Stanley-Reisner rings of simplicial complexes with a free action by an abelian group
考虑阿贝尔群允许自由作用的单纯复形.具体地说，我们建立了一个改进的经典结果Hochster描述相关的Stanley-Reisner环的局部上同调模，证明了拓扑结构的自由行动扩展到代数设置。如果所讨论的复体也是布克斯鲍姆，这个新的描述允许一个特殊化的Schenzel的计算希尔伯特系列的一些环的阿廷减少。在进一步的应用中，我们将Stanley和Adin的结果推广到Buchsbaum情形，这些结果给出了允许素数阶循环群的自由作用的Cohen-Macaulay复形的$h$ -向量的一个下界.
2018-03-04 math.AC math.CO
Complementary vectors of simplicial complexes
本文分类了双重Cohen-Macaulay复形的互补向量，证明Swartz猜想并否定Athanasiadis-Tzanaki问题，同时为拟阵独立集数和Buchsbaum*复形面数提供新界。
2026-09-15 math.AC math.CO
Buchsbaum homogeneous algebras with minimal multiplicity
本文首先利用维数$d$、余维数$c$、初始度$q$和$A$的局部上同调模的长度给出了Buchsbaum齐性$k$ -代数$A$的重数的一个下界.其次，我们引入了具有最小次数$q$的BuchsbaumPDMATHABMM-代数的概念，并给出了这类环的几个刻画。特别地，我们将证明这些代数具有线性自由分解。此外，我们将给出这些代数的许多例子。
2006-07-18 math.AC math.CO
Enriched homology and cohomology modules of simplicial complexes
对于{1，2，.}上的单纯复形X，n}我们定义了丰富的同调和上同调模。它们是k[x_1，..]上的分次模，x_n]，其秩等于约化同调群和上同调群的维数。我们用丰富模刻画了Cohen-Macaulay，l-Cohen-Macaulay，Buchsbaum和Gorenstein* 复形X以及可定向流形.本文引入了单纯复形围长的概念，并提出了一个关于围长与单纯复形不变量之间关系的猜想。我们还对增广的同调模施加了强消失条件，并刻画了由此得到的单纯复形。它们是区组设计，包括Steiner系统S（c，d，n）和偶数维的循环多面体。
2007-10-17 math.AC math.CO
Cohen-Macaulayness of Total Simplicial Complexes
本文构造全单纯复形推广全图，证明其一般非Cohen-Macaulay，对连通图为Buchsbaum，并给出第一同调群消失的充要条件，且证明友谊图族$F_{5n+1}$的TSC为CM。
2023-10-15 math.AT math.CO
Lower bounds for h-vectors of k-CM, independence and broken circuit complexes
本文给出了k-CM、断路和独立复形的h-向量的若干下界。这些导致拟阵的特征多项式和可靠性多项式的系数上的界限。主要的技术是使用的系列和并行结构拟阵和短单纯h-向量的纯复合体。
2004-08-24 math.CO
Lower Bound Theorems and a Generalized Lower Bound Conjecture for balanced simplicial complexes
一个$(d-1)$维单纯复形称为平衡复形，如果它的基础图允许一个适当的$d$ -染色.我们发现，许多著名的人脸计数结果有自然的平衡类似物（或至少是结构类似物）。具体地说，我们证明了著名的伪流形下界定理的平衡模拟，并刻画了等式的情形;我们引入并刻画了Walkup类的平衡模拟;我们提出了广义下界猜想的平衡模拟，并建立了一些相关的结果.最后，我们用几个顶点的平衡流形的构造来结束。
2015-05-23 math.CO
Face numbers of pseudomanifolds with isolated singularities
研究了具有Buchsbaum顶点链的单纯复形的面数，特别是具有孤立奇点的伪流形.这包括导出Dehn-Sommerville关系的伪流形与孤立奇点和建立下界定理时，奇点也同调孤立。当奇点同调孤立时，对于任意纯二维复形，我们给出了面环的一般Artin约化的Hilbert函数的公式。一些空间的例子，其中的$f$ -向量可以完全特征的描述。设$Δ$和$Δ'$是两个同胚的具有相同$f$ -向量的单纯复形.在\cite{MNS}的问题是提出了是否希尔伯特函数的一般阿廷减少他们的脸环是相同的。我们证明了如果空间具有孤立奇点并且是PL-同胚的，则是这种情况。
