Harmonic map methods for Willmore surfaces
K. Leschke
在本文中，我们演示了如何之间的类比调和高斯映射的常数中曲率曲面和调和共形高斯映射的Willmore曲面可以用来获得结果Willmore曲面。
In this note we demonstrate how the analogy between the harmonic Gauss map of a constant mean curvature surface and the harmonic conformal Gauss map of a Willmore surface can be used to obtain results on Willmore surfaces.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Construction of Willmore two-spheres via harmonic maps into $SO^+(1,n+3)/(SO^+(1,1)\times SO(n+2))$
给出了全迷向Willmore双球面及其伴随变换的描述。我们首先回顾了Hélein，Xia-Shen和Ma为了研究Willmore曲面而引入的迷向调和映射。然后我们得到了全迷向Willmore双球的正规化势（某些李代数值亚纯1-形式）的迷向调和映射的描述。特别地，相应的迷向调和映射是有限uniton型的。证明还包含了一个具体的方法来构造完全各向同性的Willmore两个球和它们的伴随变换的例子。作为例证，用这种方法得到了两类例子。
Transformations of harmonic bundles and Willmore surfaces
Willmore曲面是Willmore泛函的极值（可能在共形结构的约束下）。随着表征Willmore表面的（可能扰动）调和性的中曲率球同余[Blaschke，Ejiri，Rigoli，Burstall-Calderbank]，一个零曲率公式如下[Burstall-Calderbank]。变形的水平上的调和映射证明引起变形的水平上的表面，与定义的频谱变形[Burstall-Pedit-Pinkall，Burstall-Calderbank]和Baecklund变换[Burstall-Quintino]的Willmore表面到新的，与一个比安奇置换之间的两个[Burstall-Quintino]。本文致力于一个独立的帐户的主题，从一个保形不变的观点，在达布的光锥模型的共形$n$ -球。
Equivariant primitive harmonic maps into $k-$symmetric spaces, with applications to Willmore surfaces
本文研究了等变本原调和映入 $k-$对称空间的构造，并应用于 Willmore 曲面，推广了 Lawson 极小 Klein 瓶得到了 $S^3$ 中的 Willmore Moebius 带。
Willmore surfaces in spheres via loop groups $I$: generic cases and some examples
本文利用调和共形高斯映射，利用环群研究了球面中Willmore曲面的整体性质。我们首先给出了可实现为Willmore曲面的共形Gauss映射的调和映射的整体描述（定理3.4、定理3.11和定理3.18）。然后，我们介绍了这些调和映射的DPW程序，并陈述了相应的Iwasawa分解定理和Birkhoff分解定理。特别是，我们展示了如何与Willmore表面的调和映射可以构建在循环组。第三个主要结果对球体中Willmore曲面的情况有许多影响，表明每个到某个非紧内对称空间$G/K$的调和映射都会诱导到紧对偶内对称空间$U/{(U \cap K^\mathbb{C})}$的调和映射。从这个对应关系中，我们得到了关于非紧内对称空间的调和映射的整体性质的额外信息。作为本文中开发的理论的一个例子，我们列出的例子（其中一些是在单独的文件，按照本论文的理论）。特别是，我们提出了一个明确的，无分支（各向同性）Willmore领域的$S^6$这不是S-Willmore，因此没有一个双Willmore表面。这个例子对一个长期开放的问题（最初由Ejiri提出）给出了否定的答案。
Willmore surfaces in spheres via loop groups: a survey
本文是一篇综述，总结了作者团队利用DPW方法研究球面中Willmore曲面的整体与局部性质的系列工作，涵盖方法框架、多类应用及调和映射相关新结果。
Weierstrass-Kenmotsu representation of Willmore surfaces in spheres
Willmore曲面$y:M\rightarrow S^{n+2}$具有自然调和定向共形高斯映射$Gr_y:M\rightarrow SO^{+}(1,n+3)/SO(1,3)\times SO(n)$，其将每个点$p\in M$映射到其在$p$处的定向中曲率2-球面。一个简单的观察表明，Willmore曲面上的共形高斯映射都满足一个限制的幂零性条件，这个条件称为“强共形调和”。本文的目的是刻画从Riemann曲面$M$到$SO^+ (1, n + 3)/{SO^+(1, 3) \times SO(n) }$的强共形调和映射，即$S^{n+2}.$中Willmore曲面的共形高斯映射。例外情况也将讨论。
