用于倍增管的近等距端子嵌入
Near Isometric Terminal Embeddings for Doubling Metrics
摘要：
给定度量空间$(X,d)$、终端集合$K\subseteq X$和参数$t\ge 1$，我们考虑度量结构（例如，空间、距离预言器、嵌入到赋范空间中），其将$K\times X$中的所有对的距离保持到$t$的因子，并且具有小的大小（例如，空间的边的数量、嵌入的维度）。虽然已知这样的终端（也称为按源）度量结构存在于若干设置中，但是没有终端嵌入或嵌入失真接近1，即，$t=1+ε$是目前已知的一些小型$0<ε<1$。在这里，我们设计这样的终端度量结构{ \em加倍}度量，并表明，基本上任何度量结构与失真$1+ε$和大小$s(|X|)$有其终端对应，与失真$1+O(ε)$和大小$s(|K|)+1$。特别地，对于$n$点、$k=o(n)$终端集和常数$0<ε<1$上的任何加倍度量，存在：（1）对于$K\times X$中的对，具有$n+o(n)$边的具有拉伸$1+ε$的矩阵。(2)一种使用$1+ε$对$K\times X$中的对进行拉伸的标记方案，标记大小为$\approx \log k$。(3)一种嵌入到$\ell_\infty^d$中的方法，对于$K\times X$中的对，具有失真$1+ε$，其中$d=O(\log k)$。此外，令人惊讶的是，最后两个结果适用于只有PDMATHBNE是一个加倍度量，而PDMATHBNF可以是任意的。
英文摘要：
Given a metric space $(X,d)$, a set of terminals $K\subseteq X$, and a parameter $t\ge 1$, we consider metric structures (e.g., spanners, distance oracles, embedding into normed spaces) that preserve distances for all pairs in $K\times X$ up to a factor of $t$, and have small size (e.g. number of edges for spanners, dimension for embeddings). While such terminal (aka source-wise) metric structures are known to exist in several settings, no terminal spanner or embedding with distortion close to 1, i.e., $t=1+ε$ for some small $0<ε<1$, is currently known. Here we devise such terminal metric structures for {\em doubling} metrics, and show that essentially any metric structure with distortion $1+ε$ and size $s(|X|)$ has its terminal counterpart, with distortion $1+O(ε)$ and size $s(|K|)+1$. In particular, for any doubling metric on $n$ points, a set of $k=o(n)$ terminals, and constant $0<ε<1$, there exists: (1) A spanner with stretch $1+ε$ for pairs in $K\times X$, with $n+o(n)$ edges. (2) A labeling scheme with stretch $1+ε$ for pairs in $K\times X$, with label size $\approx \log k$. (3) An embedding into $\ell_\infty^d$ with distortion $1+ε$ for pairs in $K\times X$, where $d=O(\log k)$. Moreover, surprisingly, the last two results apply if only $K$ is a doubling metric, while $X$ can be arbitrary.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
