Spanning Properties of Theta-Theta-6

Theta-Theta图的生成性质

Spanning Properties of Theta-Theta Graphs

研究了Theta-Theta图的生成性质。类似于Yao-Yao图，Theta-Theta图将每个顶点周围的空间划分为一组k个锥，对于某个固定的整数k > 1，并且每个锥至多选择一条边。不同之处在于选择边的方式。Yao-Yao图选择最小长度的边，而Theta-Theta图选择到圆锥平分线上的最小正交投影的边。证明了参数k = 6 k '的Yao-Yao图的生成比为11.67，其中k' >= 6.在本文中，我们建立了一个第一生成比$7.82$的Theta-Theta图，$k$的值相同。我们还推广了参数为6 k '的Theta-Theta空间类，并建立了k' >= 5时的生成比$16.76$.我们推测，这些更强的结果主要是由于本文更严格的分析，而不是Theta-Theta优于Yao-Yao。当k'增大到8时，Theta-Theta图的生成比减小到4.64。这是关于Theta-Theta图的生成性质的第一个结果。

Improved Spanning on Theta-5

We show an upper bound of $\frac{ \sin\left(\frac{3π}{10}\right) }{ \sin\left(\frac{2π}{5}\right)-\sin\left(\frac{3π}{10}\right) } <5.70$ on the spanning ratio of $Θ_5$-graphs, improving on the previous best known upper bound of $9.96$ [Bose, Morin, van Renssen, and Verdonschot. The Theta-5-graph is a spanner. Computational Geometry, 2015.]

On the Spanning and Routing Ratio of Directed Theta-Four

We present a routing algorithm for the directed $Θ_4$-graph, here denoted as the $\overrightarrow{Θ_4}}$-graph, that computes a path between any two vertices $s$ and $t$ having length at most $17$ times the Euclidean distance between $s$ and $t$. To compute this path, at each step, the algorithm only uses knowledge of the location of the current vertex, its (at most four) outgoing edges, the destination vertex, and one additional bit of information in order to determine the next edge to follow. This provides the first known online, local, competitive routing algorithm with constant routing rat…

Theta图的紧界

Towards Tight Bounds on Theta-Graphs

我们提出了改进的上，下界的$θ$ -图的至少有六个锥的支撑比。给定平面中的一组点，$θ$ -图将围绕每个顶点的平面划分成$m$不相交的圆锥，每个圆锥具有孔径$θ=2π/m$，并将边缘添加到每个圆锥中的“最近”顶点。我们证明了对于任何整数$k \geq 1$，$θ$ -图与$4k+2$锥有一个跨度比$1+2\sin(θ/2)$，我们提供了一个匹配的下界，表明这个跨度比紧。其次，我们证明了对于任意整数$k \geq 1$，具有$4k+4$锥的$θ$ -图的生成比至多为$1+2\sin(θ/2)/(\cos(θ/2)-\sin(θ/2))$。我们还证明了具有$4k+3$和$4k+5$锥的$θ$ -图的生成比至多为$\cos(θ/4)/(\cos(θ/2)-\sin(3θ/4))$ .这是一个显着的改善所有家庭的$θ$ -图的确切界限是未知的。例如，具有7个锥的$θ$图的跨度比从至多7.5625减小到至多3.5132。这些跨越证明也意味着改进的$θ$路由算法的竞争力上界。特别是，我们表明，$θ$路由算法是$(1+2\sin(θ/2)/(\cos(θ/2)-\sin(θ/2)))$ -竞争的$θ$ -图与$4k+4$锥，这个比例是紧的。最后，我们提出了改进的下界这些图的生成比。利用这些界限，我们提供了一个偏序的$θ$ -图的这些家庭。特别地，我们证明了具有$4k+4$锥的$θ$ -图的生成比…

关于Theta图的平均边数

On the Average Number of Edges in Theta Graphs

Theta图是一种重要的几何图，具有许多应用，包括无线网络、运动规划、实时动画和最小生成树构造。给出了平面上齐次Poisson点过程θ图的平均度的封闭形式表达式。然后，我们表明，基本上相同的界限-与消失的误差项-持有θ图的有限组的点，均匀分布在一个正方形。最后，我们证明了在一个正方形中均匀分布的点的θ图中的边数集中在其期望值周围。

关于随机点集干涉的一个注记

A Note on Interference in Random Point Sets

研究了几何图形（von Rickenbach等人（2005））的（最大接收器中心）干扰。对于单位d-立方体中独立均匀分布的n个点的集合V，当维数d为常数时，下列结果以很高的概率成立：（1）存在一个顶点集为V的连通图，它的干涉量为O（（log n）^{1/3}），（2）顶点集为V的连通图不存在干涉量为O（（log n）^{1/4}）;以及（3）$V$的最小生成树具有干扰Theta（（\log n）^{1/2}）。