姚图Y_6是一个扳手

数据分布式场景下Yao图的高效构建

An Efficient Construction of Yao-Graph in Data-Distributed Settings

该研究针对平面点对最短路径近似的几何生成树构建问题，利用亚线性范围树在MPC模型下设计了Yao图构建算法，将时间与内存复杂度从亚二次优化至近线性。

连续Yao图

Continuous Yao Graphs

在本文中，我们介绍了一个变化的研究姚图。给定一组点$S\subset \mathbb{R}^2$和一个角度$0 < θ\leq 2π$，我们定义具有顶点集$S$和角度$θ$的连续Yao图$cY(θ)$如下。对于每个$p,q\in S$，如果存在一个具有顶点$p$和孔径$θ$的圆锥，使得$q$是该圆锥内距离$p$最近的点，则我们在$cY(θ)$中添加从$p$到$q$的边。我们研究了不同$θ$值下的$cY(θ)$的生成比。使用一种新的代数技巧，我们表明，$cY(θ)$是一个符号时，$θ\leq 2π/3$。我们认为，这项技术可能是独立的利益。我们还表明，$cY(π)$是不是一个可调的，和$cY(θ)$可能是断开的$θ> π$。

Theta-Theta图的生成性质

Spanning Properties of Theta-Theta Graphs

研究了Theta-Theta图的生成性质。类似于Yao-Yao图，Theta-Theta图将每个顶点周围的空间划分为一组k个锥，对于某个固定的整数k > 1，并且每个锥至多选择一条边。不同之处在于选择边的方式。Yao-Yao图选择最小长度的边，而Theta-Theta图选择到圆锥平分线上的最小正交投影的边。证明了参数k = 6 k '的Yao-Yao图的生成比为11.67，其中k' >= 6.在本文中，我们建立了一个第一生成比$7.82$的Theta-Theta图，$k$的值相同。我们还推广了参数为6 k '的Theta-Theta空间类，并建立了k' >= 5时的生成比$16.76$.我们推测，这些更强的结果主要是由于本文更严格的分析，而不是Theta-Theta优于Yao-Yao。当k'增大到8时，Theta-Theta图的生成比减小到4.64。这是关于Theta-Theta图的生成性质的第一个结果。

Yao Y4子图的一些性质

Some Properties of Yao Y4 Subgraphs

对于k=4的Yao图，Y4，自然地被划分为四个子图，每个象限一个。我们证明了一个象限的子图不同于两个相邻象限的子图的三个性质：平面性，连通性，以及有向图是否是空间的。

Spanning Properties of Theta-Theta-6

We show that, unlike the Yao-Yao graph $YY_6$, the Theta-Theta graph $ΘΘ_6$ defined by six cones is a spanner for sets of points in convex position. We also show that, for sets of points in non-convex position, the spanning ratio of $ΘΘ_6$ is unbounded.

加性加权点集的生成子

Spanners of Additively Weighted Point Sets

研究了加权点集的几何空间的计算问题。加权点集是一组对$(p,r)$，其中$p$是平面中的点，而$r$是实数。两点$(p_i,r_i)$和$(p_j,r_j)$之间的距离定义为$|p_ip_j|-r_i-r_j$。我们表明，在所有的$r_i$是正数和$|p_ip_j|\geq r_i+r_j$的情况下，所有的$i,j$（在这种情况下，点可以被看作是不相交的磁盘在平面上），姚图的一个变种是一个$(1+ε)$ -图，具有线性数量的边缘。我们还证明了附加加权Delaunay图（附加加权Voronoi图的面对偶）具有常数的生成比。加法加权Delaunay图的直线嵌入可能不是平面图。我们展示了如何计算一个平面嵌入，也有一个恒定的跨度比。

几何求交图的生成子

Spanners for Geometric Intersection Graphs

给出了几何求交图中空间的有效构造算法。对于R^k中的单位球图，利用有效的超立方体划分和双色最近对问题，得到了一个（1+ε）-图.这种构造的复杂度几乎与欧氏最小生成树的构造相当。结果被推广到具有次二次运行时间的任意球图。对于单位球图，空间有一个小的分离器分解，可以用来获得有效的算法近似的直径和距离查询的邻近问题。压缩四叉树，几何图形分离器，直径近似的结果可能是独立的利益。

完全$k$ -部分几何图的生成子

Spanners of Complete $k$-Partite Geometric Graphs

我们解决以下问题：给定一个完全$k$ -部几何图$K$，其顶点集是$\mathbb{R}^d$中的一组$n$点，计算$K$的一个具有"小“拉伸因子和”少“边的图。我们提出了两个算法解决这个问题。第一个算法在$O(n \log n)$时间内计算具有O（n）边的$K$的$(5+ε)$ -矩阵。第二个算法计算$K$的$(3+ε)$ -矩阵，在$O(n \log n)$时间内具有$O(n \log n)$边缘。后一种结果是最佳的：我们证明了对于任何$2 \leq k \leq n - Θ(\sqrt{n \log n})$，不存在所有完全$k$ -部几何图都存在有$O(n \log n)$边且拉伸因子小于3的图.

