Delaunay Triangulations in the Hilbert Metric
本文将欧氏 Delaunay 三角剖分推广到平面凸多边形定义的 Hilbert 几何，分析其覆盖特性，并给出三角剖分与 Hilbert 包的高效算法。
2023-12-10 cs.CG
Generalized Delaunay Graphs with respect to any Convex Set are Plane Graphs
我们考虑了基于平面集C的平面上点集上的两类几何图：一类是由C的平移得到的，另一类是由C的正标度平移（同素异形）得到的。对于紧凸C，由C的缩放平移定义的图，即，基于C的Delaunay图是平面图。我们证明了只要C是凸的，这两类图都是平面图。
2010-12-22 cs.CG cs.DM math.CO
The Exact Spanning Ratio of the Parallelogram Delaunay Graph
本文研究平行四边形 Delaunay 图的精确跨距比，给出由长宽比 A 与非钝角 θ₀ 表达的最坏情况精确公式，并构造达到该界的图，使平行四边形成为第五类已知精确界的凸形状。
2024-02-28 cs.CG
External Incremental Delaunay Triangulation
本文提出一种外增量式Delaunay三角剖分算法，以凸包和点为基本操作单元简化实现，整体时间复杂度为$O(n\log n)$，均匀点集下构建呈线性时间，并给出了正确性证明与方法对比。
2025-03-19 cs.CG
Higher-Order Triangular-Distance Delaunay Graphs: Graph-Theoretical Properties
本文考虑平面上点集$P$上三角距离Delaunay图的一种扩张（TD-Delaunay）。在TD-Delaunay中，凸距离由固定定向的等边三角形$\triangledown$定义，并且$\triangledown$中的两点之间存在边当且仅当存在$\triangledown$的空同素，其边界上具有两个点。我们考虑高阶三角距离Delaunay图，即$k$-TD，如果$\triangledown$的同素映射的内部最多包含$P$的$k$点，则该图包含两点之间的边.我们考虑了$k$ -TD的连通性、Hamilton性和完美匹配容许性。最后考虑了$k$ -TD的边阻塞问题。
2014-09-18 cs.CG
Nice point sets can have nasty Delaunay triangulations
本文研究了在一定的几何约束下R^3中点集的德洛内三角剖分的复杂性。一组点的散布是最长和最短成对距离之间的比率。我们证明了在最坏的情况下，R^3中n个点的德洛内三角剖分的复杂性为Omega（min{D^3，nD，n^2}）和O（min{D^4，n^2}）。对于D = Theta（sqrt{n}）的情况，我们的下界构造由具有有界曲率的光滑凸曲面的均匀样本组成。我们还构造了一族光滑的连通曲面，使得任何好的点样本的德洛内三角剖分具有近二次的复杂性。
2001-03-23 cs.CG
Point set stratification and Delaunay depth
在深度函数的研究中，重要的是决定我们是否希望这样的函数对多峰敏感。在本文中，我们分析了Delaunay深度函数，这是敏感的多模态和比较这种深度与其他人，作为凸深度和位置深度。我们研究了Delaunay深度在点集（层）和整个平面（水平）中引起的分层，并且我们开发了一种用于计算Delaunay深度轮廓的算法，该算法与平面中的点集相关联，运行时间为O（n log^2 n）。查询点P的深度相对于一个数据集S在平面上是深度P的联盟S和P。当S和P是给定的输入的Delaunay深度可以计算在O（n log n），我们证明了这个值是最佳的。
2005-05-08 cs.CG
Blocking Delaunay Triangulations from the Exterior
