The maximum number of complete subgraphs of fixed size in a graph with given maximum degree
在本文中，我们取得了进展的一个问题有关的Galvin，最近引起了很大的关注。问题是在所有图中确定具有$n$顶点和$Δ(G)\leq r$的$G$，对于$t\geq 3$，$G$具有最完整的$t$大小的子图。所构造的极值图是$aK_{r+1}\cup K_b$，其中$n=a(r+1)+b$具有$0\leq b\leq r$。GAN，Loh和Sudakov在$a\leq 1$时证明了这个猜想，并且还将一般猜想还原为$t=3$的情形.证明了对$r\leq 6$的猜想，并建立了对所有$r$的猜想的一个较弱形式.
2014-05-06 math.CO
Counterexamples of the conjecture on roots of Ehrhart polynomials
关于Ehrhart多项式的根的一个著名猜想是：维数为$d$的整凸多胞体的Ehrhart多项式的所有根$α$满足$-d \leq \Re(α) \leq d-1$。在本文中，我们提出了这个猜想的一些反例。
2011-06-28 math.CO
A strengthened inequality of Alon-Babai-Suzuki's conjecture on set systems with restricted intersections modulo p
令$K=\{k_1,k_2,\ldots,k_r\}$和$L=\{l_1,l_2,\ldots,l_s\}$是$\{0,1,\ldots,p-1\}$的不相交子集，其中$p$是素数，$A=\{A_1,A_2,\ldots,A_m\}$是$[n]$的子集族，使得$|A_i|\pmod{p}\in K$用于所有$A_i\in A$，而$|A_i\cap A_j|\pmod{p}\in L$用于$i\ne j$。1991年，Alon、Babai和Suzuki提出，如果$n\geq s+\max_{1\leq i\leq r} k_i$，则$|A|\leq {n\choose s}+{n\choose s-1}+\cdots+{n\choose s-r+1}$。2000年，Qian和Ray-Chaudhuri在$n\geq 2s-r$条件下证明了该猜想。2015年，Hwang和Kim验证了Alon，Babai和Suzuki的猜想。本文证明了若$n\geq 2s-2r+1$或$n\geq s+\max_{1\leq i\leq r}k_i$，则\[ |A|\leq{n-1\choose s}+{n-1\choose s-1}+\cdots+{n-1\choose s-2r+1}. \]成立.这一结果加强了当$n\geq 2s-2$成立时Alon，Babai和Suzuki猜想的上界.
2017-01-03 math.CO
On Erdos-Faber-Lovasz Conjecture
1972年，Erdös-Faber- Lovász（EFL）证明了，如果$\textbf{H}$是一个线性超图，它由基数为$n$的$n$边组成，那么可以用$n$色对顶点着色，使得没有两个相同颜色的顶点在同一条边上。1978年，Deza，Erdös和Frankl给出了图的一个等价版本：设$G= \bigcup_{i=1}^{n} A_i$表示一个图，它有$n$完全图$A_1, A_2,$ $ \dots , A_n$，每个完全图恰好有$n$顶点，且每对完全图至多有一个公共顶点，则$G$的色数是$n$。$G$中顶点$v$的团度$d^K(v)$由$d^K(v) = |\{A_i: v \in V(A_i), 1 \leq i \leq n\}|$给出。本文利用$G$的团$A_i$的交矩阵和$G$的顶点团度，给出了满足Erdös-Faber- Lovász猜想假设的图的着色方法.同时，对某些图类给出了猜想的理论证明。特别是，我们表明：1。如果$G$是一个满足猜想1.2的假设的图，并且每个$A_i$（$1 \leq i \leq n$）至多有团度大于1的$\sqrt{n}$点，则$G$是$n$ -可着色的. 2.如果$G$是满足猜想1.2的假设的图，并且每个$A_i$（$1 \leq i \leq n$）最多有团度大于或等于$d$（$2\leq d \leq n$）的$\left \lcei…
2017-01-17 math.CO
Toward Żak's conjecture on graph packing
两个图$G_{1} = (V_{1}, E_{1})$和$G_{2} = (V_{2}, E_{2})$，每一个都是$n$阶，如果存在从$V_{1}$到$V_{2}$的双射$f$，使得$uv \in E_{1}$蕴涵$f(u)f(v) \notin E_{2}$，则将其打包。2014年，德雅克证明，如果$Δ(G_{1}), Δ(G_{2}) \leq n-2$和$|E_{1}| + |E_{2}| + \max \{ Δ(G_{1}), Δ(G_{2}) \} \leq 3n - 96n^{3/4} - 65$，那么$G_{1}$和$G_{2}$包。在同一篇论文中，他指出，如果$Δ(G_{1}), Δ(G_{2}) \leq n-2$，那么$|E_{1}| + |E_{2}| + \max \{ Δ(G_{1}), Δ(G_{2}) \} \leq 3n - 7$足以让$G_{1}$和$G_{2}$打包。我们证明了，直到一个附加常数，德雅克的猜想是正确的。即，存在恒定的$C$，使得如果$Δ(G_1),Δ(G_2) \leq n-2$和$|E_{1}| + |E_{2}| + \max \{ Δ(G_{1}), Δ(G_{2}) \} \leq 3n - C$，则$G_{1}$和$G_{2}$包。为了便于归纳，我们证明了一个关于列表包装的更强结果。
