A Universal Formula for the j-Invariant of the Canonical Lifting
研究了椭圆曲线作为Witt向量的正则提升的j-不变量。我们证明了它的Witt坐标位于j-线的一个开仿射子集中，并推导出了正则提升的j-不变量的一个普适公式。还明确地发现了任意特征上j不变为0和1728的椭圆曲线的正则提升。
2013-04-08 math.AG math.NT
Towards algebraic iterated integrals on elliptic curves via the universal vectorial extension
对于定义在域$k\subset \mathbb C$上的椭圆曲线$E$，研究了$E$的泛向量扩张$E^\dagger$上的对数微分形式的迭代路径积分.它们是$E$经典周期和准周期的推广，与多重椭圆多项式和椭圆多重zeta值密切相关。此外，如果$k$是$\mathbb Q$的有限扩张，则这些沿$k$ -有理点之间路径的迭代积分是Kontsevich-Zagier意义下的周期。
2020-09-22 math.NT
Universal elliptic Gauß sums for Atkin primes in Schoof's algorithm
这项工作建立在以前的结果。在Schoof的椭圆曲线上点的计数算法中，我们定义了Atkin素数的泛椭圆高斯和.随后，我们表明这些数量承认一个有效的计算表示的$j$不变和其他两个模函数。我们详细分析了必要的计算，并推导出一种替代方法，用于确定轨迹的Frobenius同态Atkin素数使用这些预先计算。一个粗略的运行时分析表明，然而，这种新方法是没有竞争力的现有的。
2017-07-28 math.NT
Notes on the Universal Elliptic KZB Equation
泛椭圆KZB方程是M_{1,2}上原向量丛上的可积联络，其在对应于椭圆曲线E和E的非零点x的点上的纤维是π_1（E-{0}，x）的幂单完备.这是由Calaque，Enriquez和Etingof（arXiv：math/0702670）以及Levin和Racinet（arXiv：math/0703237）独立写下的。它推广了亏格为0的KZ方程。这些说明分为四个部分。前两个部分提供了一个详细的阐述这种连接（以下莱文拉齐内）;第三个是一个悠闲的探索的连接中，例如，我们计算极限混合霍奇结构的幂幺基本群的泰特曲线减去其身份。在第四部分中，我们详细阐述了Levin和Racinet的思想，并明确地计算了模空间上具有非零交换微分的椭圆曲线的联络，表明它是定义在Q上的。
2020-10-17 math.AG math.NT math.RT
On the universal p-adic sigma and Weierstrass zeta functions
对于素数$p>3$，我们通过一种突出椭圆函数的Laurent展开式中系数之间的同余关系的方法，同时对由Weierstrass方程定义的广义椭圆曲线，给出了Mazur和Tate关于正常椭圆曲线的通用$p$ -adic σ函数和$p$ -adic Weierstrass zeta函数的新的推导.
