Can't See The Forest for the Trees: Navigating Metric Spaces by Bounded Hop-Diameter Spanners
度量空间的生成子在一般度量和限制类中都得到了广泛的研究，也许最值得注意的是在低维欧几里得空间中--由于它们的许多应用。欧几里德空间可以被看作是将$d$维欧几里德空间的$\binom{n}{2}$成对距离压缩成$O(n) = O_{ε,d}(n)$连续边的手段，使得对于任何$ε> 0$，连续边距离将原始距离保持在$1+ε$的因子内。此外，可以在最佳的$O(n \log n)$时间内计算这样的空间。一旦计算出了带宽，它就可以作为一个“代理”覆盖网络，计算可以在其上进行，这会节省大量的空间和其他重要的质量指标。在消极的一面，通过对矩阵而不是原始度量进行工作，人们失去了能够在点对之间有效地“导航”的关键属性。虽然在原始度量中，人们可以通过直接边缘从任何点到任何其他点，但目前还不清楚如何有效地导航：我们如何将“好”路径的存在转化为找到它的有效算法？此外，我们通常所说的“好”路径是指权重接近其端点之间的原始距离的路径--但先验地，路径中的边（或“跳”）的数量可能是巨大的。为了控制路径的跳长，人们可以尝试上限跳直径，但自然有界的跳直径的空间比具有无限跳直径的空间更复杂，这可能使有效地找到好路径的算法任务更具挑战性。原始的度量使我们能够最佳地导航--具有精确距离的单跳（对于任何两个点），但代价很高-- $Θ(n^2)$边缘。[...]
2022-06-02 cs.CG cs.DS
Pi/2-Angle Yao Graphs are Spanners
我们证明了在L2度量下Yao图Y 4是一个拉伸因子为8（29+ 23 sqrt（2））的图.在此过程中，我们还证明了在Linf度量下的Yao图Y 4是一个拉伸因子为8的平面图。
2010-01-17 cs.CG cs.DS
Dynamic Light Spanners in Doubling Metrics
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；Dartmouth College（达特茅斯学院）；Bar-Ilan University（巴伊兰大学）
研究在双倍度量空间中动态维护轻量级跨度图的方法，实现高效插入和删除操作，保持跨度因子和权重稳定。
2026-03-24 cs.CG cs.DS
Towards Lower Bounds for Geometric Spanners in High Dimension
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
该研究针对高维ℓ_p空间几何生成树的拉伸-大小权衡，给出已有2跳生成树下界的简单证明并扩展至带Steiner顶点的情形，还建立了有界跳与通用生成树的关联，推导了无跳限制生成树的下界结论。
2026-08-11 cs.CG cs.DS
Locality-Sensitive Orderings and Applications to Reliable Spanners
Chan，Har-Peled和Jones [2020]最近开发了局部敏感排序（LSO），这是一种新工具，可以将欧几里得空间$\mathbb{R}^d$中的问题简化为$1$维线。他们用LSO解决了很多问题。后来，Buchin，Har-Peled和Ol{á}h [2019，2020]使用Chan { \em et al. }的LSO为欧几里得空间构造了非常稀疏的\emph{reliable spanners}。可靠的网络的一个非常理想的特性是它能够承受大规模的故障：即使90%的节点发生故障，网络仍然可以正常工作。在后续工作中，Har-Peled，Mendel和Ol{á}h [2021]为一般和拓扑结构度量构建了可靠的spectrometric。它们的构造使用了不同的方法，并且基于稀疏覆盖。在本文中，我们发展了非欧度量中的LSO理论，引入了适用于一般度量和拓扑结构度量的新类型的LSO。然后，我们构建这样的LSO的，以及构建大大改进的LSO的加倍度量。之后，我们使用我们的新的LSO的构造可靠的spectum与改进的拉伸和稀疏参数。最重要的是，我们构造了树和平面图的$\tilde{O}(n)$大小的可靠空间与$2$的最佳拉伸。在构造LSO和可靠空间的过程中，我们引入并构造了超度量覆盖，并为线路构造了$2$ -hop可靠空间。
2022-02-28 cs.CG cs.DS