2015-08-14 math.CO
On a conjecture of Erdős and Szekeres
设f（n）是使欧氏平面上一般位置的每一组$f(n)$点都包含凸n边形的最小正整数。在1935年发表的一篇开创性论文中，Erdés和Szekeres证明了f（n）的存在性，并给出了一个上界。在1961年，他们还证明了一个下界，并证明了它是最优的。它们的边界是：$2^{n-2}+1 \leq f(n) \leq {2n - 4 \choose n-2}+1$。从那时起，上界已被改进了大约2倍，为$f(n) \leq {2n - 5 \choose n-2}+1$。在本文中，我们通过证明：$$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{f(n)}{2n-5 \choose n-2} \leq \frac{29}{32}$$进一步改进了上界
2015-05-28 math.CO
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
2022-09-15 math.CO
Finding counterexamples for a conjecture of Akbari, Alazemi and Andjelić
对于图$G$，它的能量$\mathcal{E}(G)$是它的邻接矩阵的特征值的绝对值之和，匹配数$μ(G)$是$G$的最大匹配中的边数，而$Δ$是$G$的最大顶点度. Akbari，Alazemi and Anzelić in [Appl. Anal. 15（2021），444- 459]证明了当$G$连通时的$\mathcal{E}(G) \leq 2μ(G)$和$Δ\geq6$，并证明了当$2\leqΔ\leq5$连通时相同的不等式也有效。在这里，我们首先计算列举这个猜想的小反例，然后提供两个无限的反例家庭。
2021-11-30 math.CO
A proof of Haemers' toughness conjecture
Division of Mathematical Sciences Nanyang Technological University（南洋理工大学数学科学部）
本文证明了连通图的韧性下界与拉普拉斯特征值的关系，提出韧性下界为μ₂/(μ_n-δ)。
2026-05-15 math.CO
Intersecting extremal constructions in Ryser's Conjecture for r-partite hypergraphs
Ryser猜想指出，对于任何$r$ -部$r$ -一致超图，顶点覆盖数至多是匹配数的$r-1$倍。这个猜想只对$r\leq 3$成立。对于交超图，Ryser猜想归结为：每个$r$ -部交超图的边都能被$r-1$顶点覆盖。这个猜想的特殊情况只在$r \leq 5$中得到了证明。研究在Ryser猜想中是极值的超图，即顶点覆盖数恰好是匹配数的$r-1$倍的超图是一个有趣的问题。很少有已知的结构这样的图。对于大$r$，唯一已知的构造来自投影平面，并且仅当$r-1$是素数幂时才存在。Mansour、Song和Yuster研究了一个超图的边数是如何满足Ryser猜想的极值的。他们定义$f(r)$为最小整数，使得存在一个$r$ -部交超图$\mathcal{H}$，它有$τ({\mathcal{H}}) = r -1$和$f(r)$边.结果显示，$f(3) = 3, f(4) = 6$、$f(5) = 9$和$12\leq f(6)\leq 15$。在本文中，我们专注于$r=6$和7。我们表明，$f(6)=13$改善以前的界限。我们还表明，$f(7)\leq 22$，给出了第一个已知的极端超图的$r=7$情况下的Ryser猜想。这些结果是由Aharoni、Barat和Wanless独立获得的。
2014-09-17 math.CO
The $g$-extra edge-connectivity of balanced hypercubes
$g$ -额外边连通度是衡量互连网络可靠性的重要指标。最近，Yang等人[Appl. Math. Comput. 320（2018）464--473]确定了平衡超立方体$BH_n$的$3$ -额外边连通度，并证明$BH_n$的$g$ -额外边连通度是$2\leq g\leq 2n-1$的$λ_g(BH_n)=2(g+1)n-4g+4$。本文证实了他们对$n\geq 6-\dfrac{12}{g+1}$和$2\leq g\leq 8$的猜想，并反驳了他们对$n\geq \dfrac{3e_g(BH_n)}{g+1}$和$9\leq g\leq 2n-1$的猜想，其中$e_g(BH_n)=\max\{|E(BH_n[U])|\mid U\subseteq V(BH_n), |U|=g+1\}$ .