Willmore surfaces in spheres via loop groups II: a coarse classification of Willmore two-spheres by potentials
应用Burstall和Guest关于有限幺正子型调和映射理论的DPW版本，我们根据调和共形高斯映射的归一化势导出了$S^{n+2}$中Willmore双球面的一个粗略分类.此外，对于$S^6$的情形，讨论了相应的Willmore双球的一些几何性质.作为推论，还导出了$S^4$中Willmore双球的经典分类。
Analysis of the Inhomogeneous Willmore Equation
我们研究一类四阶几何问题建模Willmore表面，共形约束Willmore表面，isoperimetrically约束Willmore表面，双调和曲面的意义上的陈，等等。我们证明了几个局部能量估计，并得出一个全球差距引理。
On the Björling problem for Willmore surfaces
我们解决了类似的比约林的问题Willmore表面通过调和映射表示。对于无脐带缆的情况，问题和解决方案如下：给定$S^3$中的一条实解析曲线$y_0$，连同沿该曲线的曲面法线和对偶Willmore曲面的值的规定，在Minkowski $5$空间$\mathbb{R}^5_1$中提升到光锥，我们证明，利用各向同性调和映射，存在唯一的一对对偶Willmore曲面$y$和$\hat y$满足给定值。我们给出了曲面对的广义Weierstrass数据的显式公式。对于三维目标，我们使用的解决方案来明确地描述维尔斯特拉斯数据，在几何量方面，所有的等变Willmore表面。对于曲面有脐点的情形，我们应用Hélein引入的更一般的半各向同性调和映射来导出一个解：在这种情况下，映射$\hat y$不一定是对偶曲面，并且必须规定$\hat y$的导数的附加数据。这个解决方案是广义的更高的余维。
Classification of Willmore $2$-spheres in $S^n$
本文通过构造 harmonic 序列，对 $S^n$ 中 Willmore 2 球面进行了分类，证明其要么完全 isotropic，要么严格 $k$-isotropic。
Conformal Gauss Map Geometry and Application to Willmore Surfaces in Model Spaces
本文对共形高斯映射作了详细而完备的研究。然后，从R. Bryant和共形高斯映射的概念，我们恢复了Willmore曲面的许多基本性质。我们还得到了一些新的结果，如最小和常数平均曲率（CMC）曲面的共形高斯映射行为的一些特征。
Willmore surfaces in spheres via loop groups III: on minimal surfaces in space forms
从Riemann曲面到$S^{n+2}$的Willmore浸入族可以自然地分为共形等价于$\R^{n+2}$中极小曲面的Willmore曲面和不共形等价于$\R^{n+2}$中极小曲面的Willmore曲面的子类。在共形高斯映射到$Gr_{1,3}(\R^{1,n+3})=SO^+(1,n+3)/SO^+(1,3)\times SO(n)$的水平上，这两类Willmore浸入到$S^{n+2}$对应于共形调和映射，其中每个像点，被认为是$\R^{1,n+3}$的4维洛伦兹子空间，包含一个固定的类光矢量或不包含这样的“恒定类光矢量”。使用循环组形式主义的建设Willmore浸入我们在本文中的特点正是那些归一化的潜力，对应于共形调和映射包含一个类光向量。由于这些潜在的特殊形式可以很容易地避免，我们也精确地描述了这些潜在的产生Willmore浸入$ S^{n+2}$是不共形的极小曲面在$\R^{n+2}$。事实证明，我们的证明对于其他空间型的最小浸入也是类似的。
Willmore surfaces in spheres: the DPW approach via the conformal Gauss map
利用共形高斯映射建立了Willmore曲面的DPW方法。作为应用，我们给出了$\mathbb R^{n+2}$中极小曲面、$S^4$中各向同性曲面和齐次Willmore环面的环群描述.本文还给出了一个在$S^6$中Willmore双球面不具有对偶曲面的新例子。
Bubble tree of a class of conformal mappings and applications to Willmore functional
我们开发了一个泡沫树结构和证明的紧性结果$W^{2,2}$分支共形浸入封闭的黎曼曲面，具有不同的共形结构，其极限可能退化，在一个紧凑的黎曼流形一致有界的区域和Willmore能量。利用紧致性构造了紧致黎曼流形中的Willmore型曲面.这包括：（a）在${\mathbb S}^n$中存在至少有2个不可去奇点的Willmore 2-球面;（b）在紧致流形$N$中存在具有指定面积的Willmore泛函极小元，条件是（i）亏格为0时面积很小，（ii）面积接近Schoen-Yau和Sacks面积极小化曲面的面积。Uhlenbeck在从正亏格曲面到$N$和$π_2(N)$的不可压缩映射的同伦类中是平凡的（c）当满足Douglas型条件时Willmore泛函的光滑极小元的存在性.
