The maximum product of weights of cross-intersecting families
两个集合族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$被称为交叉- $t$ -相交，如果$\mathcal{A}$中的每个集合与$\mathcal{B}$中的每个集合至少在$t$元素上相交。极值集理论中的一个活跃问题是确定给定族的交叉- $t$ -相交子族的尺寸的最大乘积。利用一种新的子群变换方法证明了集合的加权子集的交叉- $t$ -交定理，并利用所得结果给出了三个自然族的解。对于$r\in[n]=\{1,2,\dots,n\}$，令${[n]\choose r}$为$[n]$的$r$元素子集的族，令${[n]\choose\leq r}$为至多具有$r$元素的$[n]$子集的族。令$\mathcal{F}_{n,r,t}$是${[n]\choose\leq r}$中包含$[t]$的集合族。证明了如果$g:{[m]\choose\leq r}\rightarrow\mathbb{R}^+$和$h:{[n]\choose\leq s}\rightarrow\mathbb{R}^+$是满足一定条件的函数，$\mathcal{A}\subseteq{[m]\choose\leq r}$，$\mathcal{B}\subseteq{[n]\choose\leq s}$，$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是$t$交叉的，那么当$\mathcal{A}=\mat…
2015-12-30 math.CO
Proof of a conjecture of Z.-W. Sun on the divisibility of a triple sum
定义数$R_n$和$W_n$为\begin{align*} R_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}\frac{1}{2k-1},\ \text{and}\ W_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}\frac{3}{2k-3}. \end{align*}，证明了对任意正整数$n$和奇素数$p$，存在\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)R_k^2 &\equiv 0 \pmod{n}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)R_k^2 &\equiv 4p(-1)^{\frac{p-1}{2}} -p^2 \pmod{p^3}, \\ 9\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)W_k^2 &\equiv 0 \pmod{n}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)W_k^2 &\equiv 12p(-1)^{\frac{p-1}{2}}-17p^2 \pmod{p^3}, \quad\text{if $p>3$.} \end{align*}。W.太阳我们的证明是基于多变量Zeilberger算法和以下观察：$$ {2n\choose n}{n\choose k}{m\choose k}{k\choose m-n}\…
2015-01-03 math.CO math.NT
Order plus size of $τ$-critical graphs
设$G=(V,E)$是具有$τ(G)=t$的$τ$ -临界图. Erdés和Gallai证明了$|V|\leq 2t$和结合的$|E|\leq {t+1\choose 2}$是由Erdés，Hajnal和Moon得到的。我们在这里给出了尖锐的组合界$|E|+|V|\leq {t+2\choose 2}$，并找到了所有的图具有平等。
2019-08-13 math.CO
Bijective proofs of Gould-Mohanty's and Raney-Mohanty's identities
利用词的模型给出了Gould-Mohanty恒等式和Raney-Mohanty恒等式的双射证明，它们分别是Gould恒等式$$\sum_{k=0}^{n}{x-kz\choose k}{y+kz\choose n-k}= \sum_{k=0}^{n}{x+ε-kz\choose k}{y-ε+kz\choose n-k} $$和Rothe恒等式$$ \sum_{k=0}^{n}\frac{x}{x-kz}{x-kz\choose k}{y+kz\choose n-k}= {x+y\choose n}. $$的多元推广
2010-05-24 math.CO
On the Minimum Width of a Cutset in the Truncated Boolean Lattice
对于整数$0 \leq m \leq l \leq n-m$，截断布尔格${\cal B}_n(m,l)$是$[n] = \{1, 2, \ldots, n\}$的所有子集的偏序集，这些子集的大小至少为$m$，至多为$l$。${\cal C} \subseteq {\cal B}_n(m,l)$是{ \em割集}，如果它满足${\cal B}_n(m,l)$中每个长度为$l-m$的链，并且${\cal C}$的{ \em宽度}是${\cal C}$中最大反链的大小。我们猜想对于$n >> m$，${\cal B}_n(m,l)$中割集的最小宽度$h_n(m,l)$是$Σ_{j \geq 0} Δ_n(m-jc) = Δ_n(m)+Δ_n(m-c)+Δ_n(m-2c)+ \dots$，其中$c=l-m+1$是${\cal B}_n(m,l)$和$Δ_n(k)={n \choose k}- {n \choose k-1}$中水平集的个数.我们建立我们的猜想的情况下，“短格”（$l=m$，$l=m+1$，和$l=m+2$）。对于“高格”（$l \geq 2m$），我们的猜想给出了${n \choose m} - {n \choose m-1}$，独立于$l$。我们的主要结果是$h_n(m,l) \leq {n \choose m} - {n \choose m-1}$如果$l \geq …
2015-12-09 math.CO
Nearly Erdős-Ko-Rado theorems
本文研究了在较弱条件下 $t$-相交家庭的最大大小问题，并改进了 Erdős-Ko-Rado 定理的相关结论。
2026-01-11 math.CO
On a conjecture of Erdős and Szekeres
设f（n）是使欧氏平面上一般位置的每一组$f(n)$点都包含凸n边形的最小正整数。在1935年发表的一篇开创性论文中，Erdés和Szekeres证明了f（n）的存在性，并给出了一个上界。在1961年，他们还证明了一个下界，并证明了它是最优的。它们的边界是：$2^{n-2}+1 \leq f(n) \leq {2n - 4 \choose n-2}+1$。从那时起，上界已被改进了大约2倍，为$f(n) \leq {2n - 5 \choose n-2}+1$。在本文中，我们通过证明：$$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{f(n)}{2n-5 \choose n-2} \leq \frac{29}{32}$$进一步改进了上界
2015-05-28 math.CO
A proof of Frankl-Kupavskii's conjecture on edge-union condition
一个3-图$\mathcal{F}$是\emph{$U(s, 2s+1)$}，如果对任何$s$边$e_1,...,e_s\in E(\mathcal{F})$，$|e_1\cup...\cup e_s|\leq 2s+1$。Frankl和Kupavskii（2020）提出了如下猜想：对于任何具有$n$顶点的$3$ -图$\mathcal{F}$，如果$\mathcal{F}$是$U(s, 2s+1)$，则$$e(\mathcal{F})\leq \max\left\{{n-1\choose 2}, (n-s-1){s+1\choose 2}+{s+1\choose 3}, {2s+1\choose 3}\right\}.$$本文证实了Frankl和Kupavskii的猜想.
