的.
The CKP hierarchy and the WDVV prepotential
使用一个多组分版本的CKP的层次，我们构建的WDVV方程的预电位。
Quantum Torus symmetries of the CKP and multi-component CKP hierarchies
本文构造了CKP族和多分量CKP族的一系列附加流，这些流构成了量子Torus对称性正半部分的N重直积.与$W_{\infty}$无限维李对称性相比，这种量子环面对称性具有良好的双指数代数结构。
BKP and CKP revisited: The odd KP system
将KP族的线性系统限制为n为奇数的独立变量tn，其相容性（Zakharov-Shabat条件）导致“奇KP族”.后者由两个因变量的成对方程组成，取值于（通常是非交换的）结合代数。如果代数是可交换的，则已知奇KP族允许BKP族和CKP族的约化。我们接近奇KP层次和它的关系BKP和CKP在不同的方式，并解决问题是否存在非交换版本的BKP和CKP方程（和他们的一些减少）。特别是，我们推导出一个函数表示的线性系统的奇数KP层次，在交换的情况下产生的功能表示的BKP和CKP层次的tau函数。此外，我们考虑的KP层次结构，涉及第二（辅助）因变量和功能的奇KP层次结构直接作为一个子层次的功能表示。一种方法来产生大类的精确解的KP族的解的线性矩阵ODE系统，通过一个层次的矩阵Riccati方程，然后也适用于奇KP族，这反过来又可以利用，特别是，以获得解决方案的BKP和CKP的层次。
On a matrix constrained CKP hierarchy
本文通过分裂理论构造了矩阵约束CKP层次，推广了已知层次，并研究了其达布变换、tau函数及Virasoro向量场。
The generalized Giambelli formula and polynomial KP and CKP tau-functions
本文以广义 Jacobi-Trudy 与 Giambelli 公式刻画 KP 层级的多项式 tau 函数，并利用后者系统得到 CKP 层级及其 n-约化、尤其是 Kaup-Kupershmidt 层级的多项式 tau 函数。
A new bidirectional generalization of (2+1)-dimensional matrix k-constrained KP hierarchy
本文引入了（2+1）维k-约束KP族的一个新的双向推广（（2+1）-BDk-cKPH）.这个新的矩阵族推广了（2+1）维k-cKP矩阵族、$(t_A,τ_B)$矩阵族和$(γ_A,σ_B)$矩阵族.（2+1）-BDk-cKPH包含一个新的矩阵（1+1）-k-约束KP层次.还列出了（2+1）-BDk-cKPH的部分成员。特别是，它包含DS系统的矩阵推广，（2+1）维修改Korteweg-de Vries方程和Nizhnik方程。（2+1）-BDk-cKPH还包括Yajima-Oikawa和Melnikov系统的新的矩阵（2+1）维推广。本文还提出了构造（2+1）-BDk-cKPH方程精确解的二元达布变换Dressing方法。作为一个例子，给出了Davey-Stewartson系统向量推广的多孤子解的精确形式。
CKP Hierarchy, Bosonic Tau Function and Bosonization Formulae
我们发展了京都学派论文中介绍的CKP层次理论[日期E.，Jimbo M.，Kashiwara M.，Miwa T. J. Phys. Soc. Japan 50（1981），3806-3812]（也参见[Kac V.G.，van de Leur J.W.，高等数学物理学，第7卷，《世界科学》公众，Teaneck，NJ，1989，369-406]）。我们提出了适当的玻色化公式。我们表明，在CKP理论的背景下，某些正交多项式出现。这些多项式在偶数和奇数（在格拉斯曼意义上）变量都是多项式。