Optimal Fault-Tolerant Spanners in Euclidean and Doubling Metrics: Breaking the $Ω(\log n)$ Lightness Barrier
本文针对欧几里得和倍增度量，设计了一种在大小、度、轻量度和运行时间上均最优的 $f$-容错稀疏子图构造，首次突破轻量度的 $\Omega(\log n)$ 障碍。
2024-02-08 cs.CG cs.DS
Light, Reliable Spanners
本文发起了对轻量级可靠生成器的研究，通过引入遗忘型随机生成器和轻量级树覆盖，为 $k$-HST、一般度量及倍增度量等空间构造了具有近最优权重参数的可靠生成器。
2023-07-31 cs.CG cs.DS
Optimal Bounds for Spanners and Tree Covers in Doubling Metrics
Manning CICS, UMass Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；State Key Laboratory for Novel Software Technology, Nanjing University（南京软件新技术国家重点实验室）
研究在双重度量中spanner和tree cover的最优界限，提出新的构造方法并证明其最优性。
2026-03-26 cs.CG cs.DS
Labeled Nearest Neighbor Search and Metric Spanners via Locality Sensitive Orderings
本文为欧几里得、ℓ_p 和加倍空间开发了新的局部敏感排序，以更少排序实现更大拉伸，并用于构建多种生成图及带标签的最近邻搜索数据结构。
2023-11-16 cs.CG cs.DS
Optimal Spanners for Unit Ball Graphs in Doubling Metrics
解决了2006年的一个公开问题，证明了单位球图在有界双倍维数度量下存在轻量有界度空间，并在计算模型中设计了一个简单的$\mathcal{O}(\log^*n)$ -轮分布式算法，给定一个具有$n$顶点和正常数$ε< 1$的单位球图$G$，找到一个$(1+ε)$ -仅使用2跳邻域信息对其最大程度和亮度进行恒定边界的优化。这立即改善了最佳先验亮度边界，Damian，Pandit和Pemmaraju的算法，该算法在Rightmark模型中以$\mathcal{O}(\log^*n)$轮运行，但其亮度具有$\mathcal{O}(\log Δ)$边界，其中$Δ$是单位球图中最长边的长度与最短边的长度之比。接下来，我们调整我们的算法工作在CONGEST模型，而不改变其轮复杂度，因此提出了第一个单位球图的CONGEST计算模型的构造。我们进一步研究的问题，在二维的欧几里德平面，我们提供了一个建设具有类似的属性，具有恒定的平均数量的边缘交叉点每个节点。最后，我们提供的实验结果，确认我们的理论界限，并显示出我们的分布式算法相比，最知名的集中式建设的有效性能。
2022-11-04 cs.CG cs.DS cs.NI
Proximal Navigation Graphs and t-spanners
设$(X,\mathbf{d})$是度量空间，$V\subseteq X$是有限集，$E \subseteq V \times V$是度量空间。如果图$G(E,V)$的每条边$(u,v) \in E$都有权值$d(u,v)$，我们称之为{ \em度量}图。特别地，边$(u,u)$在图中并且具有距离$0$。我们称$G$为{ \em近端导航图}或$PN$ -图，如果对于每个边$(u,v) \in E$，要么有$u=v$，要么有一个节点$u_1$，使得$(u,u_1) \in E$和$\mathbf{d}(u,v) > \mathbf{d}(u_1,v)$。在这样的图中，通过在每一步中减小当前节点和目标节点之间的距离，可以将greetings从任意源节点导航到任意目标节点。完全图，Delaunay三角剖分和半空间邻近（HSP）图（在下文中定义）是$PN$ -图的例子。本文研究了$PN$ -图与$t$ -图之间的关系，证明了对于任意的$t$，都存在不是$t$ -图的$PN$ -图。在积极的方面，我们给出了$PN$ -图是$t$-图的充分条件，并证明了$\mathbb{R}^n$上的任何$PN$ -图在欧氏距离下都是$t$ -图.