2023-01-17 math.CO
Simple proofs of Jensen's, Chu's, Mohanty-Handa's, and Graham-Knuth-Patashnik's identities
受Chu [Electron. J. Combin. 17（2010），#N24]，我们给出了Jensen恒等式$$ \sum_{k=0}^{n}{x+kz\choose k}{y-kz\choose n-k} =\sum_{k=0}^{n}{x+y-k\choose n-k}z^k, $$的简单证明以及Chu和Mohanty-Handa对Jensen恒等式的推广.我们还给出了一个相当简单的证明的等价形式的格雷厄姆Knuth Patashnik的身份$$ \sum_{k\geq 0}{m+r\choose m-n-k}{n+k\choose n}x^{m-n-k}y^k =\sum_{k\geq 0}{-r\choose m-n-k}{n+k\choose n}(-x)^{m-n-k}(x+y)^k, $$这是重新发现，分别由太阳在2003年和Munarini在2005年。最后，我们给出了这个恒等式的多项式系数推广，并提出了两个公开问题。
2010-05-16 math.CO
A Positive Answer to Bárány's Question on Face Numbers of Polytopes
尽管简单和单纯多面体的面向量的充分表征，一般多面体的面数知之甚少。大约在1997年，Bárány问是否所有凸$d$ -多面体$P$和所有$0 \leq k \leq d-1$，$f_k(P) \geq \min\{f_0(P), f_{d-1}(P)\}$。我们回答Bárány的问题是肯定的，并证明一个更强的声明：对于所有凸$d$ -多面体$P$和所有$0 \leq k \leq d-1$，\[ \frac{f_k(P)}{f_0(P)} \geq \frac{1}{2}\biggl[{\lceil \frac{d}{2} \rceil \choose k} + {\lfloor \frac{d}{2} \rfloor \choose k}\biggr], \qquad \frac{f_k(P)}{f_{d-1}(P)} \geq \frac{1}{2}\biggl[{\lceil \frac{d}{2} \rceil \choose d-k-1} + {\lfloor \frac{d}{2} \rfloor \choose d-k-1}\biggr]. \]在前者，平等持有正是当$k=0$或当$k=1$和$P$是简单的。在后者中，当$k=d-1$或当$k=d-2$和$P$是单纯的时，等式恰好成立。
2022-06-02 math.CO
Some Bounds for the Number of Blocks III
设$\mathcal D=(Ω, \mathcal B)$是一对$v$点集$Ω$，一个集合$\mathcal B$由$Ω$的$k$点子集组成，这些子集称为块。令$d$为$\mathcal B$中不同两个块之间的交集的最大基数。三元$(v,k,d)$称为$\mathcal B$的参数。令$b$为$\mathcal B$中的块数。本文证明了不等式${v\choose d+2i-1}\geq b\{{k\choose d+2i-1} +{k\choose d+2i-2}{v-k\choose 1}+....$ $.+{k\choose d+i}{v-k\choose i-1} \}$对满足$1\leq i\leq k-d$的$i$成立。J. Combinatorics 22（2001），91- 94，by R.野田如果$b$达到上界，则$\mathcal D$称为$β(i)$设计。本文给出了$β(i)$设计$\mathcal D$的$v$的上界和下界$ \frac{(d+2i)(k-d)}{i}\leq v \leq \frac{(d+2(i-1))(k-d)}{i-1} $.本文考虑了$v$不能达到上述上界或下界的情形，分别得到了$v$的新的更严格的上界和下界。本文将此界应用于Johnson方案中的完美$e$ -码问题，改进了Roos在1983年给出的界。
2015-03-18 math.CO
A Proof of Grünbaum's Lower Bound Conjecture for general polytopes
在1967年，Grünbaum证明了任何$d$维多面体的$d+s\leq 2d$顶点至少有\[ϕ_k(d+s,d) = {d+1 \choose k+1 }+{d \choose k+1 }-{d+1-s \choose k+1 } \] $k$ -面。我们证明了这一猜想，也刻画了平等的情况下。
2020-04-17 math.CO
Proof of two divisibility properties of binomial coefficients conjectured by Z.-W. Sun
对所有正整数n，我们证明了下列整除性质：$$(2n+3){2n\choose n} | 3{6n\choose 3n}{3n\choose n}, and (10n+3){3n\choose n} | 21{15n\choose 5n} {5n\choose n}.$$这证实了Z. W.太阳给出了一些类似的整除性质。此外，我们证明了，对于所有的正整数m和n，产品$am{am+bm-1\choose am}{an+bn\choose an}$是由m+n整除。实际上，后一个结果可以推广到q-二项式系数和q-整数的情形，从而推广了q-Catalan数的正性.我们还提出了几个相关的建议。
2014-01-02 math.CO math.NT
High-order Phase Transition in Random Hypergrpahs
本文研究了随机$r$ -一致超图中的高阶相变。对于正整数$n$和实$p\in [0,1]$，设$H:=H^r(n,p)$是具有顶点集$[n]$的随机$r$ -一致超图，其中每个$r$ -集都是以概率$p$独立随机选择的边.对于$1\leq s \leq r-1$和两个$s$ -集$S$和$S'$，我们说$S$连接到$S'$，如果存在一个交替的$s$ -集和边$S_0,F_1,S_1,F_2, \ldots, F_k, S_k$的序列，使得$S_0,S_1,\ldots, S_k$是$s$ -集，$S_0=S$，$S_k=S'$，$F_1,F_2,\ldots, F_k$是$H$的边，并且对于每个$1\leq i\leq k$有$S_{i-1}\cup S_i\subseteq F_i$.这是在所有$s$ -集合${[n]\choose s}$的族上的等价关系，并导致划分：${V\choose s}=\cup_i C_i$。每个$C_i$称为{ $s$ -th-order}连通分支，如果$|C_i|=Θ(n^s)$，则分支$C_i$是{ \em giant}。证明了$H^r(n,p)$中$s$阶巨连通分支存在的锐阈值为$\frac{1}{\big({r\choose s}-1\big){n\choose r-s}}$ .让$c={n\choose r-s}p$。如果$c$是一个常数，…