The two bosonizations of the CKP hierarchy: overview and character identities
本文讨论了由日本物理学会的Date，Jimbo，Kashiwara和Miwa提出的CKP族的Hirota双线性方程。50（11），3813-3818（1981），及其代数性质。我们平行地回顾了CKP层级的两个玻色化：一个来自扭曲的海森堡代数（van de Leur，Orlov和Shiota，SIGMA 8，28（2012）），第二个来自非扭曲的海森堡代数（Anguelova，J. Math. Phys. 58（7），071707（2017））。特别是，我们叙述的分解成不可约海森堡模块和（扭曲）的费米子结构的最高权向量下的两个海森堡行动所跨越的空间。我们表明，这两个玻色化产生四个不同的对角化分次算子的CKP Fock空间，而不是所有的人之间相互交换。我们计算与这四个分级算子相关的各种分级维度。我们证明了一个和与产品的身份有关的玻色子与费米子的描述下untwisted海森堡行动，利用收费和度分级运营商。作为一个推论，由此产生的身份关系的CKP层次，戴森曲柄的分区和Hammond-Lewis birank的一个不同的整数bipartition。
The Cauchy two-matrix model, C-Toda lattice and CKP hierarchy
本文主要利用正交多项式理论和Toda型方程讨论Cauchy双矩阵模型及其相应的可积性。本文从Cauchy双正交多项式的对称约化出发，通过引入时间流导出CKP型Toda方程（或C-Toda格）及其拉克斯对.然后，将C-Toda格点的矩阵积分解推广到CKP族的解，揭示了Cauchy二矩阵模型的含时配分函数就是CKP族的τ-函数.最后，从可积系统的角度建立了Cauchy双矩阵模型与Bures系综之间的联系。
Bosonic construction of CKP tau function
该研究将特定玻色场指数的真空期望值倒数对应为CKP tau函数，借助CKP达布变换逐次作用的思路结合可积系统方法实现其计算，还基于KdV层级与CKP层级的约化关系构造出KdV层级的解。
The second bosonization of the CKP hierarchy
本文讨论了由Date，Jimbo，Kashiwara和Miwa提出的CKP族的Hirota双线性方程的第二玻色化。我们表明，有第二个，untwisted，海森伯作用的Fock空间，除了扭曲海森伯行动建议的日期，Jimbo，Kashiwara和Miwa和研究的van de Leur，Orlov和Shiota。在此作用下，我们导出了Fock空间到不可约Heisenberg模的分解。我们证明了不可约Heisenberg模的最高权向量所张成的空间具有超顶点代数的结构，特别是辛费米子顶点代数。我们完成了第二玻色子化的CKP广田方程表示通过幂玻色子顶点算子作用于一个多项式代数与两个无限集的变量的生成场。
q-Deformed KP Hierarchy and q-Deformed Constrained KP Hierarchy
利用规范变换算符的行列式表示，我们证明了$q$ -KP族的$τ$函数的一般形式是一个q-变形的广义Wronskian，其中包括作为特例的q-变形的Wronskian.在此基础上，我们研究了q-变形约束KP（$q$ -cKP）族，即$q$ -KP族的$l$ -约束.类似于普通的约束KP（cKP）族，$q$ -cKP族的一大类解可以用满足一组常系数线性$q$ -偏微分方程的函数的q-变形Wronskian行列式来表示.我们得到了这些功能所施加的约束的附加条件。特别地，给出了在$q$ -KP体系中最简单的$τ$函数的单$q$ -孤子和在单分量$q$-cKP体系中的多$q$-孤子中的$q$ -形变效应（$q$ -效应），以及它们对$x$和$q$的依赖关系.最后，我们观察到当$x\to 0$和$q\to 1$同时存在时，$q$ -孤子趋于KP方程的通常孤子.
