Light Euclidean Spanners with Steiner Points
Le和Solomon的FOCS'19论文，对欧几里德空间的长期研究达到了高潮，证明了$\mathbb{R}^d$中贪婪的$(1+ε)$ -矩阵的亮度（归一化权重）对于任何$d = O(1)$和任何$ε= Ω(n^{-\frac{1}{d-1}})$都是$\tilde{O}(ε^{-d})$（其中$\tilde{O}$隐藏了$\frac{1}ε$的多对数因子），并且还表明了在$\mathbb{R}^d$中存在点集，对于这些点集，任何$(1+ε)$ -矩阵都必须具有亮度$Ω(ε^{-d})$。鉴于亮度上的这种紧密界限，自然产生的问题是是否可以使用Steiner点实现更好的亮度界限。我们的第一个结果是一个建设的施泰纳spectum在$\mathbb{R}^2$与亮度$O(ε^{-1} \log Δ)$，其中$Δ$是点集的蔓延。在$Δ\ll 2^{1/ε}$的体系中，这提供了对Le和Solomon [FOCS 2019]的亮度界限的改进;这种参数体系具有实际意义，因为点集出现在现实生活中的应用中（例如，对于各种随机分布）具有多项式有界的扩展，而在并行计算应用中，$ε$通常控制精度，并且它有时需要比$O(1/\log n)$小得多。此外，对于$1/ε$中的多项式有界扩展，该上限提供了对Le和Solomon的非Steiner界的二次改进[FOCS 2019]，然后我们证明了可以在$O_ε(n)…
2020-10-15 cs.CG
Sub-quadratic (1+\eps)-approximate Euclidean Spanners, with Applications
该研究针对高维欧几里得空间点集生成图问题，证明低拉伸率次二次生成图不可行，同时通过添加非度量Steiner点构造出次二次规模的(1+ε)-近似生成图，并将有向版本用于加速推土机距离的近似计算。
2023-10-09 cs.CG cs.DS
There are Plane Spanners of Maximum Degree 4
设E是平面上一组点上的完全欧几里德图。给定一个常数t >= 1，称E的一个生成子图G是一个t-图，或简称为一个t-图，如果对于E中的任意一对顶点u，v，u和v在G中的距离至多是它们在E中的距离的t倍。如果一个平面的两条边不相交，那么它就是平面。本文考虑的问题是：“什么是最小的最大程度，总是可以达到一个平面图E？如果没有平面性约束，已知答案是3，因此这是任何平面度的最佳已知下限。在平面性要求下，最大度上的最佳已知上限是6，这是一系列改进上限的结果中的最后一个。本文证明了完全欧几里德图总是包含一个最大度至多为4的平面图，从而向封闭这个问题迈出了一大步。我们的建设导致一个有效的算法，从Chew的L1-德洛内三角剖分获得的三角形。
2014-03-21 cs.CG
Euclidean Steiner Spanners: Light and Sparse
亮度和稀疏性是欧几里得$(1+\varepsilon)$ -空间的两个自然参数。经典的结果表明，当维数$d\in \mathbb{N}$和$\varepsilon>0$为常数时，$d$ -空间中$n$点的每一个集合$S$都存在一个$(1+\varepsilon)$-空间，该空间具有$O(n)$边，其权与$S$的欧氏MST的权成正比.在最近的一项突破中，Le和Solomon（2019）建立了对$\varepsilon>0$的精确依赖性，对于恒定的$d\in \mathbb{N}$，$(1+\varepsilon)$ -spectrum的最小亮度和稀疏性，并观察到Steiner点可以大大提高$(1+\varepsilon)$ -spectrum的亮度和稀疏性。他们给出了$\tilde{O}(\varepsilon^{-(d+1)/2})$的上界为最小亮度的尺寸$d\geq 3$，和$\tilde{O}(\varepsilon^{-(d-1)/2})$的最小稀疏度的$d$ -空间的所有$d\geq 1$。在这项工作中，我们改进了几个界限的亮度和稀疏的欧几里德斯坦纳$(1+\varepsilon)$ -spectrum。对于所有常数$d\geq 2$，我们在欧氏$d$ -空间中建立了这种空间的亮度的$Ω(\varepsilon^{-d/2})$和稀疏度的$Ω(\varepsilon^{-(…
2022-06-20 cs.CG cs.DM
Light spanners for snowflake metrics
在空间研究中的一个经典结果是欧几里德空间存在轻低拉伸空间。这些空间具有任意的低拉伸，并且权重仅大于点的最小生成树的常数因子（依赖于拉伸和欧几里得维数）。这个领域的一个中心问题是，其他空间是否也允许低权空间--例如具有低内在维数的度量空间--但只有少数这类结果是已知的。本文考虑低内在维数的雪花度量空间。度量（X，δ）的α雪花是度量（X，$δ^α$），其中0<α<1。通过利用一种完全不同于欧几里得空间的方法，我们证明了雪花度量承认轻speries。此外，我们表明，的直径为O（$\log$ n），结果不可能为欧几里德空间。作为一个直接的推论，我们的旅行商问题的算法在这种情况下，我们获得了显着的改进，实现了多项式时间近似计划与近线性运行时间。一路上，我们表明，所有的${\ell}_p$空间承认光spectrum，在其本身的权利感兴趣的结果。
2014-01-20 cs.CG cs.DS
Light Euclidean Steiner Spanners in the Plane