2020-07-06 math.CO
A maximum matching based refinement of Brouwers conjecture
IIT Bhubaneswar（印度理工学院布巴内斯瓦尔分校）
本文通过匹配数改进Brouwer猜想的成立范围，证明当k不超过匹配数一半时猜想成立，并应用于完美匹配图，同时给出基于补图的等价验证条件。
2026-09-14 math.CO
About Füredi's conjecture
本文针对 Füredi 关于强 Bollobás t-系统的猜想，证明了当所有集对的基数之和等于同一正整数 N 时的特殊情形，并给出了若干类似结果。
2024-06-09 math.CO
The Randić index and signless Laplacian spectral radius of graphs
给定一个连通图$G$，Randic指数$R(G)$是$G$的所有边$\{u,v\}$上的$\tfrac{1}{\sqrt{d(u)d(v)}}$的和，其中$d(u)$和$d(v)$分别是顶点$u$和$v$的度。设$q(G)$是$G$和$n=|V(G)|$的无奇异拉普拉斯矩阵的最大特征值。Hansen和Lucas（2010）提出了以下猜想：\[ \frac{q(G)}{R(G)} \leq \begin{cases} \frac{4n-4}{n} & 4 \leq n\leq 12 \frac{n}{\sqrt{n-1}} & n\geq 13 \end{cases} \]具有相等性当且仅当$G=K_{n}$分别用于$4\leq n\leq 12$和$G=S_n$用于$n\geq 13$。Deng，Balachandran，and Ayyaswamy（J. Math. Anal. Appl.2014）对$4 \leq n \leq 11$验证了该猜想。本文完全解决了这个猜想。
2016-01-14 math.CO
An Improvement on Vizing's Conjecture
令$γ(G)$表示图$G$的控制数。图$G$的{ \it罗马控制函数}是一个函数$f: V\to\{0,1,2\}$，使得每个0的顶点都有一个2的邻居。{ \it罗马控制数} $γ_R(G)$是所有此类函数上的$f(V(G))=Σ_{v\in V}f(v)$的最小值。令$G\square H$表示图$G$和$H$的笛卡尔积。本文证明了对所有简单图$G$和$H$都有$γ(G)γ(H) \leq γ_R(G\square H)$，它是Clark和Suen给出的$γ(G)γ(H) \leq 2γ(G\square H)$的改进，自$γ(G\square H)\leq γ_R(G\square H)\leq 2γ(G\square H)$ .
2009-09-21 math.CO
On the $1/3-2/3$ Conjecture
设$(P,\leq)$是有限偏序集（偏序集），其中$P$具有基数$n$ .考虑$P$的线性扩展作为单行符号中的置换$x_1x_2\cdots x_n$。对于不同的元素$x,y\in P$，我们定义$\mathbb{P}(x\prec y)$为$P$的线性扩展的比例，其中$x$在$y$之前。对于$0\leq α\leq \frac{1}{2}$，我们说$(x,y)$是一个$α$ -平衡对，如果$α\leq \mathbb{P}(x\prec y) \leq 1-α.$ $1/3-2/3$猜想指出，每一个有限偏序集不是一个链有一个$1/3$ -平衡对.我们在这个猜想上取得了进展，证明了它对某些偏序集族成立。这些包括格，如布尔格、集合划分格和子空间格;从杨氏图产生的偏序;以及维度$2$的一些偏序。我们还考虑了各种偏序集，满足更强的条件，有$1/2$平衡对。例如，当偏序集有一个长度为$2$的循环的自同构时，就会发生这种情况。提出了未来研究的各种问题。
2018-01-31 math.CO
Three Graphs and the Erdős-Gyárfás Conjecture
给出了与\EGC \有关的三个图。这些图是从Buckyball图、Petersen图和Tutte-Coxeter图衍生出来的。第一个图是Heckman和Krakovski \cite{planar}在他们最近的工作中提出的一个问题的部分答案的平面版本的猜想。另外两个图看起来是已知的最小的三次图，对于$m \leq 4$和$m \leq 5$没有$2^m$ -圈。
2014-03-22 math.CO
On a Conjecture About the Sombor Index of Graphs
设$G$是一个具有点集$V(G)$和边集$E(G)$的图. $G$的Sombor和约化Sombor指数分别定义为$SO(G)=\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{deg_G(u)^2+deg_G(v)^2}$和$SO_{red}(G)=\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{(deg_G(u)-1)^2+(deg_G(v)-1)^2}$。我们用$H_{n,ν}$表示由星形$S_n$通过在一个固定的悬挂顶点和$ν$其他悬挂顶点之间添加$ν$边$(0\leq ν\leq n-2)$而构造的图。Réti等[T. Réti，T. Došlić和A. Ali，On the Sombor index of graphs，$\textit{Contrib. Math. }$ $\textbf{3}$（2021）11-18]提出了一个猜想：图$H_{n,ν}$在所有连通的$ν$ -循环图中具有最大的Sombor指数，其中$5\leq ν\leq n-2$ .本文证实了前一个猜想是正确的。这一猜想对约化的Sombor指数也是成立的。研究了图的Sombor指标、约化Sombor指标和第一Zagreb指标之间的关系。
2021-03-31 math.CO
Edge disjoint Hamiltonian cycles in highly connected tournaments