Solving bi-directional soliton equations in the KP hierarchy by gauge transformation
我们提出了一个系统的方法来构造的（n=5）-减少的BKP和CKP系列的KP系列的一般tau函数的解决方案。我们得到了双向Sawada-Kotera（bSK）、双向Kaup-Kupershirt（bKK）和双向Satsuma-Hirota（bSH）方程的单孤子解、双孤子解和周期解。根据exp（i ≠）的五阶根的对称性，对左、右向孤子等不同的解进行了分类.进一步，我们证明了BKP和CKP族的n-约化的孤子解（n= 2 j +1，j=1，2，3，…，可以在1+1时空域中沿j个方向传播。每个这样的方向对应于exp（i ≠）的n次方根的一个对称分布。在此基础上，详细讨论了BKP和CKP两个子族的Grammian τ函数n-约化的双峰孤子的存在性.如果n是偶数，我们再次发现双峰孤子。最后，我们得到了高阶KP族的“平稳”孤子。
Lagrangian Grassmannians, CKP hierarchy and hyperdeterminantal relations
本文研究拉格朗日格拉斯曼流形几何与 CKP 可积层次结构的关系，通过扩展至无穷维并引入费米子 Fock 空间，推导出超行列式关系的无穷维类似形式及多参数族。
Explicit Flow Equations and Recursion Operator of the ncKP hierarchy
导出了非对易Kadomtsev-Petviashvili（ncKP）族流方程的显式表达式.与KP族的流方程相比，我们的结果表明ncKP族的流方程中的附加项确实由动力学坐标\{ $u_i$ \}的分解子组成.给出了流动方程在$n$ -约化下的递推算子。此外，根据2-减少，我们计算一个非局部递归算子$Φ(2)$的非交换Korteweg-de Vries（ncKdV）的层次结构，它产生一个层次结构的本地，高阶流。因此，我们解决了由P. J. Olver和V. V. Sokolov（Commun.Math. Phys.193（1998），245-268）提出的公开问题。
An integrable hierarchy without a recursion operator
针对 Ibragimov–Shabat 耦合二阶演化方程系统，本文构造带本质参数的零曲率表示及所属无限可积族，并证明该族不存在递推算子。
Recursion Relation for Toeplitz Determinants and the Discrete Painlevé II Hierarchy
本文利用单位圆上正交多项式的 Riemann-Hilbert 方法，建立了 Toeplitz 行列式与离散 Painlevé II 层级解之间的联系，并构造了新的 Lax 对，将其映射到 Cresswell 和 Joshi 的已知 Lax 对。
A Recursion Operator for the Universal Hierarchy Equation via Cartan's Method of Equivalence
我们应用Cartan的等价方法找到一个Bäcklund自变换的切覆盖的普遍层次方程。该变换为该方程的对称性提供了递归算子。
Recursion relations for Double Ramification Hierarchies
本文利用稳定曲线的模空间中双分歧圈的交理论，研究了[Bur 15]中引入的Hamilton偏微分方程的可积族--双分歧族的各种性质.特别是，我们证明了一个递归公式，恢复完整的层次结构，从只是一个哈密顿量，一个相关的第一个后裔的单位的上同调场论。此外，我们引入了类似的拓扑递归关系和因子方程的哈密顿密度和双重分歧的弦解决方案。这种机器是非常有效的，我们将其应用到各种计算的平凡和霍奇上同调场论，并为$r$自旋威滕的类。证明了复射影线的Gromov-Witten理论（推广的Toda族）的双分歧族与Dubrovin-Zhang族的Miura等价性。
Constrained Toda hierarchy and turning points of the Ruijsenaars-Schneider model
引入了一类新的可积的非线性微分差分方程族，我们称之为约束Toda族（C-Toda）。它可以被看作是二维Toda格的一个特定的子族，通过对两个Lax算子（在对称规范中）施加约束$\bar {\cal L}={\cal L}^†$而得到。我们证明了C-Toda族的τ函数的存在性，并证明了它是二维Toda格τ函数的平方根。在这方面和其他一些方面，C-Toda是CKP层级的Toda类似物。它还表明，零的τ-函数的椭圆解满足动力学方程的Ruijsenaars-Schneider模型限制在相空间中的转向点。谱曲线具有交换Baker-Akhiezer函数具有本质奇点的标记点的全纯对合。
Lattice modified KdV hierarchy from a Lax pair expansion
通过对格点修正的KdV方程的拉克斯对系统地增加项，我们得到了一个可积方程的层次。方程组之间通过递归关系相互联系。这些递归关系明确解决，使每个方程的层次及其拉克斯对是已知的。
Mirzakhani's recursion relations, Virasoro constraints and the KdV hierarchy
本文给出了加边黎曼曲面的模空间的Weil-Petersson体积的Mirzakhani递推关系的一个微分形式。我们发现，微分关系，这是相当于原来的积分公式的Mirzakhani，是一个Virasoro约束条件的生成函数，这些体积。我们还证明了稳定代数曲线模空间上的psi和kappa_1相交的母函数是KdV族的1参数解。它恢复Witten-Kontsevich生成函数时，参数设置为0。
Recursion Operator and Bäcklund Transformation for Super mKdV Hierarchy
本文研究了由嵌入仿射$\hat sl(2,1)$代数的正奇流构成的${\cal N}=1$超对称mKdV族.它的贝克隆变换是根据保持零曲率表示的规范变换构造的。推导出了与连续流相关的递归算子，并证明了它与连续流的贝克隆变换相关.