亮度是欧几里得空间的一个基本参数;它是$\mathbb{R}^d$中有限点集的最小生成树的权重与最小生成树的权重之比。在最近的一项突破中，Le和Solomon（2019）建立了$(1+\varepsilon)$ -spectrum的最小亮度对$\varepsilon>0$和$d\in \mathbb{N}$的精确依赖性，并观察到额外的Steiner点可以大大提高亮度。Le和Solomon（2020）构建了Steiner $(1+\varepsilon)$-平面中亮度$O(\varepsilon^{-1}\logΔ)$的空间，其中$Δ\geq Ω(\sqrt{n})$是点集的\emph{spread}，定义为一对点之间的最大和最小距离之比。他们还在$d\geq 3$维度上构建了亮度空间$\tilde{O}(\varepsilon^{-(d+1)/2})$。最近，Bhore和Tóth（2020）为$\mathbb{R}^d$中Steiner $(1+\varepsilon)$ -spectrum的亮度建立了$Ω(\varepsilon^{-d/2})$的下限。在这方面的中心开放的问题是关闭所有尺寸$d\geq 2$的下限和上限之间的差距。在这项工作中，我们表明，对于每一个有限的平面上的点集和每一个$\varepsilon>0$，存在一个欧几里德斯坦纳$(1+\varepsilon)$的…
2021-03-28 cs.CG cs.DM
Near-Optimal $O(k)$-Robust Geometric Spanners
对于任意常数$d\ge 1$，$ε>0$，$t>1$和任意$n$ -点集$P\subset\mathbb{R}^d$，我们证明了存在一个几何图$G=(P,E)$，它的$O(n\log^2 n\log\log n)$边具有以下性质：对于任何$F\subseteq P$，都存在$F^+\supseteq F$、$|F^+| \le (1+ε)|F|$，使得对于任何对$p,q\in P\setminus F^+$，图$G-F$包含从$p$到$q$的路径，其（欧几里德）长度至多是$t$乘以$p$和$q$之间的欧几里德距离。在鲁棒分布的术语中（Bose \et等人，SICOMP，42（4）：1720- 1736，2013），图$G$是$P$的$(1+ε)k$ -鲁棒$t$ -分布。这个构造比Buchin、Olàh和Har-Peled（arXiv：1811.06898）最近的构造更稀疏，他们证明了具有$n\log^{O(d)} n$边的$(1+ε)k$ -鲁棒$t$ -空间的存在性。
2019-01-06 cs.CG
Near-Optimal Dynamic Steiner Spanners for Constant-Curvature Spaces
该研究将欧氏空间的Steiner $(1+\varepsilon)$-spanner结果拓展到球面、双曲等常曲率空间，基于四叉树构建且支持动态维护，同时给出双曲空间2-spanner的紧界与加性误差Steiner spanner构造。
2025-09-01 cs.CG
Spanners for Geometric Intersection Graphs
给出了几何求交图中空间的有效构造算法。对于R^k中的单位球图，利用有效的超立方体划分和双色最近对问题，得到了一个（1+ε）-图.这种构造的复杂度几乎与欧氏最小生成树的构造相当。结果被推广到具有次二次运行时间的任意球图。对于单位球图，空间有一个小的分离器分解，可以用来获得有效的算法近似的直径和距离查询的邻近问题。压缩四叉树，几何图形分离器，直径近似的结果可能是独立的利益。
2006-05-07 cs.CG
Greedy Spanners in Euclidean Spaces Admit Sublinear Separators
本文证明欧几里得空间中的贪婪生成子图具有大小为O(k^{1-1/d})的次线性分隔符，引入τ-lanky刻画并推广到加倍度量，解决了两个开放问题。
2024-05-28 cs.CG
Towards Instance-Optimal Euclidean Spanners
本文首次研究实例最优欧几里得生成树，证明贪心生成树远非实例最优，提出全新构造方法，仅需小幅提升拉伸因子即可实现稀疏度和轻量性的常数倍实例最优，且边数与权重不依赖维度。
2024-09-17 cs.CG cs.DS
Degree Four Plane Spanners: Simpler and Better
设${\cal P}$是平面上的$n$点集，${\cal C}$是点集为${\cal P}$的完全欧氏图.两点$p, q$之间的${\cal C}$中的每条边被实现为线段$[pq]$，并被分配等于欧几里得距离$|pq|$的权重。在本文中，我们展示了如何在$O(n\lg{n})$时间内构造一个平面图的${\cal C}$的最大程度最多为4和拉伸因子最多为20。这改进了关于构造${\cal C}$平面空间的一长串结果。我们的结果与Bonichon等人关于${\cal C}$的最大平面度的最小已知上限4相匹配，同时显着地将其拉伸因子上限从156.82提高到20。我们的构造是基于德洛内三角剖分定义相对于等边三角形距离，并使用不同的方法比Bonichon等人使用的方法。我们的方法导致一个简单而直观的结构良好的构造，并揭示了有用的结构特性的德洛内三角剖分定义相对于等边三角形距离。所构造的拓扑图的结构表明，当${\cal P}$处于凸位置时，该拓扑图的最大度至多为3。结合点集${\cal P}$处于凸位置时，${\cal C}$的平面空间的最大度的下界为3这一事实，给出了点集处于凸位置时，${\cal C}$的平面空间的最大度的一个紧界为3.