Adjoint Transform of Willmore Surfaces in $n$-sphere
在Möbius曲面理论的基础上，本文研究了$n$ -球面中的一对共形浸入曲面。引入了两个新的不变量$θ$和与之相关的$ρ$以及触摸和共触摸的概念。这种方法对于研究某些曲面类的变换是有帮助的。作为应用，我们定义了$n$ -球面上任意Willmore曲面的伴随变换.它总是局部存在的（但不是唯一的一般）和推广已知的对偶定理Willmore表面。这一理论的表面对达到其高点的一个特点伴随Willmore表面的调和映射。
On symmetric Willmore surfaces in spheres I: the orientation preserving case
在本文中，我们提供了一个系统的讨论如何将方向保持对称性的Willmore表面的治疗通过循环组方法。在这种情况下，我们首先开发了一个一般的治疗Willmore表面承认方向保持对称性，然后展示如何诱导有穷级旋转对称性。对于球面上Willmore曲面的共形高斯映射的目标空间--对称空间，证明了球面上所有紧致Willmore曲面的共形高斯映射的亚纯不变势的存在性的长期猜想.我们还通过一些具体的例子来说明我们的结果。
Some global properties of umbilic points of Willmore immersions in the $3$-sphere
该文从共形高斯映射视角研究3-球面中余维1的Willmore曲面脐点，刻画了脐曲线经共形变换为测地线的等价条件，证明含脐曲线长度的共形高斯映射Gauss–Bonnet公式，并将其作为各空间形式中共形极小曲面Willmore能量表达式的统一版本。
Harmonic maps of finite uniton type into inner symmetric spaces
本文给出了从Riemann曲面$M$到紧或非紧型内对称空间的有限酉型调和映射$\mathcal{F}: M \rightarrow G/K$”的环群描述.这将乌伦贝克、西格尔和Burstall-Guest的工作拓展到了非紧的内部对称空间。更具体地说，我们证明了从任意Riemann曲面到任意紧或非紧内对称空间的有限uniton型调和映射都有一个取值于某个幂零李子代数的正规化势，以及一个具有初始条件恒等式的正规化框架.这提供了一种直接的方法来构造所有这样的调和映射。我们还说明了上述结果完全由Willmore表面，因为这个问题的动机是研究Willmore两个领域的领域。
Gauss maps of Möbius surfaces in the $n$-dimensional sphere
本文定义Möbius曲面的Lorentzian 2-平面提升，证明其共形调和性等价于Willmore条件，并澄清了先前工作，支持含脐点的Björling问题。
Classification of branched Willmore spheres
本文通过证明分支威尔莫浸入中布赖恩特四次形式的全纯性及其在球面情形下的消失，结合共形高斯映射在分支点的渐近展开性质，完成了分支威尔莫球面的完整分类。
Harmonic maps in unfashionable geometries
我们描述了一个真正的光滑射影4-二次曲面上的一些一般结构，它提供了类似的Willmore功能和共形高斯映射在李球和射影微分几何。这些泛函的极值由高斯映射的调和性表征。
On symmetric Willmore surfaces in spheres II: the orientation reversing case
在本文中，我们提供了一个系统的处理Willmore表面与方向反转对称性，并说明了理论（旧的和新的）的例子。我们应用我们的理论，各向同性Willmore两个领域的$S^4$和推导出一个必要条件，这样的（可能分支）各向同性表面下降到（可能分支）的地图从$\mathbb{R} P^2$到$S^4$。Veronese球和其他几个例子的非分支Willmore浸入从$\mathbb{R} P^2$到$S^4$推导出的一般理论的说明。$\mathbb{R} P^2$的Willmore沉浸，刚才提到的，与Veronese球体不同，对作者的最佳知识来说是新的。
Links between the integrable systems of CMC surfaces, isothermic surfaces and constrained Willmore surfaces