Sparse Hop Spanners for Unit Disk Graphs

A unit disk graph $G$ on a given set $P$ of points in the plane is a geometric graph where an edge exists between two points $p,q \in P$ if and only if $|pq| \leq 1$. A spanning subgraph $G'$ of $G$ is a $k$-hop spanner if and only if for every edge $pq\in G$, there is a path between $p,q$ in $G'$ with at most $k$ edges. We obtain the following results for unit disk graphs in the plane. (I) Every $n$-vertex unit disk graph has a $5$-hop spanner with at most $5.5n$ edges. We analyze the family of spanners constructed by Biniaz (2020) and improve the upper bound on the number of edges from $9n$ …

广义扫描线生成器

Generalized Sweeping Line Spanners

本文提出了$Θ$-图的推广——扫描线图，证明其在完全图、线段约束及多边形障碍环境下的可见图中均为生成器，并通过一般归纳论证统一了受限环境的证明。

Constant-Hop Spanners for More Geometric Intersection Graphs, with Even Smaller Size

In SoCG 2022, Conroy and Tóth presented several constructions of sparse, low-hop spanners in geometric intersection graphs, including an $O(n\log n)$-size 3-hop spanner for $n$ disks (or fat convex objects) in the plane, and an $O(n\log^2 n)$-size 3-hop spanner for $n$ axis-aligned rectangles in the plane. Their work left open two major questions: (i) can the size be made closer to linear by allowing larger constant stretch? and (ii) can near-linear size be achieved for more general classes of intersection graphs? We address both questions simultaneously, by presenting new constructions of con…

Efficient Yao Graph Construction

Yao graphs are geometric spanners that connect each point of a given point set to its nearest neighbor in each of $k$ cones drawn around it. Yao graphs were introduced to construct minimum spanning trees in $d$ dimensional spaces. Moreover, they are used for instance in topology control in wireless networks. An optimal \Onlogn time algorithm to construct Yao graphs for given point set has been proposed in the literature but -- to the best of our knowledge -- never been implemented. Instead, algorithms with a quadratic complexity are used in popular packages to construct these graphs. In this p…

Proximal Navigation Graphs and t-spanners

Let $(X,\mathbf{d})$ be a metric space, $V\subseteq X$ a finite set, and $E \subseteq V \times V$. We call the graph $G(E,V)$ a {\em metric} graph if each edge $(u,v) \in E$ has weight $d(u,v)$. In particular edge $(u,u)$ is in the graph and have distance $0$. We call $G$ a {\em proximal navigation graph} or $PN$-graph if for each edge $(u,v) \in E$ either $u=v$ or there is a node $u_1$ such that $(u,u_1) \in E$ and $\mathbf{d}(u,v) > \mathbf{d}(u_1,v)$. In such graph it is possible to navigate greedily from an arbitrary source node to an arbitrary target node by reducing the distance between …

关于一族允许局部路由策略的强几何空间

On a family of strong geometric spanners that admit local routing strategies

我们引入一族有向几何图，记为$\paz$，它依赖于两个参数$λ$和$θ$。对于$0\leq θ<\fracπ{2}$和${1/2} < λ< 1$，$\paz$图是强$t$-图，具有$t=\frac{1}{(1-λ)\cosθ}$。$\paz$图中的节点的出度至多为$\lfloor2π/\min(θ, \arccos\frac{1}{2λ})\rfloor$。此外，我们表明，路由可以实现本地$\paz$。其次，我们证明了所有的强$t$-空间也是单位圆盘图的$t$-空间。对参数$λ$和$θ$的不同取值的模拟表明，对于随机点集，$\paz$的生成比优于已证明的理论界.