2023-03-08 math.NT
Efficient computation of universal elliptic Gauß sums
在以前的文件中，它已被证明，椭圆高斯和，其使用已提出的范围内的椭圆曲线和素数测试点计数，可以计算使用模函数。在这项工作中，我们给出了详细的算法，必要的计算，所有这些都已实现在C。我们分析了相对简单的算法，从理论推导，并提供了几个改进，大大加快计算。此外，稍微概括以前的结果，我们描述了如何（椭圆）雅可比和可以确定在一个非常相似的方式，并显示如何可以使用。最后，我们的算法的空间和运行时的要求进行分析。
2017-07-26 math.NT
Descent for the punctured universal elliptic curve, and the average number of integral points on elliptic curves
我们证明了椭圆曲线上的整数点的平均数，计数模的自然对合的穿孔椭圆曲线，是有界的$2.1 \times 10^8$从上面。为了证明这一点，我们设计了一个下降映射，其原型至少可以追溯到Mordell，它将一对二进制形式与椭圆曲线上的一个整点相关联。其他成分的证明包括上界的数量的解决方案的图厄方程的Evertse和Akhtari冈崎，和估计的数量的二元四次形式的Bhargava香卡。我们的方法适用于$S$ -整点在一定程度上，虽然我们目前的知识是不够的，以推导出一个上界的平均数。用$S=\{2\}$进行了数值算例。
2015-12-07 math.NT
A Manin-Mumford theorem for the maximal compact subgroup of a universal vectorial extension of a product of elliptic curves
研究了代数簇与椭圆曲线乘积的泛向量扩张的极大紧子群的交。对于这个交集，我们展示了Manin-Mumford类型语句。这回答了一些问题所提出的Corvaja，马瑟，Zannier这产生了与他们的调查交叉的曲线与真正的解析子群的各种代数群。他们证明了有限的情况下，一个单一的椭圆曲线。使用Khovanskii的零估计相结合的分层结果的Gabrielov Vorobjov和最近的工作的作者，我们得到有效的界限，这个交叉只依赖于程度的代数簇，和组的维数。这似乎是新的，即使仅限于经典的Manin-Mumford声明。
2019-02-20 math.NT
The de Rham realization of the elliptic polylogarithm in families
本文建立了多重对数的de Rham实现的几何方法。作为一个中心结果，我们构造了有理交换格式的对数层，它是在交换格式与其对偶的泛向量扩张的乘积上的具有泛可积联络的双刚性Poincaré丛上构造的.这基本上是通过将庞加莱丛的上述数据限制在泛延拓的零截面的无穷小邻域内来实现的。我们还澄清了这些建设自然表达的语言内的傅立叶-向井变换$\mathcal D$ -模块交换计划。此外，我们的几何角度允许在庞加莱丛的标准理论的对数层的基本形式属性的解释。对于相对椭圆曲线，我们还提出了通过$1$ -动机的第一次对数扩张的相关观点。在详细阐述了对数层的几何概念后，我们系统地研究了具有水平$N$结构的椭圆曲线族的多重对数。工作的一个主要定理给出了一个明确的分析描述的一个变种的小椭圆多对数通过系数函数出现在洛朗展开的亚纯雅可比形式定义的克罗内克在19世纪。进一步，利用前面的结果，我们用代数Eisenstein级数具体地确定了挠截面上的修正重对数的特殊化。由此，我们特别地重新获得了由代数模形式表示的德·拉姆·爱森斯坦类的已知表达式。
2014-08-17 math.AG math.NT
The syntomic realization of the elliptic polylogarithm via the Poincaré bundle
利用与Katz的二元$p$-adic Eisenstein测度相关的$p$ -adic解析矩函数，给出了模曲线的常轨迹上泛椭圆曲线上的同分椭圆多对数的一个显式描述.本文推广了Bannai-Kobayashi-Tsuji和Bannai-Kings关于同分Eisenstein类的结果。
2019-12-19 math.AG math.NT
Using Indices of Points on an Elliptic Curve to Construct A Diophantine Model of $\Z$ and Define $\Z$ Using One Universal Quantifier in Very Large Subrings of Number Fields, Including $\Q$
令$K$是数域，并且令$E$是在$K$上定义的秩为1的椭圆曲线。对于$K$的素数集合$\calW_K$，令$O_{K,\calW_K}=\{x\in K: \ord_{\pp}x \geq 0, \forall \pp \not \in \calW_K\}$。设$P \in E(K)$是$E(K)$模扭子群的生成元.设$(x_n(P),y_n(P))$是$[n]P$相对于$E$的固定Weierstrass方程的仿射坐标。证明了存在自然密度为1的$K$的素数集合$\calW_K$，使得在$O_{K,\calW_K}$中指数的乘法（关于$P$的某个固定倍数）是存在可定义的，因此这些指数可以用来构造$\Z$的丢番图模型.我们还表明，$\Z$是可定义的$O_{K,\calW_K}$使用只有一个全称量词。这两种方法都可以将使用指数和$\Z$的一阶定义构造丢番图模型提升到$K$的任意无限扩展$K_{\infty}$中的$O_{K,\calW_K}$的整数闭包，只要$E(K_{\infty})$是随机生成的且秩为1.