2010-04-28 math.AC math.CO math.GT
Rigidity and the Lower Bound Theorem for Doubly Cohen-Macaulay Complexes
证明了对于$d\geq 3$，任何$(d-1)$维双Cohen Macaulay（简称2-CM）复形的1-骨架是一般的$d$ -刚性.这意味着以下两个推论（分别由Kalai和Lee）：巴内特的单纯多面体的边界复形的下界不等式对每个2-CM复形（维数为$\geq 2$）成立。此外，2-CM复合物的$g$ -载体（维度为$\geq 3$）的起始部分$(g_0,g_1,g_2)$是$M$ -序列. Björner和Swartz证实2-CM复合物的整个$g$载体是一个$M$序列。
2006-05-05 math.CO
The Moore Bound for Regular Simplicial Complexes
本文推导正则单纯复形的Moore型上界，并基于最小度给出直径的对数下界。
2025-08-06 math.CO
Randomized construction of complexes with large diameter
我们考虑$(d-1)$维单纯复形在$n$顶点上的最大可能组合直径问题，记为$H_s(n, d)$ .使用概率构造，我们给出了一个新的下限$H_s(n, d)$是一个$O(d^2)$的上界的因素。这改进了先前最著名的下界，该下限在上界的$e^{Θ(d)}$的因子内。在伪流形的情况下，我们也做了类似的改进。
2019-05-31 math.CO
Generations of random hypergraphs and random simplicial complexes by the map algebra
本文考虑有限顶点集上的随机超图，通过随机独立地选取每一个顶点集作为超边。利用随机单纯复形和Erdös-Rényi型随机独立超图的概率分布，给出了随机超图的（下）相伴单纯复形和（下）相伴独立超图的概率分布.我们明确地构造了映射代数的一种分次结构，并给出了生成随机超图和随机单纯复形的算法。
2022-11-07 math.CO
Face enumeration on flag complexes and flag spheres
本文综述了旗复形和旗单纯球的面计数的最新结果和存在的问题，重点讨论了旗复形的面向量的特征，旗复形的几种下界类型的计数，包括Charney-Davis猜想和Gal猜想，旗球和伪流形的上界猜想.
2018-11-20 math.CO
The stresses on centrally symmetric complexes and the lower bound theorems
1987年，Stanley证明了如果一个中心对称的具有$d-1$维的Cohen-Macaulay单纯复形$Δ$对某些$i\geq 1$满足$h_i(Δ)=\binom{d}{i}$，那么对所有$j\geq i$都满足$h_j(Δ)=\binom{d}{j}$。最近，Klee、Nevo、Novik和Zheng提出，如果一个具有$d$维的中心对称单纯多面体$P$对某些$d/2\geq i\geq 1$满足$g_i(\partial P)=\binom{d}{i}-\binom{d}{i-1}$，则对所有$d/2\geq j\geq i$满足$g_j(\partial P)=\binom{d}{j}-\binom{d}{j-1}$。本文使用应力空间来证明这两个定理。
2021-04-30 math.CO
Rigidity of Symmetric Simplicial Complexes and the Lower Bound Theorem
本文证明了对称单纯复形的刚性结果，验证了Klee等人的猜想，并将Stanley关于中心对称多胞形的下界定理推广至具有自由单纯对合的伪流形。
2023-04-10 math.CO
On The Discrete Morse Functions for Hypergraphs
从单纯复形中删除一些非极大单纯形可以得到超图。本文研究超图的嵌入同调和（下）伴单纯复形的同调。我们推广了单纯复形上的离散Morse函数。研究了超图上的离散Morse函数以及超图的（下）相伴单纯复形上的离散Morse函数。
2021-08-05 math.CO
Remarks on missing faces and generalized lower bounds on face numbers
我们考虑单纯多面体，和更一般的单纯复形，没有丢失的面以上的固定尺寸。尖锐的类似物McMullen的广义下界，和Barnette的下界，这些家庭的复杂性。本文给出了这两种结构的部分结果。