给定平面上两个不同的点集$P$和$Q$，如果$P$中没有两个点在$P\cup Q$的任何Delaunay三角剖分中相邻，则称$Q$为\emph{blocks} $P$。Aichholzer等人（2013）表明，一般位置的$n$点的任何集合$P$都可以被$\frac{3}{2}n$点阻塞，凸位置的$n$点的每个集合$P$都可以被$\frac{5}{4}n$点阻塞。此外，他们还证明，如果$P$处于凸位置，则$n$阻塞点是充分和必要的。Biniaz（2021）最近证明了这种必要性，他证明了一般位置上的每个点集都需要$n$阻塞点。在这里，我们调查的变体，其中阻塞点只能位于外的凸壳的给定点集。我们证明了$\frac{5}{4}n-O(1)$这样的\emph{exterior-blocking}点有时是必要的，即使给定的点集是在凸的位置。因此，我们得到，如果Aichholzer等人的猜想对原始设置是正确的，那么某些点配置$P$的最小阻塞集必须包含$P$的凸包内的点。
2022-10-21 cs.CG cs.DM
Distributed boundary tracking using alpha and Delaunay-Cech shapes
对于平面上给定的点集$S$，我们提出了一种分布式算法来计算$S$的$α-$形状。$α-$形状是公知的几何对象，其概括了凸包的思想，并且为$S$的形状提供了良好的定义。我们假设，这是比一定的距离$r>0$更接近的点对之间的距离提供，我们建设性地表明，这些信息是足够的参数范围内，其中的范围取决于$r$计算的α形状。这种分布式算法在传感器网络等领域非常有用，其中每个点代表一个传感节点，其位置不一定已知。我们还介绍了一个新的几何对象称为Delaunay-Čech形状，这是几何更合适的比$α-$形状的某些情况下，并表明，它是拓扑等价的$α-$形状。
2013-02-16 cs.CG
The dilation of the Delaunay triangulation is greater than π/2
考虑平面上点集P的德洛内三角剖分T作为一个欧氏图，其中每条边的权是它的长度。长期以来，人们已经证明，任何对p，p \in P，在T中的膨胀是T中从p到p'的最短路径的长度与欧几里德距离之比。||pp'||，可以是至多π/2 \approx 1.5708。本文给出了如何构造伸缩量大于1.5810的凸位置点集和伸缩量大于1.5846的一般位置点集。此外，我们表明，一个足够大的一组点独立于任何分布将在极限接近最坏情况下的膨胀分布。
2010-06-02 cs.CG
A Toroidal Maxwell-Cremona-Delaunay Correspondence
本文研究了欧氏平坦环面上图的三类测地线嵌入：（1）嵌入$Γ$的环面图是正平衡的，如果可以在其边上设置正权，使得关联到$Γ$的每个顶点的权边向量之和为零。(2)一个嵌入$Γ$的环面图是互逆的，如果在同一平面环面上存在其对偶的测地线嵌入$Γ^*$，其中$Γ$的每条边与$Γ^*$中相应的对偶边正交. (3)一个嵌入$Γ$的环形图是相干的，如果它可以给顶点分配权重，使得$Γ$是它的顶点的（内在）加权Delaunay图。经典的Maxwell-Cremona对应关系以及凸包与加权Delaunay三角剖分之间的对应关系表明，可平面图（具有凸外表面）嵌入的类似概念是等价的。实际上，所有这三个条件都等价于$Γ$是$\mathbb{R}^3$中点的下凸包的1-骨架的投影。然而，这种三路等价并不直接扩展到平坦环面上的测地线图嵌入。在任何平坦环面上，互易嵌入和相干嵌入是等价的，并且每个互易嵌入都处于正平衡，但不是每个正平衡嵌入都是互易的。我们建立了一个较弱的对应：任何平坦环面上的每个正平衡嵌入都仿射等价于某个平坦环面上的互逆/相干嵌入。
2022-02-05 cs.CG math.MG
Kinetic Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations under Polygonal Distance Functions