Differential Recursions, Projective Discriminants, and Algebraic Generating Functions
本文研究由微分递归定义的二元生成函数层级，揭示其代数性质与Galois群，提出代数性猜想并识别超越性机制。
Relativistic DNLS and Kaup-Newell Hierarchy
利用Kaup-Newell族的递推算子，构造了相对论导数NLS方程和相应的拉克斯对.在非相对论极限$c \rightarrow \infty$下，它化为DNLS方程，并在任何相对论修正阶下保持可积性。该方程的线性问题的紧凑的显式表示成为可能，由于概念的$q$ -演算有两个基地，其中之一是递归算子，另一个是谱参数。
Einstein field equation, recursion operators, Noether and master symmetries in conformable Poisson manifolds
我们表明，一个闵可夫斯基相空间赋予一个括号相对于一个一致的微分实现泊松代数，赋予双哈密顿结构的流形。我们推导出相应的哈密顿向量场是无穷小的Noether对称，并计算出相应的变形递归算子。此外，利用Hamiltonian-Jacobi可分性，构造了共形Poisson-Schwarzschild流形和FLRW流形中Hamiltonian向量场的递推算子，并导出了相应的运动常数、Christoffel符号、Riemann张量和Ricci张量的分量、Ricci常数和Einstein张量的分量.我们强调的双哈密顿结构的两个流形的层次结构的存在，并计算一个家庭的递归算子和主对称生成的运动常数。
Integrable U(1)-invariant peakon equations from the NLS hierarchy
从NLS族出发，利用三哈密顿分裂方法导出了两个可积的$U(1)$不变峰子方程。一个拉克斯对，一个递归算子，一个双哈密顿制定，和一个层次的对称性和守恒定律的峰子方程。这些方程也出现在NLS层次的潜在流量通过应用NLS递归算子产生的空间平移和$U(1)$ -相位旋转的一个潜在的变量流。这两个方程的解决方案是使用一个峰值anerodic结合振荡的时间相位。这就产生了第一个已知的峰孔通气器的例子。空间周期对应的这些解决方案也得到了。
Recursion Operators admitted by non-Abelian Burgers equations: Some Remarks
本文在非线性发展方程研究的框架内，考虑了不同算子Burgers方程所允许的递归算子。具体地说，发展方程，其中的未知数是一个运营商的巴拿赫空间进行了调查。在这里，考虑镜像非阿贝尔Burgers方程：它可以写为$r_t = r_{xx} + 2r_x r$。研究了所接纳的递归算子的结构性质，从而证明了它对镜像非Abel Burgers方程是强对称的，同时也是遗传的.这些结果证明，通过直接计算，以及通过计算机辅助操作，特设例程需要处理非阿贝尔数量和它们之间的关系。所得到的递归算子生成$mirror$非阿贝尔Burgers层次。后者，当未知的运营商$r$被替换为一个实值函数减少到通常的（交换）Burgers层次。因此，递归算子也简化为通常的Burgers算子。
On the Equivalence of Different Lax Pairs for the Kac-van Moerbeke Hierarchy
我们给出了一个简单的代数证明，两个不同的拉克斯对的Kac-van Moerbeke族，分别从Jacobi超对称Dirac-type差分算子，产生相同的发展方程族。作为副产品，我们得到了一些新的递归计算这些方程。
hbar-expansion of KP hierarchy: Recursive construction of solutions
依赖于\hbar的KP层级是KP层级的公式，其依赖于普朗克常量\hbar，并简化为无色散KP层级为\hbar -> 0。本文利用Lax和Orlov-Schulman算子对（L，M）的Riemann-Hilbert问题，给出了其解的递归构造。本文将Riemann-Hilbert问题转化为算子X = X_0 + \hbar X_1 + \hbar^2 X_2 +.的\hbar展开式的系数X_n的一组递推关系。其中修整算子W以指数形式W = \exp（X/ \hbar）表示。给定最低阶项X_0，可以求解递归关系以获得高阶项。与W相关联的波函数δ证明具有WKB形式δ = \exp（S/ \hbar），并且\hbar展开式S = S_0 + \hbar S_1 + \hbar^2 S_2 +.的系数S_n，也是由一组递归关系决定的。这种WKB形式用于表明相关的tau函数具有形式为\log τ= \hbar^{-2} F_0 + \hbar^{-1} F_1 + F_2 +.的\hbar -展开。