2018-08-02 math.CO
Proof of some conjectures of Z.-W. Sun on the divisibility of certain double-sums
Z.- W. Sun介绍了三种数字：\begin{align*}S_n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{2k\choose k}(2k+1),\qquad s_n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{2k\choose k}\frac{1}{2k-1}, \end{align*}和$S_n^{+}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{2k\choose k}(2k+1)^2$。本文主要通过建立一些二项式系数恒等式，如\begin{align*} 4\sum_{k=0}^{n-1}kS_k=n^2\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k+1}{2k\choose k}(6k{n-1\choose k}^2+{n-1\choose k}{n-1\choose k+1}). \end{align*}，证明了\begin{align*} 4\sum_{k=0}^{n-1}kS_k\equiv \sum_{k=0}^{n-1}s_k\equiv \sum_{k=0}^{n-1}S_k^{+}\equiv 0\pmod{n^2}\quad\text{for $n\geqslant 1$}, \end{align*}，从而证实了Z.- W.太阳
2014-12-10 math.CO math.NT
Proof of a conjecture related to divisibility properties of binomial coefficients
设$a,b$和$n$是正整数，其中$a>b$。本文证明了$$(2bn+1)(2bn+3){2bn \choose bn}\bigg|3(a-b)(3a-b){2an \choose an}{an\choose bn}.$$，这证实了Amdeberhan和Moll最近的一个猜想.
2014-01-08 math.CO math.NT
Rainbow connection number of dense graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。在本文中，我们表明，$rc(G)\leq 3$，如果$|E(G)|\geq {{n-2}\choose 2}+2$，和$rc(G)\leq 4$，如果$|E(G)|\geq {{n-3}\choose 2}+3$。这些界限很清晰。
2011-10-26 math.CO
Multivalued generalizations of the Frankl--Pach Theorem
P. Frankl和J. Pach证明了下面的绍尔引理的统一版本。令$n,d,s$为自然数，使得$d\leq n$，$s+1\leq n/2$。设$\cF \subseteq {[n] \choose d}$是一个任意的$d$ -一致集系统，使得$\cF$不破坏$s+1$ -元集，则$$ |\cF|\leq {n \choose s}.$$本文证明了上述定理对$n$ -元组系统的两个推广.为了得到这些结果，我们使用Gröbner基方法，并描述了汉明球的标准单项式。
2011-02-15 math.AC math.CO
Proof of a conjecture involving Sun polynomials
太阳多项式$g_n(x)$由\begin{align*} g_n(x)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}^2{2k\choose k}x^k. \end{align*}定义.我们证明了，对任何正整数$n$，存在\begin{align*} &\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(4k+3)g_k(x) \in\mathbb{Z}[x],\quad\text{and}\\ &\sum_{k=0}^{n-1}(8k^2+12k+5)g_k(-1)\equiv 0\pmod{n}. \end{align*}.第一个结果证实了Z. W.第二个猜想部分回答了Z. W.太阳我们给出了前者的三种不同的证明。其中一个依赖于以下同余：$$ {m+n-2\choose m-1}{n\choose m}{2n\choose n}\equiv 0\pmod{m+n}\quad\text{for $m,n\geqslant 1$.} $$
2015-12-28 math.CO math.NT
Plane partitions II: 5 1/2 symmetry classes
我们提出了新的，简单的证明枚举的10个对称类的平面分区包含在一个给定的盒子。其中四个是来自一个简单的行列式评估，使用组合参数。这四个案例的前期证明相当复杂。对于另一个对称类，我们给出了一个初等证明的情况下，两个边的盒子是平等的。我们的结果包括简单的评估的决定因素$\det(δ_{ij}+{x+i+j\choose i})_{0\leq i,j\leq n-1}$和$\det({x+i+j\choose 2j-i})_{0\leq i,j\leq n-1}$，臭名昭著的平面分区枚举，其以前的评估是相当复杂的。
1998-08-04 math.CO
Proof of the Refined Alternating Sign Matrix Conjecture
Mills，Robbins和Rumsey证明了$n$阶交替符号矩阵的个数等于$A(n):={{1!4!7! ... (3n-2)!} \over {n!(n+1)! ... (2n-1)!}}$。Mills、Robbins和Rumsey还提出了一个更强的猜想，即第一行的（唯一）“1”位于$r^{th}$列的矩阵的个数等于$A(n) {{n+r-2} \choose {n-1}}{{2n-1-r} \choose {n-1}}/ {{3n-2} \choose {n-1}}$。站在A.G.的肩膀上Izergin，V. E. Korepin和G. Kuperberg提出的猜想，并利用正交多项式和$q$ -演算证明了这个猜想.