2009-04-24 math.CO
Balanced complexes and complexes without large missing faces
研究了维数大于$i$的无缺面单纯复形的面数.结果表明，在所有这类具有非零顶同调的$(d-1)$维复形中，某个多面体球面具有分量最小$f$ -向量;而且，在所有这类2-Cohen-Macaulay（2-CM）复形中，同一球面具有分量最小$h$ -向量.证明了标志$(d-1)$ -维2-CM复合体的$l$ -骨架是$2(d-l)$ -CM，而标志PL $(d-1)$ -球的$l$ -骨架是$2(d-l)$ -同伦CM.此外，还建立了2-CM平衡复形的面数在维数和顶点数方面的紧下界。
2009-07-09 math.CO
Spectral bounds for vertex-weighted Laplacians of simplicial complexes
本文研究顶点加权简单复形的谱性质，推导了谱半径、谱间隙及剩余特征值的下界，并揭示了复形与子复形间的谱关系。
2025-12-11 math.CO
Stellar theory for flag complexes
精化Alexander的一个基本结果，我们证明了两个旗形单纯复形是分段线性同胚的当且仅当它们可以由一个旗形复形序列连接，每个旗形复形由前一个旗形复形的边剖分或其逆得到.对于旗球，我们提出了新的组合结构强迫他们的面数，类似于极值的例子，在上，下界定理的单纯球。此外，我们表明，我们的算法来测试的结构搜索通过任何给定的尺寸的旗PL球的整个空间。
2014-08-06 math.CO
Rigidity of Balanced Minimal Cycle Complexes
本文将平衡正规伪流形的刚性及平衡下界定理推广到平衡极小循环复形，并研究平衡及$\bm{a}$-平衡单纯复形的无穷小刚性，证明高维平衡同调流形可实现为坐标轴上的无穷小刚体框架。
2023-10-08 math.CO
Eigenvalue bounds for combinatorial Laplacians and an application to random complexes
该研究通过矩阵论方法推导单纯复形组合拉普拉斯的新特征值界，拓展了旗复形与一般复形的相关结论，并将其应用于改进随机图邻域复形的上同调与连通性结果。
2025-10-29 math.CO
Box complexes, neighborhood complexes, and the chromatic number
Lovasz的显着证明Kneser的猜想从1978年使用Borsuk-乌拉姆定理提供了一个下界的色数的一个图。我们引入了单纯复形的Shore剖分，并用它来表示这个拓扑下界的一个上界，并构造了从盒复形（Matousek和Ziegler的版本）到Lovasz复形的一个强Z_2-形变收缩.在这个过程中，我们分析和澄清所涉及的复合物的组合学，并通过几个“中间体”复合物连接它们的结构。
2003-10-21 math.AT math.CO
Homotopy types of box complexes
Matousek和Ziegler在[MZ 04]中比较了色数的各种拓扑下界。他们证明了Lovasz的原始界限[L78]可以重述为$\chr G \geq \ind (\B(G)) +2$。Sarkaria结合[S90]可表示为$\chr G \geq \ind (\B_0(G)) +1$。已知这些下界彼此接近，即它们之间的差最多为1。在本文中，我们研究这些下界，盒复形的同伦类型。部分结果已在[MZ04]中公布。
2004-06-07 math.AT math.CO
Topological lower bounds on the sizes of simplicial complexes and simplicial sets
本文证明满足特定拓扑条件的 n 维空间（如 n 维环面）在任何三角剖分或可缩面单纯集表示中至少具有 2^n 个 n 维面，给出了单纯结构大小的拓扑下界。
2024-08-06 math.AT math.CO
A lower bound on the number of homotopy types of simplicial complexes on $n$ vertices
对于$n \in \mathbb{N}$，令$h(n)$表示$n$顶点上直到同伦等价的单纯复形的数目。这里我们证明了当$n$足够大时，$h(n) \geq 2^{2^{0.02n}}$。结合$2^{2^n}$关于$n$顶点上标记单纯复形个数的平凡上界，证明了Kalai的一个猜想：$h(n)$在$n$中是双指数的.