2016-03-11 cs.CG
Fault-tolerant additive weighted geometric spanners
设S是n个点的集合，设w是一个函数，它给S中的点分配非负权重。当p为\ne q时，属于S的两点p，q之间的加性加权距离d_w（p，q）定义为w（p）+ d（p，q）+ w（q），当p = q时，d_w（p，q）为零。这里，d（p，q）表示p和q之间的（测地线）欧几里得距离。一个图G（S，E）称为点的可加加权集S的t-图，如果对S中的任意两点p和q，图G中p和q之间的距离至多为t.d_w（p，q），其中实数t > 1.这里，d_w（p，q）是p和q之间的加性加权距离。对于某个整数\geq 1，集合S的一个t-图G是一个（k，t）-顶点容错的加性加权图，记为（k，t）-VFTAWS，如果对于任意基数不超过k的集合S' \subset S，图G \ S'是S \S '中点的t-图.对任意给定的实数ε> 0，我们得到了如下结果：-当S中的点属于欧氏空间R^d时，给出了计算度量空间（S，d_w）中具有O（kn）条边的（k，（2 + ε））-VFTAWS的算法。这里，对于任意两点p，q \in S，d（p，q）是R^d中p和q之间的欧几里得距离。- 当S中的点属于一个简单多边形P时，对于度量空间（S，d_w），给出了一个计算具有O（\frac{k n}{ε^{2}} \lg{n}）边的测地线（k，（2 + ε））-VFTAWS的算法和一个计算具有O（kn（\lg{n}）^2）边的测地线（k，（…
2019-06-02 cs.CG
A light metric spanner
人们早就知道$d$维欧氏点集允许$(1+ε)$-具有亮度的拉伸空间$W_E = ε^{-O(d)}$，即总边权重至多是集的最小生成树的权重的$W_E$倍[DHN 93].对于低倍维的度量空间，类似的结果是否成立仍然是一个重要的开放问题，并且拒绝了许多解决方案的尝试。本文对这个问题作了肯定的解决，并证明了二重空间允许有轻的$(1+ε)$-伸缩空间$W_D = (ddim/ε)^{O(ddim)}$.重要的是，我们的结果本身也意味着一个更快的多项式时间近似计划的旅行推销员问题在加倍度量空间，改进上界[BGK-12]。
2015-05-14 cs.CG
Locality-Sensitive Orderings and Applications to Reliable Spanners
Chan，Har-Peled和Jones [2020]最近开发了局部敏感排序（LSO），这是一种新工具，可以将欧几里得空间$\mathbb{R}^d$中的问题简化为$1$维线。他们用LSO解决了很多问题。后来，Buchin，Har-Peled和Ol{á}h [2019，2020]使用Chan { \em et al. }的LSO为欧几里得空间构造了非常稀疏的\emph{reliable spanners}。可靠的网络的一个非常理想的特性是它能够承受大规模的故障：即使90%的节点发生故障，网络仍然可以正常工作。在后续工作中，Har-Peled，Mendel和Ol{á}h [2021]为一般和拓扑结构度量构建了可靠的spectrometric。它们的构造使用了不同的方法，并且基于稀疏覆盖。在本文中，我们发展了非欧度量中的LSO理论，引入了适用于一般度量和拓扑结构度量的新类型的LSO。然后，我们构建这样的LSO的，以及构建大大改进的LSO的加倍度量。之后，我们使用我们的新的LSO的构造可靠的spectum与改进的拉伸和稀疏参数。最重要的是，我们构造了树和平面图的$\tilde{O}(n)$大小的可靠空间与$2$的最佳拉伸。在构造LSO和可靠空间的过程中，我们引入并构造了超度量覆盖，并为线路构造了$2$ -hop可靠空间。
2022-02-28 cs.CG cs.DS
Online Euclidean Spanners
本文研究了$\mathbb{R}^d$中点的在线欧氏空间问题。假设我们在$\mathbb{R}^d$中给出一个$n$点序列$(s_1,s_2,\ldots, s_n)$，其中点$s_i$在$i=1,\ldots, n$的步骤~ $i$中给出。在线算法的目标是为每个步骤~ $i$在$S_i=\{s_1,\ldots, s_i\}$上维护几何$t$ -矩阵。首先，我们建立了一个$Ω(\varepsilon^{-1}\log n / \log \varepsilon^{-1})$的竞争比的任何在线$(1+\varepsilon)$ -迭代算法的下界，在1维$n$点序列。我们表明，这个界是紧的，有一个在线算法，可以保持一个$(1+\varepsilon)$ -竞争比$O(\varepsilon^{-1}\log n / \log \varepsilon^{-1})$。接下来，我们设计在线算法的$\mathbb{R}^d$中的点序列，任何恒定的$d\ge 2$，$L_2$规范下。我们发现，以前已知的增量算法实现竞争比$O(\varepsilon^{-(d+1)}\log n)$。然而，如果允许该算法使用附加点（Steiner点），则可以显著提高$\varepsilon$方面的竞争比。我们描述了一个在线的Steiner $(1+\varepsilon)$算法，具有竞争比$O(\varepsil…
2021-07-01 cs.CG cs.DS
Shallow, Low, and Light Trees, and Tight Lower Bounds for Euclidean Spanners
证明了对每个$n$ -点度量空间$M$，存在一个生成树$T$，其直径为$O(\log n)$，权为$ω(T) = O(\log n) \cdot ω(MST(M))$ .此外，存在指定点$rt$，使得对于任意小的常数$ε> 0$，对于每个点$v$，$dist_T(rt,v) \le (1+ε) \cdot dist_M(rt,v)$。我们扩展了这个结果，并提供了未加权直径和重量之间的折衷，并证明了这种折衷是\emph{tight up to constant factors}在整个参数范围内。这些结果使我们能够解决计算几何中一个长期悬而未决的问题。在STOC'95中，Arya等人设计了一种具有未加权直径$O(\log n)$和权重$O(\log n) \cdot ω(MST(M))$的欧几里得扳手的构造。十年后，在SODA'05中，Agarwal等人表明，该结果接近于$O(\log \log n)$的因子。我们缩小了这一差距，并表明Arya等人的结果是紧密的常数因子。
