Moduli spaces of nonnegative sectional curvature and non-unique souls
Igor Belegradek, Slawomir Kwasik, Reinhard Schultz
本文应用各种拓扑方法来判别开流形上具有非负截面曲率的完备黎曼度量的模空间的连通分支。新的几何成分是附近非负弯曲度规的灵魂是环境同位素的。
We apply various topological methods to distinguish connected components of moduli spaces of complete Riemannian metrics of nonnegative sectional curvature on open manifolds. The new geometric ingredient is that souls of nearby nonnegatively curved metrics are ambiently isotopic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Codimension two souls and cancellation phenomena
对于每一个非负整数，我们发现一个开放的（4 m +9）维单连通流形承认完整的非负弯曲的度量，其灵魂是非同构，同胚，并有余维2。当N是7-球面和复射影平面的乘积上的非平凡复线丛时，我们给出了对（N，soul）的一个复同态分类：直到复同态，正好有三个这样的对，以它们的非复同态的soul来区分.
Diffeomorphic souls and disconnected moduli spaces of nonnegatively curved metrics
我们给出了开流形的例子，进行无限多个完整的度量的非负截面曲率，使他们都有相同的灵魂，和他们的等距类在于不同的连通分量的模空间。所有先前已知的这类例子都有余维1的灵魂。在我们的例子中，灵魂有余维3和2。
Nonnegatively Curved Alexandrov Spaces with Souls of Codimension Two
本文研究了具有余维2灵魂$S$的完备非紧非负曲Alexandrov空间$A$.我们建立了一些额外的正则性假设下的结构结果。作为一个应用，我们得出结论，在这种情况下，Sharafutdinov收缩，$π:\ A\to S$，是一个submetry。
Nonnegative pinching, moduli spaces and bundles with infinitely many souls
证明了在每一维$n\ge 10$中存在无穷多个同伦等价但互不同胚的闭单连通黎曼$n$ -流形序列，这些流形具有$0\le \sec\le 1$、正里奇曲率和一致有界直径.我们还构造了一个固定的非同胚型的开流形，它允许无穷多个完全的非负箍缩度量，这些度量具有有界直径的灵魂，使得这些灵魂相互不同胚。最后，我们构造了具有$\sec\ge 0$的完备度量的模空间具有无穷多个连通分支的非紧流形的例子。
The curvature operator at the soul
证明了具有非负截面曲率的开流形的两个分裂定理，一个是拓扑的，另一个是度量的。
Soul Theorem for 4-dimensional Topologically Regular Open Nonnegatively Curved Alexandrov Spaces
本文研究了拓扑正则的四维开非负曲Alexandrov空间的拓扑。这些空间自然地作为具有曲率下界的紧致黎曼流形的爆破极限而出现。这些流形也研究了山口在他的预印本[Yam 2002]。我们的主要工具是半凹函数的梯度流和距离函数的临界点理论，在论文[CaoG 2010]中，我们已经将它们用于研究三维坍缩理论。本文的结果将被用于我们未来的研究塌陷4-流形，这将在其他地方讨论。
Metrics with Nonnegative Curvature on S^2xR^4
我们研究S^2xR^4上的非负曲度量。首先，我们证明了连接度量的刚性定理;例如，灵魂的正规丛的和乐群必须位于SO（4）的一个极大环面中。接下来，我们证明了威尔金在S2 xS 3上的几乎正曲度量扩展到S^2xR^4上的非负曲度量（这样威尔金空间就变成了关于灵魂的半径为1的距离球面）。我们详细描述了这个扩展度量的几何。
The Injectivity Radius of Souls of Alexandrov Spaces
本文将Šarafutdinov关于非紧非负曲率黎曼流形注入半径的下界推广到Alexandrov空间，证明当空间注入半径不等于其灵魂的注入半径时，其至少为$πK^{-1/2}$，并系统引入灵魂概念及比较两种注入半径定义。
Rigidity for Odd-Dimensional Souls
证明了具有非负截面曲率的开流形M的一个新的刚性结果，其中S是奇维的。具体地说，存在一个测地线在S和一个平行的垂直平面场沿它具有恒定的垂直曲率和消失的法曲率。在附加的假设下，即Sharafutdinov纤维是旋转对称的，这意味着对于小的r，半径为r的关于S的距离球包含一个浸没的扁平圆柱，因此不可能有正曲率。