Kassen证明了存在一个函数$f(k)$使得每个强$f(k)$连通竞赛图都包含$k$边不相交的哈密顿圈.这个猜想最近由Kühn，Lapinskas，Osthus和Patel证明，他们证明了$f(k)\leq O(k^2(\log k)^2)$，并证明了存在一个常数$C$使得$f(k)\leq Ck^2$。我们证明了这个猜想。
2014-06-29 math.CO
Ryser's Conjecture for $t$-intersecting hypergraphs
一个著名的猜想，通常归因于Ryser，指出一个$r$ -部$r$ -一致超图的覆盖数至多是它的匹配数的$r - 1$倍。尽管付出了相当大的努力，特别是在交叉的情况下，这个猜想仍然是开放的，激发了对原始猜想的变体的追求。最近，Bustamante和Stein以及Király和Tóthmérész在超图是$t$ -相交的假设下考虑了这个问题，证明了这样一个超图$\mathcal{H}$的覆盖数$τ(\mathcal{H})$至多是$r - t$。在这些论文中，证明了这个猜想对$r \leq 4t-1$是正确的，但也证明了它不需要是尖锐的;当$r = 5$和$t = 2$时，人们有$τ(\mathcal{H}) \leq 2$。我们在两个方向上扩展这些结果。首先，对于所有的$t \geq 2$和$r \leq 3t-1$，我们证明了这些超图的覆盖数的一个紧上界，表明它们实际上满足$τ(\mathcal{H}) \leq \lfloor(r - t)/2 \rfloor + 1$。其次，我们扩大了$t$的范围，该猜想是真的，表明它适用于所有的$r \leq \frac{36}{7}t-5$。我们还介绍了这个主题的几个相关的变化。由于我们的紧界，我们解决了问题的$k$明智$t$ -相交超图，所有的$k \geq 3$和$t \geq 1$。进一步给出了严格$t$ -交超图的覆盖数和$t$ -…
2020-11-27 math.CO
Cubical realizations of flag nestohedra and Gal's conjecture
研究了与建筑物集合$B$对应的多面体$P_B$。本文证明了每一个旗形四面体都可以从一个立方体中通过余维为2的连续刨削面得到。我们得到了旗形嵌套面体的新的Delzant几何实现。本文的主要结果是Gal猜想对每一个旗形多面体成立。此外，我们还得到了$n$维旗形多面体：$0\leqγ_i(P_B)\leqγ_i(Pe^n)$的$γ$ -向量的精确估计.
2009-12-30 math.CO
On Two Conjectures Related to the Boros-Moll Sequences
本文利用Chen-Gu和Zhao的界证明Boros-Moll序列比率序列的反向超对数凹猜想，并通过动力系统方法渐近证明其对数凹猜想。
2026-09-14 math.CO
Self Similarities of the Tower of Hanoi Graphs and a proof of the Frame-Stewart Conjecture
考虑相应标号图的对称性和自相似性，证明了具有$p =4$钉和$n \geq p$盘的Hanoi塔博弈的最小步数满足递归公式$ F(p,n) = \min_{1\leq i \leq n-1} \{ 2F(p,i) + F(p-1,n-i) \} $，从而证明了$p=4$情形下的强Frame-Stewart猜想.该方法可以推广到$p>4$。
2016-01-17 math.CO
A note on a conjecture of star chromatic index for outerplanar graphs
图$G$的星边染色是图$G$的正常边染色，它不含长为4的双色路或圈. $G$的it星色指数$χ_{st}^{'} (G ),$是使$G$具有由$k$颜色着色的星边的最小数目$k$。在\cite{LB}中，L. Behauv $\acute{a}$等证明了当$G$是最大度外平面图时，$χ_{st}^{'} (G )\leq \lfloor\frac{3Δ}{2}\rfloor+1$是$Δ\geq 3.$本文证明了当$G$是直径为2或3的2-连通外平面图时，$χ_{st}^{'}(G) \leq Δ+6$是$G$的最大度外平面图.若$G$是最大度为5的2-连通外平面图，则$χ_{st}^{'}(G) \leq 9.$
2020-06-01 math.CO
Spectral extrema of $K_{s,t}$-minor free graphs--On a conjecture of M. Tait
子图在极值图论和谱极值图论中起着重要的作用。泰特[科林·德·维迪埃参数，排除未成年人，和光谱半径，J。Theory Ser. A 166（2019）42--58]确定了充分大阶$n$的$K_r$ -minor free图的最大谱半径并刻画了唯一极值图，他还在$K_{s,t}$ -minor free图方面取得了重大进展并提出了一个猜想：设$2\leq s\leq t$和$n-s+1=pt+q$，其中$n$足够大并且$1\leq q\leq t.$然后$K_{s-1}\nabla (pK_t\cup K_q)$是在所有$n$上具有最大谱半径的唯一极值图-顶点$K_{s,t}$ -小自由图本文完全解决了Tait猜想。我们还确定了$n$ -顶点$K_{1,t}$ -子图的最大谱半径及其极图.为了证明我们的结果，一些谱和结构的工具，如局部边极大值，局部度序列优化，双特征向量变换，推导出极图的结构性质。
2021-08-05 math.CO
Novák's conjecture on cyclic Steiner triple systems and its generalization