New and Improved Spanning Ratios for Yao Graphs

For a set of points in the plane and a fixed integer $k > 0$, the Yao graph $Y_k$ partitions the space around each point into $k$ equiangular cones of angle $θ=2π/k$, and connects each point to a nearest neighbor in each cone. It is known for all Yao graphs, with the sole exception of $Y_5$, whether or not they are geometric spanners. In this paper we close this gap by showing that for odd $k \geq 5$, the spanning ratio of $Y_k$ is at most $1/(1-2\sin(3θ/8))$, which gives the first constant upper bound for $Y_5$, and is an improvement over the previous bound of $1/(1-2\sin(θ/2))$ for odd $k \g…

Spanning Properties of Yao and $Θ$-Graphs in the Presence of Constraints

We present improved upper bounds on the spanning ratio of constrained $θ$-graphs with at least 6 cones and constrained Yao-graphs with 5 or at least 7 cones. Given a set of points in the plane, a Yao-graph partitions the plane around each vertex into $m$ disjoint cones, each having aperture $θ= 2 π/m$, and adds an edge to the closest vertex in each cone. Constrained Yao-graphs have the additional property that no edge properly intersects any of the given line segment constraints. Constrained $θ$-graphs are similar to constrained Yao-graphs, but use a different method to determine the closest v…

$θ_5$ -图是一个图

The $θ_5$-graph is a spanner

给出了平面上的一组点，证明了5锥$θ$ -图是一个生成比至多为$\sqrt{50 + 22 \sqrt{5}} \approx 9.960$的几何图。这是这个图的生成比的第一个常数上界。上界使用一个构造性参数，给出任意两个顶点之间的一条（可能是自相交的）路径，其长度最多为顶点之间的欧几里得距离的$\sqrt{50 + 22 \sqrt{5}}$倍。我们还给出了$\frac{1}{2}(11\sqrt{5} -17) \approx 3.798$的生成比的一个下界。

最小权Euclidean t-范数是NP-难的

Minimum Weight Euclidean t-spanner is NP-Hard

给定平面上的一个点集P，P的欧几里得t-图是一个几何图，它保持P中每对点之间的欧几里得距离直到一个常数因子t。一个几何图的权是指它的边的总长度。在本文中，我们证明了，对于每个实常数t > 1，决定是否存在一个欧氏t-流形的问题，对于平面上的一组给定的点，权重至多为w，是NP-难的，无论是否要求t-流形的平面性。

Plane Hop Spanners for Unit Disk Graphs: Simpler and Better

The unit disk graph (UDG) is a widely employed model for the study of wireless networks. In this model, wireless nodes are represented by points in the plane and there is an edge between two points if and only if their Euclidean distance is at most one. A hop spanner for the UDG is a spanning subgraph $H$ such that for every edge $(p,q)$ in the UDG the topological shortest path between $p$ and $q$ in $H$ has a constant number of edges. The hop stretch factor of $H$ is the maximum number of edges of these paths. A hop spanner is plane (i.e. embedded planar) if its edges do not cross each other.…

On the Edge Crossings of the Greedy Spanner

$t$-spanners are used to approximate the pairwise distances between a set of points in a metric space. They have only a few edges compared to the total number of pairs and they provide a $t$-approximation on the distance of any two arbitrary points. There are many ways to construct such graphs and one of the most efficient ones, in terms of weight and the number of edges of the resulting graph, is the greedy spanner. In this paper, we study the edge crossings of the greedy spanner for points in the Euclidean plane. We prove a constant upper bound for the number of intersections with larger edg…

Emanation Graph: A Plane Geometric Spanner with Steiner Points

An emanation graph of grade $k$ on a set of points is a plane spanner made by shooting $2^{k+1}$ equally spaced rays from each point, where the shorter rays stop the longer ones upon collision. The collision points are the Steiner points of the spanner. Emanation graphs of grade one were studied by Mondal and Nachmanson in the context of network visualization. They proved that the spanning ratio of such a graph is bounded by $(2+\sqrt{2})\approx 3.414$. We improve this upper bound to $\sqrt{10} \approx 3.162$ and show this to be tight, i.e., there exist emanation graphs with spanning ratio $\s…

Bounded-Degree Spanners in the Presence of Polygonal Obstacles

Let $V$ be a finite set of vertices in the plane and $S$ be a finite set of polygonal obstacles, where the vertices of $S$ are in $V$. We show how to construct a plane $2$-spanner of the visibility graph of $V$ with respect to $S$. As this graph can have unbounded degree, we modify it in three easy-to-follow steps, in order to bound the degree to $7$ at the cost of slightly increasing the spanning ratio to 6.

