双曲空间中具有常数加性误差的嵌入与近邻搜索
Embeddings and near-neighbor searching with constant additive error for hyperbolic spaces
AI总结：
本文通过基于二元铺砌的嵌入方法，为庞加莱半空间中的点集构造了具有 $O(\log D)$ 加性失真的图度量、稀疏生成图和近似 Voronoi 图，从而在 $2^{O(D)}+O(\log n)$ 时间内支持加性误差为 $O(\log D)$ 的近邻查询。
摘要：
我们给出了一种将庞加莱半空间 $H^D$ 嵌入到基于 $H^D$ 的二元铺砌（binary tiling）的离散度量空间中的方法，其加性失真为 $O(\log D)$。由此得到以下结果。我们证明，$H^D$ 中任意包含 $n$ 个点的子集 $P$ 都可以嵌入到一个具有 $2^{O(D)}n$ 个顶点和边的图度量中，且加性失真为 $O(\log D)$。我们还证明了对于任意 $k$，如何构造 $P$ 的一个 $O(k\log D)$-纯加性稀疏生成图（spanner），其具有 $2^{O(D)}n$ 个 Steiner 顶点和 $2^{O(D)}n \cdot λ_k(n)$ 条边，其中 $λ_k(n)$ 是第 $k$ 行逆阿克曼函数。最后，我们证明了如何构造 $P$ 的一个大小为 $2^{O(D)}n$ 的近似 Voronoi 图。它使我们能够在 $2^{O(D)}+O(\log n)$ 时间内回答近似近邻查询，且加性误差为 $O(\log D)$。这些构造可以在 $2^{O(D)}n \log n$ 时间内完成。
英文摘要：
We give an embedding of the Poincaré halfspace $H^D$ into a discrete metric space based on a binary tiling of $H^D$, with additive distortion $O(\log D)$. It yields the following results. We show that any subset $P$ of $n$ points in $H^D$ can be embedded into a graph-metric with $2^{O(D)}n$ vertices and edges, and with additive distortion $O(\log D)$. We also show how to construct, for any $k$, an $O(k\log D)$-purely additive spanner of $P$ with $2^{O(D)}n$ Steiner vertices and $2^{O(D)}n \cdot λ_k(n)$ edges, where $λ_k(n)$ is the $k$th-row inverse Ackermann function. Finally, we show how to construct an approximate Voronoi diagram for $P$ of size $2^{O(D)}n$. It allows us to answer approximate near-neighbor queries in $2^{O(D)}+O(\log n)$ time, with additive error $O(\log D)$. These constructions can be done in $2^{O(D)}n \log n$ time.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
