A classical theorem of Hurewicz characterizes spaces with the Hurewicz covering property as those having bounded continuous images in the Baire space. We give a similar characterization for spaces X which have the Hurewicz property hereditarily. We proceed to consider the class of Arhangel'skii alpha_1 spaces, for which every sheaf at a point can be amalgamated in a natural way. Let C_p(X) denote the space of continuous real-valued functions on X with the topology of pointwise convergence. Our main result is that C_p(X) is an alpha_1 space if, and only if, each Borel image of X in the Baire space is bounded. Using this characterization, we solve a variety of problems posed in the literature concerning spaces of continuous functions.
对于Erdom空间$\mathfrak{E}$，我们定义一个拓扑$τ_{clopen}$，它由$\mathfrak{E}$的闭子集生成。A. V. Arhangel'skii和J. Van Mill询问拓扑$τ_{clopen}$是否与$\mathfrak{E}$上的群结构兼容。本文对此问题给出了否定的回答。
Lindelof indestructibility, topological games and selection principles
Arhangel'skii证明了如果第一个可数T2空间是Lindelöf，那么它的基数至多是$2^{\aleph_0}$。在点为${\sf G}_δ$的更大类空间中，Lindelöf空间的这种干净上界更难找到。在本文中，我们继续在F.D.开始的议程。Tall，On the cardinality of Lindelöf spaces with points $G_δ$，Topology and its Applications 63（1995），21 - 38，of considering the cardinality problem for spaces satisfying stronger versions of the Lindelöf property.无限对策和选择原理，特别是Rothberger性质，是我们研究的重要工具
A. V. Arhangel'skietheet在2012年，当他访问Abduaziz国王大学数学系时，介绍了新的较弱版本的常态，称为\it $C$ -常态，\rm和\it可数常态。本文的目的是研究可数正态性。我们证明了正规性蕴涵可数正规性，但反之一般不成立。我们提出了一些例子来显示可数正态性和其他较弱版本的正态性，如$C$ -normal，$L$ -noramlity，和轻度正态性之间的关系。我们回答以下公开问题的Arhangel'skietheet：“是否有一个吉洪诺夫空间，这不是PDMATHAMN-正常的？".在本文中，我们用$\langle x,y\rangle$表示有序对，用$\mathbb{N}$表示正整数集，用$\mathbb{R}$表示实数集。$T_4$空间是$T_1$正规空间，吉洪诺夫空间是$T_1$完全正则空间，而$T_3$空间是$T_1$正则空间。我们在紧性的定义中不假定$T_2$，在林德洛夫性的定义中不假定正则性。对于空间$X$的子集$A$，${\rm int} A$和$\overline{A}$分别表示$A$的内部和闭包。序数$γ$是所有序数$α$的集合，使得$α<γ$。第一个无穷序数是$ω_0$，第一个不可数序数是$ω_1$，$ω_1$的后继基数是$ω_2$。
Projective versions of the properties in the Scheepers Diagram
设$\mathcal{P}$为拓扑性质。A. V. Arhangel'skii称$X$投影为$\mathcal{P}$，如果$X$的每第二个可数连续像是$\mathcal{P}$。LJ.D.R. Ko $\check{c}$在$\mathbb{R}^ω$中用连续象刻画了Menger，Rothberger，Hurewicz和Gerlits-Nagy的经典覆盖性质.本文研究了Scheepers图中选择性质的所有投影形式的函数刻画。
本文主要讨论A. V. Arhangel'skii在[Remainers of Metrizable Spaces and a Generalization of Lindelöf $Σ$ -spaces，Fund. Math.，215（2011），87-100]。首先证明了存在一个魅力空间$X$使得$X^{2}$不是魅力空间.然后讨论了魅力空间的一些性质，并给出了一类魅力空间的一些刻画。最后证明了任意迷人可求长空间$G$的Suslin数是可数的.
我们解决了一个长期存在的问题，由于Arhangel'skii通过构建一个紧空间，其中有一个$G_δ$覆盖没有连续大小（$G_δ$）-稠密子集。证明了在可数紧的可数紧弱Lindelöf正规空间中，每个$G_δ$覆盖都有一个$\mathfrak{c}$大小的子集，且该子集有一个$G_δ$ -稠密并;在重数连续基的Lindelöf空间中，每个$G_δ$覆盖都有一个连续大小的子覆盖.最后，我们应用我们的结果得到了齐性空间的势的一个界，它改进了De La Vega关于可数紧性齐性空间的势的著名定理。
