本文的最终结果给出了扩张$$\xymatrix{1\ar[r] & P/[P,P] \ar^{j}[r] & B/[P,P] \ar^-{p}[r] & W \ar[r] & 1}$$作为上同调群$H^2(W,P/[P,P])$的元素的阶（其中$B$和$P$代表与复反射群$W$相关联的辫群和纯辫群）。为了得到这个结果，我们描述了超平面$H$的稳定子$N_H$的阿贝尔化。与Coxeter群的情况相反，$N_H$一般不是复反射群$W$的反射子群。因此，第一步是完善斯坦利-施普林格关于反射群阿贝尔化的定理。第二步是描述$W$的辫群$B$的各种类型的大子群的阿贝尔化。更准确地说，我们只需要$p$从$N_H$的逆像得到一个群同态，其值在$\QQ$中（其中$p : B \ra W$是规范态射），但稍微增强就可以完整地描述$p^{-1}(W')$的阿贝尔化，其中$W'$是$W$的反射子群或超平面的稳定子。我们还建议在$W$中对反射的中心化器的每个元素进行提升构造。
英文摘要：
The final result of this article gives the order of the extension $$\xymatrix{1\ar[r] & P/[P,P] \ar^{j}[r] & B/[P,P] \ar^-{p}[r] & W \ar[r] & 1}$$ as an element of the cohomology group $H^2(W,P/[P,P])$ (where $B$ and $P$ stands for the braid group and the pure braid group associated to the complex reflection group $W$). To obtain this result, we describe the abelianization of the stabilizer $N_H$ of a hyperplane $H$. Contrary to the case of Coxeter groups, $N_H$ is not in general a reflection subgroup of the complex reflection group $W$. So the first step is to refine Stanley-Springer's theorem on the abelianization of a reflection group. The second step is to describe the abelianization of various types of big subgroups of the braid group $B$ of $W$. More precisely, we just need a group homomorphism from the inverse image of $N_H$ by $p$ with values in $\QQ$ (where $p : B \ra W$ is the canonical morphism) but a slight enhancement gives a complete description of the abelianization of $p^{-1}(W')$ where $W'$ is a reflection subgroup of $W$ or the stabilizer of a hyperplane. We also suggest a lifting construction for every element of the centralizer of a reflection in $W$.
Présentation des groupes de tresses purs et de certaines de leurs extensions
这篇论文可以追溯到1999年，但从未发表过。其主要部分包括在联合论文[Digne-Gomi，Presentation of pure辫群，J.纽结理论及其分支10（2001）609- 623]中。第2节和第6节没有包括在内。它们独立于论文的其余部分。在第二节中，我们定义了一个态射，从一个与Coxeter群W相关联的辫群B到ZT（其中T是反射集）与W的半直积。这种态射将映射N从W提升到Dyer在[Reflection subgroups of Coxeter systems，J. Algebra 135（1990）57- 73]中定义的（Z/2 Z）T，并且它对纯辫群P的限制与阿贝尔化态射相同。在第六节中，我们证明了我们的态射给出了W的扩张B/（P，P）由P/（P，P）所关联的上圈。最近，Beck [Abelianization of subgroups of reflection groups and their辫群：an application to cohomology]研究了这一扩展。136（2011）273- 293]和Marin [Reflection groups acting on their hyperplanes J. Algebra 322（2009）2848- 2860]和[晶体群和来自复反射群的平坦流形，arXiv 1509.06213]。
Cohomology of braids, principal congruence subgroups and geometric representations
本文的主要目的是给出SL（2，Z）中经典主同余子群及其在第三辫群中的类似群的积分上同调，它们的局部系数是自然辛表示的对称幂.由此得到的答案（1）对应于某些模形式的特征零，和（2）上同调的同伦理论中的某些空间的特征p。挠给出的“p-除幂代数”的结构。这项工作是arXiv：1204.5390v1中工作的扩展，也是Shimura对积分系数的经典计算的扩展。这里的结果对比了局部系数，例如[Looijenga，J. Alg. Geom.，5，'96]和[Tillmann，Q. J. Math.，61，'10]。