Space of nonnegatively curved metrics and pseudoisotopies
设V是具有完全非负曲度量的开流形，使得灵魂的法球面丛无截面。我们证明了V上邻近的非负曲度量的灵魂是光滑接近的。结合这个结果和伪合痕的一些拓扑性质，我们证明了对许多V，完备非负曲度量空间有无穷多个高阶同伦群。
The smoothness of Riemannian submersions with nonnegative sectional curvature
设$M^n$是一个完备的、非紧的、具有非负截面曲率的$C^\infty$ -光滑黎曼流形.假设$\Cal S$是$M^n$的灵魂。那么，任何距离的非递增回缩$Ψ: M^n \to \Cal S$必然引起一个$C^\infty$ -光滑黎曼浸没。
Rays and souls in von Mangoldt planes
我们研究冯Mangoldt平面，它有应用程序的结构开放的完全流形的径向曲率下界的射线。我们证明了任何非负曲率的旋转对称平面的灵魂的集合是一个封闭的球，如果该平面是冯Mangoldt，我们计算球的半径。我们证明了欧氏空间中的每个锥都可以光滑到von Mangoldt平面。
On shrinking Gradient Ricci Soliton With Nonnegative Sectional Curvature
本文证明了具有非负截面曲率的收缩梯度Ricci孤子的刚性定理。
A classification of 5-dimensional manifolds, souls of codimension two and non-diffeomorphic pairs
设T（γ）是CP ^1上标准线丛γ的全空间，r是大于1且与6互质的整数.本文证明了L_r^3 \times T（γ）存在一个具有两两非同胚灵魂的非负截面曲率度量的无穷序列，其中L_r^3是标准三维透镜空间，其基本群同构于Z/r.我们对S^2 \times S^2上的S^1-纤维丛的全空间进行了分类，其中基本群同构于Z/r直到同构，并利用这些结果给出了流形N的例子，该流形允许两个非负截面曲率的完全度量，其灵魂S和S'的余维为2，使得S和S'是同构的，而对（N，S）和（N，S '）不是同构的。这解决了一个由I.贝勒格拉德克，S. Kwasik和R.舒尔茨
Open manifolds with non-homeomorphic positively curved souls
我们将两个已知的存在性结果推广到具有正截面曲率的单连通流形：证明了存在切向同伦等价但不同胚的单连通正曲率流形对，并推导出一个开流形可以容纳一对非同胚的单连通正曲率流形.这样的对的例子是显式对的Escherenburg空间。为了从第一个陈述中推导出第二个陈述，我们扩展了我们早期关于稳定的逆灵魂问题的工作，并证明了它对一类包括所有Kubenburg空间的空间有一个肯定的答案。
A duality theorem for Riemannian foliations in nonnegative sectional curvature
利用一类新的Jacobi场估计，我们将证明具有非负截面曲率的完备流形中奇异黎曼叶理的一个对偶定理。
Quaternionic-Kähler manifolds with nonnegative sectional curvature
本文证明具有正数量曲率和非负截面曲率的紧四元Kähler流形等距于对称空间，推广了Berger的经典定理。
Moduli space of metrics of nonnegative sectional or positive Ricci curvature on Brieskorn quotients in dimension 5
我们证明了在5维Brieskorn簇的某些导数上的非负截面曲率的黎曼度量的模空间具有无穷多个路径分量。对于相应的正里奇曲率的模空间也是如此。
Four-dimensional cohomogeneity one Ricci flow and nonnegative sectional curvature
我们展示了封闭的4-流形的第一个例子，失去了这个属性时，通过里奇流的非负截面曲率。
Toric Einstein 4-manifolds with nonnegative sectional curvature
本文证明了4-流形上具有非负截面曲率的$T^2$-不变爱因斯坦度量是局部对称的。
Sectional curvature-type conditions on metric spaces
在第一部分中，我们引入了Busemann曲率作为非负曲率，并证明了一个双Lipschitz分裂定理。此外，如果Busemann凹空间的Hausdorff测度是非平凡的，则该空间是加倍的，并且满足Poincaré条件和测度收缩性质。利用一般下曲率界$k\in\mathbb{R}$的比较几何变体，可以证明具有下曲率界$k>0$的空间的Bonnet-Myers定理.在第二部分中，一致光滑性的概念从理论的巴拿赫空间被应用到度量空间。证明了Busemann函数是（拟）凸的.这意味着一个软弱的灵魂的存在。最后，属性被开发，以进一步剖析灵魂。