1996-06-03 math.CO
A Completion of the Proof of the Edge-statistics Conjecture
对于给定的整数$k$和$\ell$与$0<\ell< {k \choose 2}$，Alon，Hefetz，Krivelevich和Tyomkyn提出了如下猜想：当从一个非常大的图$G$中随机均匀地抽样一个$k$ -顶点子集时，在抽样的$k$ -顶点子集中恰好有$\ell$边的概率至多为$e^{-1}+o_k(1)$ . Kwan，Sudakov和Tran在$Ω(k)\leq \ell\leq {k \choose 2}-Ω(k)$的例子中证明了这个猜想.在本文中，我们通过解决剩余的情况完成了证明的猜想。此外，我们给出了几乎紧的上界的情况下，上述概率$ω(1)\leq \ell\leq o(k)$。我们也将我们的一些结果推广到了边有界的超图。
2020-02-25 cs.DM math.CO
Proof of a supercongruence conjectured by Sun through a $q$-microscope
最近，Z W.孙文提出了如下猜想：对任何奇素数$p$和奇数$m$，$$ \frac{1}{m^2{m-1\choose (m-1)/2}}\Bigg(\sum_{k=0}^{(pm-1)/2}\frac{2k\choose k}{8^k} -\left(\frac{2}{p}\right)\sum_{k=0}^{(m-1)/2}\frac{2k\choose k}{8^k}\Bigg) \equiv 0\pmod{p^2}. $$本文应用作者和祖迪林提出的“创造性显微镜”方法，证实了孙文的上述猜想。
2019-12-15 math.CO math.NT
Proof of a supercongruence conjectured by Z.-H. Sun
Franel数是由$ f_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}^3. $定义的。W. Sun关于Franel数，我们证明了\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)(-16)^{n-k-1} {2k\choose k} f_k &\equiv 0\pmod{n{2n\choose n}}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{3k+1}{(-16)^k} {2k\choose k} f_k &\equiv p (-1)^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p^3}. \end{align*}，其中$n>1$和$p$是奇素数.第二个同余模$p^2$证实了Z. H.太阳我们还证明了，如果$p$是$4k+3$形式的素数，则$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{{2k\choose k} f_k}{(-16)^k} \equiv 0 \pmod p, $$证实了Z. H.太阳
2014-04-28 math.CO math.NT
A proof of the conjecture on hypoenergetic graphs with maximum degree $Δ\leq 3$
图$G$的能量$E(G)$被定义为其特征值的绝对值之和。如果$E(G)<n$为$n$阶的图$G$，则称它是低能的. Majstorović等人证明了完全二部图$K_{2,3}$是唯一具有最大度$Δ\leq 3$的低能连通含四边形图.本文致力于对这一猜想给出一个证实性的证明。
2009-06-16 math.CO
Bell numbers, log-concavity, and log-convexity
令$\{b_{k}(n)\}_{n=0}^{\infty}$为$k$阶的Bell数。证明了序列$\{b_{k}(n)/n!\}_{n=0}^{\infty}$是对数凹的，序列$\{b_{k}(n)\}_{n=0}^{\infty}$是对数凸的，或者等价地，对于所有的$n\geq 0$，下列不等式成立：$$1\leq {b_{k}(n+2) b_{k}(n) \over b_{k}(n+1)^{2}} \leq {n+2 \over n+1}.$$设$\{\a(n)\}_{n=0}^{\infty}$是一个具有$\a(0)=1$的正数序列.我们证明了如果$\{\a(n)\}_{n=0}^{\infty}$是对数凸的，则$$\a (n) \a (m) \leq \a(n+m), \quad \forall n, m\geq 0.$$另一方面，如果$\{\a(n)/n!\}_{n=0}^{\infty}$是对数凹的，则$$\a (n+m) \leq {n+m \choose n} \a (n) \a (m), \quad \forall n, m\geq 0.$$特别地，我们对Bell数$$b_{k}(n) b_{k}(m) \leq b_{k}(n+m) \leq {n+m \choose n} b_{k}(n) b_{k}(m), \quad \forall n, m\geq 0.$…
2001-04-12 math.CO
Counting polynomial subset sums