本文统一刻画了CMC曲面、等温曲面与约束威尔莫尔曲面所对应的三个可积系统，通过平坦联络族的平行截面揭示其代数联系，并阐明各类简单因子dressing与Darboux变换之间的关系及相关族的极限结构。
Harmonic tori in de Sitter spaces $S^{2n}_1$
我们证明了从亏格为1的曲面到de Sitter空间$ S ^ {2n}_1 $中的所有超共形调和浸入都是有限型的，因此它们仅仅是解一对常微分方程的结果.作为应用，我们证明了$ S ^ 3 $中所有无脐点的Willmore环面都可以用这种简单的方法构造。
Quantization of the Willmore Energy in Riemannian Manifolds
证明了在Willmore能量和面积一致有界的条件下，Willmore球到闭黎曼流形的能量量子化成立.类似的能量量子化结果适用于任意亏格的Willmore表面，在附加的假设下，浸入映射弱收敛到来自同一表面的极限（可能是分支的，弱浸入）映射，并且共形结构保持在模空间的紧致域中。
On Willmore Legendrian surfaces in $\mathbb{S}^5$ and the contact stationary Legendrian Willmore surfaces
在本文中，我们研究Willmore Legendrian曲面（即Legendrian曲面，这是临界点的Willmore功能）。利用\cite{Luo}中证明的一个等式，得到了$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian曲面与接触平稳Legendrian曲面之间的一个关系，并利用这个关系证明了$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian球面的一个分类结果.我们还得到了Willmore Legendrian曲面的一个积分不等式，特别证明了如果$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian曲面的第二基本形式的平方长属于$[0,2]$，则它必定是$0$且$L$是全测地线，或者是$2$且$L$是平坦的极小Legendrian环面，推广了\cite{YKM}的一个结果.我们还研究了5维Sasakian流形中Legendrian曲面之间Willmore泛函的变化。设$Σ$是一个闭曲面，$(M,α,g_α,J)$是一个5维Sasakian流形，它具有接触形式$α$，伴随度量$g_α$和几乎复结构$J$ .假设$f:Σ\mapsto M$是Legendrian沉浸。如果$f$是接触形变下Willmore泛函的临界点，则称$f$为接触平稳LegendrianWillmore曲面（简称csLWillmore曲面）.为了研究csL Wi…
3-circle Theorem for Willmore surfaces II--degeneration of the complex structure
本文研究了不假设复结构收敛时Willmore曲面的紧致性，用留数计算颈部能量损失与Gauss映射极限测地线长度，并给出显式曲面说明退化现象。
Existence of minimizing Willmore surfaces of prescribed conformal class
本文研究了从紧致黎曼曲面到三维或四维欧几里得空间的所有共形映射。一类具有有界Willmore泛函的序列被证明具有目标空间的保形变换序列，使得变换序列的子序列收敛。这意味着存在一个光滑的共形映射，它使该类中的Willmore泛函最小化。为此，我们将Pedit和Pinkall的四元数函数理论推广到平方可积〔的〕Hopf场.特别地，我们证明了这种Hopf场的Pluecker公式。
Morse Index Stability of Willmore Immersions I
本文借助Da Lio–Gianocca–Rivière的上半连续性方法，证明在无分支点条件下Willmore浸入的Morse指标与零化度之和上半连续，并涵盖特定退化Riemann曲面情形。
Energy quantization for Willmore surfaces with bounded index
本研究针对带界指数的Willmore曲面，通过共形高斯映射视角证明了能量量子化结果，且无论底层黎曼曲面是否在模空间退化均成立，还证实颈部/领圈区域的共形高斯映射收敛于De Sitter空间的类光测地线。
Analysis of Constrained Willmore Surfaces