Sobolev inequalities involving 2-tensor fields in manifolds with nonnegative sectional curvature
本文应用ABP方法，在非负截面曲率流形中为光滑对称一致正定(0,2)张量场建立了Log Sobolev型及Michael Simon Sobolev不等式。
On the fundamental group of steady gradient Ricci solitons with nonnegative sectional curvature
本文证明了具有非负截面曲率的完备稳态梯度Ricci孤立子的基本群要么平凡要么无限，并得出$n$维完备$κ$-非塌缩的此类孤立子必微分同胚于$\mathbb{R}^n$的推论。
The logarithmic Sobolev inequality for a submanifold in manifold with nonnegative sectional curvature
证明了一个尖锐的对数Sobolev不等式，该不等式对任意维数和余维数的非负截面曲率的黎曼流形中的无边界紧致子流形成立，而周围流形需要具有特定的类欧氏性质.像Michael-Simon Sobolev不等式一样，这个不等式包含了一个涉及中曲率的项。这推广了S.带欧几里得设置的Brendle。
Counterexamples to the non-simply connected Double Soul Conjecture
研究非单连通双核心猜想，通过构造了反例，无穷多个3维反例，以及维度无界增长的平坦反例，我。
Twisted submersions in nonnegative sectional curvature
B. Wilking在具有非负截面曲率的黎曼流形中引入了度量叶理的对偶叶理，并证明了当曲率严格为正时，对偶叶理包含一个单叶，使得周围空间中的任意两点可以由一条水平曲线连接。我们表明，同样的现象经常发生的非负弯曲的黎曼淹没，即使没有严格的正曲率条件，并不考虑特定的度量。
An orbit space of a nonlinear involution of $S^2\times S^2$ with nonnegative sectional curvature
我们描述了一个非负截面曲率的黎曼度量的建设一个封闭的光滑不可定向的4-流形与基本群的顺序为2，实现了一个同伦类，这是以前不知道包含非负弯曲的流形。该方法给出了以2-球面或实射影平面为底空间的2-球面丛上的非负截面曲率的度量。
Geometrically formal 4-manifolds with nonnegative sectional curvature
一个黎曼流形称为几何形式的，如果任何两个调和形式的楔积又是调和的。本文对具有非负截面曲率的紧致4-流形进行了几何形式的分类。如果截面曲率是严格正的，则该流形必须同胚于S^4或同胚于CP^2。当截面曲率严格为正时，这一结论仍然成立，并且我们将几何形式条件放宽到调和2-形式的长度不太常的要求。特别地，关于S^2 x S^2的霍普夫猜想在这类流形中成立。
Open Alexandrov spaces of nonnegative curvature
本文研究具有灵魂的非负曲率开Alexandrov空间，建立了与开黎曼流形非负截面曲率情形相对应的若干结构性结果。
On the moduli spaces of metrics with nonnegative sectional curvature
利用Kreck-Stolz s不变量区分正数量曲率度量模空间的连通分量.我们利用Kreck和Stolz的公式计算了具有非负截面曲率的S^n丛上度量的s不变量。然后，我们应用它表明，模空间的度量与非负截面曲率的某些7-流形上有无穷多个路径分量。这些包括第一个非齐次的例子，这种类型和某些积极弯曲的Escherenburg和Aloff-Wallach空间。
Extrinsci radius pinching in space forms of nonnegative sectional curvature
利用高阶中曲率给出了欧几里得空间和开半球的紧致超曲面的外半径的新估计。然后我们证明了与这些估计相对应的拼挤结果。证明了在适当的拼挤条件下，该超曲面是测地超球面的仿射同构且几乎等距。
Nonconnected Moduli Spaces of Nonnegative Sectional Curvature Metrics on Simply Connected Manifolds
我们证明了在每一维$4n+3$，$n\ge 1$中，存在无穷序列个两两相异同伦型闭光滑单连通流形序列$M$，其中具有非负截面曲率的黎曼度量的模空间具有无穷多个路径分量.具有这些性质的闭流形以前只在7维空间中被发现，我们的结果也适用于具有正里奇曲率的黎曼度量的模空间。此外，结合Belegradek，Kwasik和Schultz的工作，我们得到了对于每一个这样的$M$，开单连通流形$M\times\mathbb {R}$上的完全非负截面曲率度量的模空间也有无穷多个分支.