2022-03-01 cs.CG
Fault-Tolerant Spanners for Doubling Metrics: Better and Simpler
在STOC'95中，Arya等人（1995）证明，对于任何常维$n$ -点欧氏空间，可以在$O(n \log n)$时间内建立具有常度、跳直径$O(\log n)$和权重$O(\log n) \cdot ω(MST)$的$(1+\eps)$ -点。最近Elkin和Solomon（技术报告，2012年4月）肯定地证明了Arya等人的这个猜想。事实上，埃尔金和所罗门的证明在两个方面更一般。首先，它适用于任意的加倍度量。第二，它提供了一个完整的折衷之间的三个涉及的参数是紧密的（常数因子）在整个范围内。随后，Chan等人（技术报告，2012年7月）为Arya等人提供了另一个证明。的猜想，这是简单的证明比埃尔金和所罗门。此外，Chan等人（2012）还表明，可以构建具有类似属性的容错（FT）模型。具体地，他们表明存在具有度$O(k^2)$、跳跃直径$O(\log n)$和重量$O(k^3 \cdot \log n) \cdot ω(MST)$的$k$-FT $(1+\eps)$ -矩阵。没有分析Chan等人构建的运行时间。在这项工作中，我们改进了Chan等人的结果，用更简单的证明。具体地说，我们给出了一个简单的证明，它表明，一个$k$-FT $(1+\eps)$ -模型的度$O(k^2)$，跳直径$O(\log n)$和重量$O(k^2 \cdot \log n) \cdot ω(MST)$…
2012-12-27 cs.CG cs.DS
On the Edge Crossings of the Greedy Spanner
$t$ -空间用于近似度量空间中一组点之间的成对距离。它们只有几个边缘的总数相比，对，他们提供了一个$t$ -近似的距离上的任何两个任意点。有许多方法可以构造这样的图，其中最有效的方法之一，在权重和结果图的边数方面，是贪婪图。本文研究了欧几里得平面上点的贪婪扳手的边交叉。我们证明了一个恒定的上限的交叉口的数量与较大的边缘，只取决于拉伸因子的，$t$，我们可以有更多的有界的交叉口与较小的边缘。我们的研究结果意味着，贪婪的spectrographs在平面上的点有分隔符的大小$\mathcal{O}(\sqrt n)$，他们的平面化有线性的大小，和这些图的分隔符层次结构可以从他们的平面化在线性时间。
2021-04-28 cs.CG
Computing the Greedy Spanner in Linear Space
贪婪算法是一个高质量的算法：它的总权重、边数和最大度都是渐近最优的，并且在实践中明显优于任何其他具有合理构造时间的算法。不幸的是，所有已知的计算n个点的贪婪矩阵的算法都使用Omega（n^2）空间，这在大型实例中是不切实际的。据我们所知，到目前为止，计算出的最大的贪婪图实例大约有13，000个顶点。我们提出了一个O（n）空间算法，对于任何固定的拉伸因子和维数，该算法在O（n^2 log^2 n）时间内计算R^d中的点的相同的时间。我们讨论和评估了一些优化其运行时间，这使我们能够计算贪婪的图上有一百万个顶点。据我们所知，这也是第一个实际实现的具有近二次运行时间保证的贪婪算法。
2013-06-20 cs.CG cs.DS
Fast Geometric Spanners via Approximate Nearest Neighbor Search
Columbia University（哥伦比亚大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
本文利用批量近似最近邻搜索黑盒，在一般度量空间中实现了次二次时间构造低失真稀疏生成器，并应用于快速近似Wasserstein距离，首次在$\ell_p$空间（$p>2$）取得突破。
2026-09-24 cs.CG cs.DS
Light Spanners with Small Hop-Diameter
本文提出基于树覆盖的通用框架，构造具有小跳直径的轻量稀疏生成子图，并在倍增度量上获得了轻量性与跳直径之间的紧权衡。
2025-05-07 cs.CG cs.DS
Sub-quadratic (1+\eps)-approximate Euclidean Spanners, with Applications