设$D$是有限交换环$R$的一个有单位元的子集.设$f(x)\in R[x]$是正次数$d$的多项式。对于整数$0\leq k \leq |D|$，我们研究了$k$ -子集$S\subseteq D$的个数$N_f(D,k,b)$，使得\begin{align*} \sum_{x\in S} f(x)=b. \end{align*}在本文中，我们建立了$N_f(D,k, b)$的几个渐近公式，依赖于环$R$和$f$的性质.对于$R=\mathbb{Z}_n$，令$p=p(n)$为$n$、$|D|=n-c \geq C_dn p^{-\frac 1d }+c$和$f(x)=a_dx^d +\cdots +a_0\in \mathbb{Z}[x]$与$(a_d, \dots, a_1, n)=1$的最小素因子。然后$$\left| N_f(D, k, b)-\frac{1}{n}{n-c \choose k}\right|\leq {δ(n)(n-c)+(1-δ(n))(C_dnp^{-\frac 1d}+c)+k-1\choose k},$$部分回答了Stanley \cite{St}提出的一个开放性问题，其中$δ(n)=\sum_{i\mid n, μ(i)=-1}\frac 1 i$和$C_d=e^{1.85d}$。此外，如果$n$是素数幂，则$δ(n) =1/p$和可以取$C_…
2015-07-22 math.CO math.NT
Parity of Sets of Mutually Orthogonal Latin Squares
每个拉丁方都有三个属性，可以是偶数或奇数，但其中任何两个属性决定了第三个属性。因此，拉丁方的奇偶校验具有2比特的信息内容。我们将奇偶校验的定义从拉丁方扩展到相互正交拉丁方（MOLS）和相应的正交表（OA）。假设$\mathrm{OA}(k,n)$的奇偶校验具有$\dim(k,n)$比特的信息内容。我们证明了$\dim(k,n) \leq {k \choose 2}-1$ .对于对应于投影平面的情况，我们证明了一个更严格的界限，即$\dim(n+1,n) \leq {n \choose 2}$当$n$是奇数和$\dim(n+1,n) \leq {n \choose 2}-1$当$n$是偶数。利用存在的MOLS与subMOLS，我们证明了，如果$\dim(k,n)={k \choose 2}-1$，那么$\dim(k,N) = {k \choose 2}-1$对所有足够大的$N$。令$\mathrm{OA}$的系综是通过将OA的任何三列解释为拉丁方而导出的拉丁方的集合。我们证明了许多限制的拉丁方的数量，每个奇偶校验的合奏的$\mathrm{OA}(k,n)$可以包含。这些限制取决于$n\mod4$，并给出了一些关于为什么构建$n \not= 2\mod4$阶的投影平面比构建$n \not= 2\mod4$阶的投影平面更困难的见解。例如，我们证明，当$n \not= 2\mod 4$它是…
2017-03-14 math.CO
A Lower Bound Theorem for strongly regular CW spheres with up to $2d+1$ vertices
在1967年，Grünmbaum证明了任何$d$维多面体的$d+s\leq 2d$顶点至少有\[ϕ_k(d+s,d) = {d+1 \choose k+1 }+{d \choose k+1 }-{d+1-s \choose k+1 } \] $k$ -面。作者最近证明了这个猜想以及等式情况的特征。本文建立了这个结果的几个推广。具体地说，证明了具有菱形性质的格（例如抽象多面体）和$d+s\leq 2d$原子至少有秩为$k+1$的$ϕ_k(d+s,d)$元素。此外，在强正则CW复形的面格表示正规伪流形的情况下，直到$2d$顶点，给出了一个相等的情况下的特征。最后，得到了强正则CW复形表示具有$2d+1$顶点的正规伪流形的$k$ -面的个数的精确下界.这些界限由具有$2d+1$顶点的某些多面体的面数给出。
2022-07-28 math.CO
Proof of a recent conjecture of Z.-W. Sun
多项式$d_n(x)$由\begin{align*} d_n(x) &= \sum_{k=0}^n{n\choose k}{x\choose k}2^k. \end{align*}定义我们证明了，对于任何素数$p$，下列同余保持模$p$：\begin{align*} \sum_{k=0}^{p-1}\frac{2k\choose k}{4^k} d_k\left(-\frac{1}{4}\right)^2 &\equiv \begin{cases} 2(-1)^{\frac{p-1}{4}}x,&\text{if $p=x^2+y^2$ with $x\equiv 1\pmod{4}$,} 0,&\text{if $p\equiv 3\pmod{4}$,} \end{cases} [5pt] \sum_{k=0}^{p-1}\frac{2k\choose k}{4^k} d_k\left(-\frac{1}{6}\right)^2 &\equiv 0, \quad\text{if $p>3$,} [5pt] \sum_{k=0}^{p-1}\frac{2k\choose k}{4^k} d_k\left(\frac{1}{4}\right)^2 &\equiv \begin{cases} 0,&\text{if $p\equiv 1\pmod{4}$,} (-1)^{\frac{p…
2016-04-18 math.CO math.NT
Graphs With the Same Edge Count in Each Neighborhood
本文研究每个顶点邻域诱导相同边数的正则图存在性，将不存在性界加强到更优值，并利用近似子群引理刻画阿贝尔群 Cayley 图的可达边数，同时部分解决多类型边图的 flip 着色问题。
2025-07-19 cs.DM math.CO
A Proof of Moll's Minimum Conjecture
令$d_i(m)$表示Boros-Moll多项式的系数。摩尔最小值猜想指出序列$\{i(i+1)(d_i^2(m)-d_{i-1}(m)d_{i+1}(m))\}_{1\leq i \leq m}$以$i=m$达到其最小值。这个猜想比Kausers和Paule证明的log-loss猜想更强。本文利用序列$\{d_i(m)\}_{0\leq i \leq m}$的螺旋性质和序列$\{i!d_i(m)\}_{0\leq i \leq m}$的对数周期性证明了Moll猜想.