2019-11-14 math.AT math.CO math.PR
On the Complexity of Embeddable Simplicial Complexes
本文研究了对于某些$d \leq r \leq 2d$，可嵌入$\mathbb{R}^r$的单纯复形的最大$d$-单纯形数问题。循环多面体给出了$f_d(C_{r + 1}(n)) = Ω(n^{\lceil\frac{r}{2}\rceil})$的一个下界，它甚至可能是尖锐的。为了找到$r=2d$情形的上界，我们寻找禁止的子复形。范坎彭和弗洛雷斯定理的推广产生这些。然后用极值超图理论的方法解决这个问题，给出了$O(n^{d+1-\frac{1}{3^d}})$的一个上界。我们还考虑这些界限是否可以通过简单的方法得到改善。
2018-12-20 math.CO
Flag complexes and homology
证明了旗复形的$f$ -向量与贝蒂数之间的几个关系。对于每个标志复形$Δ$，我们证明了存在一个平衡复形，它具有与$Δ$相同的$f$ -向量，并且它的顶维Betti数至少是$Δ$的顶维Betti数，从而推广了Frohmader的一个定理.我们得到了$Δ$的顶维贝蒂数的上界。我们还给出了一个定量的完善的Meshulam定理，通过建立下界的$f$ -向量的$Δ$，在$Δ$的顶维贝蒂数。这个结果有一个连续的类比：如果$Δ$是一个$(d-1)$维旗复形，其第$(d-1)$维约化同调群的维数为$a\geq 0$（在某个域上），则$Δ$的$f$ -多项式满足系数不等式$f_Δ(x) \geq (1 + (\sqrt[d]{a}+1)x)^d$ .
2019-08-22 math.CO
Random Simplicial Complexes in the Medial Regime
我们描述拓扑结构的随机单纯复形体的下部和上部模型中的中间制度，即假设下的概率参数$p_σ$的方法既不$0$，也不$1$。我们发现，非平凡的贝蒂数的典型的下部和上部的随机单纯复形在中间制度在于在一个狭窄的尺寸范围。例如，在中间区域中的$n$顶点上的上随机单纯复形$Y$具有高概率，仅对于$k+c <n-j<k+\log_2 k +c'$具有非零Betti数$b_{j}(Y)$，其中$k=\log_2 \ln n$和$c, c' $是常数。在中间区域中，$n$顶点上的一个低随机单纯复形是以高概率$(k+a)$ -连通的，并且它的维数$d$满足$d\sim k+\log_2 k+ a'$，其中$a, \, a'$是常数.本文开发了一种新的技术，亚历山大对偶的基础上，它涉及到下，上模型。
2019-07-21 math.AT math.CO
Bounds on the connectivity of the independence complexes of hypergraphs
本文研究了超图独立复形的连通性，给出了其连通性下界，并计算了 $d$-均匀真连通三角剖分超图独立复形的同伦类型。
2024-11-15 math.AT math.CO
A Lower Bound Theorem for strongly regular CW spheres with up to $2d+1$ vertices
在1967年，Grünmbaum证明了任何$d$维多面体的$d+s\leq 2d$顶点至少有\[ϕ_k(d+s,d) = {d+1 \choose k+1 }+{d \choose k+1 }-{d+1-s \choose k+1 } \] $k$ -面。作者最近证明了这个猜想以及等式情况的特征。本文建立了这个结果的几个推广。具体地说，证明了具有菱形性质的格（例如抽象多面体）和$d+s\leq 2d$原子至少有秩为$k+1$的$ϕ_k(d+s,d)$元素。此外，在强正则CW复形的面格表示正规伪流形的情况下，直到$2d$顶点，给出了一个相等的情况下的特征。最后，得到了强正则CW复形表示具有$2d+1$顶点的正规伪流形的$k$ -面的个数的精确下界.这些界限由具有$2d+1$顶点的某些多面体的面数给出。
2022-07-28 math.CO
Transversal numbers of simplicial polytopes, spheres, and pure complexes
本文证明了单纯复形横截数的新上下界，引入循环多胞形的“兄弟”族，并构造了横截比突破纪录的单纯球面无限族。
2025-10-07 math.CO
Random Simplicial Complexes, Duality and The Critical Dimension
本文讨论了随机单纯复形的两种一般模型，我们称之为上模型和下模型。我们表明，这些模型是对偶的组合亚历山大对偶。下模型中的贝蒂数的行为可以用临界维数的概念来描述。Costa和M.法伯：在较低的模型中，随机单纯复形复形同调近似于一个楔形的球，球的尺寸等于临界尺寸。本文研究了上模型中的贝蒂数，引入了临界维数和扩展的新概念。我们证明了（在一定条件下）一个上随机单纯复形是同调近似的楔形球的临界尺寸。