On Plane Constrained Bounded-Degree Spanners

Let $P$ be a finite set of points in the plane and $S$ a set of non-crossing line segments with endpoints in $P$. The visibility graph of $P$ with respect to $S$, denoted $Vis(P,S)$, has vertex set $P$ and an edge for each pair of vertices $u,v$ in $P$ for which no line segment of $S$ properly intersects $uv$. We show that the constrained half-$θ_6$-graph (which is identical to the constrained Delaunay graph whose empty visible region is an equilateral triangle) is a plane 2-spanner of $Vis(P,S)$. We then show how to construct a plane 6-spanner of $Vis(P,S)$ with maximum degree $6+c$, where $c…

Constrained Generalized Delaunay Graphs Are Plane Spanners

We look at generalized Delaunay graphs in the constrained setting by introducing line segments which the edges of the graph are not allowed to cross. Given an arbitrary convex shape $C$, a constrained Delaunay graph is constructed by adding an edge between two vertices $p$ and $q$ if and only if there exists a homothet of $C$ with $p$ and $q$ on its boundary that does not contain any other vertices visible to $p$ and $q$. We show that, regardless of the convex shape $C$ used to construct the constrained Delaunay graph, there exists a constant $t$ (that depends on $C$) such that it is a plane $…

Spanners for Directed Transmission Graphs

Let $P \subset \mathbb{R}^2$ be a planar $n$-point set such that each point $p \in P$ has an associated radius $r_p > 0$. The transmission graph $G$ for $P$ is the directed graph with vertex set $P$ such that for any $p, q \in P$, there is an edge from $p$ to $q$ if and only if $d(p, q) \leq r_p$. Let $t > 1$ be a constant. A $t$-spanner for $G$ is a subgraph $H \subseteq G$ with vertex set $P$ so that for any two vertices $p,q \in P$, we have $d_H(p, q) \leq t d_G(p, q)$, where $d_H$ and $d_G$ denote the shortest path distance in $H$ and $G$, respectively (with Euclidean edge lengths). We sho…

Near-Optimal $O(k)$-Robust Geometric Spanners

For any constants $d\ge 1$, $ε>0$, $t>1$, and any $n$-point set $P\subset\mathbb{R}^d$, we show that there is a geometric graph $G=(P,E)$ having $O(n\log^2 n\log\log n)$ edges with the following property: For any $F\subseteq P$, there exists $F^+\supseteq F$, $|F^+| \le (1+ε)|F|$ such that, for any pair $p,q\in P\setminus F^+$, the graph $G-F$ contains a path from $p$ to $q$ whose (Euclidean) length is at most $t$ times the Euclidean distance between $p$ and $q$. In the terminology of robust spanners (Bose \et al, SICOMP, 42(4):1720--1736, 2013) the graph $G$ is a $(1+ε)k$-robust $t$-spanner o…

构造具有近贪婪平均度数的低拉伸几何图的算法工程

Engineering an algorithm for constructing low-stretch geometric graphs with near-greedy average-degrees

本文提出了Fast-Sparse-Spanner算法，用于在大型平面点集上高效构造稀疏低拉伸几何图，其平均度数接近greedy-spanners，且在速度和内存上显著优于现有最快算法，同时保持较优的图直径。

Local Spanners Revisited

$\newcommand{\Emph}[1]{\it{#1}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}}\newcommand{\region}{\mathsf{r}}\newcommand{\restrictY}[2]{#1 \cap {#2}}$For a set of points $P \subseteq \mathbb{R}^2$, and a family of regions $\FF$, a $\Emph{local~t-spanner}$ of $P$, is a sparse graph $G$ over $P$, such that, for any region $\region \in \FF$, the subgraph restricted to $\region$, denoted by $\restrictY{G}{\region} = G_{P \cap \region}$, is a $t$-spanner for all the points of $\region \cap P$. We present algorithms for the construction of local spanners with respect to several families of regions, such as homothet…

$\mathcal{O}(k)$-robust spanners in one dimension

A geometric $t$-spanner on a set of points in Euclidean space is a graph containing for every pair of points a path of length at most $t$ times the Euclidean distance between the points. Informally, a spanner is $\mathcal{O}(k)$-robust if deleting $k$ vertices only harms $\mathcal{O}(k)$ other vertices. We show that on any one-dimensional set of $n$ points, for any $\varepsilon>0$, there exists an $\mathcal{O}(k)$-robust $1$-spanner with $\mathcal{O}(n^{1+\varepsilon})$ edges. Previously it was only known that $\mathcal{O}(k)$-robust spanners with $\mathcal{O}(n^2)$ edges exists and that there…