2009-04-06 math.CA math.CO
An asymptotic resolution of a conjecture of Szemerédi and Petruska
考虑一个团数为$k$的$n$阶的$3$ -一致超图，使得它的所有$k$ -团的交集为空. Szemerédi和Petruska证明了$n\leq 8m^2+3m$，对于固定的$m=n-k$，他们证明了$n \leq {m+2 \choose 2}$的尖锐界限。已知这个问题等价于确定具有横截数$m$的$τ$ -临界$3$ -一致超图的最大阶（细节也可以在配套论文arXiv：2204.02859中找到）。最著名的界限，$n\leq \frac{3}{4}m^2+m+1$，是由Tuza使用$τ$ -临界超图的机器得到的。在这里，我们提出了一种替代方法，结合Szemerédi和Petruska介绍的迭代分解过程与斜版本的Bollobás定理集对系统。新方法将上界提高到$n\leq {m+2 \choose 2} + O(m^{{5}/{3}})$，渐近地解决了该猜想.
2022-08-24 cs.DM math.CO
Proof of some conjectures of Z.-W. Sun on congruences for Apery polynomials
对于所有非负整数$n$，由$A_n(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{n+k\choose k}^2 x^k$定义的April多项式。我们确认了Z的几张照片W. Sun关于和$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k(2k+1) A_k(x)$与$x\in Z$的同余。
2012-04-01 math.CO math.NT
Loose Laplacian spectra of random hypergraphs
设$H=(V,E)$是一个$r$-一致超图，其顶点集为$V$，边集为$E$.对于$1\leq s \leq r/2$，我们在顶点集${V\choose s}$上定义一个加权图$G^{(s)}$，如下所示。每对$s$-集合$I$和$J$与权重$w(I,J)$相关联，如果是$I\cap J=\emptyset$，则权重$w(I,J)$是$H$中通过$I$和$J$的边的数目，如果是$I\cap J\not=\emptyset$，则权重$w(I,J)$是0。$H$的$s$次拉普拉斯算子$Ł^{(s)}$被定义为$G^{(s)}$的归一化拉普拉斯算子。$\mathcal L^{(s)}$的特征值以非降序列为$λ^{(s)}_0, λ^{(s)}_1,..., λ^{(s)}_{{n\choose s}-1}$。设$\barλ^{(s)}(H)=\max_{i\not=0}\{|1-λ^{(s)}_i|\}$。参数$\barλ^{(s)}(H)$和$λ^{(s)}_1(H)$，这是我们在前面的文章中介绍的，有一些连接到高阶随机游动的混合率，广义距离/直径，和边扩展。对于$0< p<1$，设$H^r(n,p)$是$[n]:={1,2,..., n}$上的随机$r$-均匀超图，其中$[n]$的每个$r$-集都有概率$p$独立地是一条边.对于$1 \leq s \leq r/2$，$p(1-p)\g…
2011-12-05 math.CO
Counting vertices in plane and $k$-ary trees with given outdegree
计算了平面树和$k$ -元树在给定出度下的顶点数，证明了出度$i$在所有有$n$边的平面树上的顶点总数为${2n-i-1 \choose n-1}$，出度$i$在所有有$n$边的$k$ -元树上的顶点总数为${k\choose i}{kn\choose n-i}$ .对于这两个结果，我们给出双射证明以及生成函数证明。
2019-03-18 math.CO
Factors of Alternating Sums of Products of Binomial and q-Binomial Coefficients
In this paper we study the factors of some alternating sums of products of binomial and q- binomial coefficients . We prove that for all positive integers n_1,...,n_m, n_{m+1} =n_1, and 0 \leq j \leq m-1, {n_1+ n_{m} \brack n_1}^{-1} \sum_{k=-n_1}^{n_1} (-1)^kq^{jk^2+{k \choose 2}} \prod_{i=1}^m {n_i+ n_{i+1} \brack n_i+k} \in \N [q], which generalizes a result of Calkin [Acta Arith. 86 (1998), 17--26]. Moreover, we show that for all positive integers n, r and j, {2n \brack n}^{-1}{2j \brack j} \sum_{k=j}^n (-1)^{n-k}q^{A} \frac{1-q^{2k+1}}{1-q^{n+k+1}} {2n \brack n-k}{k+j \brack k-j}^r \in N[…
2007-01-07 math.CO math.NT
Proof of a conjecture on eigenvalues of transposition graph
该研究针对对称群上由所有对换生成的对换图$Cay(S_n,T_n)$，证明了特定区间内的所有整数均为其特征值，解决了Kravchuk近期提出的相关猜想。
2025-06-17 math.CO
The number of permutations with k inversions
令$n\geq 1$、$0\leq t\leq {n \choose 2}$为任意整数。将数字$I_n(t)$定义为具有$t$反转的$[n]$的排列数。令$n,d\geq 1$和$0\leq t\leq (d-1)n$为任意整数。将{ \em多项式系数} $H(n,d,t)$定义为具有至多$n$部分的$t$的组合物的数目，其中没有一个大于$d-1$。本文利用Gröbner基和自由分解的理论给出了数$I_n(t)$和$H(n,d,t)$的显式公式。