设$P$是$n$点的集合，$Q$是${\mathbb R}^2$中的凸$k$ -边形.我们详细分析了$P$的Voronoi图和Delaunay三角剖分结构的拓扑（或离散）变化，根据$Q$定义的凸距离函数，$P$的点沿着预先指定的连续轨迹移动。假设$P$的每个点沿着有界度的代数轨迹移动，我们建立了一个上界的$O(k^4nλ_r(n))$的拓扑变化的图所经历的整个运动的数量;这里$λ_r(n)$是一个$(n,r)$ -达文波特-Schinzel序列的最大长度，和$r$是一个常数，取决于代数度的运动的点。最后，我们描述了一个算法，有效地维护上述结构，使用动态数据结构（KDS）框架。
2014-04-18 cs.CG cs.DS math.MG
On the Stretch Factor of Convex Polyhedra whose Vertices are (Almost) on a Sphere
设$P$是$\mathbb{R}^3$中的凸多面体。$P$的骨架是其顶点和边分别是$P$的顶点和边的图。我们证明了，如果这些顶点是在单位球面上，骨架是一个$(0.999 \cdot π)$ -矩阵。如果顶点非常接近这个球体，那么骨架不一定是一个球体。当$P$的边界在两个半径为$1$和$R>1$的同心球面之间，且所有面的夹角至少为$θ$时，我们证明了骨架是一个$t$ -球面，其中$t$只依赖于$R$和$θ$ .在证明的成分之一是一个严格的上限上的几何膨胀的凸循环，包含在一个环。
2016-09-02 cs.CG
Degree Four Plane Spanners: Simpler and Better
设${\cal P}$是平面上的$n$点集，${\cal C}$是点集为${\cal P}$的完全欧氏图.两点$p, q$之间的${\cal C}$中的每条边被实现为线段$[pq]$，并被分配等于欧几里得距离$|pq|$的权重。在本文中，我们展示了如何在$O(n\lg{n})$时间内构造一个平面图的${\cal C}$的最大程度最多为4和拉伸因子最多为20。这改进了关于构造${\cal C}$平面空间的一长串结果。我们的结果与Bonichon等人关于${\cal C}$的最大平面度的最小已知上限4相匹配，同时显着地将其拉伸因子上限从156.82提高到20。我们的构造是基于德洛内三角剖分定义相对于等边三角形距离，并使用不同的方法比Bonichon等人使用的方法。我们的方法导致一个简单而直观的结构良好的构造，并揭示了有用的结构特性的德洛内三角剖分定义相对于等边三角形距离。所构造的拓扑图的结构表明，当${\cal P}$处于凸位置时，该拓扑图的最大度至多为3。结合点集${\cal P}$处于凸位置时，${\cal C}$的平面空间的最大度的下界为3这一事实，给出了点集处于凸位置时，${\cal C}$的平面空间的最大度的一个紧界为3.
2016-03-11 cs.CG
Stable Delaunay Graphs
令$P$是$\mathrm{R}^2$中的$n$点的集合，并且令$\mathrm{DT}(P)$表示其欧氏Delaunay三角剖分。我们引入了$\mathrm{DT}(P)$的边是{ \it稳定}的概念。根据参数$α>0$定义，如果$p$和$q$看到相应的Voronoi边$e_{pq}$的（相等）角度至少为$α$，则Delaunay边$pq$被称为$α$ -稳定。对于某个常数$c \ge 1$，若$\mathrm{DT}(P)$的子图$G$中的每条边都是$α$-稳定的，且$\mathrm{DT}(P)$的每条$cα$ -稳定的都在$G$中，则称$G$为{ \it $(cα, α)$ -稳定Delaunay图}（简称$\mathrm{SDG}$）.我们表明，如果一个边缘是稳定的$P$的Euclidean Delaunay三角剖分，那么它也是一个稳定的边缘，虽然对于不同的$α$值，在$P$的Delaunay三角剖分下的任何凸距离函数，是足够接近的欧几里德范数，反之亦然。特别地，在$\mathrm{DT}(P)$中的$6α$ -稳定边在由$k \ge 2π/α$的正则$k$ -边形诱导的距离函数下在Delaunay三角剖分中是$α$ -稳定的，反之亦然.利用这种关系和~ \cite{polydel}中的分析，我们提出了一个线性大小的动力学数据结构（KDS），用于在$P$的点移动时维护$(…
2015-04-26 cs.CG math.MG
Efficiently navigating a random Delaunay triangulation