2008-01-23 cs.CG cs.DS
Optimal Fault-Tolerant Spanners in Euclidean and Doubling Metrics: Breaking the $Ω(\log n)$ Lightness Barrier
本文针对欧几里得和倍增度量，设计了一种在大小、度、轻量度和运行时间上均最优的 $f$-容错稀疏子图构造，首次突破轻量度的 $\Omega(\log n)$ 障碍。
2024-02-08 cs.CG cs.DS
Fast Thick-Thin Decomposition for Sparse Spanners on Hyperbolic Surfaces
Aalto University（阿尔托大学）
本文研究双曲平面与闭合双曲曲面上的非交叉生成树问题，提出带Steiner点的稀疏$(1+\varepsilon)$-生成树构造，给出厚薄分解与颈部分解快速算法，并推导得双曲曲面TSP的EPTAS。
2026-08-06 cs.CG
On the Edge Crossings of the Greedy Spanner
$t$ -空间用于近似度量空间中一组点之间的成对距离。它们只有几个边缘的总数相比，对，他们提供了一个$t$ -近似的距离上的任何两个任意点。有许多方法可以构造这样的图，其中最有效的方法之一，在权重和结果图的边数方面，是贪婪图。本文研究了欧几里得平面上点的贪婪扳手的边交叉。我们证明了一个恒定的上限的交叉口的数量与较大的边缘，只取决于拉伸因子的，$t$，我们可以有更多的有界的交叉口与较小的边缘。我们的研究结果意味着，贪婪的spectrographs在平面上的点有分隔符的大小$\mathcal{O}(\sqrt n)$，他们的平面化有线性的大小，和这些图的分隔符层次结构可以从他们的平面化在线性时间。
2021-04-28 cs.CG
Online Spanners in Metric Spaces
给定度量空间$\mathcal{M}=(X,δ)$，$X$上的加权图$G$是$\mathcal{M}$的度量$t$ -ε，如果对每个$u,v \in X$，$δ(u,v)\le d_G(u,v)\le t\cdot δ(u,v)$，其中$d_G$是$G$中的最短路径度量.本文构造了度量空间中有限集的在线空间。这里，我们被给出点序列$(s_1, \ldots, s_n)$，其中点被一次一个地呈现（即，在$i$步骤之后，我们看到了$S_i = \{s_1, \ldots , s_i\}$）。当新点到达时，该算法允许向图中添加边，但是，不允许从图中移除任何边。目标是为所有$i$维护$t$ -$G_i$ for $S_i$，同时最小化边的数量及其总权重。我们在欧氏$d$ -空间中构造了在线$(1+\varepsilon)$-空间，在一般度量中构造了$(2k-1)(1+\varepsilon)$ -空间，在超度量中构造了$(2+\varepsilon)$ -空间.最值得注意的是，在欧几里德平面中，我们构造了具有竞争比$O(\varepsilon^{-3/2}\log\varepsilon^{-1}\log n)$的$(1+\varepsilon)$ -矩阵，绕过了经典的亮度下限$Ω(\varepsilon^{-2})$，该下限将矩阵的重量与MST的重量进行比较。
2022-02-21 cs.CG cs.DS
The $θ_5$-graph is a spanner
给出了平面上的一组点，证明了5锥$θ$ -图是一个生成比至多为$\sqrt{50 + 22 \sqrt{5}} \approx 9.960$的几何图。这是这个图的生成比的第一个常数上界。上界使用一个构造性参数，给出任意两个顶点之间的一条（可能是自相交的）路径，其长度最多为顶点之间的欧几里得距离的$\sqrt{50 + 22 \sqrt{5}}$倍。我们还给出了$\frac{1}{2}(11\sqrt{5} -17) \approx 3.798$的生成比的一个下界。
2014-08-05 cs.CG
On (Directed) Width-Parameters of Geometric Spanners
TU Dortmund（多特蒙德工业大学）；TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）
本文研究几何生成子图的宽度参数，证明路径宽度等参数下存在渐近最优的稀疏生成子图，并指出树深度情形下膨胀比不可有界，且最小膨胀比问题在树深度3时NP-hard，给出XP算法。
2026-09-21 cs.CG
Vertex Fault-Tolerant Geometric Spanners for Weighted Points
给定n个点的集合S、将非负权重与S中的每个点关联的权重函数w、正整数k \ge 1以及实数ε> 0，我们提出了计算S中加权点诱导的度量空间（S，d_w）的扳手网络G（S，E）的算法。点集S上的加权距离函数d_w定义如下：对于任何p，q \in S，如果p \ne q，则d_w（p，q）等于w（p）+ d_π（p，q）+ w（q），否则d_w（p，q）为0。这里，d_π（p，q）是p和q之间的欧几里德距离，如果S中的点在\mathbb{R}^d中，否则，它是p和q之间的测地线（欧几里德）距离。以下是我们的结果：（1）当S中的权点位于\mathbb{R}^d中时，我们计算了一个大小为O（kn）的k点容错（4+ε）-ε网络。(2)当S中的权点位于多边形域\cal P的自由空间的相对内部时，我们给出了一个计算具有O（\frac{kn\sqrt{h+1}}{ε^2} \lg{n}）条边的k-顶点容错（4+ε）网络的算法.（3）当S中的权点位于多面体地形\cal T上时，提出了一种计算k-顶点容错（4+ε）-ε网络的算法，该网络的边数为O（\frac{kn}{ε^2} \lg{n}）。
2020-11-05 cs.CG
An Optimal-Time Construction of Euclidean Sparse Spanners with Tiny Diameter