Novák在1974年证明了对于任何$v$与$v\equiv 1\pmod{6}$的循环Steiner三元系，总是可以从每个块轨道中选择一个块，使得所选择的块是成对不相交的。我们考虑将这个猜想推广到具有$1 \leq λ\leq k-1$的循环$(v,k,λ)$ -设计.循环对称设计的多个副本的叠加表明，一般化不能保持所有$v$，但我们推测，只要$v$是足够大的$k$相比，它持有。我们确认，当$v$是素数和$λ=1$，也当$λ\leq (k-1)/2$和$v$是足够大的相比，$k$的猜想成立的推广。作为一个推论，我们表明，对于任何$k \geq 3$，与可能的例外，许多复合订单$v$，每一个循环$(v,k,1)$ -设计没有短轨道是由一个$(v,k,1)$ -不相交的差异家庭。
2021-07-31 math.CO
A note on extremal intersecting linear Ryser systems
Ryser的一个著名猜想指出，任何$r$ -partite集系统的横截数至多为$r-1$乘以它们的匹配数。这个猜想只在一般情况下对$r\leq3$成立，如果集合系统是相交的，对$r\leq5$成立，如果相交的集合系统是线性的，对$r\leq9$成立。本文讨论相交$r$ -部线性系统的Ryser猜想，即如果$τ$是相交$r$ -部线性系统的横截数，则Ryser猜想表明$τ\leq r-1$ .如果这个猜想是真的，这是已知的$r$是尖锐的，其中存在一个投影平面的顺序$r-1$。也有相当大的努力，以找到交叉$r$ -partite集系统的横截数是$r-1$。本文证明了：若$r\geq4$是偶数，则有$f_l(r)\geq3(r-2)+1$，其中$f_l(r)$是横截数为$r-1$的相交$r$ -部线性系统的最小线数.对于$r$的一些小值，该下限给出了$f_l(r)$的精确值。证明了任何$r$ -particular线性系统满足$τ\leq r-1$，如果$ν_2\leq r$对所有$r\geq3$奇整数，$ν_2\leq r-1$对所有$r\geq4$偶整数，其中$ν_2$是线的子集$R\subseteq\mathcal{L}$的最大基数，使得$R$的每个不同元素的三元组没有公共点.
2021-08-02 math.CO
A proof of Frankl-Kupavskii's conjecture on edge-union condition
一个3-图$\mathcal{F}$是\emph{$U(s, 2s+1)$}，如果对任何$s$边$e_1,...,e_s\in E(\mathcal{F})$，$|e_1\cup...\cup e_s|\leq 2s+1$。Frankl和Kupavskii（2020）提出了如下猜想：对于任何具有$n$顶点的$3$ -图$\mathcal{F}$，如果$\mathcal{F}$是$U(s, 2s+1)$，则$$e(\mathcal{F})\leq \max\left\{{n-1\choose 2}, (n-s-1){s+1\choose 2}+{s+1\choose 3}, {2s+1\choose 3}\right\}.$$本文证实了Frankl和Kupavskii的猜想.
2023-01-17 math.CO
A solution to a conjecture on the rainbow connection number
对于图$rc(G)$，Chartrand等人在“G. Charand，G.L.约翰，K.A. Mckeon，P. Zhang，图中的彩虹连接，Mathematica Bohemica，133（1）（2008）85-98”。他们提出了如下猜想：对两个给定的正$a$和$b$，存在连通图$G$使得$rc(G)=a$和$src(G)=b$当且仅当$a=b\in\{1,2\}$或$ 3\leq a\leq b$“.在这篇短文中，我们将证明这个猜想是正确的。
2010-12-14 math.CO
The sandglass conjecture beyond cancellative pairs
本文研究沙漏猜想中恢复对子族规模乘积的上界问题，通过将其与相消对的上界指数级分离，把已知最佳上界改进为 2.2543^n。
2025-08-29 math.CO
On a conjecture of Szemerédi and Petruska
考虑一个团数为$k$的$n$阶的$3$ -一致超图，使得它的所有$k$ -团的交集为空. Szemerédi和Petruska证明了$n\leq 8m^2+3m$，对于固定的$m=n-k$，他们证明了$n\leq{m+2\choose 2}$的尖锐界限。图扎证明了最有名的界限，$n\leq \frac{3}{4}m^2+m+1$，使用的机械$τ$ -关键超图。在这里，我们提出了一种替代方法，结合分解过程介绍了Szemerédi和Petruska与斜版本的Bollobás定理证明$n\leq m^2 + 6m + 2$。虽然这里得到的界比Tuza的界弱，但它是一种不同方法的概念证明，并呼吁应用线性代数的维数界。
2019-04-19 math.CO
On a Conjecture of Erdős, Gallai, and Tuza
Erdales，Gallai，和Tuza提出了以下问题：给定一个$n$ -顶点图$G$，让$τ_1(G)$表示一组边的最小尺寸，其删除使$G$三角形自由，并让$α_1(G)$表示一组边的最大尺寸，其中包含最多一个边缘从每个三角形的$G$。$α_1(G) + τ_1(G) \leq n^2/4$总是这样吗？我们有两个主要结果。我们首先得到了上界$α_1(G) + τ_1(G) \leq 5n^2/16$，作为Erdens-Gallai-Tuza猜想的部分结果.我们还表明，总是$α_1(G) \leq n^2/2 - m$，其中$m$是边缘的数量在$G$，这个界限是尖锐的几个显着的情况下。
2014-10-13 math.CO
Some results and a conjecture on certain subclasses of graphs according to the relations among certain energies, degrees and conjugate degrees of graphs