该研究针对高维欧几里得空间点集生成图问题，证明低拉伸率次二次生成图不可行，同时通过添加非度量Steiner点构造出次二次规模的(1+ε)-近似生成图，并将有向版本用于加速推土机距离的近似计算。
2023-10-09 cs.CG cs.DS
Relaxed spanners for directed disk graphs
设$(V,δ)$是一个有限度量空间，其中$V$是一组$n$点，$δ$是为这些点定义的距离函数。假设$(V,δ)$有一个常数的双倍维数$d$，并且假设每个点$p\in V$周围都有一个半径为$r(p)$的圆盘，对应于$V$和$r(\cdot)$的圆盘图是\emph{directed}图$I(V,E,r)$，其顶点是$V$的点，并且其边集包括从$p$到$q$的有向边，如果$δ(p,q)\leq r(p)$。在\cite{PeRo08}中，我们给出了一个构造大小为$O(n/\eps^d \log M)$的$(1+\eps)$ -矩阵的算法，其中$M$是最大半径$r(p)$ .本文件提出了两个结果。第一个结果表明，\cite{PeRo08}的交联基本上是最佳的，即，对于常数倍维数的度量，不可能保证其大小独立于$M$的矩阵。第二个结果表明，稍微放松的要求，并允许一个小的扰动的半径分配，相当好的spectrometry可以构建。特别是，我们表明，如果它是允许使用的边缘的磁盘图$I(V,E,r_{1+\eps})$，其中$r_{1+\eps}(p) = (1+\eps)\cdot r(p)$的每一个$p\in V$，那么它是可能的，以获得一个$(1+\eps)$的大小为$O(n/\eps^d)$为$I(V,E,r)$。我们的算法是简单的，可以有效地实现。
2010-02-03 cs.CG cs.DS
Near Isometric Terminal Embeddings for Doubling Metrics
给定度量空间$(X,d)$、终端集合$K\subseteq X$和参数$t\ge 1$，我们考虑度量结构（例如，空间、距离预言器、嵌入到赋范空间中），其将$K\times X$中的所有对的距离保持到$t$的因子，并且具有小的大小（例如，空间的边的数量、嵌入的维度）。虽然已知这样的终端（也称为按源）度量结构存在于若干设置中，但是没有终端嵌入或嵌入失真接近1，即，$t=1+ε$是目前已知的一些小型$0<ε<1$。在这里，我们设计这样的终端度量结构{ \em加倍}度量，并表明，基本上任何度量结构与失真$1+ε$和大小$s(|X|)$有其终端对应，与失真$1+O(ε)$和大小$s(|K|)+1$。特别地，对于$n$点、$k=o(n)$终端集和常数$0<ε<1$上的任何加倍度量，存在：（1）对于$K\times X$中的对，具有$n+o(n)$边的具有拉伸$1+ε$的矩阵。(2)一种使用$1+ε$对$K\times X$中的对进行拉伸的标记方案，标记大小为$\approx \log k$。(3)一种嵌入到$\ell_\infty^d$中的方法，对于$K\times X$中的对，具有失真$1+ε$，其中$d=O(\log k)$。此外，令人惊讶的是，最后两个结果适用于只有PDMATHBNE是一个加倍度量，而PDMATHBNF可以是任意的。
2018-02-22 cs.CG cs.DS
Bichromatic Geometric Spanners
California State University Northridge（北岭加州州立大学）；Tufts University（塔夫茨大学）
研究平面上双色点完全二分图的生成子图，针对边数与拉伸问题，给出边数为\(O(\sqrt{1/\varepsilon}\cdot n)\)的\((3 + \varepsilon)-\)生成子图新构造，解决多年开放问题并提出新问题，还研究实线上双色点情况，给出相关生成子图结论。
2026-07-14 cs.CG math.CO
Near-Optimal Dynamic Steiner Spanners for Constant-Curvature Spaces
该研究将欧氏空间的Steiner $(1+\varepsilon)$-spanner结果拓展到球面、双曲等常曲率空间，基于四叉树构建且支持动态维护，同时给出双曲空间2-spanner的紧界与加性误差Steiner spanner构造。