有向生成树

Oriented Spanners

针对欧氏平面点集的有向$t$-生成树问题，先证明平面中最小化有向扩张率是NP难的，再研究一维点集的单页书嵌入有向图，提出动态规划和贪心算法，最后扩展到凸点集，证明贪心三角剖分可产生平面有向$t$-生成树。

一种求解动力学邻近问题的简单快速方法

A Simple, Faster Method for Kinetic Proximity Problems

对于平面上的一组$n$点，本文提出了一种简单的动力学数据结构（KDS）来解决一些基本的邻近问题，即所有最近邻问题、最近对问题和欧氏最小生成树（EMST）问题。此外，本文还介绍了用于维护两个已得到充分研究的稀疏邻近图（Yao图和Semi-Yao图）的KDS。我们使用稀疏图表示，饼Delaunay图和等边Delaunay图，提供新的解决方案的邻近问题。然后，我们设计的KDS的，有效地保持这些稀疏图上的一组$n$移动点，其中每个点的轨迹被假定为一个代数函数的恒定的最大程度$s$。我们使用动力学Pie Delaunay图和动力学等边Delaunay图来创建KDS，用于维护Yao图、Semi-Yao图、所有最近邻居、最近对和EMST。我们的KDS使用$O(n)$空间和$O(n\log n)$预处理时间。我们提供了第一个KDS的半姚图和姚图的维护。我们的KDS处理$O(n^2β_{2s+2}(n))$（分别$O(n^3β_{2s+2}^2(n)\log n)$）事件来维护Semi-Yao图（分别Yao图）;每个事件可以在摊销的意义上在时间$O(\log n)$中处理。在这里，$β_s(n)$是一个增长非常缓慢的函数。我们的KDS用于维护所有最近邻居和最近对处理$O(n^2β^2_{2s+2}(n)\log n)$事件。为了维护EMST，我们的KDS处理$O(n^3β_{2s+2}^2(n)\l…

关于几何生成子图的（有向）宽度参数

On (Directed) Width-Parameters of Geometric Spanners

本文研究几何生成子图的宽度参数，证明路径宽度等参数下存在渐近最优的稀疏生成子图，并指出树深度情形下膨胀比不可有界，且最小膨胀比问题在树深度3时NP-hard，给出XP算法。

通过不可靠边构建可靠支撑图

Dependable Spanners via Unreliable Edges

研究边以高概率独立失效时如何构建可靠的 $(1+\varepsilon)$-spanner，给出一维最优构造及高维近线性构造，并证明其连通失效对数接近完全图且多数点对路径不超过4跳。

关于Gabriel图和Yao图的期望最大度

On the Expected Maximum Degree of Gabriel and Yao Graphs

受Gabriel图和Yao图在无线ad-hoc网络中应用的启发，我们证明了定义在从单位正方形均匀抽取的$n$点上的随机Gabriel图或Yao图的最大度以概率的方式增长为$Θ(\log n / \log \log n)$.

有界树宽的几何生成树（geometric spanners）

Geometric spanners of bounded tree-width

本文研究有界树宽几何生成树的构造问题，提出首个树宽不超过k的渐近最优膨胀系数生成树算法，证明树宽与平面图边数的紧依赖关系，并给出圆周等距点生成树最小膨胀的几乎紧界。

稀疏Yao图的无向连通度

Undirected Connectivity of Sparse Yao Graphs

给定平面上的有限点集S和实值d > 0，d-半径圆盘图G^d包含连接S中距离d以内的点对的所有边。对于给定的顶点集为S的图G，整数参数k > 0的Yao子图Y_k[G]对于S中的每个点p，在由原点为p的k条等间距射线定义的k个扇区中的每个扇区中包含从G（如果有的话）到最短边pq.特别是，我们推导出了使Y_k[G^d]连通的最小半径d的上下界，相对于假定使G^d连通的单位半径。证明了d=sqrt（2）是Y_4[G^d]连通的充要条件。当d <= ~1.056时，图Y_3[G^d]是不连通的，但当d >= 2/sqrt（3）时，图Y_3[G^d]总是连通的.最后，我们证明了对任意d >= 1，Y_2[G^d]是不连通的.