2010-02-10 math.AC math.CO
A Short Proof that the List Packing Number of any Graph is Well Defined
列表打包是Cambie等人在2021年提出的概念。图$G$的列表堆积数，记为$χ_{\ell}^*(G)$，是最小的$k$，使得对于将$k$颜色分配给$G$的每个顶点的任何列表分配$L$，存在$G$的$k$真$L$ -着色的集合，$\{f_1, \ldots, f_k \}$，具有性质$f_i(v) \neq f_j(v)$，无论何时$1 \leq i < j \leq k$和$v \in V(G)$。本文给出了一个简短的证明，证明了对任意图$G$，$χ_{\ell}^*(G) \leq |V(G)|$ .有趣的是，我们的证明利用了Galvin的著名结果，即任何二部多重图的线图的列表色数等于它的色数。
2022-09-16 math.CO
Enumerations of humps and peaks in $(k,a)$-paths and $(n,m)$-Dyck paths via bijective proofs
最近Mansour和Shattuck研究了$(k,a)$-路，并给出了所有$(k,a)$-路的峰（峰）的总数与超级$(k,a)$-路的数目之间的关系式.这些结果推广了Regev关于Dyck路径和Motzkin路径的早期结果。他们的证明是基于生成函数，他们要求双射证明他们的结果。本文首先给出Mansour和Shattuck结果的双射证明，然后将我们的研究推广到$(n,m)$-Dyck路.当$n$和$m$互质时，我们给出了一个双射，它将所有$(n,m)$-Dyck路径中的峰的总数与某些自由$(n,m)$-路径联系起来.由这个双射我们得到了具有恰好$j$峰的$(n,m)$-Dyck路的个数，它是著名结果的推广，即具有恰好$j$峰的$n$阶Dyck路的个数是Narayana数$\frac{1}{k}{n-1\choose k-1}{n\choose k-1}$.
2015-05-22 math.CO
An Approximation to Proof of the Circulant Hadamard Conjecture
Turyn证明了如果存在$n$阶的循环Hadamard矩阵，则对于某个奇数$m$，$n$必须具有$n=4m^{2}$的形式.本文利用$\Z_{2}^{4m^{2}}$的Schur环的结构常数，证明了$\Z_{2}^{4m^{2}}$中不存在循环Hadamard矩阵，除非序列具有汉明重量$a+b$，具有$\frac{m^{2}-m}{2}\leq a\leq\frac{3m^{2}-m}{2}$和$b=2m^{2}-m-a$，以及具有$\frac{m^{2}+m}{2}\leq 2m^{2}-a\leq\frac{3m^{2}+m}{2}$和$b=m+a$ .
2018-05-12 math.CO math.GR
On the Odlyzko-Stanley enumeration problem and Waring's problem over finite fields
我们得到了Odlyzko-Stanley计数问题的一个渐近公式。令$N_m^*(k,b)$为$k$ -子集$S\subseteq F_p^*$的数目，使得$\sum_{x\in S}x^m=b$。如果为$m<p^{1-δ}$，则存在常数$ε=ε(δ)>0$，使得|N_m^*（k，b）-p^{-1}{p-1 \choose k}| \leq {p^{1-ε}+mk-m \choose k}。此外，令$γ'(m,p)$表示不同的华林数$(\mod p)$，最小的正整数$k$，使得每个整数是$k$ -不同元素$(\mod p)$的m次幂之和。上面的界限意味着对于任何素数$p$和任何$m<p^{1-δ}$都有一个常数$ε(δ)>0$，如果$ε^{-1}<(e-1)p^{δ-ε}$，则$$γ'(m,p)\leq ε^{-1}.$$
2012-07-30 math.CO math.NT
An elementary proof of a lower bound for the inverse of the star discrepancy
差异理论中的中心问题是在$[0,1]^d$中均匀分布点$\left\{x_1, \dots, x_n \right\}$的挑战。假设一个集合是如此规则，以至于对于某些$\varepsilon> 0$和所有$y \in [0,1]^d$，子区域$[0,y] = [0,y_1] \times \dots \times [0,y_d]$包含的点的数量几乎与它的体积成比例，以及$$\forall~y \in [0,1]^d \qquad \left| \frac{1}{n} \# \left\{1 \leq i \leq n: x_i \in [0,y] \right\} - \mbox{vol}([0,y]) \right| \leq \varepsilon,$$ $n$必须有多大取决于$d$和$\varepsilon$？我们给出了一个基本的证明，目前最有名的结果，由于Hinrichs，显示$n \gtrsim d \cdot \varepsilon^{-1}$。
2023-01-29 math.CO
Lower Bounds on Face Numbers of Polytopes with $m$ Facets
本研究验证了作者2023年提出的凸$d$维多面体$k$维面数关于顶点数与 facets 数的线性下界的最优性，给出了基于格拉斯曼角和的更强下界，并建立了面数与余维2正交投影下面行为的恒等式。
2024-01-27 math.CO
On sets of vectors of a finite vector space in which every subset of basis size is a basis II
本文给出了$k \leq 2p-2$的MDS猜想的一个证明。也就是说，如果$S$是${\mathbb F}_q^k$的向量集合，其中大小为$k$的$S$的每个子集都是基，其中$q=p^h$，$p$是素数，$q$不是素数，并且$k \leq 2p-2$，则$|S| \leq q+1$。它还包含一个简短的证明，证明了$k\leq p$和所有$q$的相同事实。