2025-09-01 cs.CG
Spanners for Geometric Intersection Graphs
给出了几何求交图中空间的有效构造算法。对于R^k中的单位球图，利用有效的超立方体划分和双色最近对问题，得到了一个（1+ε）-图.这种构造的复杂度几乎与欧氏最小生成树的构造相当。结果被推广到具有次二次运行时间的任意球图。对于单位球图，空间有一个小的分离器分解，可以用来获得有效的算法近似的直径和距离查询的邻近问题。压缩四叉树，几何图形分离器，直径近似的结果可能是独立的利益。
2006-05-07 cs.CG
A Quadtree, a Steiner Spanner, and Approximate Nearest Neighbours in Hyperbolic Space
本文提出双曲空间四叉树及 L-order，并据此构造近线性规模、可动态维护的 (1+ε) Steiner 伸展器，同时支持对数时间的动态近似最近邻查询。
2023-10-16 cs.CG
Metric and Geometric Spanners that are Resilient to Degree-Bounded Edge Faults
本文研究在最大度有界边故障下仍能保持低拉伸因子的稀疏生成子图，针对一般度量空间、良分离对分解度量空间及欧氏空间点集，分别给出了边数为 $O(fm)$、$O(f^2 n)$ 和 $O(fn)$ 的弹性构造。
2025-08-28 cs.CG
Greedy Spanners in Euclidean Spaces Admit Sublinear Separators
本文证明欧几里得空间中的贪婪生成子图具有大小为O(k^{1-1/d})的次线性分隔符，引入τ-lanky刻画并推广到加倍度量，解决了两个开放问题。
2024-05-28 cs.CG
Vertex Fault-Tolerant Geometric Spanners for Weighted Points
给定n个点的集合S、将非负权重与S中的每个点关联的权重函数w、正整数k \ge 1以及实数ε> 0，我们提出了计算S中加权点诱导的度量空间（S，d_w）的扳手网络G（S，E）的算法。点集S上的加权距离函数d_w定义如下：对于任何p，q \in S，如果p \ne q，则d_w（p，q）等于w（p）+ d_π（p，q）+ w（q），否则d_w（p，q）为0。这里，d_π（p，q）是p和q之间的欧几里德距离，如果S中的点在\mathbb{R}^d中，否则，它是p和q之间的测地线（欧几里德）距离。以下是我们的结果：（1）当S中的权点位于\mathbb{R}^d中时，我们计算了一个大小为O（kn）的k点容错（4+ε）-ε网络。(2)当S中的权点位于多边形域\cal P的自由空间的相对内部时，我们给出了一个计算具有O（\frac{kn\sqrt{h+1}}{ε^2} \lg{n}）条边的k-顶点容错（4+ε）网络的算法.（3）当S中的权点位于多面体地形\cal T上时，提出了一种计算k-顶点容错（4+ε）-ε网络的算法，该网络的边数为O（\frac{kn}{ε^2} \lg{n}）。
2020-11-05 cs.CG
Near-Linear-Time Deterministic Plane Steiner Spanners and TSP Approximation for Well-Spaced Point Sets
我们描述了一个算法，作为输入的n个点在平面上和一个参数ε，并产生作为输出的嵌入平面图具有给定的点作为其顶点的子集，其中的图形距离是一个（1 + ε）-近似的几何距离之间的给定点。对于德洛内三角剖分分有界最尖角的点集，算法的输出顶点数为O（n），权值为O（1）乘以最小生成树权值，算法的运行时间为O（n \sqrt{log log n}）。我们使用这个结果在一个类似的快速确定性近似计划的旅行推销员问题。
2013-05-30 cs.CG
Metric Spaces with Expensive Distances