2022-01-04 math.AT math.CO
Homotopy type of the neighborhood complexes of graphs of maximal degree at most $3$ and $4$-regular circulant graphs
为了估计图$G$的色数的下界，Lovász关联了一个称为邻域复形的单纯复形$\mathcal{N}(G)$，并将$\mathcal{N}(G)$的拓扑连通性与$G$的色数联系起来。更一般地说，他证明了色数的$G$是有界以下的拓扑连接的$\mathcal{N}(G)$加上$3$。本文考虑最大度至多为$3$和$4$ -正则循环图.我们证明了这些图的邻域复形的每个连通分量同伦等价于一个点，一个楔形和的圆，一个楔形和的$2$ -球$S^2$，$S^3$，一个花环的$2$ -球$S^2$或一个连接和的环面。
2019-10-08 math.CO
High dimensional analogue of metric distortion for simplicial complexes
我们提出了一个新的可能的高维模拟度量失真。然后，我们展示了一种可能的方法，提供下界，这种失真，并使用这种方法来证明一个“Bourgain型”失真定理的Linial-Meshulam随机复合物。
2014-12-22 math.CO math.MG
Proof of Lew's conjecture on the spectral gaps of simplicial complexes
本文研究了单纯复形的组合拉普拉斯算子谱隙问题，确定了达到Lew所提谱隙下界的唯一单纯复形，从而证明了Lew猜想。
2024-07-29 math.CO
The threshold for collapsibility in random complexes
本文确定了$d$ -维单纯复形的概率模型$X_d(n,p)$的可解性阈值。在\cite{ALLM}中确定了该阈值$p=\frac{c_d}{n}$的下界。在这里，我们证明这确实是正确的阈值。也就是说，对于每一个$c>c_d$，从$X_d(n,\frac{c}{n})$得到的复形几乎肯定是渐近不可塌缩的。
2013-07-10 math.CO math.PR
Box complexes: at the crossroad of graph theory and topology
本文综述了Box复形在图论与拓扑学交汇处的研究，探讨其通过拓扑性质为图色数提供下界的应用，并提出了新结果与开放问题。
2024-01-04 math.AT math.CO
Dominance complexes and vertex cover numbers of graphs
单图$G = (V,E)$的控制复形$D(G)$是由$V$的子集组成的单纯复形，其补图是控制图。我们证明了$D(G)$加上$2$的连通性是$G$的顶点覆盖数$τ(G)$的下界.
2022-12-05 math.AT math.CO
Generalized Random Simplicial Complexes
我们考虑一个随机构造单纯复形的多参数模型。该模型在随机团复合体和Linial-Meshulam随机$k$维复合体之间插值，这两种模型已经被广泛研究。虽然这些模型渐近表现出非平凡的上同调只有一个或两个维度，我们表明，在这种广义的设置非平凡的上同调可以同时发生在几个维度。我们建立上限和下限阈值的外观非平凡的上同调在一个特定的维度，并在某些情况下，在临界状态下的行为特征。
2015-06-02 math.AT math.CO math.PR
Collapsibility in Multiparametric Models of Random Simplicial Complexes
Hebrew University（希伯来大学）
研究随机单纯复形上下多参数模型的可坍缩性，上模型证明复形几乎必然坍缩到单维度，下模型证明复形几乎必然坍缩到具有最大非平凡上同调的维度，并与团复形和Linial-Meshulam模型的特例阈值比较。
2026-06-16 math.AT math.CO math.PR
Complexes of nearly maximum diameter
强连通$d$维单纯复形的直径是它的对偶图的直径。我们提供了一个概率证明的存在$d$维单纯复形的直径$ (\frac{1}{d \cdot d!} - (\log n)^{-ε}) n^d$。直到一阶项，这是$d$ -复形在$n$顶点上的最大直径的最佳可能下界，因为简单的体积论证表明$d$ -维单纯复形的直径至多为$ \frac{1}{d} \binom{n}{d}$。我们还找到了$n$顶点上的$d$ -伪流形的最大直径的右一阶渐近性。
2022-04-25 math.CO math.PR