在STOC'95 \cite{ADMSS95}中，Arya等人示出了对于$\mathbb R^d$中的任何$n$点集合，直径至多为2（分别为3）的$(1+ε)$ -点和$O(n \log n)$边（分别为，$O(n \log \log n)$边缘）可以在$O(n \log n)$时间内构建。此外，在\cite{ADMSS95,NS07}中显示，对于任何$k \ge 4$，可以在$O(n (\log n) 2^k α_k(n))$时间内构建直径至多为$2k$和$O(n 2^k α_k(n))$边缘的$(1+ε)$ -链。函数$α_k$是在原始递归层次的$\lfloor k/2 \rfloor$级的某个函数的逆，其中$α_0(n) = \lceil n/2 \rceil, α_1(n) = \left\lceil \sqrt{n} \right\rceil, α_2(n) = \lceil \log{n} \rceil, α_3(n) = \lceil \log\log{n} \rceil, α_4(n) = \log^* n$、\ldots等。还已知\cite{NS07}，如果允许二次时间，则可以改进这些界限。具体地，对于任何$k \ge 4$，可以在$O(n^2)$时间\cite{NS07}中构造直径至多为$k$和$O(n k α_k(n))$边的$(1+ε)$ -矩阵。在这一领域…
2010-05-22 cs.CG cs.DS
Reliable Spanners for Metric Spaces
如果一个网络能够承受网络中的大规模灾难性故障，那么它就是可靠的。更准确地说，某些节点的任何失效都只能在剩余图中造成较小的膨胀破坏，即剩余图中几乎所有节点都保持了可伸缩性。在低维欧几里德环境中，已知近似线性大小的可靠空间的构造。在这里，我们提出了平面图，树和（一般）度量空间的可靠空间的新结构。
2022-09-01 cs.CG cs.DM
Geometric spanners of bounded tree-width
本文研究有界树宽几何生成树的构造问题，提出首个树宽不超过k的渐近最优膨胀系数生成树算法，证明树宽与平面图边数的紧依赖关系，并给出圆周等距点生成树最小膨胀的几乎紧界。
2024-12-09 cs.CG
Balancing Degree, Diameter and Weight in Euclidean Spanners
在本文中，我们设计了一个新的\emph{unified}建设的欧氏空间之间的最大程度，直径和重量优雅的交易。对于一个正整数k，我们的构造提供了一个（1+eps）-图，其最大度为O（k），直径为O（log_k n + alpha（k）），权重为O（k \cdot log_k n \cdot log n）\cdot w（MST（S）），边数为O（n）.注意，对于k= n^{1/alpha（n）}，这产生直径O（alpha（n）），权重O（n^{1/alpha（n）} \cdot log n \cdot alpha（n））\cdot w（MST（S））和最大度O（n^{1/alpha（n）}），它改进了Arya等人\cite{ADMSS95}的经典结果;在来自\cite{ADMSS95}的相应结果中，该图具有相同的边数和直径，但是其权和度可以任意大。同样，当k = O（1）时，这产生了最大度O（1），直径O（log n）和重量O（log^2 n）\cdot w（MST（S）），这反驳了Arya等人\cite{ADMSS95}的另一个经典结果。在最大度为O（k），边数为O（n）的约束下，我们的O（logkn + alpha（k））的直径界是最优的.我们对权重的界限是最佳的，最高可达log n倍。我们的构造还在参数的互补范围中提供了类似的折衷，即，当重量应该小于log^2 n时，但允许直径增…
2011-08-30 cs.CG cs.DS
A Quadtree, a Steiner Spanner, and Approximate Nearest Neighbours in Hyperbolic Space
本文提出双曲空间四叉树及 L-order，并据此构造近线性规模、可动态维护的 (1+ε) Steiner 伸展器，同时支持对数时间的动态近似最近邻查询。
2023-10-16 cs.CG
Plane Hop Spanners for Unit Disk Graphs: Simpler and Better
单位圆盘图（UDG）是一种广泛应用于无线网络研究的模型。在该模型中，无线节点由平面上的点表示，当且仅当两点之间的欧氏距离最大为1时，两点之间存在边。UDG的跳数是生成子图$H$，使得对于UDG中的每条边$(p,q)$，$H$中的$p$和$q$之间的拓扑最短路径具有恒定数目的边。$H$的跳扩展因子是这些路径的最大边数。一个跳跃的平面（即嵌入平面），如果它的边缘不互相交叉。在计算几何和无线adhoc网络中，为UDG构造跳数的问题受到了相当大的关注。尽管有这种关注，但在获得（i）平面的和（ii）具有低跳跃拉伸因子的跳跃空间方面还没有显著的进展。以前的结构要么不能保证平面性，要么有很高的跳跃拉伸因子。唯一满足这两个条件的构造是Catusse，Chepoi和Vaxès（2010）;他们的平面跳数最多为449。我们的主要结果是一个简单的算法，构造一个平面跳数的UDG。除了简单之外，所构造的跳频扩展因子至多为341。尽管算法本身很简单，但其分析是相当复杂的。在证明过程中建立了平面几何的几个结果。这些结果是独立的利益。
2019-02-26 cs.CG
Proximal Navigation Graphs and t-spanners
设$(X,\mathbf{d})$是度量空间，$V\subseteq X$是有限集，$E \subseteq V \times V$是度量空间。如果图$G(E,V)$的每条边$(u,v) \in E$都有权值$d(u,v)$，我们称之为{ \em度量}图。特别地，边$(u,u)$在图中并且具有距离$0$。我们称$G$为{ \em近端导航图}或$PN$ -图，如果对于每个边$(u,v) \in E$，要么有$u=v$，要么有一个节点$u_1$，使得$(u,u_1) \in E$和$\mathbf{d}(u,v) > \mathbf{d}(u_1,v)$。在这样的图中，通过在每一步中减小当前节点和目标节点之间的距离，可以将greetings从任意源节点导航到任意目标节点。完全图，Delaunay三角剖分和半空间邻近（HSP）图（在下文中定义）是$PN$ -图的例子。本文研究了$PN$ -图与$t$ -图之间的关系，证明了对于任意的$t$，都存在不是$t$ -图的$PN$ -图。在积极的方面，我们给出了$PN$ -图是$t$-图的充分条件，并证明了$\mathbb{R}^n$上的任何$PN$ -图在欧氏距离下都是$t$ -图.