2011-07-10 math.AG math.LO math.NT
On the Lang-Trotter conjecture for two elliptic curves
继郎和特罗特，我们描述了一个概率模型，预测素数分布$p$与给定的Frobenius迹在$p$为两个固定的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$。此外，我们提出了明确的欧拉产品表示的常数在预测的渐近公式，并详细描述了这个常数的通用组件。一个新的特点是，在某些情况下，决定普适常数的$\ell$ -因子的$\ell$ -adic极限不稳定，这与单个椭圆曲线的朗-特罗特猜想不同。我们还证明了猜想平均超过一个家庭的椭圆曲线以下工作的大卫，Koukoulopoulos，史密斯。
2017-11-11 math.NT
Towards multiple elliptic polylogarithms
本文研究了多指标多项式的椭圆类似物，它出现在射影直线减三点的基本群理论中，作为具有正则奇异联络的泛幂零丛的截面。本文利用解析一致化方法，导出了单根椭圆曲线的基本幂零De Rham挠量，并给出了Kronecker引入的双Jacobi形式。然后，我们将这个结果推广到任何光滑族，相对于基，即，到$M_{1,1}$上的模数栈$M_{1,2}$。一切都依赖于显式公式，这些公式对于有理椭圆曲线（族）来说是代数的，我们通过提供相应的自然$\QM$结构来得出结论。
2007-03-08 math.AG math.NT
The non-existence of universal Carmichael numbers
我们表明，普遍椭圆卡迈克尔数不存在，回答了西尔弗曼的一个问题。此外，我们表明，概率整数$n$，这是不是一个素数的权力，是一个椭圆卡迈克尔数的随机曲线$E$与好约化模$n$，是有界以上的$\mathcal{O}(\log^{-1} n)$。如果我们随机选择$n$和$E$，则$n$是$E$ -carmichael的概率上界为$\mathcal{O}(n^{-1/8+ε})$。
2019-12-02 math.NT
Algebraic cycles and values of Green's functions -- Products of Elliptic Curves
本文通过建立模曲线乘积上高阶格林函数值与椭圆曲线乘积通用族中动机环的联系，证明了在某些判别式相同的CM点情况下Zagier猜想，并揭示了弱全纯模形式的动机解释。
2026-06-23 math.AG math.NT
Cusp Eigenforms and the Hall Algebra of an Elliptic Curve
利用Hall代数理论和函数域的Langlands对应以及$\GL_n$，给出了有限域上椭圆曲线尖点特征形的显式构造.作为一个结果，我们得到了一个描述的霍尔代数的椭圆曲线作为一个无限的张量积的简单代数。我们证明，所有这些代数是一个普遍的球形霍尔代数（定义和研究\cite{BS}和\cite{SV1}）的特殊化。
2011-09-20 math.AG math.NT math.RT
Linear independence in linear systems on elliptic curves
设$E$是椭圆曲线，单位元为$O$，$C$是代数闭域$k$上的奇数阶循环子群，且$\operatorname{char} k \nmid N$为$k$.对于$P \in C$，令$s_P$为具有除数$N \cdot P - N \cdot O$的有理函数。我们问$N$函数$s_P$是否线性独立。对于通用的$(E,C)$，我们证明了答案是肯定的。利用$X_1(N)$上泛广义椭圆曲线的几何性质，给出了当$N$为素数时例外$(E,C)$的个数的界.这个问题可以用$E$上任意阶$N$线丛的截面来表示。
2020-05-11 math.AG math.NT
The de Rham period map for punctured elliptic curves and the KZB equation
本文证明单穿孔椭圆曲线上的代数 KZB 联络表示 Kim 普遍幂幺联络，并利用椭圆多重对数显式给出其 de Rham 周期映射的最大亚阿贝尔商。
2023-06-03 math.AG math.NT
An Elliptic Curve Analogue to the Fermat Numbers
