发表机构
Columbia University; University of Pennsylvania（哥伦比亚大学; 宾夕法尼亚大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文利用批量近似最近邻搜索黑盒，在一般度量空间中实现了次二次时间构造低失真稀疏生成器，并应用于快速近似Wasserstein距离，首次在$\ell_p$空间（$p>2$）取得突破。
AI 中文摘要
我们研究了在一般度量空间中，当给定一个快速批量近似最近邻搜索算法的黑盒访问时，以次二次时间构造度量稀疏生成器的问题。特别地，对于任何具有宽高比 $\Delta$ 的度量空间 $\mathsf{M} = ([n], \mathsf{d})$，若其存在运行时间为 $\tau_{\mathsf{M}}(n)$ 的 $c$-近似批量最近邻搜索算法，我们证明以下结果：(1) 存在一个算法，对于任意 $k \in \mathbb{N}$，构造一个具有 $\tilde{O}(kn^{1+1/2k} \log \Delta)$ 条边的 $O(c k)$-失真稀疏生成器，运行时间为 $\tilde{O}(\tau_{\mathsf{M}} \cdot k n^{1/k} \log \Delta)$。(2) 任何通过查询距离预言机和黑盒批量最近邻搜索预言机最多学习 $o(n^{1+1/k}/k)$ 个成对距离的算法，必然产生 $\Omega(c k)$ 的失真。我们的结果意味着（真正）次二次时间的稀疏生成器构造算法等价于次二次时间的批量近似最近邻搜索（BANN）（至多常数因子损失）。作为进一步应用，我们利用快速稀疏生成器构造，为所有 $q > 1$ 的 Wasserstein 距离 $\mathsf{W}_q$ 在任意具有高效批量近似最近邻搜索算法的度量空间上提供了快速近似算法。结合最近在 $\ell_p$ 空间（$p > 2$）中近似最近邻搜索的新高效算法，我们的结果首次在这些度量空间上实现了次二次时间的稀疏生成器构造算法（具有所述的大小-失真权衡）和 $\mathsf{W}_q$ 距离近似。
英文摘要
We study the problem of constructing metric spanners in general metric spaces in subquadratic time when given blackbox access to a fast algorithm for batch approximate nearest neighbor search. In particular, we show the following results for any metric space $\mathsf{M} = ([n], \mathsf{d})$ with aspect ratio $Δ$ admitting a $c$-approximate batch nearest neighbor search algorithm with runtime $τ_{\mathsf{M}}(n)$, (1) There exists an algorithm that, for any $k \in \mathbb{N}$, constructs an $O(c k)$-distortion spanner with $\tilde{O}(kn^{1+1/2k} \log Δ)$ edges and runs in time $\tilde{O}(τ_{\mathsf{M}} \cdot k n^{1/k} \log Δ)$. (2) Any algorithm that learns at most $o(n^{1+1/k}/k)$ pairwise distances by querying a distance oracle and a blackbox batch nearest neighbor search oracle necessarily incurs $Ω(c k)$ distortion. Our results entail that (truly) sub-quadratic time algorithms for spanner construction is equivalent to subquadratic time BANN (up to constant-factor losses). As a further application, we use our fast spanner constructions to obtain a fast algorithm for approximating the Wasserstein distance $\mathsf{W}_q$, for all $q > 1$, over any metric space admitting an efficient batch approximate nearest neighbor search algorithm. Together with recent new efficient algorithms for approximate nearest neighbor search in $\ell_p$ spaces, for $p > 2$, our results entail the first subquadratic time algorithms for spanner construction (with the stated size-distortion tradeoff) and $\mathsf{W}_q$ distance approximation over these metric spaces.