本文研究了局部围绕“正则”点和围绕分支点的约束Willmore浸入$\R^{m\ge3}$的正则性，其中映射的浸入性质退化。我们开发本地渐近展开的浸入，它的第一，第二衍生物，给出的残留物作为循环积分计算。我们推导出明确的“点可移除性”的条件，确保浸泡是顺利的。我们的结果特别适用于Willmore浸入和平行的中曲率浸入在任何余维。
Quartic differentials and harmonic maps in conformal surface geometry
我们考虑伪共形几何中的余维2球面同余，这些同余关于正交曲面的共形结构是调和的。本文讨论了三维空间型中的$S$ -Willmore曲面、拟脐曲面、常中曲率曲面或三维光锥中的常类光中曲率曲面等同余的正交曲面。然后，我们调查布莱恩特的四次微分在这种情况下，并表明，一般这是发散自由的当且仅当所考虑的表面是超共形或正交的调和同余余维2领域。然后，我们可以将前面的结果应用于具有这种性质的曲面。
Asymptotic Analysis of Branched Willmore Surfaces
本文考虑一个闭Willmore曲面，它适当地浸入在具有平方可积的第二基本型的${\R}^m$（m>2）中，并且具有有限个任意整数阶的一点奇点.使用“保守”的Willmore方程在以前的论文中介绍的第二作者，我们表明，在一个适当的共形参数化，梯度的高斯映射的浸入有界的平均振荡，如果奇异性有秩序的，是有界的，如果秩序至少是两个。我们围绕奇点的浸入，其第一和第二衍生物，和中曲率向量的局部渐近展开。最后，我们给出了保证点奇异性可移的一个显式条件
Minimising Willmore Energy via Neural Flow
本文提出神经Willmore流作为最小化Willmore能量的自然演化过程，利用神经网络建模拓扑2D域到3D欧几里得空间的映射，并通过PINN式损失函数训练实现闭合曲面的最小能量嵌入。
Analysis aspects of Willmore surfaces
在${\R}^m$中，我们发现了一个新的Willmore泛函的Euler-Lagrange方程。新的Willmore方程形式为发散形式，且非线性项由Jacobian构成。除此之外，如果$\bH$表示曲面的平均曲率向量，则这种新形式写作${\mathcal L}\bH=0$，其中${\mathcal L}$是定义良好的局部可逆自伴算子。这3个事实在Willmore曲面的分析中有许多结果。第一个结果是，长期存在的开放问题，以赋予意义的Willmore欧拉-拉格朗日方程的浸入只有$L^2$有界的第二基本形式，现在解决。然后，我们建立了弱$W^{2,p}-$ Willmore曲面的正则性为任何$p$的高斯映射是连续的：$p>2$。这是基于弱Willmore曲面的$ε-$正则性结果的证明。然后，我们建立了能量小于$8π-δ$的Willmore曲面的弱紧性结果，对于每个$δ>0$ .这个定理是基于一个点可移性的结果，我们证明了在${\R}^m$的Wilmore曲面。这个结果推广到任意余维，E.Kuwert和R.Schaetzle在${\R}^3$中建立了曲面的结果。最后，我们从这一点的可移动性的结果推导出强紧性，模莫比乌斯群作用，Willmore环面低于能级$8π-δ$在3和4维。第三个维度的问题在以前的工作中已经解决了。
On conformal Gauss maps
我们把曲面共形浸入的共形高斯映射到$S^n$中的$2$ -球面空间中。特别是，我们给出了一个不变的配方和有效的证明的特征，由于Dorfmeister-王\cites{DorWan13,DorWan}，调和映射是共形高斯映射的Willmore表面。
Adiabatic theory for the area-constrained Willmore flow
本文建立了三维渐近Schwarzschild流形中面积约束Willmore流下大闭曲面演化的绝热理论。我们明确地构建一个地图，定义在一定的四维流形的重心，其特征在于关键的静态和动态特性的ACW流。特别是，使用该映射，我们找到了重心的显式四维有效动力学，只要初始表面满足某些温和的几何约束（这决定了有效性），它就可以作为（无限维）ACW流的一致渐进逼近。间隔）。相反，给定任何规定的流的重心演变根据这种有效的动力学，我们构建了一个家庭的表面演变的ACW流，其重心一致接近规定的一个大的时间间隔（其大小取决于初始配置的几何约束）。