A symplectic realization of the Volterra lattice
我们研究了多重哈密顿结构，并构造了Volterra模型的辛实现。我们重新发现的层次结构的不变量，泊松括号和主对称性通过使用递归运算符。有理Volterra括号使用负递归算子获得。
Drinfel'd-Sokolov construction and exact solutions of vector modified KdV hierarchy
我们构造了一个多分量广义修正KdV方程的层次结构，并找到其相关成员的精确解。层次结构及其守恒律的构造是基于Drinfel 'd-Sokolov方案，然而，在我们的情况下，Lax算子包含底层李代数的常数非正则元素。我们还推导出相关的递归算子的层次使用的对称结构的拉克斯运营商。最后，利用有理修整方法，我们得到了单孤子解，并利用行列式得到了一般秩的单呼吸子解。
A rigorous approach to the field recursion method for two-component composites with isotropic phases
在这一章的书，题为“扩展复合材料理论的其他领域的科学”[编辑格雷姆W。Milton，2016]我们给出了复合材料抽象理论中场方程递归方法对具有各向同性相的双组分复合材料的严格推导。这种方法是非常感兴趣的，因为它已被证明是一个强大的工具，在开发尖锐的边界的有效张量的复合材料。其原因是有效张量$\bf L_*$可以在复合抽象理论的一般框架中解释为某个正交$Z(2)$子空间集合上的$Z$ -算子。递归的基本情况开始于希尔伯特空间$\cal H$上的正交$Z(2)$子空间集合、$Z$问题和相关的$Y$问题。我们给出了$Z$ -问题和相关的$Y$ -问题的可解性的一些新条件.给出了相应的$Z$ -算子和$Y$ -算子的显式表示，并研究了它们的解析性质.一个迭代方法，然后开发从一个层次的子空间集合及其相关的运营商，导致连续的分数表示的初始有效张量$\bf L_*$。
Why nonlocal recursion operators produce local symmetries: new results and applications
众所周知，（1+1）维的可积族是局部的，而生成它们的递归算子通常包含非局部项。我们解决这个明显的差异，提供简单和普遍的充分条件（非局部）递归算子在（1+1）维生成一个层次的局部对称性。这些条件是满足几乎所有已知的今天递归运算符和更容易验证比那些发现在早期的工作。我们还给出了（1+1）维可积系统的高阶递归算子、Poisson结构和辛结构的非局部部分的显式表达式。利用这两个结果，在一些自然的假设下，我们证明了Maltsev-Novikov猜想：（1+1）维可积系统的高阶Hamilton算子、辛算子和递归算子是弱非局部的，即，这些算子的系数是局部的，并且这些算子在每项中最多包含一个积分算子。
A strange recursion operator demystified
本文证明了Karasu（Kalalkanli）等人（arXiv：nlin.SI/0203036）研究的一个新的KdV型可积二分量系统是双Hamilton系统，其递归算子可以表示为两个相容Hamilton算子之比，该算子具有非常不寻常的非局部项结构.利用这一点，我们证明了该系统具有无穷多个局部交换广义对称和对合守恒量，并且对应于这些对称的演化系统也是双哈密顿的.我们还表明，在引入合适的非局部变量的非局部项的递归算子的研究中，可以写在通常的形式，与集成操作$D^{-1}$出现在每个术语最多一次。
Elements of spin Hurwitz theory: closed algebraic formulas, blobbed topological recursion, and a proof of the Giacchetto-Kramer-Lewanski conjecture