费马数有许多值得注意的性质，包括序普适性、互质性和递归关系的定义。我们使用任意的椭圆曲线和无穷阶的有理点来生成类似于费马数的序列。我们证明了这些序列有许多相同的性质的费马数，我们讨论的结果，由特定的曲线和点生成的序列的素因子。
2017-08-12 math.NT
Elliptic Fermat numbers and elliptic divisibility sequence
对于椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$和非扭点$P\in E(\mathbb{Q})$的一对$(E,P)$，\emph{elliptic Fermat numbers}的序列是通过取相应的椭圆整除序列$(D_{n})_{n\in\mathbb{N}}$中指数幂为2的项的乘积来定义的，即$D_{1}$，$D_{2}/D_{1}$，$D_{4}/D_{2}$等.椭圆费马数与经典的费马数，$F_{k}=2^{2^k}+1$有许多共同的性质.本文证明了对于放大椭圆Fermat序列，只有1000多项是素数。我们还定义了\emph{generalized elliptic Fermat numbers}采取的椭圆整除序列，对应于任何整数$m$的权力，并表明，许多经典的费马性质，包括互质性，秩序的普遍性和复合性，仍然持有。
2018-08-11 math.NT
Adelic point groups of elliptic curves
本文证明了对于定义在数域K上的椭圆曲线E，K的Adele环A上的E的点群E（A）是一个拓扑群，可以用E的扭点的伽罗瓦表示来分析.给出了E（A）的一个显式描述，证明了对n次K，几乎所有的K上的椭圆曲线都有一个拓扑同构于依赖于n的泛群的椭圆点群.我们还证明了存在无穷多条K上具有不同顶点群的椭圆曲线。
2021-01-08 math.NT
Zeta elements in depth 3 and the fundamental Lie algebra of a punctured elliptic curve
本文绘制了双洗牌方程和结构之间的联系的关联;普遍混合椭圆动机定义的海恩和松本;和Rankin-Selberg方法的模形式的$SL_2(\mathbb{Z})$。我们写下来的zeta元素$σ_{2n-1}$（生成元的Tannaka李代数的混合泰特动机的范畴在$\mathbb{Z}$）在深度为4的显式公式，给应用程序的Broadhurst-Kreimer猜想，并完全解决双洗牌方程的多个zeta值在深度2和3。
2015-04-18 math.NT
Modular Curves and Mordell-Weil Torsion in F-theory
本文证明了光滑椭圆纤维Calabi-Yau 3-和4-折叠的Mordell-Weil群的挠率的一个界。特别是，我们表明，可以发生在一个光滑的椭圆Calabi-Yau $n$ -倍（$n\geq 3$）包含在一组子群出现在一个合理的椭圆形表面，并略大于$n = 2$。我们证明的关键思想是证明任何具有足够大挠率的椭圆纤维化在余维2上都有奇点，这不允许有一个crepant分辨率。我们证明了这一点，明确构建和研究映射到一个模块化的曲线，其存在性是预测的普遍性质。我们用几何的模曲线来解释的最小奇点，出现在椭圆纤维化与规定的扭转，并确定的程度的基本线束（因此Kodaira尺寸）的通用椭圆表面，我们表明是一致的明确Weierstrass模型。在由F理论得到的超引力理论中，模曲线的约束被用来约束任意规范群$G$的第一基本群。我们评论孤立的8维理论，从极值K3的，能够规避低维的界限。这些理论既没有杂种优势对偶，也不能被紧化为低维极小SUGRA理论。我们还评论的最大，离散规范对称性从某些卡-丘三重重子。
2019-12-08 hep-th math.AG math.NT
On the average number of 2-Selmer elements of elliptic curves over $\mathbb{F}_q(X)$ with two marked points
本文考虑正特征域上的椭圆曲线具有两个不同的标记非平凡有理点。限制到泛曲线的某个子类，我们证明了这些曲线的2-Selmer群的平均大小在自然意义上是存在的，并且等于12。一路上，我们考虑从这些2-Selmer群映射到代数曲线上的$G$ -torsors的模空间，其中$G$与$\mathrm{SL}_2^4$是同源的，并表明2-Selmer元素在这个映射下的图像在极限上变得均匀分布。
2016-07-04 math.NT
Elliptic curves with complex multiplication and $Λ$-structures