Moduli space of metrics of nonnegative sectional or positive Ricci curvature on homotopy real projective spaces
我们证明了每一个同伦${\mathbb {R}} P^5$上的非负截面曲率度量的模空间具有无穷多个路径分量。我们还表明，在每一个维度$4k+1$至少有$2^{2k}$同伦${\mathbb {R}} P^{4k+1}$的两两不同的定向同构型，正里奇曲率度量的模空间有无穷多个路径分量。具有这些性质的有限基本群的闭流形的例子以前只知道在$4k+3\geq 7$维中。
On 3-manifolds with pointwise pinched nonnegative Ricci curvature
有一个猜想：具有有界截面曲率和逐点压缩非负里奇曲率的完备黎曼3-流形必是平坦的或紧的。我们表明，这是真的，当负的部分（如果有的话）的截面曲率二次衰减。
On the structure of compact Kähler manifolds with nonnegative holomorphic sectional curvature
本文研究具有非负全纯截面曲率的紧凯勒流形，通过建立完整和原理的伪有效版本，证明在无真正平坦切向量等条件下流形必为射影且有理连通，从而回答了 Matsumura-Yang 问题并推广了 Yau 猜想，同时分类了非射影三维情形并推广到正实双截面曲率度量。
Geometric inequalities for hypersurfaces with nonnegative sectional curvature in hyperbolic space
本文利用反平均曲率流建立了$\mathbb{H}^n$中具有非负截面曲率的超曲面$Σ$的最优Sobolev型不等式.作为应用，我们证明了$\mathbb{H}^n$：\begin{align*} \int_Σ p_{2k}\geq ω_{n-1}\left[\left(\frac{|Σ|}{ω_{n-1}}\right)^\frac{1}{k}+\left(\frac{|Σ|}{ω_{n-1}}\right)^{\frac{1}{k}\frac{n-1-2k}{n-1}}\right]^k, \end{align*}中具有非负截面曲率的超曲面的双曲Alexandrov-Fenchel不等式，其中$p_i$是规范化的$i$阶平均曲率.等式成立当且仅当$Σ$是$\mathbb{H}^n$中的测地球面。对于具有非负截面曲率$Σ=\partial Ω$的区域$Ω\subset \mathbb{H}^n$，我们证明了$\mathbb{H}^n$中quermass积分的一个最优不等式：\begin{align*} W_{2k+1}(Ω)\geq \frac{ω_{n-1}}{n}\sum_{i=0}^{k}\frac{n-1-2k}{n-1-2i}C_k^i\left(\frac{|Σ|}{ω_{n-1}}\right)^\frac{n-1-2i}{n-1}, \end{align*}其中$W…
The stable converse soul question for positively curved homogeneous spaces
稳定逆灵魂问题（SCSQ）的问题是，给定一个紧致流形上的实向量丛\(E\)，某些稳定化\(E\times\R^k\)是否允许一个具有非负（截面）曲率的度量。我们推广了以前的结果，证明了SCSQ对任何单连通正曲率齐性流形上的所有实向量丛都有肯定的回答，除了Berger空间\(B^{13}\) .一路上，我们证明了同样的道理适用于所有单连通的齐性空间的维数最多为7，为任意产品的单连通紧凑秩1对称空间的维数的倍数为4，并为某些产品的领域。此外，我们观察到SCSQ是“切同伦等价下稳定的“：如果它对某个流形\(M\)上的所有向量丛都有肯定的答案，那么对任何切同伦等价于~ \(M\)的流形也是如此。我们的主要工具是拓扑K理论。在\(B^{13}\)上，基本上有一类稳定的实向量丛，我们的方法失败了。
Four-dimensional Einstein manifolds with sectional curvature bounded from above
给定四维黎曼流形上一个具有正数量曲率的Einstein结构，即对某个正常数$λ$，有$Ric=λg$.为方便起见，Ricci曲率总是归一化为$Ric=1$。一个基本的问题是对四维Einstein流形进行分类，它具有正曲率或非负曲率以及$Ric=1$。本文首先证明了若截面曲率满足$K\le M_1= \frac{\sqrt{3}}2\approx 0.866025$，则截面曲率非负。其次，我们证明了具有非负截面曲率的Einstein四维流形的刚性定理，并且对于每个具有$K_{ik}\ge K_{ij}$的正交基$\{e_i\}$，满足$K_{ik}+sK_{ij}\ge K_s = \frac{1 + \sqrt{2}}3 - \frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}4 + \frac{2-\sqrt{2}}6 s$，其中$s$是任意非负常数.事实上，我们将证明这些爱因斯坦流形必须是等距的，无论是$S^4$、$RP^4$还是具有标准度量的$CP^2$。作为推论，我们给出了具有$Ric=1$的Einstein四维流形的一个刚性结果，其截面曲率满足$K \le M_2 = \frac {2-\sqrt{2}}6 + \frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}4 \approx 0.750912$ .