在有限度量空间的算法中，通常假设两点之间的距离可以在常数时间内计算，并且复杂度界限仅用度量空间的点数表示。我们引入了一个不同的模型，我们假设计算一个单一的距离是一个昂贵的操作，因此，我们的目标是尽量减少这种距离查询的数量。这个模型的动机是度量空间，出现在拓扑数据分析的上下文中。我们考虑度量空间上的两个标准操作，即构造一个$1+\varepsilon$ -空间和计算一个给定的查询点的近似最近邻。在这两种情况下，我们通过距离查询部分地探索度量空间，并通过三角不等式推断尚未探索的距离的上下界。对于speries，我们通过广泛的实验评估来评估几种探索策略。对于近似最近邻，我们证明了我们的策略在对数数量的距离查询后返回近似最近邻。
2019-01-25 cs.CG
Computing Oriented Spanners and their Dilation
该研究提出首个欧氏空间中构造常数有向膨胀率稀疏有向生成图的高效算法，同时证明最小化有向膨胀率的定向问题NP难、一般度量下计算有向膨胀率APSP难，并给出次立方近似算法。
2024-12-11 cs.CG
A dynamic $(1+\varepsilon)$-spanner for disk intersection graphs
IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）
本文提出一种动态(1+ε)-spanner，用于维护盘交图的近似距离结构，具有近线性大小和多项式对数更新时间，同时改进了动态连接性查询的空间效率。
2026-07-13 cs.CG cs.DS
Geometric spanners of bounded tree-width
本文研究有界树宽几何生成树的构造问题，提出首个树宽不超过k的渐近最优膨胀系数生成树算法，证明树宽与平面图边数的紧依赖关系，并给出圆周等距点生成树最小膨胀的几乎紧界。
2024-12-09 cs.CG
Map-Matching Queries under Fréchet Distance on Low-Density Spanners
本文研究低密度生成子图上的Fréchet距离地图匹配查询问题，提出高效预处理数据结构并解决报告最优路径的开放问题。
2024-07-27 cs.CG
Towards a Unified Theory of Light Spanners I: Fast (Yet Optimal) Constructions
University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文提出了一种统一框架，用于在多种图类中快速构造具有最优轻量级特性的spanner，解决了以往方法在通用性、运行时间和参数优化上的不足。
2025-12-04 cs.CG cs.DS
Spanners for Directed Transmission Graphs
令$P \subset \mathbb{R}^2$是平面$n$ -点集，使得每个点$p \in P$具有相关联的半径$r_p > 0$。$P$的传递图$G$是具有顶点集$P$的有向图，使得对于任何$p, q \in P$，存在从$p$到$q$的边当且仅当$d(p, q) \leq r_p$。设$t > 1$为常数。$G$的$t$ -图是一个子图$H \subseteq G$，其顶点集为$P$，使得对于任意两个顶点$p,q \in P$，我们有$d_H(p, q) \leq t d_G(p, q)$，其中$d_H$和$d_G$分别表示$H$和$G$中的最短路径距离（具有欧几里德边长）。我们展示了如何在$O(n (\log n + \log Ψ))$时间内计算具有$O(n)$边的$G$的$t$ -ε，其中$Ψ$是$P$中一个点的最大和最小半径之比。使用更高级的数据结构，我们获得了一个在$O(n \log^5 n)$时间内运行的构造，独立于$Ψ$。我们给两个应用程序为我们的空间。首先，我们展示了如何使用我们的递归在$O(n \log n)$时间内（除了构建递归所需的时间之外）从任何给定的开始顶点在$G$中找到一棵BFS树。其次，我们展示了如何使用我们的可达性扩展的可达性预言回答几何可达性查询。在几何可达性查询中，我们询问$G$中的顶点$p$是否可以“到达”作为平面中的任意点的目标$q$（…
2020-10-02 cs.CG
Emanation Graph: A Plane Geometric Spanner with Steiner Points