2022-03-01 cs.CG
The well-separated pair decomposition for balls
给定一个实数$t>1$，几何$t$ -图是$\mathbb{R}^d$中一个点集的几何图，顶点之间有直线，使得图中每对顶点之间的最短路径距离（具有欧几里得边长）与它们的实际欧几里得距离之比至多为$t$。不精确的点集由$\mathbb{R}^d$中的区域集$R$建模。如果在$R$的每个区域中选择一个点，则得到的点集称为~ $R$的精确实例。不精确点集$R$的不精确$t$-图是图$G=(R,E)$，使得对于$R$的每个精确实例$S$，图$G_S=(S,E_S)$是$t$-图，其中$E_S$是对应于$E$的边的集合。本文证明了，给定一个实数$t>1$，存在一个由平面上的$n$直线段组成的不精确点集$R$，使得$R$的任何不精确点集都有$Ω(n^2)$边.然后，我们提出了一个算法，计算一个良好的分离对分解（WSPD）的大小${\cal O}(n)$的一组$n$成对不相交的$d$ -维球与任意大小。给定一个实数$t>1$和一组任意大小的$n$两两不相交的$d$ -球，我们使用这个WSPD在${\cal O}(n\log n+n/(t-1)^d)$时间内计算一个不精确的$t$ -球，它具有${\cal O}(n/(t-1)^d)$边.
2017-06-20 cs.CG
Labeled Nearest Neighbor Search and Metric Spanners via Locality Sensitive Orderings
本文为欧几里得、ℓ_p 和加倍空间开发了新的局部敏感排序，以更少排序实现更大拉伸，并用于构建多种生成图及带标签的最近邻搜索数据结构。
2023-11-16 cs.CG cs.DS
Towards a Unified Theory of Light Spanners I: Fast (Yet Optimal) Constructions
University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文提出了一种统一框架，用于在多种图类中快速构造具有最优轻量级特性的spanner，解决了以往方法在通用性、运行时间和参数优化上的不足。
2025-12-04 cs.CG cs.DS
Approximate Distance and Shortest-Path Oracles for Fault-Tolerant Geometric Spanners
本文为容错欧几里得生成器设计近似距离与最短路径预言机，支持快速查询故障后的近似距离和路径，适用于道路网络路由。
2023-12-27 cs.CG cs.DS
Spanners for Directed Transmission Graphs
令$P \subset \mathbb{R}^2$是平面$n$ -点集，使得每个点$p \in P$具有相关联的半径$r_p > 0$。$P$的传递图$G$是具有顶点集$P$的有向图，使得对于任何$p, q \in P$，存在从$p$到$q$的边当且仅当$d(p, q) \leq r_p$。设$t > 1$为常数。$G$的$t$ -图是一个子图$H \subseteq G$，其顶点集为$P$，使得对于任意两个顶点$p,q \in P$，我们有$d_H(p, q) \leq t d_G(p, q)$，其中$d_H$和$d_G$分别表示$H$和$G$中的最短路径距离（具有欧几里德边长）。我们展示了如何在$O(n (\log n + \log Ψ))$时间内计算具有$O(n)$边的$G$的$t$ -ε，其中$Ψ$是$P$中一个点的最大和最小半径之比。使用更高级的数据结构，我们获得了一个在$O(n \log^5 n)$时间内运行的构造，独立于$Ψ$。我们给两个应用程序为我们的空间。首先，我们展示了如何使用我们的递归在$O(n \log n)$时间内（除了构建递归所需的时间之外）从任何给定的开始顶点在$G$中找到一棵BFS树。其次，我们展示了如何使用我们的可达性扩展的可达性预言回答几何可达性查询。在几何可达性查询中，我们询问$G$中的顶点$p$是否可以“到达”作为平面中的任意点的目标$q$（…
2020-10-02 cs.CG
Computing Oriented Spanners and their Dilation
该研究提出首个欧氏空间中构造常数有向膨胀率稀疏有向生成图的高效算法，同时证明最小化有向膨胀率的定向问题NP难、一般度量下计算有向膨胀率APSP难，并给出次立方近似算法。
2024-12-11 cs.CG
Near-Linear-Time Deterministic Plane Steiner Spanners and TSP Approximation for Well-Spaced Point Sets
我们描述了一个算法，作为输入的n个点在平面上和一个参数ε，并产生作为输出的嵌入平面图具有给定的点作为其顶点的子集，其中的图形距离是一个（1 + ε）-近似的几何距离之间的给定点。对于德洛内三角剖分分有界最尖角的点集，算法的输出顶点数为O（n），权值为O（1）乘以最小生成树权值，算法的运行时间为O（n \sqrt{log log n}）。我们使用这个结果在一个类似的快速确定性近似计划的旅行推销员问题。
2013-05-30 cs.CG
The Emergence of Sparse Spanners and Greedy Well-Separated Pair Decomposition