设$G$是阶$n$的简单图，其度序列为$(d)=(d_1,d_2,\ldots,d_n)$，共轭度序列为$(d^*)=(d_1^*,d_2^*,\ldots,d_n^*)$ .在\cite{AkbariGhorbaniKoolenObudi2010,DasMojallalGutman2017}中证明了$\mathcal{E}(G)\leq \sum_{i=1}^{n} \sqrt{d_i}$和$\sum_{i=1}^{n} \sqrt{d_i^*} \leq LEL(G) \leq IE(G) \leq \sum_{i=1}^{n} \sqrt{d_i}$，其中$\mathcal{E}(G)$、$LEL(G)$和$IE(G)$分别是$G$的能量、类拉普拉斯能量不变量和关联能量，在\cite{DasMojallalGutman2017}中得到结论：所有连通的$n$阶简单图类可以根据$\mathcal{E}(G)$在上述阶关系中的位置被划分为4个子类.然后，他们提出了一个关于刻画每个子类中所有图的问题。在本文中，我们攻击这个问题。首先，我们使用Sage码对每个$1\leq n \leq 8$的四个子类中的每一个中的顺序$n$的图的数量进行计数。其次，我们提出了一个猜想的比例，在每个子类中的图的数量的数量的所有图的顺序$n$的$n$接近无穷大。最后，作为第一个部分解决问题，我们确定的子类…
2018-08-16 math.CO
An improved upper bound for Tuza's conjecture via 2-colorable triangle families
本文针对Tuza猜想，通过研究二染色三角形族的关键性质，将其上界从66/22 ν(G)改进为63/22 ν(G)。
2026-08-25 math.CO
A relaxation of Steinberg's Conjecture
一个图是$(c_1, c_2, ..., c_k)$ -可着色的，如果顶点集可以被划分成$k$集$V_1,V_2, ..., V_k$，使得对于每个$i: 1\leq i\leq k$，子图$G[V_i]$具有最大度至多$c_i$。证明了不含4-圈和5-圈的可平面图是$(1, 1, 0)$ -可着色图和$(3,0,0)$ -可着色图.这是Steinberg猜想的一个放松，即每个不含4-和5-圈的可平面图都是适当的3-可着色的（即，$(0,0,0)$ -可着色）。
2012-08-16 math.CO
The Laplacian $S_{n,n}$ conjecture is true
Mount Allison University（蒙特艾利森大学）
本文证明了拉普拉斯 $S_{n,n}$ 猜想在所有剩余情形下成立，即不存在具有特定拉普拉斯谱的简单图，填补了此前证明的空白。
2026-09-24 math.CO
L-log-concavity and a proof of the conjecture of Lam, Postnikov and Pylyavskyy
本文通过引入新的组合模型`skeps`和利用Murota的L-凸性理论，证明了Lam、Postnikov和Pylyavskyy猜想，展示了s_{λ'}s_{μ'} - s_λs_μ的Schur非负性。
2026-04-30 math.CO
A relaxation of the Bordeaux Conjecture
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含相交三角形和$5$ -圈的可平面图都是$3$ -可着色的.本文证明了任何不含相交三角形和$5$ -圈的可平面图都是（2，0，0）-可着色的.
2015-04-06 math.CO
Gallai-Ramsey number for $K_{5}$
给定一个图$H$，定义$k$ -着色Gallai Ramsey数$gr_{k}(K_{3} : H)$为最小整数$n$，使得完全图的边在$n$顶点上的每一个$k$ -着色包含一个彩虹三角形或一个$H$的单色副本. Fox等人[J. Fox，A. Grinshpun和J. Pach。彩虹三角形的Erd{ \H o}s-Hajnal猜想J. Combin。理论系列B，111：75-125，2015.]证明了完全图的Gallai Ramsey数的值。最近，这一猜想已被验证的第一个开放的情况下，当$H = K_{4}$。在本文中，我们攻击下一种情况，当$H = K_5$。令人惊讶的是，该猜想的有效性取决于拉姆齐数$R(5,5)$的（尚未未知的）值。已知$43 \leq R(5,5) \leq 48$和证实$R(5,5)=43$ [B.D.麦凯和S. P. Radziszowski。子图计数恒等式和Ramsey数。J. Combin。Theory Ser. B，69：193-209，1997]。如果是$44 \leq R(5,5) \leq 48$，则Fox et al.的猜想是正确的，我们提出了一个完整的证明。然而，如果是$R(5,5)=43$，那么Fox et al.的猜想是假的，这意味着这两个猜想中至少有一个是假的。对于$R(5, 5) = 43$的情况下，我们显示的Gallai拉姆齐…
2019-01-11 math.CO
Affine stresses: the partition of unity and Kalai's reconstruction conjectures
本文提出了Kalai重构猜想的高维推广，证明了仿射$i$-应力空间在特定条件下决定仿射$1$-应力空间，并建立了仿射应力的单位分解定理。
2024-03-22 math.CO
A Proof of Moll's Minimum Conjecture
令$d_i(m)$表示Boros-Moll多项式的系数。摩尔最小值猜想指出序列$\{i(i+1)(d_i^2(m)-d_{i-1}(m)d_{i+1}(m))\}_{1\leq i \leq m}$以$i=m$达到其最小值。这个猜想比Kausers和Paule证明的log-loss猜想更强。本文利用序列$\{d_i(m)\}_{0\leq i \leq m}$的螺旋性质和序列$\{i!d_i(m)\}_{0\leq i \leq m}$的对数周期性证明了Moll猜想.