翻转和扳手

Flips and Spanners

在这篇论文中，我们研究了两个不同的图问题。第一个问题围绕着几何空间。这里，我们在平面上有一组点，我们想用直线段连接它们，这样每对点之间就有一条不会绕很大弯路的路径。如果我们做到了这一点，那么得到的图就叫做一个图。我们把我们的注意力集中在$Θ$ -图，这是通过连接每个点与其最近的邻居在一个固定数量的锥。虽然这种构造非常简单，但已证明完全确定结果图的属性具有挑战性。我们表明，如果建设使用5个锥，所得到的图仍然是spatial。这是这个问题唯一没有答案的锥细胞数量。我们还提出了一个路由策略的半$Θ_6$ -图，一个变种的图与6锥。我们表明，我们的路由策略找到一条路径，其长度最多是一个恒定的因素，从端点之间的直线距离。此外，我们表明，这种路由策略是最佳的。在第二部分中，我们将注意力转向三角剖分中的翻转。翻转是将一个三角剖分变换为另一个三角剖分的简单操作。事实证明，通过足够的翻转，我们可以将任何三角形转换为任何其他三角形。但翻转多少次才够呢？给出了改进的$5.2n - 33.6$关于任意n阶三角剖分对之间最大翻转距离的上界。在此过程中，我们证明了当前算法中每一步的匹配下界，包括使三角剖分4连通所需的$(3n - 9)/5$翻转的紧界。此外，我们证明了紧$Θ(n \log n)$边界上的翻转所需的边缘有独特的标签在几个设置的数量。

关于正方形晶格最优三次跨度的注记

A note on optimal degree-three spanners of the square lattice

本文推翻了关于正方形晶格最优三次跨度的猜想，并通过计算机辅助证明了相关几何图的局部-全局性质。

R^d中Semi-Yao图及所有最近邻的动力学数据结构

Kinetic Data Structures for the Semi-Yao Graph and All Nearest Neighbors in R^d

本文提出了一种简单的动力学数据结构，用于维护$\mathbb{R}^d$中$n$移动点集的所有最近邻点，其中每个点的轨迹是至多常次数$s$的代数函数。该方法是基于保持半姚图，一个稀疏的图形，其边缘集包括对最近的邻居作为一个子集的边缘。我们的动力学数据结构（KDS）保持所有最近的邻居是确定性的。它处理$O(n^2β_{2s+2}^2(n)\log n)$事件，总开销为$O(n^2β_{2s+2}(n)\log^{d+1} n)$。这里，$β_s(n)$是一个增长非常缓慢的函数。$ \mathbb{R}^d$中所有最近邻的最佳KDS是Agarwal，Kaplan和Sharir（TALG 2008）。这是一个随机结果。我们的结构和分析比他们的简单。此外，我们改善他们的结果的一个因素的$\log^d n$的事件数和一个$\log n$因素的总成本。本文推广和改进了Rahmati，King和Whitesides（SoCG 2013）在$\mathbb{R}^2$中维护Semi-Yao图的工作;其新技术为$\mathbb{R}^d$中的Semi-Yao图提供了第一个KDS。我们的KDS在最坏的情况下是局部的，这意味着在任何时候只有恒定数量的事件与任何一个点相关联。为了保持所有的最近邻，我们的KDS和Agarwal~ \etal ~的KDS都不是局部的，而且，我们的KDS和他们的KDS中的每个事…

欧几里得空间中的贪婪生成子图具有次线性分隔符

Greedy Spanners in Euclidean Spaces Admit Sublinear Separators

本文证明欧几里得空间中的贪婪生成子图具有大小为O(k^{1-1/d})的次线性分隔符，引入τ-lanky刻画并推广到加倍度量，解决了两个开放问题。

坚固的几何扳手

Robust Geometric Spanners

高度连通但稀疏的图（如扩张器或高树宽图）是基本的、广泛适用的和广泛研究的组合对象。我们开始研究这种高度连通的图，此外，几何空间。我们定义了一个称为鲁棒性的spectrum属性。非正式地说，当一个人从一个健壮的顶点中删除一些顶点时，这只会损害少数其他顶点。我们表明，强大的spectrum必须有一个超线性数量的边缘，即使在一维。在积极的一面，我们给出的建设，对于任何尺寸，强大的spectrometry与近线性数量的边缘。

低密度生成子图上的Fréchet距离下的地图匹配查询

Map-Matching Queries under Fréchet Distance on Low-Density Spanners

本文研究低密度生成子图上的Fréchet距离地图匹配查询问题，提出高效预处理数据结构并解决报告最优路径的开放问题。

Reliable Spanners for Metric Spaces

A spanner is reliable if it can withstand large, catastrophic failures in the network. More precisely, any failure of some nodes can only cause a small damage in the remaining graph in terms of the dilation, that is, the spanner property is maintained for almost all nodes in the residual graph. Constructions of reliable spanners of near linear size are known in the low-dimensional Euclidean settings. Here, we present new constructions of reliable spanners for planar graphs, trees and (general) metric spaces.