在$R^d$中的一组点上的一个图包含任意两点之间的最短路径，其长度至多是它们的欧氏距离的常数因子。在本文中，我们研究新的模型，旨在解释为什么好的空间“出现”在现实中，当他们显然是内置的块与自己的利益和建设是不协调的代理。我们的主要结果是表明，如果边是内置的一个任意的顺序，但边是建立当且仅当它的端点不“接近”的端点现有的边缘，图是一个$(1 + \eps)$的线性数的边缘，常数的平均度，和总的边缘长度作为一个小的对数因子的成本的最小生成树。作为一个副产品，我们展示了一个简单的贪心算法，用于构建最佳大小以及分离对分解，可能是自己的兴趣。
2009-05-15 cs.CG cs.DS
Oriented Spanners
针对欧氏平面点集的有向$t$-生成树问题，先证明平面中最小化有向扩张率是NP难的，再研究一维点集的单页书嵌入有向图，提出动态规划和贪心算法，最后扩展到凸点集，证明贪心三角剖分可产生平面有向$t$-生成树。
2025-11-12 cs.CG
Dynamic Light Spanners in Doubling Metrics
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；Dartmouth College（达特茅斯学院）；Bar-Ilan University（巴伊兰大学）
研究在双倍度量空间中动态维护轻量级跨度图的方法，实现高效插入和删除操作，保持跨度因子和权重稳定。
2026-03-24 cs.CG cs.DS
Maintaining Light Spanners via Minimal Updates
针对d维欧氏空间动态点集的轻量有界度(1+ε)-spanner维护问题，提出全动态算法，实现插入常数摊销追索权、删除O(logΔ)摊销追索权，同时保持度与轻量的常数界。
2024-03-05 cs.CG cs.DS
Engineering an algorithm for constructing low-stretch geometric graphs with near-greedy average-degrees
本文提出了Fast-Sparse-Spanner算法，用于在大型平面点集上高效构造稀疏低拉伸几何图，其平均度数接近greedy-spanners，且在速度和内存上显著优于现有最快算法，同时保持较优的图直径。
2023-05-18 cs.CG
Map-Matching Queries under Fréchet Distance on Low-Density Spanners
本文研究低密度生成子图上的Fréchet距离地图匹配查询问题，提出高效预处理数据结构并解决报告最优路径的开放问题。
2024-07-27 cs.CG
Hop-Spanners for Geometric Intersection Graphs
该研究针对平面几何相交图，推导了2-hop和3-hop生成树的边数上界，改进了单位圆盘图等四类几何相交图的生成树边数界，部分结果接近紧界。
2023-10-30 cs.CG math.CO
Optimal Spanners for Unit Ball Graphs in Doubling Metrics
解决了2006年的一个公开问题，证明了单位球图在有界双倍维数度量下存在轻量有界度空间，并在计算模型中设计了一个简单的$\mathcal{O}(\log^*n)$ -轮分布式算法，给定一个具有$n$顶点和正常数$ε< 1$的单位球图$G$，找到一个$(1+ε)$ -仅使用2跳邻域信息对其最大程度和亮度进行恒定边界的优化。这立即改善了最佳先验亮度边界，Damian，Pandit和Pemmaraju的算法，该算法在Rightmark模型中以$\mathcal{O}(\log^*n)$轮运行，但其亮度具有$\mathcal{O}(\log Δ)$边界，其中$Δ$是单位球图中最长边的长度与最短边的长度之比。接下来，我们调整我们的算法工作在CONGEST模型，而不改变其轮复杂度，因此提出了第一个单位球图的CONGEST计算模型的构造。我们进一步研究的问题，在二维的欧几里德平面，我们提供了一个建设具有类似的属性，具有恒定的平均数量的边缘交叉点每个节点。最后，我们提供的实验结果，确认我们的理论界限，并显示出我们的分布式算法相比，最知名的集中式建设的有效性能。
2022-11-04 cs.CG cs.DS cs.NI
Fault-Tolerant Spanners for Doubling Metrics: Better and Simpler
在STOC'95中，Arya等人（1995）证明，对于任何常维$n$ -点欧氏空间，可以在$O(n \log n)$时间内建立具有常度、跳直径$O(\log n)$和权重$O(\log n) \cdot ω(MST)$的$(1+\eps)$ -点。最近Elkin和Solomon（技术报告，2012年4月）肯定地证明了Arya等人的这个猜想。事实上，埃尔金和所罗门的证明在两个方面更一般。首先，它适用于任意的加倍度量。第二，它提供了一个完整的折衷之间的三个涉及的参数是紧密的（常数因子）在整个范围内。随后，Chan等人（技术报告，2012年7月）为Arya等人提供了另一个证明。的猜想，这是简单的证明比埃尔金和所罗门。此外，Chan等人（2012）还表明，可以构建具有类似属性的容错（FT）模型。具体地，他们表明存在具有度$O(k^2)$、跳跃直径$O(\log n)$和重量$O(k^3 \cdot \log n) \cdot ω(MST)$的$k$-FT $(1+\eps)$ -矩阵。没有分析Chan等人构建的运行时间。在这项工作中，我们改进了Chan等人的结果，用更简单的证明。具体地说，我们给出了一个简单的证明，它表明，一个$k$-FT $(1+\eps)$ -模型的度$O(k^2)$，跳直径$O(\log n)$和重量$O(k^2 \cdot \log n) \cdot ω(MST)$…