本论文主要探讨具有复乘的椭圆曲线与Lambda结构之间的关系。我们的主要结果是证明了具有复乘的椭圆曲线的模栈和具有复乘的泛椭圆曲线都具有Lambda结构，并且结构态射是Lambda态射.这意味着具有复乘的椭圆曲线可以被正则地提升到基的Witt向量（这些是大的全局Witt向量）。我们还表明，椭圆曲线与复乘的志村型恰恰是那些承认λ结构，这些椭圆曲线承认全球极小模型的一大类。在此基础上，我们详细研究了任意基上具有复乘的椭圆曲线族，给出了与局部域和虚二次域相关的互易映射的新的推导，构造了具有复乘的椭圆曲线的模栈的一个新的平坦的、仿射的和准光滑的刚性化，并展示了完美Lambda格式与周期之间的关系，$p$ -adic和analytic。
2017-10-24 math.NT
A universal identity for theta functions of degree eight and applications
在此之前，我们证明了八次θ函数的一个恒等式，并讨论了它的几个应用。这个恒等式是Weierstrass σ函数的加法公式的自然扩张。在本文中，我们将使用这个恒等式来重新审视我们在过去二十年中在θ函数恒等式方面的工作。从这个恒等式出发，可以很容易地导出几百个关于椭圆模函数的经典和新的结果。从本质上讲，这个一般的θ函数恒等式是一个θ恒等式生成机。我们的研究表明，Jacobi，Kiepert，Ramanujan和Weierstrass等人关于椭圆模函数的许多著名的结果具有不同的外观，实际上共享一个共同的来源.这篇论文也可以看作是我过去关于θ函数恒等式工作的总结。还提出了一个猜想。
2021-04-30 math.CO math.CV math.NT
Theory of The Generalized Bernoulli-Hurwitz Numbers for The Algebraic Functions of Cyclotomic Type and The Universal Bernoulli Numbers
Hurwitz数是分圆型椭圆函数$\wp(u)$的Laurent系数，是Bernoulli数的自然推广.本文给出了Bernoulli数和Hurwitz数在高亏格情形下的新推广。它们完全满足von Staudt-Clausen型定理（von Staudt第二定理的推广）和Kummer型同余关系。本文是数学NT/0304377和数学NT/0312178的修订和合并版本，包含了许多数值例子。
2004-06-15 math.NT
Some singular values of the elliptic lambda function and incredible cubic identities
利用椭圆模函数给出了椭圆lambda函数的三种显式表达式。此外，我们推导出令人难以置信的三次恒等式作为我们的明确公式的推论，并明确评估椭圆lambda函数的一些奇异值。
2020-07-02 math.NT
On functional equations for the elliptic dilogarithm
设$E$是特征为0的代数闭域上的椭圆曲线。证明了$E$的函数域的预Bloch群可以由次数不大于3的函数生成。我们将这一结果应用于由S.布洛赫他表明，任何元素的前布洛赫群给出了（所谓的椭圆布洛赫）之间的关系的价值观的所谓椭圆双对数。我们得出结论，任何椭圆Bloch关系可以减少到反对称关系和椭圆Bloch关系的三次函数。
2022-04-04 math.NT
Elliptic Functions
本研究围绕拉马努金著作中的椭圆函数展开探讨
2024-10-29 math.HO math.NT
Elliptic functions in signature four
本文研究了在签名四Ramanujan理论中由Shen构造的两个椭圆函数之间的关系。
2021-07-05 math.CV math.NT
Universal murmuration and Hecke augmentation
Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）；Research Institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学智能复杂系统研究院）
该研究针对椭圆曲线素系数的 murmuration 现象，证明了素数幂处的根数加权平均与素数处遵循相同统计轮廓的原理，相关实验可优化根数预测并辅助区分椭圆曲线的秩。
2026-09-02 math.NT math.ST stat.TH