2009-04-06 math.CA math.CO
Asymptotics of Ramsey numbers of double stars
双星$S(n,m)$是通过边将具有$n$叶的星的中心与具有$m$叶的星的中心连接而获得的图。令$r(S(n,m))$表示双星$S(n,m)$的Ramsey数。1979年，Grossman、Harary和Klawe证明了$$r(S(n,m)) = \max\{n+2m+2,2n+2\}$$适用于$3 \leq m \leq n\leq \sqrt{2}m$和$3m \leq n$。他们强调，所有$m,n \geq 3$均适用。利用一个标志代数计算，我们推广了他们的结果，证明了$r(S(n,m))\leq n+ 2m + 2$对于$m \leq n \leq 1.699m$ .另一方面，我们证明了对于$\frac{7}{4}m +o(m)\leq n \leq \frac{105}{41}m-o(m)$，该猜想是不成立的.此外，我们的例子给出了一个否定的答案，从1982年的Erdés，Faudree，卢梭和Schelp的问题。
2016-05-11 math.CO
Coloring squares of planar graphs with small maximum degree
对于图$G$，我们用$χ_2(G)$表示最小整数$k$，使得存在$G$的顶点的$k$ -染色，其中距离至多为2的顶点接收不同的颜色。等价地，$χ_2(G)$是$G$平方的色数。在1977年，Wegner证明了如果$G$是平面的并且有最大次数$Δ$，那么$χ_2(G) \leq 7$是$Δ\leq 3$，$χ_2(G) \leq Δ+5$是$4 \leq Δ\leq 7$，而$\lfloor 3Δ/2 \rfloor +1$是$Δ\geq 8$。尽管广泛的工作，已知的上界是相当远的，特别是对于小值的$Δ$的。在这项工作中，我们表明，对于每一个平面图$G$最大程度$Δ$它认为，$χ_2(G) \leq 3Δ+4$。该结果提供了$6 \leq Δ\leq 14$的最佳已知上限。
2021-05-24 math.CO
Squares of subcubic planar graphs without cycles of length 4-8 are 6-choosable
Konkuk university（建国大学）；West Virginia University（西弗吉尼亚大学）
本文证明亚立方平面图中不含长度4-8的环时，其平方图的列表色数不超过6。
2025-12-11 math.CO
A proof of a conjecture on Ramsey numbers $B(2,2,3)$
二分Ramsey数$B(n_1,n_2,\ldots,n_t)$是最小正整数$b$，使得对于某些$i$（$1\leq i\leq t$），用$t$颜色对$K_{b,b}$的边的任何着色将导致$K_{n_i,n_i}$的第$i-$颜色的单色副本。本文给出了二部Ramsey数$B(2,2,3)$的精确值.特别地，我们证明了Radziszowski等人在aobut $B(2,2,3)$的猜想，该猜想是在2015年提出的。事实上，我们证明了$B(2,2,3)=17$。
2021-08-08 math.CO
The Path Partition Conjecture is True and its Validity Yields Upper Bounds for Detour Chromatic Number and Star Chromatic Number
图$G$的迂回顺序，记为$τ(G)$，是$G$中最长路径的顺序。$V(G)$的分区$(A, B)$使得$τ(\langle A \rangle) \leq a$和$τ(\langle B \rangle) \leq b$被称为$G$的$(a, b)$ -分区。一个图$G$称为$τ$ -可分图，如果$G$对每对正整数$(a, b)$都有一个$(a, b)$ -可分图，使得$a + b = τ(G)$ .著名的路径划分猜想指出，每个图都是$τ$ -可划分的。在\cite{df07}中Dunber和Frick证明了如果每个2-连通图都是$τ$ -可分的，那么每个图都是$τ$ -可分的。本文证明了2-连通图是PDMATHAMT-可分图。因此，我们的结果肯定地解决了路径划分猜想。我们证明了以下两个定理作为路划分猜想有效性的推论。{ \bf定理1：}对每个图$G$，$χ_s(G) \leq τ(G)$，其中$χ_s(G)$是图$G$的星色数.图$G$的$n^{th}$迂回色数，记作$χ_n(G)$，是给$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得没有阶数大于$n$的路是单色的。这些色数是由Chartrand，Gellar和Hedetniemi引入的\cite{cg68}作为点色数$χ(G)$的推广。{ \bf定理2：}对每个图$G$和每个$n \geq 1$，有$χ_n(G) \leq \left\…
2014-09-15 math.CO
A Conjecture on Rainbow Hamiltonian Cycle Decomposition
本文完全解决了Wu于1999年提出的关于完全图$K_{2n+1}$中子图边分布于不同哈密顿圈的彩虹哈密顿圈分解猜想，并指出其在线性荫度猜想和受限尺寸Ramsey数中的应用。