动力学$k$ -半姚图及其应用

Kinetic $k$-Semi-Yao Graph and its Applications

本文在$\mathbb{R}^d$中的点集$P$上引入一个新的邻近图，称为$k$ -Semi-Yao图（$k$ -SYG），它是$P$的$k$ -最近邻图（$k$ -NNG）的超图.我们提供了一个动力学数据结构（KDS），以保持$k$ -SYG上的移动点，其中每个点的轨迹是一个多项式函数，其程度是有界的一些常数。我们的方法给出了$\mathbb{R}^d$中theta图（\ie，$1$-SYG）的第一个KDS.它推广和改进了以前的工作，维护theta图在$\mathbb{R}^2$。作为一个应用，我们使用动力学$k$-SYG来为任何$k\geq 1$提供第一个KDS，用于维护$\mathbb{R}^d$中的所有$k$ -最近邻。以前的工作只考虑了$k=1$的情况。我们对所有$1$ -最近邻的KDS是确定性的。$ \mathbb{R}^d$中所有$1$最近邻的最佳先前KDS是随机的。我们的结构和分析更简单，并改进了$k=1$的情况下，这项工作。我们还提供了一个KDS的所有$(1+ε)$ -最近的邻居，这实际上提供了更好的性能比以前的KDS的维护所有确切的$1$ -最近的邻居。作为另一个应用，我们提出了第一个KDS回答反向$k$ -最近邻查询移动点在$ \mathbb{R}^d$，任何$k\geq 1$。

A Spanner for the Day After

We show how to construct $(1+\varepsilon)$-spanner over a set $P$ of $n$ points in $\mathbb{R}^d$ that is resilient to a catastrophic failure of nodes. Specifically, for prescribed parameters $\vartheta,\varepsilon \in (0,1)$, the computed spanner $G$ has $ O\bigl(\varepsilon^{-c} \vartheta^{-6} n \log n (\log\log n)^6 \bigr) $ edges, where $c= O(d)$. Furthermore, for any $k$, and any deleted set $B \subseteq P$ of $k$ points, the residual graph $G \setminus B$ is $(1+\varepsilon)$-spanner for all the points of $P$ except for $(1+\vartheta)k$ of them. No previous constructions, beyond the triv…

迈向光spanner统一理论 I：快速（却最优）的构造

Towards a Unified Theory of Light Spanners I: Fast (Yet Optimal) Constructions

本文提出了一种统一框架，用于在多种图类中快速构造具有最优轻量级特性的spanner，解决了以往方法在通用性、运行时间和参数优化上的不足。

准线性时间确定性平面Steiner生成子与良好空间点集的TSP逼近

Near-Linear-Time Deterministic Plane Steiner Spanners and TSP Approximation for Well-Spaced Point Sets

我们描述了一个算法，作为输入的n个点在平面上和一个参数ε，并产生作为输出的嵌入平面图具有给定的点作为其顶点的子集，其中的图形距离是一个（1 + ε）-近似的几何距离之间的给定点。对于德洛内三角剖分分有界最尖角的点集，算法的输出顶点数为O（n），权值为O（1）乘以最小生成树权值，算法的运行时间为O（n \sqrt{log log n}）。我们使用这个结果在一个类似的快速确定性近似计划的旅行推销员问题。

四度平面扳手：更简单，更好

Degree Four Plane Spanners: Simpler and Better

设${\cal P}$是平面上的$n$点集，${\cal C}$是点集为${\cal P}$的完全欧氏图.两点$p, q$之间的${\cal C}$中的每条边被实现为线段$[pq]$，并被分配等于欧几里得距离$|pq|$的权重。在本文中，我们展示了如何在$O(n\lg{n})$时间内构造一个平面图的${\cal C}$的最大程度最多为4和拉伸因子最多为20。这改进了关于构造${\cal C}$平面空间的一长串结果。我们的结果与Bonichon等人关于${\cal C}$的最大平面度的最小已知上限4相匹配，同时显着地将其拉伸因子上限从156.82提高到20。我们的构造是基于德洛内三角剖分定义相对于等边三角形距离，并使用不同的方法比Bonichon等人使用的方法。我们的方法导致一个简单而直观的结构良好的构造，并揭示了有用的结构特性的德洛内三角剖分定义相对于等边三角形距离。所构造的拓扑图的结构表明，当${\cal P}$处于凸位置时，该拓扑图的最大度至多为3。结合点集${\cal P}$处于凸位置时，${\cal C}$的平面空间的最大度的下界为3这一事实，给出了点集处于凸位置时，${\cal C}$的平面空间的最大度的一个紧界为3.