可平面图导航是一个重要的问题，它对几何数据结构中的点定位和网络中的路由都有着重要的意义。然而，虽然已经提出了一些算法和存在性证明，很少的分析是可用于所生成的路径的属性和所需的计算资源，以生成它们的输入下的广义过程假设。在本文中，我们分析了一个新的确定性的平面导航算法，具有恒定的竞争力，以下的顶点邻接的Delaunay三角剖分。我们称之为圆锥行走策略。我们证明了给定$n$在单位面积的光滑凸区域上的一致点，并且对于任意的起始点$z$和查询点$q$，对$z$和$q$应用锥行走，当$n$趋于无穷大时，将访问最多的具有复杂度$O(|zq|\sqrt{n} \log \log n + \log^7 n)$且概率趋于1的$O(|zq|\sqrt{n} +\log^7 n)$站点.我们还表明，在这个模型中，锥行走是$(\log ^{3+ξ} n)$ -无记忆的高概率域中的任何一对开始和查询点，任何积极的$ξ$。我们在整个过程中特别小心，以确保我们的边界是有效的，即使查询点任意接近边界。
2014-02-25 cs.CG cs.DS math.PR
Two-point Approximate Shortest Path Queries among Convex Polygonal Obstacles in the Plane
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
针对平面含h个凸多边形障碍物、总顶点数n的多边形域，提出预处理算法生成数据结构，可快速查询两点间满足(1+ε)乘性与13ℓ加性伸展的近似最短路径。
2026-08-11 cs.CG
Lower bounds for weak epsilon-nets and stair-convexity
对于R^d中的有限集X，如果N与X的至少包含X * |X|点的每个凸集相交，则集合N被称为“弱ε-网”（相对于凸集）。对于每个固定的d>=2和r>=1，我们在R^d中构造集合X，使得每个弱（1/r）-网至少有Omega（r log^{d-1} r）个点;这是固定维弱ε-网的第一个超线性下界。该结构是一个“拉伸网格”，即，d个合适的快速增长的有限序列的笛卡儿积，并且该网格中的凸性可以使用“阶梯凸性”来分析，“阶梯凸性”是凸性的通常概念的新变体。我们还考虑了在R^d，d>=3中拉伸网格的对角线上的弱ε-网，这是一个“本质上1维”的点集。在这种情况下，我们展示了轻微的超线性下界（涉及逆阿克曼函数），表明Alon，Kaplan，Nivasch，Sharir和Smorodinsky（2008）的上界在最坏情况下离真理不远。使用拉伸网格，我们还通过对数因子改进了平面中所谓的“第二选择引理”的已知上界：我们得到一个t个三角形的集合T，其顶点在平面中的一个n点集合中，使得没有点包含在T的O（t^2 /（n^3 log（n^3/t）个三角形中。
2009-10-14 cs.CG math.CO
Revisiting Random Points: Combinatorial Complexity and Algorithms
本文研究均匀随机点集的性质，证明距离点对数的新集中性结果，给出构造 Delaunay 三角剖分、欧几里得 MST 和凸包的线性时间算法，并重新证明 Delaunay 三角剖分期望复杂度为线性，同时提出二维距离选择问题的 $\tilde{O}(n^{4/3})$ 时间算法。
2023-10-31 cs.CG
The projector algorithm: a simple parallel algorithm for computing Voronoi diagrams and Delaunay graphs
针对二维 Voronoi 图传统算法难并行的问题，提出受线性规划与光学启发的 projector 算法，支持各 Voronoi 单元独立并行计算，并可近乎自动得到 Delaunay 图。
2023-07-10 cs.CG cs.DC cs.DS
On Angles in Higher Order Brillouin Tessellations and Related Tilings in the Plane
