发表机构
IT University of Copenhagen; University of Copenhagen; TU Braunschweig; Université Côte d’Azur; CNRS; Inria（哥本哈根信息技术大学; 哥本哈根大学; 布伦瑞克工业大学; 蔚蓝海岸大学; 法国国家科学研究中心; 法国国家信息与自动化研究所）
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本文提出首个多项式时间次线性近似算法，近似比为$\ ilde{O}(n^{14/15})$，用于欧几里得平面中的最小膨胀树问题，解决了Eppstein于1996年提出的开放问题。
AI 中文摘要
几何图的膨胀度量了当限制在图边上行走时，点对之间的路径比直接穿过环境空间的最短路径长多少。点集的最小膨胀树是具有最小膨胀的生成树，其中树中的边长由环境空间中的距离给出。在欧几里得平面中，计算最小膨胀树是NP困难的，但已知的近似难度结果尚不存在。另一方面，最小生成树是最小膨胀树的$(n-1)$近似，但对于欧几里得平面中的一般点集，目前没有已知的渐近更好的近似算法。我们给出了欧几里得平面中最小膨胀树的第一个次线性近似算法。我们的近似比为$\tilde{O}(n^{14/15})$，算法运行时间为多项式时间。这解决了Eppstein在1996年提出的一个开放问题。
英文摘要
The dilation of a geometric graph measures how much longer the path between pairs of points becomes when restricted to graph edges, rather than following the direct path through the ambient space. The minimum dilation tree of a point set is the spanning tree with minimum dilation, where edge lengths in the tree are given by distances in the ambient space. In the Euclidean plane, computing the minimum dilation tree is NP-hard, but no hardness of approximation result is known. On the other hand, the minimum spanning tree is an $(n-1)$-approximation to the minimum dilation tree, but no asymptotically-better approximation algorithm is known for general point sets in the Euclidean plane. We give the first sublinear approximation algorithm for the minimum dilation tree in the Euclidean plane. Our approximation ratio is $\tilde{O}(n^{14/15})$ and our algorithm runs in polynomial time. This resolves an open problem proposed by Eppstein in 1996.