Obstructions to nonnegative curvature and rational homotopy theory
建立了有理同伦理论与向量丛容许非负截面曲率的完备黎曼度量问题之间的联系。作为应用，我们证明了对于一个大类的单连通非负曲流形，如果C属于该类且T是正维数的环面，则C和T的乘积上的“大多数”向量丛不允许有完全的非负曲度量.
On manifolds with nonnegative Ricci curvature and the infimum of volume growth order $<2$
本文针对具有非负Ricci曲率且体积增长阶下确界小于2的开流形，证明了两个刚性定理：万有覆盖具有欧氏体积增长等价于流形平坦且具有n-1维soul；存在非常值线性增长调和函数等价于流形等距同构于实数线与紧流形的度量积。
Horizontally homothetic submersions and nonnegative curvature
我们证明了，从非负截面曲率的紧致流形的任何水平位似浸入都是黎曼浸入。
Nonnegatively curved metrics on S^2xR^2
本文对M^2xR^2上的非负截面曲率的完备度量进行了分类，其中M^2是任意紧致2-流形。
Three Circle Theorems on Kähler manifolds and applications
将经典的Hadamard三圆定理推广到完备Kähler流形.更精确地说，我们证明了全纯截面曲率的非负性是三圆定理成立的一个充要条件。作为推论，得到了全纯函数的两个尖锐单调性公式。在应用中，当全纯截面曲率非负时，我们得到了多项式增长的全纯函数的精确维数估计（有刚性）。当对分曲率为非负时，这是由于Ni。研究了在无穷远处多项式增长的全纯函数。在具有非负双截曲率的完备非紧Kähler流形上，证明了任意多项式增长的全纯函数在无穷远处是齐次的.这一结果与丘关于全纯函数的有限生成的猜想密切相关（详见$3-4$页）。我们还将三圆定理推广到具有全纯截面曲率下界的Kähler流形。这些不平等一般来说是尖锐的。作为应用，当全纯截面曲率渐近非负时，我们建立了满足一定增长条件的全纯函数的尖锐维数估计。最后观察到Hitchin构造了一些复流形，这些复流形允许具有正全纯截面曲率的Kähler度量，但甚至不允许具有非负里奇曲率的Kähler度量.因此，具有非负全纯截面曲率的完备Kähler流形的集合严格比具有非负双截面曲率的完备Kähler流形的集合宽。
Sectional curvature and matrix displacement convexity
该研究证明黎曼流形截面曲率非负等价于熵张量的矩阵位移凸性，还将此结论应用于强化HWI不等式等结果，且内在维数Wasserstein收缩不等式可刻画非负截面曲率
Rigidity of positively curved vacuum Static spaces
本文研究维数≥4且具非负截面曲率的紧致真空静态空间，证明正截面曲率且Weyl曲率张量完全散度非负的这类空间等距于标准球面，还推广了临界点方程相关的刚性结果。
A PL-manifold of nonnegative curvature homeomorphic to $S^2 \times S^2$ is a direct metric product (Preliminary version)
设$M^4$是一个非负曲率的PL-流形，它与两个球面的乘积$S^2 \times S^2$同胚。我们证明了$M$是两个球的度量直积，并赋予了一些多面体度量。换句话说，$M$是$\mathbb{R}^3$中两个凸多面体的曲面的直积。问题的背景如下。经典的H.霍普夫假设指出：对于截面曲率非负的$S^2 \times S^2$上的任何黎曼度量，曲率不可能在所有点都严格为正。这个问题没有快速的答案：已知截面曲率为非负的$S^2 \times S^2$上的黎曼度量不一定是乘积度量。然而，M. Gromov指出，在PL-情形下，非负曲率的条件似乎比黎曼流形的非负截面曲率更强，并且类似于曲率算子的某些条件。因此，本文所讨论的问题的动机是解决霍普夫假设的PL版本。
Concavity for elliptic and parabolic equations in locally symmetric spaces with nonnegative curvature
本研究将Langford和Scheuer的结果拓展，建立了非负截面曲率局部对称空间上椭圆与抛物方程解的凹性原理，是首个非恒定截面曲率空间上的通用凹性原理。
Diameter estimates for submanifolds in manifolds with nonnegative curvature
研究了闭合连通流形在非负截面曲率流形中的内在直径估计，基于均曲率场积分，并扩展到带边的紧凸表面。
Sobolev inequalities in manifolds with nonnegative curvature
在具有非负里奇曲率的流形上证明了一个尖锐的Sobolev不等式.此外，我们证明了一个Michael-Simon不等式的子流形在非负截面曲率。这两个不等式依赖于周围流形的渐近体积比。
Ricci flow and nonnegativity of curvature
本文证明了完备黎曼流形上与里奇流耦合的对称张量上的不定常Lichnerowicz热方程的一个广义最大值原理。作为应用，我们构造了维数大于或等于4的有界非负截面曲率的完备流形，使得里奇流不保持截面曲率的非负性，尽管Hamilton证明了截面曲率的非负性在3维中是保持的.这个例子是第一个这样的例子。这一事实证明了通过一般的分裂定理的完整的家庭度量的非负截面曲率，变形的里奇流。
Nonnegative curvature, symmetry and fundamental group
证明了平丛的等变变形的一个结果，作为推论，得到了具有无限个基本群的黎曼流形上等距群作用的两个“有限覆盖中的分裂”定理，其中流形是非负里奇曲率的紧致流形或非负截面曲率的完备流形.