2012-12-27 cs.CG cs.DS
Light, Reliable Spanners
本文发起了对轻量级可靠生成器的研究，通过引入遗忘型随机生成器和轻量级树覆盖，为 $k$-HST、一般度量及倍增度量等空间构造了具有近最优权重参数的可靠生成器。
2023-07-31 cs.CG cs.DS
On the Stretch Factor of Convex Delaunay Graphs
设C是平面上的一个紧致凸集，其内部包含原点，S是平面上的一个有限点集。定义S的Delaunay图DG_C（S）是S的沃罗诺伊图关于C定义的凸距离函数的对偶图。我们证明了DG_C（S）是S的一个t-图，其中t是一个只依赖于集合C的形状的常数。因此，对于S中的任意两点p和q，图DG_C（S）包含p和q之间的路，其欧氏长度至多为p和q之间的欧氏距离的t倍。
2008-04-07 cs.CG
Drawing Graphs as Spanners
本文研究了图在平面上的嵌入问题，把它看作是一个好的几何空间。也就是说，对于图$G$，目标是在平面中构造$G$的直线绘图$Γ$，使得对于$G$的任何两个顶点$u$和$v$，从$u$到$v$的任何路径的最小长度与$u$和$v$之间的欧几里得距离之间的比率小。在$G$的所有顶点对上的最大这样的比率是$Γ$的生成比率。首先，我们表明，决定是否允许一个图的直线图的生成比$1$，一个适当的直线图的生成比$1$，和一个平面的直线图的生成比$1$是NP-完全，$\exists \mathbb R$ -完全，线性时间可解的问题，分别是，如果没有两个顶点重叠，没有边重叠的顶点，绘图是适当的。其次，我们表明，从生成比$1$到生成比$1+ε$，我们可以绘制每个图。也就是说，我们证明了，对于每一个$ε>0$，每一个（平面）图允许一个适当的（分别）。平面）直线图，跨度比小于$1+ε$。第三，跨度比小于$1+ε$的图具有大的边长比，即最长边的长度与最短边的长度之比是指数的。我们表明，这有时是不可避免的。更一般地说，我们确定有界韧性的标准，区分图表，承认直线图纸与常数跨度比和多项式边长比的图表，需要指数边长比在任何直线图纸与常数跨度比。
2020-02-13 cs.CG cs.DM cs.DS
Time-Space Trade-Offs for Computing Euclidean Minimum Spanning Trees
我们提出的时间-空间权衡计算的欧氏最小生成树的一组$S$的$n$点的网站在平面上。更准确地说，我们假设$S$驻留在只能读取的随机存取存储器中。欧几里德最小生成树$\text{EMST}(S)$的边必须按顺序报告，并且之后不能访问或修改它们。有一个参数$s \in \{1, \dots, n\}$，使得算法可以使用读写存储器的$O(s)$单元（称为工作空间）进行计算。我们的目标是找到一个算法，具有最佳的运行时间为任何给定的$s$之间的$1$和$n$。我们展示了如何计算$\text{EMST}(S)$在$O\big((n^3/s^2)\log s \big)$时间与$O(s)$细胞的工作空间，给出了一个平滑的权衡之间的两个最知名的界限$O(n^3)$为$s = 1$和$O(n \log n)$为$s = n$。为此，我们在$S$的相对邻域图（RNG）上运行Kruskal算法。$\text{RNG}(S)$的最小生成树就是$\text{EMST}(S)$，这是一个经典的事实.为了实现Kruskal的算法与工作空间的$O(s)$细胞，我们定义$s$ -网，平面图的紧凑表示。这允许我们在插入边时有效地维护和更新当前最小生成森林的组件。
2020-11-18 cs.CG
Improving the dilation of a metric graph by adding edges
大多数关于spatial的文献都集中在从头开始构建图。本文的重点是添加边来改进现有的图。在这个领域的一个主要的开放问题是：给定一个图嵌入在度量空间，和预算的$k$边缘，其中$k$边缘，我们添加到产生一个最小膨胀图？$k=1$过去曾被研究过，但对$k > 1$没有重大突破的特殊情况。我们提供了第一个积极的结果，一个$O(k)$近似算法，运行在$O(n^3 \log n)$的时间。
2022-12-18 cs.CG
Bicriteria approximation for minimum dilation graph augmentation
本文研究在给定边预算下最小化图膨胀的增广问题，提出一个运行时间为 $O(n^3 \log n)$ 的 $(2 \sqrt[r]{2} \\ k^{1/r},2r)$-双标准近似算法，显著改善了此前与 $k$ 线性相关的近似因子，并在 Erdős girth 猜想下证明分析是紧的。
2024-07-05 cs.CG
A Sublinear Approximation Algorithm for Minimum Dilation Trees in the Plane
IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）；TU Braunschweig（布伦瑞克工业大学）；Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）
本文提出首个多项式时间次线性近似算法，近似比为$\ ilde{O}(n^{14/15})$，用于欧几里得平面中的最小膨胀树问题，解决了Eppstein于1996年提出的开放问题。
2026-11-05 cs.CG