研究平面中局部有限集合的高阶 Brillouin 镶嵌及相关铺砌的角度单调性，证明平稳 Poisson 点过程下各类镶嵌的角度分布独立于阶数。
2022-04-03 cs.CG math.CO math.MG
Coordinated Motion Planning: Reconfiguring a Swarm of Labeled Robots with Bounded Stretch
MIT Computer Science and Artificial Intelligence Laboratory（麻省理工学院计算机科学与人工智能实验室）；TU Braunschweig（布伦瑞克工业大学）；University College Roosevelt（罗斯福大学学院）
我们提出了一些突破协调运动规划，其中的目标是重新配置一群标记的凸对象的组合成一个给定的目标安排的平行，连续，无碰撞的翻译。这类问题可以追溯到Schwartz和Sharir（1983）的经典著作，他们给出了一种方法来判断障碍物之间的一组圆盘是否存在协调运动;他们的方法在障碍物的复杂性方面是多项式的，但在圆盘的数量方面是指数的。其他以前的工作主要集中在{ \em顺序}的时间表，其中一个机器人移动的时间。我们提供了常数因子近似算法，用于最小化协调的执行时间，{ \em并行}运动计划的机器人群在没有障碍物的情况下，提供了一定量的可分性。我们的算法实现{ \em常数拉伸因子}：如果所有机器人从各自的起始位置至多是$d$单位，则整个调度的总持续时间为$O(d)$。扩展包括未标记的机器人和不同类别的机器人。我们还证明，找到一个计划，执行时间最短是NP-难的，即使是没有任何固定的障碍物的网格安排。另一方面，我们表明，密集的磁盘，不能很好地分离，拉伸因子$Ω(N^{1/4})$可能是必需的。在积极的一面，即使在这种情况下，我们也建立了$O(N^{1/2})$的拉伸因子。
2018-01-05 cs.CG cs.DS cs.RO
Density of Range Capturing Hypergraphs
对于平面中的点的有限集合$X$、平面中的集合$S$和正整数$k$，我们说$X$的$k$元素子集$Y$被$S$捕获，如果存在$S$的位似副本$S'$使得$X\cap S' = Y$，即，$S'$完全包含来自$X$的$k$元素。一个$k$ -均匀$S$ -捕获超图$H = H(X,S,k)$有一个顶点集$X$和一个由$S$捕获的$X$的所有$k$ -元素子集组成的超边集.当$k=2$和$S$是凸的时，这些图是平面图，称为凸距离函数Delaunay图。本文证明了对任意的$k\geq 2$、$X$和凸紧集$S$，$H(X,S,k)$中的超边数至多为$(2k-1)|X| - k^2 + 1 - \sum_{i=1}^{k-1}a_i$，其中$a_i$是$X$中能用直线与$X$中的其余部分分离的$i$ -元素子集的个数.特别地，该界限独立于$S$，并且实际上对于相对于$S$的一般位置中的所有“轮”集$S$和点集$X$，该界限是紧的。本文改进了Buzaglo，Pinchasi和Rote的一个一般结果，即每个顶点集为$X$的伪圆盘拓扑超图都有大小为$k$或更小的$O(k^2|X|)$超边.
2015-07-13 cs.CG math.CO
Aligned Drawings of Planar Graphs
令$G$是拓扑嵌入在平面中的图，并且令$\mathcal{A}$是与$G$的绘图相交的伪线的布置。$G$和$\mathcal{A}$的对齐绘图是具有线的排列$A$的$G$的平面对齐绘图$Γ$，使得$Γ$和$A$同胚于$G$和$\mathcal{A}$。我们证明了，如果$\mathcal{A}$是可拉伸的，每个边缘$e$要么完全位于一个伪线上，要么它有最多一个交叉与$\mathcal{A}$，那么$G$和$\mathcal{A}$有一个直线对齐的绘图。为了证明这个结果，我们加强了Da Lozzo等人的一个结果，并且证明平面图$G$和单个伪线$\mathcal{L}$具有与外表面的预定凸图对齐的图。我们还研究了限制较少的版本的对齐问题相对于一条线，其中只有一组顶点，我们需要确定它们是否可以共线。我们证明了该问题是NP完全的，但固定参数易处理。
2018-10-23 cs.CG cs.DS