Nonnegative curvature on vector bundles over ${CP}^3$ and its blow-up
本文证明 $CP^3$ 上秩至少七、$CP^3\#CP^3$ 上秩至少八的实向量丛及其单位球面丛具有非负截面曲率的完备度量，通过低维丛分类与 Grove--Ziller 提升理论实现。
Seven dimensional cohomogeneity one manifolds with nonnegative curvature
证明了一类上齐性单流形不允许有非负截面曲率的不变度量，除非它允许有正曲率的截面曲率。因此，7维非负曲上齐性流形的分类被简化为仅一个候选者的进一步的族
Topological obstructions to nonnegative curvature
我们发现了在具有无穷多个基本群的流形上存在非负截面曲率的完全黎曼度量的新障碍。特别地，我们构造了许多向量丛的例子，其全空间不允许非负曲度量。
Index theory and deformations of open nonnegatively curved manifolds
我们使用指数理论的技术希钦证明，空间的完整黎曼度量的非负截面曲率的某些开放的自旋流形有非平凡的同伦群在无穷多个程度。一个新的成分的独立利益是同伦密度的子空间的度量与圆柱形的结束。
Real affine varieties of nonnegative curvature
设$X_{\mathbb{C}}$是具有紧实点$X_{\mathbb{R}}$的光滑实仿射簇.证明了$X_{\mathbb{C}}$与$X_{\mathbb{R}}$的法丛是同构的，只要$X_{\mathbb{C}}$有一个非负截面曲率的完备黎曼度量，且该度量在共轭下是不变的.
Rigidity for Nonnegatively Curved Metrics on S^2xR^3
我们要解决的问题是：S^2xR^3上具有非负截面曲率的完备度量族有多大？我们对连接度量进行了分类，并给出了几个非连接度量的例子。我们提供的证据表明，家庭是小的，通过证明一些刚性的结果比连接度量更一般的度量。
Nonnegative curvature, elliptic genus and unbounded Pontryagin numbers
讨论了具有非负截面曲率的自旋流形的配边型。我们证明了在每一维$4k \geq 12$中，存在无穷多个配边类型的单连通非负弯曲自旋流形。此外，我们提出并分析了一个问题，可能的配边障碍的非负曲率。
Sobolev inequalities in manifolds with nonnegative intermediate Ricci curvature
本文利用Alexandrov-Bakelman-Pucci方法，将Michael-Simon型Sobolev不等式推广到具有非负中间Ricci曲率的Riemannian流形中的子流形上，并由此导出极小子流形的等周不等式。
A note on K$\ddot{a}$hler manifolds with almost nonnegative bisectional curvature
本文证明了如下结果：存在正常数$ε(n,Λ)$使得如果$M^n$是单连通紧致$\ddot{a}$ hler流形，其截面曲率上界为$Λ$，直径上界为1，且具有全纯双截面曲率$H \geq -ε(n,Λ)$，则$M^n$同构于乘积$M_1\times ... \times M_k$，其中每个$M_i$是复射影空间或秩为$\geq 2$的不可约K $\ddot{a}$ hler-Hermitian对称空间。这解决了F的一个猜想。方舟子在截面曲率和截面直径的附加上限限制下。
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