2012-01-28 math.CO
Extensions of a theorem of Erdős on nonhamiltonian graphs
令$n, d$为整数，其中$1 \leq d \leq \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor$，并设置$h(n,d):={n-d \choose 2} + d^2$。证明了当$n \geq 6d$时，$n$上的每个度为$δ(G) \geq d$的非Hamilton图$G$至多有$h(n,d)$边.他还提供了一个清晰度的例子$H_{n,d}$为所有这样的对$n,d$。在此之前，我们证明了这个结果的一个稳定性版本：对于足够大的$n$，每个在$n$顶点上具有$δ(G) \geq d$和多于$h(n,d+1)$的边的非Hamilton图$G$是$H_{n,d}$的子图。在本文中，我们证明了图$H_{n,d}$不仅最大化的非Hamilton图的$n$顶点和最小度至少$d$中的边的数量，但事实上，它最大化的任何固定图$F$的副本数时，$n$是足够大的比较$d$和$|F|$。我们还证明了一个更强的稳定性定理，即我们对所有具有$δ(G) \geq d$和多于$h(n,d+2)$边的非Hamilton $n$ -图进行了分类。我们证明了一个更一般的定理：我们描述了所有这样的图与多个${n-(d+2) \choose k} + (d+2){d+2 \choose k-1}$副本的$K_k$的任何$k$。
2017-04-05 math.CO
A Proof of the Molecular Conjecture
$d$维体铰链框架是由$d$维空间中的铰链连接的刚性体组成的结构。Tay和Whiteley独立地根据基础多重图来表征体铰链框架的一般无穷小刚性，如下所示：一个多重图$G$可以通过将每个顶点映射到一个体，将每个边映射到一个铰链来实现，当且仅当（{d+1 \choose 2}-1）G $ contains $ {d+1 \choose 2} $ edge-disjoint spanning trees, where $（{d+1 \choose 2}-1）G $ is the graph obtained from $ G $ by replacing each edge by $（{d+1 \choose 2}-1）$ parallel edges. In 1984 they jointly posed a question about whether their combinatorial characterization can be further applied to a nongeneric case. Specifically, they conjectured that $ G $ can be realized as an infinitesimally rigid body-and-hinge framework if and only if $ G$可以实现为具有…
2009-07-12 math.CO math.MG
An elementary proof for a generalization of a Pohst's inequality
设$P_n(y_1,\ldots,y_n):= \prod_{1\leq i<j\leq n}\left( 1 -\frac{y_i}{y_j}\right) $和$P_n:= \sup_{(y_1,\ldots,y_n)}P_n(y_1,\ldots,y_n) $，其中上确界取在满足$0 <|y_1| < |y_2|< \cdots < |y_n|$的实数的$n$上.我们证明了对于每个$n$，即，我们推广到所有的$n$的界限，Pohst证明了$n\leq 11$。因此，现在证明了一个完全真实的领域的绝对判别式在其监管机构方面的限制，为每一个度的领域。
2021-06-02 math.CO math.NT
The Problem of Pawns
使用双射证明，我们证明了在$2m\times 2m$棋盘上排列最大数量的非攻击性棋子的方法数量为${2m\choose m}^2$，更一般地，在$2n \times 2m$棋盘上排列最大数量的非攻击性棋子的方法数量为${m+n\choose n}^2$。
2018-11-24 math.CO
Self Similarities of the Tower of Hanoi Graphs and a proof of the Frame-Stewart Conjecture
考虑相应标号图的对称性和自相似性，证明了具有$p =4$钉和$n \geq p$盘的Hanoi塔博弈的最小步数满足递归公式$ F(p,n) = \min_{1\leq i \leq n-1} \{ 2F(p,i) + F(p-1,n-i) \} $，从而证明了$p=4$情形下的强Frame-Stewart猜想.该方法可以推广到$p>4$。
2016-01-17 math.CO
Face Numbers of Shellable CW Balls and Spheres
本研究将多面体边界复形的面数不等式推广至可剥壳强正则CW球与球面，给出带边界项的面数下界及等号条件，还证明了兼具CL-可剥壳与对偶CL-可剥壳性质的CW球面的全维面数下界。
2024-09-12 math.CO
Edge number report 1: State of the art estimates for $n \leq 43$
这第一个提取的报告包含了我所知道的电子数$e(3,k;n)$，$n \leq 43$的所有下限和上界。除了24个之外，所有的都是已知的（确切地）。很少有证据被给出。上经典拉姆齐数界的一些后果被提及。
2014-10-07 math.CO
L-log-concavity and a proof of the conjecture of Lam, Postnikov and Pylyavskyy
本文通过引入新的组合模型`skeps`和利用Murota的L-凸性理论，证明了Lam、Postnikov和Pylyavskyy猜想，展示了s_{λ'}s_{μ'} - s_λs_μ的Schur非负性。
2026-04-30 math.CO