Deformations of box complexes
盒复形是一个与图相关联的$\mathbb{Z}_2$ -空间，它的一个$\mathbb{Z}_2$ -同伦不变量，称为$\mathbb{Z}_2$ -指标，给出了一个有效的色数下界.另一方面，我们证明了盒复形的任何$\mathbb{Z}_2$ -同伦不变量都不等价于盒复形的色数.也就是说，我们构造了一个图同态$f:X \rightarrow Y$，使得它在它们的盒复形之间产生一个$\mathbb{Z}_2$ -同伦等价，但是$X$和$Y$具有不同的色数。要看到这一点，我们表明，图的一些变形不改变盒复形的$\mathbb{Z}_2$ -简单同伦类型。
2015-06-28 math.AT math.CO
The word problem and the Aharoni-Berger-Ziv conjecture on the connectivity of independence complexes
对于每个有限单图$G$，Aharoni，Berger和Ziv考虑了一个递归定义的数$ψ(G) \in \mathbb{Z}\cup \{+ \infty \}$，它给出了独立复形$I_G$的拓扑连通性的下界.他们猜想，这个界限对每个图都是最优的。我们利用递归论的一个结果对这一论断给出了一个简短的反证。
2010-09-20 math.AT math.CO math.LO
Enumerating the class of minimally path connected simplicial complexes
卡莱在1983年证明了一个令人难以置信的概括凯莱公式的数目树的标记顶点集的公式一类$r$维单纯复形。这些单纯复形通过同调$\Bbb Q$ -非循环来推广树。在本文中，我们考虑一个不同的推广树类的纯维单纯复形，\textit{minimally connect a vertex set}（在这个意义上说，删除任何顶维面断开复杂）。我们的主要结果提供了一个上限和下界的数量，这些极小连通复形的标记顶点集。我们还证明，他们是潜在的更广泛的拓扑复杂性比一般化的卡莱。作为我们的界限的应用，我们计算的阈值概率的连通性的随机单纯复形。
2019-12-04 math.AT math.CO math.PR
Topology of Hom complexes and test graphs for bounding chromatic number
我们介绍了新的方法来理解的拓扑结构的$\Hom$复合物（空间之间的同态两个图），主要是在图和偏序集上的群作用的背景下。我们把$\Hom(T,-)$和$\Hom(-,G)$看作是从图到偏序集的函子，并引入一个从偏序集到以原子为顶点的图的函子$(-)^1$.我们的主要结构结果建立了有用的解释的等变同伦型的$\Hom$复形的等变偏序集映射的空间和空间的$Γ$ -扭曲的产品。当$P = F(X)$是单纯复$X$的面偏序集时，这为控制$\Hom$复形的拓扑结构提供了一种有用的方法。我们最重要的应用这些结果是建设新的家庭的“测试图”与任意大的色数-图$T$的性质，$\Hom(T,G)$的连通性提供了最好的可能的下界上的色数的$G$。特别是，我们专注于两个无限的家庭，我们认为高维类似的奇周期。“球面图”家族与同态对偶的概念有关，而“扭曲环面图”家族则使我们建立了一个猜想的弱化版本（由于Lovász），该猜想将色数的拓扑下界与最大度联系起来。其他结构的结果使我们能够表明，任何有限的单纯复$X$的自由行动的对称组$S_n$可以近似到$S_n$同伦等价为$\Hom(K_n,G)$的一些图$G$，这是一个推广的结果Csorba。最后，我们对我们研究中涉及的基本范畴概念进行了一些讨论。
2010-03-23 math.AT math.CO
Random Abstract Simplicial Complexes Reduction
随机抽象单纯复形表示提供了无线网络及其拓扑结构的数学描述。为了减少这种类型的网络中的能量消耗，我们打算在不修改网络的连接性和覆盖范围的情况下减少网络节点的数量。在本文中，我们提出了一个约简算法，降低了一个抽象的单纯复形的最佳顺序，同时保持其拓扑结构的点的数量。然后，我们研究了这样的算法的复杂性的二项式点过程模拟的网络和表示的Vietoris-Rips复杂。
2017-09-04 cs.NI math.CO math.PR
Spectral gap bounds for the simplicial Laplacian and an application to random complexes
本文给出了一般单纯复形的约化拉普拉斯算子的两个谱间隙界。我们的两个界限证明比较单纯复形在两个不同的方式与一个更大的复杂和相应的团复杂。这两个界都推广了Aharoni等人（2005）\cite{ABM}的结果，该结果仅对团复形有效。作为应用，我们研究了Erdös-Rényi随机图的邻域复形的上同调消失的阈值。我们使用我们的谱间隙边界通过对数因子改进了Kahle（2007）\cite{kahle}中导出的上界，并且我们还通过比Kahle（2007）\cite{kahle}中更精细的概率估计改进了下界。