Harmonic maps of finite uniton number into inner symmetric spaces via based normalized extended frames
本文发展了从黎曼曲面到内对称空间的有限 uniton 数调和映射的环路群描述，将基于 Bruhat 胞的理论转化为基于 Birkhoff 胞的 DPW 理论，并证明了此类调和映射与特定规范化势之间的一一对应关系，为构造所有此类调和映射提供了直接方法。
Conformal Geometry of Surfaces in the 4-Sphere and Quaternions
这是第一次全面介绍作者最近试图更好地理解三维空间表面旋量表示背后的全球概念。重要的新方面是四元数值函数理论，其“亚纯函数“是四元数的共形映射，它扩展了经典的复变函数理论在黎曼曲面上的应用。在柏林举行的ICM 98上提出了这方面的第一个结果。四元数全纯理论的一个重要的新不变量是Willmore能量。对于四元数射影直线上的四元数全纯曲线，即，共形4-球面，这个能量是共形曲面的经典Willmore能量。利用这些新技巧，本文讨论了四维球面中共形曲面的中曲率球面，四维球面中Willmore曲面，Willmore曲面的Baecklund变换，超共形曲面和扭量投影，三维球面中Willmore曲面与三维双曲空间中极小曲面之间的对偶性。最后给出了Montiel最近对Willmore 2-球面在4-球面中的分类的一个新的证明。
A variational approach to $S^1$-harmonic maps and applications
该研究提出带边或不带边曲面到$S^1$映射的Dirichlet拉格朗日量重整化程序，其有限能量临界点为带孤立奇点的$S^1$-调和映射，并给出该方案在两类几何问题中的应用。
Quaternionic holomorphic geometry: Pluecker formula, Dirac eigenvalue estimates and energy estimates of harmonic 2-tori
本文发展了四元数全纯曲线理论的基本原理。该理论中的全纯函数是从黎曼曲面到四维球面的共形映射，即，四元数投影线证明了四元数全纯向量丛的Riemann-Roch定理、线性系的Kodaira嵌入和Pluecker关系等基本结果。解释这些结果的微分几何曲面在3-和4-空间暗示在整个文件。应用于估计的Willmore功能的常数中曲率环面，分别能量估计的调和2环面，和狄拉克特征值估计的黎曼自旋丛在2维。
Simple factor dressing and the Lopez-Ros deformation of minimal surfaces in Euclidean 3-space
本文的目的是将可积系统与极小曲面理论联系起来。修整操作使用调和映射的相关平坦联络族来构造新的调和映射。由于三维空间中的极小曲面是Willmore曲面，它的共形高斯映射是调和的，并且可以定义共形高斯映射上的一个修饰。本文研究了极小曲面在最简单的单因子修整情况下的诱导变换，并证明了极小曲面的Lopez-Ros变形是这种诱导变换的一个特例.我们用极小曲面及其共轭曲面来表示单因子修整和Lopez-Ros变形。特别是，我们可以控制周期和结束行为的简单因素敷料。这允许构建新的例子双周期极小曲面所产生的简单因素敷料的Scherk的第一个表面。
Liouville theorem for $ ϕ$-$F$-symphonic map , $ ϕ$-$F$-harmonic map and and $ ϕ$-$Φ_{S, p, \varepsilon}$ harmonic map with free boundary
该研究在度量测度空间框架下，针对三类带自由边界的相关映射（$\phi$-$F$-辛映射、$\phi$-$F$-调和映射、$\phi$-$\Phi_{S, p, \varepsilon}$调和映射）建立了刘维尔定理，拓展了相关几何分析结果。
On $f$-bi-harmonic maps between Riemannian manifolds
双调和映射和$f$ -调和映射都有很好的物理基础和应用。本文通过这两种调和映射的结合，引入并研究了$f$ -双调和映射作为$f$ -双能泛函$\frac{1}{2}\int_M f|τ(ϕ)|^2dv_{g}$的临界点。这类映射推广了调和映射和双调和映射的概念。首先导出了$f$ -双调和映射方程，然后利用它研究了一些特殊映射的$f$ -双调和性，包括同维流形之间的共形映射，直积流形与单翘曲积流形之间的乘积映射，翘曲积流形上的投影映射和包含映射.