在一组点上的等级$k$的放射图是通过从每个点等间隔地发射$2^{k+1}$射线而制成的平面图，其中较短的射线在碰撞时阻止较长的射线。碰撞点是两个点的斯坦纳点。Mondal和Nachmanson在网络可视化的背景下研究了一年级的发散图。他们证明了这样一个图的生成比是有界的$(2+\sqrt{2})\approx 3.414$。我们将这个上界改进为$\sqrt{10} \approx 3.162$，并证明它是紧的，即，存在具有生成比$\sqrt{10}$的发散图。我们证明了对于每一个固定的$k$，等级为$k$的发散图是常数空间，其中常数因子依赖于$k$ .与等级一的图相比，等级二的发散图可以具有两倍数量的边。因此，我们介绍了一个探试法简化它们。特别是，我们比较简化的射气图对Shewchuk的约束德洛内三角剖分的合成和现实生活中的数据集。我们的实验结果表明，简化的射气图优于约束德洛内三角剖分在共同的质量措施（例如，边缘计数、角分辨率、平均度数、总边缘长度），同时保持可比较的跨度比和Steiner点计数。
2022-11-15 cs.CG
On (Directed) Width-Parameters of Geometric Spanners
TU Dortmund（多特蒙德工业大学）；TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）
本文研究几何生成子图的宽度参数，证明路径宽度等参数下存在渐近最优的稀疏生成子图，并指出树深度情形下膨胀比不可有界，且最小膨胀比问题在树深度3时NP-hard，给出XP算法。
2026-09-21 cs.CG
Improving the dilation of a metric graph by adding edges
大多数关于spatial的文献都集中在从头开始构建图。本文的重点是添加边来改进现有的图。在这个领域的一个主要的开放问题是：给定一个图嵌入在度量空间，和预算的$k$边缘，其中$k$边缘，我们添加到产生一个最小膨胀图？$k=1$过去曾被研究过，但对$k > 1$没有重大突破的特殊情况。我们提供了第一个积极的结果，一个$O(k)$近似算法，运行在$O(n^3 \log n)$的时间。
2022-12-18 cs.CG
Exact Computation of a Manifold Metric, via Lipschitz Embeddings and Shortest Paths on a Graph
数据敏感度量基于数据点的密度局部地调整距离，目标是对齐距离和一些相似性概念。在本文中，我们给出了第一个精确的算法来计算一个数据敏感的度量称为最近邻度量。事实上，我们证明了令人惊讶的结果，以前公布的$3$近似是一个精确的算法。最近邻度量可以被视为机器学习中使用的基于密度的距离的特殊情况，或者它可以被视为流形度量的示例。以前对这种度量的计算研究对计算精确的距离感到绝望，因为很难在一对点之间的所有连续路径上最小化。我们利用最近邻度量的精确计算来计算稀疏空间和持久同源性。我们还探讨了从底层分布绘制的点集建立的度量的行为，并考虑更一般的情况下，输入是路径连接的紧致集的有限集合。主要结果连接了几个经典理论，如黎曼度量的共形变换，Schoenberg的正定函数理论，Schoenberg和Von Neumann的螺旋函数理论。我们开发了新的证明技术的基础上组合的螺旋函数和Lipschitz扩展，可能是独立的利益。
2020-04-21 cs.CG cs.DS math.FA
Geometry helps in routing scalability
本研究提出利用几何框架解决时变网络路由问题，通过半代数曲线追踪顶点，为低轨卫星运动建立多项式上界，实验显示比图方法减少一个数量级的重计算，并发现真实数据中的度量扳手性质。
2024-12-17 cs.CG cs.DS cs.NI
Embeddings and near-neighbor searching with constant additive error for hyperbolic spaces
本文通过基于二元铺砌的嵌入方法，为庞加莱半空间中的点集构造了具有 $O(\log D)$ 加性失真的图度量、稀疏生成图和近似 Voronoi 图，从而在 $2^{O(D)}+O(\log n)$ 时间内支持加性误差为 $O(\log D)$ 的近邻查询。
2024-04-01 cs.CG