2019-10-09 math.CO math.PR
Homotopy types of Hom complexes of graphs
图的Hom复形${\rm Hom}(T,G)$是图着色问题中考虑的一对图$T$和$G$的CW-复形。已知${\rm Hom}(T,G)$的某些同伦不变量给出了$G$的色数的下界。对于固定的有限图$T$，我们证明了不存在${\rm Hom}(T,G)$的同伦不变量，从而给出了$G$的色数的上界.更精确地说，对于一个非二部图$G$，我们构造了一个图$H$，使得${\rm Hom}(T,G)$和${\rm Hom}(T,H)$同伦等价，但$χ(H)$比$χ(G)$大得多.还考虑了${\rm Hom}(T,G)$的等变同伦型。
2017-07-29 math.AT math.CO
Vertex numbers of simplicial complexes with free abelian fundamental group
证明了具有基本群$\mathbb{Z}^{n}$的单纯复形的最小顶点数至多为$O(n)$且至少为$Ω(n^{3/4})$ .对于上界，我们使用$K_{2n}$的正交1-因子分解的结果。对于下界，我们使用分数Sylvester-Gallai结果。我们还证明了任何组表示$\langle S | R\rangle \cong \mathbb{Z}^{n}$，其关系的形式$g^{a}h^{b}i^{c}$为$g, h, i \in S$至少有$Ω(n^{3/2})$生成元。
2021-09-24 math.AC math.AT math.CO
Lower bounds on the homology of Vietoris-Rips complexes of hypercube graphs
本文研究了超立方体图Vietoris-Rips复形的同调下界，利用交叉多面体生成元和同调传播机制，为各维度和尺度的同调群秩提供了新下界及紧下界。
2023-09-12 math.AT math.CO
Explicit SoS lower bounds from high-dimensional expanders
我们构造了一个显式的家庭3XOR的情况下，这是很难的$O(\sqrt{\log n})$水平的平方和层次。与早期的结构，其中涉及一个随机组件，我们的系统可以明确地在确定性多项式时间。我们的结构是基于Lubotzky，Samuels和Vishne设计的高维扩展器，称为LSV复合物或Ramanujan复合物，我们的分析是基于这些复合物的两个概念：costostolytic膨胀和局部等周不等式由于Gromov。我们的构建与Alev，Jeronimo和最后一位作者的近期工作（FOCS 2019）形成了有趣的对比。他们表明，变量对应于高维扩展器中顶点的3XOR实例很容易求解。相反，在我们的例子中，变量对应于复合体的边缘。
2020-09-11 cs.CC cs.DM math.CO
Chromatic numbers, morphism complexes, and Stiefel-Whitney characteristic classes
组合数学，特别是图论，有着丰富的历史，是其他数学领域工具的成功应用领域，包括拓扑方法。在这里，我们调查的研究Hom-复合物，以及这些方法可以用来获得下界的图的色数，在最近的一系列文件\cite{BK03a,BK03b,BK03c,CK1,CK2,K4,K5}。结构理论在历史背景下得到了发展，最终证明了Lovász猜想，可以表述如下：对于图G，使得复Hom（C_{2r+1}，G）是k-连通的，对于某些整数r>0和k>-2，我们有χ（G）>k+3。除了在这一领域中更常见的上同调群之外，所涉及的代数拓扑概念是谱序列和Stiefel-Whitney特征类。对于首次出现在本调查中的所有新结果，都提供了完整的证明。
2005-12-06 math.AT math.CO
Small simplicial complexes with prescribed torsion in homology
对于有限交换群$d \geq 2$和$G$，定义$T_d(G)$为$n$的最小顶点数，使得在$n$的顶点上存在一个单纯复形$X$，且$H_{d - 1}(X)$的挠部分与$G$同构.在这里，我们建立一个上限$T_d(G)$匹配已知的下限到一个常数因子。也就是说，我们证明了对于每个$d \geq 2$，存在常数$c_d$和$C_d$，使得对于任何有限阿贝尔群$c_d(\log |G|)^{1/d} \leq T_d(G) \leq C_d(\log |G|)^{1/d}.$
2018-02-23 math.AT math.CO math.PR