Gauss Maps in Hyperbolic Surface Theory:A Unified Perspective
该研究针对双曲三维空间中浸入曲面的多种高斯型映射，构建统一框架梳理其目标空间、解析性质与相互关系，重点探讨广义DPW方法等内容，厘清了曲面承载的各类几何信息。
Some properties of F-harmonic maps
本文研究球面上F-调和映射的Morse指数的估计，所得结果部分推广了文[14]和[15]中关于调和映射和p-调和映射的结果.
$α$-Dirac-harmonic maps from closed surfaces
$α$ -Dirac-调和映射是Dirac-调和映射的变体，类似于Sacks-Uhlenbeck为了解决曲面上调和映射的存在性问题而引入的$α$ -调和映射。对于$α>1$，后者已知满足Palais-Smale条件，因此，Sacks-Uhlenbeck的技术在于构造$α>1$的$α$ -调和映射，然后让$α\to 1$。将这个方案推广到Dirac调和映射遇到了一些困难，在本文中，我们开始攻击这些困难。首先证明了当目标流形具有非正曲率时，非平凡扰动$α$ -Dirac-harmonic映射的存在性。然后正则性定理表明它们实际上是光滑的。通过$\varepsilon$ -正则性和适当的扰动，我们可以证明这样一列扰动的$α$ -Dirac-harmonic映射收敛到光滑的非平凡$α$ -Dirac-harmonic映射.
Harmonic maps on weighted Riemannian foliations
本文研究加权叶状结构上的横截f-调和映射与$(F,F')_f$-调和映射，推广了极小叶状结构中两类调和映射的等价关系。
F-Harmonic maps as global maxima
在本文中，我们证明了某些到球面的F-调和映射是其能量泛函在球面共形群上变化的全局最大值。我们的结果部分地推广了文[15]和[17]中关于调和映射和p-调和映射的结果。
Liouville Type Theorem about $p$-harmonic 1 form, $p$-harmonic map and harmonic $ q $ form
本文利用正规区间里奇曲率研究了黎曼流形上$ p $调和函数的Liouville型性质.其次，我们利用BiRic曲率得到了$ p $调和函数或$ p $调和1形式的Liuville定理。最后，我们将利用BiRic曲率得到调和$ q(q\geq 2)$形式的Liouville定理。
Existence of (Dirac-)harmonic Maps from Degenerating (Spin) Surfaces
利用Sacks和Uhlenbeck的方法研究了从退化曲面到非正曲流形的调和映射和Dirac-调和映射的存在性。通过从退化为双曲曲面的合适的闭曲面序列中选择合适的$α$ -（Dirac-）调和映射序列，在能量一致有界的假设下，得到了收敛性和一个更清晰的能量恒等式.在该能量恒等式中，在穿孔附近没有能量损失。作为应用，我们得到了退化（自旋）曲面上的（Dirac-）调和映射的存在性结果.如果映射部分的能量也不为零，这是一个必要条件，则极限调和映射和Dirac-调和映射都是非平凡的。
Stability for $ Φ_{S, F,H} $ harmonic map and $ Φ_{T, F,H} $ harmonic map
本文研究了从或进入 $Φ$-SSU 流形及紧致凸超曲面的 $ Φ_{S, F,H} $ 和 $ Φ_{T,F,H} $ 调和映射的稳定性，并给出了判定流形稳定或不稳定的定理。
Harmonic maps into sub-Riemannian Lie groups
该研究推广黎曼流形的相关定义，提出次黎曼流形间调和映射的定义，推导了映到左不变度量李群的水平映射为调和映射的条件，证明其可分为异常与正常两类，并以Heisenberg群的调和映射方程为例进行说明。