2024-03-26 math.CO
Roots of Ehrhart polynomials and symmetric $δ$-vectors
关于Ehrhart多项式的根的猜想，由Matsui等人在\cite [猜想4.10]{MHNOH}中陈述，说的是维数为$d$的Gorenstein Fano多面体的Ehrhart多项式的所有根$α$满足$-\frac{d}{2} \leq \Re(α) \leq \frac{d}{2} -1$。在本文中，我们观察的SSNN多项式的根的行为，这是一个更广泛的一类多项式，包含所有的Gorenstein Fano多面体的Ehrhart多项式。因此，我们验证了这个猜想是正确的，当根是实数或当$d \leq 5$。
2012-11-15 math.CO
Paths through equally spaced points on a circle
考虑$n$点均匀分布在一个圆上，并且$n-1$弦的路径使用每个点一次。存在$m=\lfloor n/2\rfloor$可能的弦长，因此该路径定义了从$\{1,2,\ldots,m\}$中提取的$n-1$元素的多重集。Buratti证明了当$n$是素数时，所有的多重集都可以实现，Horak和Rosa对所有的$n$提出了一个广义猜想。以前的猜想证明了$n \leq 19$和$n=23$，我们将其扩展到$n\leq 37$（OEIS序列A352568）。第二个问题是确定可以实现的不同（欧几里德）路径长度的数量。对此没有任何推测;我们将现有知识从$n\leq 16$扩展到$n\leq 37$（OEIS序列A030077）。当$n$是素数，素数的两倍，或2的幂，我们证明了两条路有相同的长度，只有当他们有相同的多重弦长。
2022-09-13 math.CO
Spectral characterization of the complete graph removing a path of small length
一个图$G$被称为\emph{determined by its spectrum}，如果任何图具有相同的频谱作为$G$是同构的$G$。令$K_n \setminus P_{\ell}$是通过除去$P_\ell$的边而从$K_n$获得的图，其中$P_\ell$是长度为$\ell-1$的路，其是完全图$K_n$的子图。Cámara和Haemers~ \cite{MC}证明了$K_n \backslash P_{\ell}$是由每个$2\leq \ell \leq n$的邻接谱决定的。本文证明了该猜想对$7\leq \ell \leq9$是成立的.
2018-04-23 math.CO
Finding irregular subgraphs via local adjustments
本文提出基于局部确定性调整的新框架研究 Alon-Wei 猜想，证明了与 n 无关的界并强形式证实 d=3 情形，结果可推广到多重图并给出高效算法。
2024-06-09 math.CO
Stars on trees
对于一个正整数$r$和图$G$的一个顶点$v$，设$\mathcal{I}_G^{(r)}(v)$表示$G$的所有独立集的集合，这些独立集恰好具有$r$元素并且包含$v$。Hurlbert和Kamat证明了对于任何$r$和任何树$T$，存在$T$的叶$z$，使得对于$T$的每个顶点$v$，$|\mathcal{I}_T^{(r)}(v)| \leq |\mathcal{I}_T^{(r)}(z)|$。他们证明了关于$r \leq 4$的猜想。对于任何$k \geq 3$，我们构造一棵树$T_k$，它有一个顶点$x$，使得$x$不是$T_k$的叶子，对于$T_k$和任何$5 \leq r \leq 2k+1$的任何叶子$z$都是$|\mathcal{I}_{T_k}^{(r)}(z)| < |\mathcal{I}_{T_k}^{(r)}(x)|$，$2k+1$是$\mathcal{I}_{T_k}^{(s)}(x)$非空的最大整数$s$。因此，该猜想对于$r \geq 5$不成立。
2016-03-15 math.CO
On the generalized lower bound conjecture for polytopes and spheres
1971年，McMullen和Walkup提出了广义下界猜想：若$P$是单纯$d$ -多面体，则其$h$ -向量$(h_0,h_1,...,h_d)$满足$h_0 \leq h_1 \leq ... \leq h_{\lfloor \frac d 2 \rfloor}$ .此外，如果对于某些$r \leq \frac d 2$的$h_{r-1}=h_r$，则$P$可以被三角化而不引入维数为$\leq d-r$的单纯形。第一部分的猜想是解决了斯坦利在1980年使用硬莱夫谢茨定理投射环面品种。本文给出了猜想剩余部分的一个证明。此外，我们推广这一性质到某一类单纯球，即那些承认弱Lefschetz性质。
2012-04-05 math.AC math.CO
On Samuels' Conjecture
National University of Singapore（新加坡国立大学）
该论文通过自包含的证明，确立了关于独立非负随机变量和的概率下界的公式，证明了Samuels猜想，且由此一并解决了Feige猜想。
2026-08-20 math.CO math.PR