几何相交图的Hop生成树

Hop-Spanners for Geometric Intersection Graphs

该研究针对平面几何相交图，推导了2-hop和3-hop生成树的边数上界，改进了单位圆盘图等四类几何相交图的生成树边数界，部分结果接近紧界。

计算有向生成图及其有向膨胀率

Computing Oriented Spanners and their Dilation

该研究提出首个欧氏空间中构造常数有向膨胀率稀疏有向生成图的高效算法，同时证明最小化有向膨胀率的定向问题NP难、一般度量下计算有向膨胀率APSP难，并给出次立方近似算法。

球的良分离对分解

The well-separated pair decomposition for balls

给定一个实数$t>1$，几何$t$ -图是$\mathbb{R}^d$中一个点集的几何图，顶点之间有直线，使得图中每对顶点之间的最短路径距离（具有欧几里得边长）与它们的实际欧几里得距离之比至多为$t$。不精确的点集由$\mathbb{R}^d$中的区域集$R$建模。如果在$R$的每个区域中选择一个点，则得到的点集称为~ $R$的精确实例。不精确点集$R$的不精确$t$-图是图$G=(R,E)$，使得对于$R$的每个精确实例$S$，图$G_S=(S,E_S)$是$t$-图，其中$E_S$是对应于$E$的边的集合。本文证明了，给定一个实数$t>1$，存在一个由平面上的$n$直线段组成的不精确点集$R$，使得$R$的任何不精确点集都有$Ω(n^2)$边.然后，我们提出了一个算法，计算一个良好的分离对分解（WSPD）的大小${\cal O}(n)$的一组$n$成对不相交的$d$ -维球与任意大小。给定一个实数$t>1$和一组任意大小的$n$两两不相交的$d$ -球，我们使用这个WSPD在${\cal O}(n\log n+n/(t-1)^d)$时间内计算一个不精确的$t$ -球，它具有${\cal O}(n/(t-1)^d)$边.

有向圆盘图的松弛空间

Relaxed spanners for directed disk graphs

设$(V,δ)$是一个有限度量空间，其中$V$是一组$n$点，$δ$是为这些点定义的距离函数。假设$(V,δ)$有一个常数的双倍维数$d$，并且假设每个点$p\in V$周围都有一个半径为$r(p)$的圆盘，对应于$V$和$r(\cdot)$的圆盘图是\emph{directed}图$I(V,E,r)$，其顶点是$V$的点，并且其边集包括从$p$到$q$的有向边，如果$δ(p,q)\leq r(p)$。在\cite{PeRo08}中，我们给出了一个构造大小为$O(n/\eps^d \log M)$的$(1+\eps)$ -矩阵的算法，其中$M$是最大半径$r(p)$ .本文件提出了两个结果。第一个结果表明，\cite{PeRo08}的交联基本上是最佳的，即，对于常数倍维数的度量，不可能保证其大小独立于$M$的矩阵。第二个结果表明，稍微放松的要求，并允许一个小的扰动的半径分配，相当好的spectrometry可以构建。特别是，我们表明，如果它是允许使用的边缘的磁盘图$I(V,E,r_{1+\eps})$，其中$r_{1+\eps}(p) = (1+\eps)\cdot r(p)$的每一个$p\in V$，那么它是可能的，以获得一个$(1+\eps)$的大小为$O(n/\eps^d)$为$I(V,E,r)$。我们的算法是简单的，可以有效地实现。

几何相交图的稀疏有界跳生成子图

Sparse Bounded Hop-Spanners for Geometric Intersection Graphs

本文研究了多种几何相交图的2跳和3跳稀疏生成子图，给出了球、胖轴平行盒、半代数对象及四面体等图类的改进上界与下界。

次二次 (1+ε)-近似欧几里得生成图及其应用

Sub-quadratic (1+\eps)-approximate Euclidean Spanners, with Applications

该研究针对高维欧几里得空间点集生成图问题，证明低拉伸率次二次生成图不可行，同时通过添加非度量Steiner点构造出次二次规模的(1+ε)-近似生成图，并将有向版本用于加速推土机距离的近似计算。