本文讨论了自旋Hurwitz数的生成函数的性质。特别地，对于具有任意分支轮廓的自旋Hurwitz数，我们构造了由2-分量BKP族的Orlov超几何解给出的加权和。我们推导出与这些τ函数相关的关联函数的封闭代数公式，并在合理的分析假设下证明了回路方程（斑点拓扑递归）。最后，我们证明了一个版本的拓扑递归的自旋Hurwitz数与自旋完成的循环（一个推广版本的Giacchetto-Kramer-Lewaiski猜想）。
Nijenhuis torsion and Frölicher-Nijenhuis brackets of recursion operators via their full-fledged forms
该研究提出基于全形式的新方法，直接计算递归算子的Nijenhuis挠率与Frölicher-Nijenhuis括号，可处理传统方法难应对的高度非局域、多维递归算子，还给出了新的四维通用层级方程递归算子示例。
Soliton equations related to the affine Kac-Moody algebra D^(1)_4
通过计算相应的递归算子，我们导出了无扭仿射卡茨-穆迪代数D^（1）_4的孤子方程族.也被认为是从层次的方程的哈密顿制定。作为一个例子，我们已经明确提出了第一个非平凡的成员的层次，这是一个单参数家庭的mKdV方程。我们还考虑了Lax算子的谱性质，并引入了一组最小的散射数据。
hbar-Dependent KP hierarchy
这是一个总结的hbar依赖KP族的解决方案的递归结构。本文给出了算子X = X_0 + \hbar X_1 + \hbar^2 X_2 +.其中修整算子W以指数形式W = \exp（X/ \hbar）表示。还考虑了波函数和τ函数的对数的渐近行为。
On construction of symmetries and recursion operators from zero-curvature representations and the Darboux-Egoroff system
具有任意个数$n\ge 3$的Darboux-Egoroff偏微分方程系统在描述Egoroff型和Frobenius流形的$n$维平坦对角度量问题中起着重要作用.我们构造了Darboux-Egoroff系统对称性的递归算子及其逆算子，并描述了由这些算子生成的一些对称性。所构造的递归算子不是伪微分算子，而是线性化系统的Backlund自变换，其解对应于Darboux-Egoroff系统的对称性.对于其他一些偏微分方程，Papachristou、Guthrie、Marvan、Poboril和Sergyeyev以前考虑过类似类型的递归算子。在所得到的Darboux-Egoroff系统的三阶和五阶对称的结构中，可以找到$(n-1)$分量向量修正的KdV体系的三阶和五阶流。构造的递归算子也产生无限多的非局部对称。特别是，我们得到了一个简单的建设的非局部对称性，研究了Buryak和Shadrin的上下文中的无穷小版本的Givental-van de Leur扭曲的循环群作用在空间上的半单Frobenius流形。我们得到这些结果，而一般的方法，只使用零曲率表示所考虑的偏微分方程。
An hbar-expansion of the Toda hierarchy: a recursive construction of solutions
构造了\hbar依赖的Toda方程族的通解.该构造基于Lax和Orlov-Schulman算子对（L，M）和（\bar L，\bar M）的Riemann-Hilbert问题.这个Riemann-Hilbert问题被翻译成dressing算子W和\bar W的语言。以指数形式设置修饰算子W = e^{X/ \hbar }和\bar W = e^{X/ \hbar }e^{ \bar X/ \hbar }，并且假设辅助算子X、\bar X和函数X具有\hbar -展开式X = X_0 + \hbar X_1 +.，\bar X = \bar X_0 + \hbar \bar X_1 +.并且n = n_0 + \hbar n_1 +.这些展开式的系数满足一组递归关系。X、\bar X和λ由这些关系递归地确定。此外，相关联的波函数被示出具有WKB形式：ε = e^{S/ \hbar }和\bar ε = e^{ \bar S/ \hbar }，这导致τ函数的对数的\hbar -展开。
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