Harmonic maps from surfaces of arbitrary genus into spheres
我们将$S^2$中调和映射的存在性问题与$S^2$的凸几何联系起来。一方面，这使我们能够构造新的例子调和映射的次数为0，从紧曲面的任意亏格到$S^2$。另一方面，我们产生了新的例子，不包含闭测地线（即调和映射从$S^1$），但包含图像的调和映射从其他域的区域。因此，这些区域不能支持严格凸函数。我们的构造是建立在W. Kendall，并使用M. Struwe的热流方法证明曲面调和映射的存在性。
Liouville type theorem for (F;F')p-harmonic maps on foliations
本文研究了叶状黎曼流形$(M,g,\mathcal F)$与$(M',g',\mathcal F')$之间的$(\mathcal F,\mathcal F')_{p}$ -调和映射. $(\mathcal F,\mathcal F')_{p}$ -调和映射$ϕ:(M,g,\mathcal F)\to (M', g',\mathcal F')$是横截$p$ -能量泛函$E_{B,p}$的临界点.简单地说，$(\mathcal F,\mathcal F')_2$ -调和映射就是$(\mathcal F,\mathcal F')$ -调和映射，它是$E_B$的一个临界点.叶化黎曼流形上的调和映射还有另一种定义，称为横截调和映射，它是欧拉-拉格朗日方程$τ_b(ϕ)=0$的解。两个定义是不等价的，但如果$\mathcal F$是极小的，那么两个定义是等价的。首先给出了$(\mathcal F,\mathcal F')_{p}$ -调和映射的第一、第二变分公式。其次，我们研究了$(\mathcal F,\mathcal F')_{p}$ -调和映射的广义Weitzenböck型公式和Liouville型定理。
Stability for $ F $ harmonic map with two form and potential versus Stability for $ F $ symphonic map with potential
本文研究了具有$ m $ -形式和pinched流形势的$ F $ -调和映射的稳定性。我们还讨论了具有位势形式的$ F $ -交响映射或紧$Φ$ -SSU流形的稳定性.我们还考虑了带位势的$ F $ -symphonic映射到Pinched流形的稳定性。
Quasiisometric harmonic maps between rank one symmetric spaces
我们证明了秩一对称空间之间的拟等距映射在唯一调和映射的有界距离内。特别地，这完成了Schoen-Li-Wang猜想的证明。
A weak energy identity and the length of necks for a Sacks-Uhlenbeck $α$-harmonic map sequence
我们将给出调和映射的Sacks-Uhlenbeck近似的弱能量恒等式，并计算颈的长度。
Harmonic Maps from $S^3$ into $S^2$ with low Morse Index
本文证明了从$S^3$到$S^2$的任何Morse指数小于或等于$4$的光滑调和映射必是调和态射，即$S^3$的等距、Hopf纤维化和从${\mathbb C}P^1$到其自身的全纯映射的连续合成.
Sequences of harmonic maps in the 3-sphere
定义了曲面到三维球面的非共形调和映射之间的两种变换。利用这些变换，人们可以从一个这样的调和映射构造一个调和映射序列。我们证明了三维球面上的非共形调和映射、三维欧氏空间中的$H$ -曲面和近Kähler流形$S^3\times S^3$中的几乎复曲面之间存在对应关系.因此，我们可以构造序列的$H$ -曲面和几乎复曲面。
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