Internal Kleisli categories
Tomasz Brzeziński, Adrian Vazquez Marquez
本文给出了非范畴内范畴或幺半范畴内范畴的2-范畴中Kleisli对象的构造。
A construction of Kleisli objects in 2-categories of noncartesian internal categories or categories internal to monoidal categories is presented.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Abstract Kleisli Structures on 2-categories
本文扩展了抽象Kleisli结构理论至2-范畴，涵盖非严格单子态射与2-胞腔，并刻画了通过自由伪代数2-范畴恢复原始伪单子的条件。
Kleisli categories, T-categories and internal categories
本文研究单子的 Kleisli 范畴及其拉回性质，证明笛卡尔单子情形下 Burroni 的 T-范畴等价于 KlT 中的特殊内部范畴，并揭示其对 operads、multicategories 及 n-范畴的意义。
Applications of the Kleisli and Eilenberg-Moore 2-adjunctions
我们利用Kleisli和Eilenberg-Moore 2-算子收集了范畴的同构和结构的双射。
Cartesian Differential Kleisli Categories
本文引入笛卡尔微分单子，通过从基范畴提升微分组合子使单子的Kleisli范畴成为笛卡尔微分范畴，并利用抽象Kleisli范畴给出精确刻画，证明其Eilenberg-Moore范畴为切范畴。
Premonoidal and Kleisli double categories
本文探讨预单调双范畴的双范畴版本，引入了有趣的积和多范畴结构，并研究了不同结构之间的关系及预单调双范畴的中心性质。
From Kleisli Categories to Commutative C*-algebras: Probabilistic Gelfand Duality
C*-代数形成了相当普遍和丰富的数学结构，可以用不同的态射（保乘或不保乘）和不同的性质（交换或不交换）来研究。这些不同的选项可以用来将各种类型的计算（集合论，概率，量子）纳入C*-代数的范畴。首先，本文集中在交换的情况下，并表明，有函子从几个Kleisli类别，单子是相关的模型概率计算，类别的C*-代数。这产生了一个新的概率版本的Gelfand对偶，涉及“拉东”单子的范畴内的紧T2空间。证明了Radon单子的C ~*-代数到Eilenberg-Moore代数的状态空间函子是满的和忠实的。这使我们能够得到一个适当的交换状态和效果三角形的C*-代数。
Method of Additional Structures on the Objects of a Monoidal Kleisli Category as a Background for Information Transformers Theory
范畴论提供了一种以统一的方式编码数学结构的紧凑方法，从而使得能够使用关于等价和通用构造的一般定理。本文发展了Monoidal Kleisli范畴对象的附加结构方法。提出了将任何一致的信息Transformers类看作满足一定公理集的范畴的态射族。这使得有可能以统一的方式研究不同类型的IT，例如，统计的、多值的和模糊的IT。提出的公理定义一个类别的IT作为monoidal类别，其中包含一个子类别（确定性IT）有限的产品。此外，它表明，许多范畴的IT可以构造为Kleisli范畴与额外的结构。
Monoidal Kleisli Bicategories and the Arithmetic Product of Coloured Symmetric Sequences
将算术积推广至着色对称序列，证明其构成正规oplax幺半结构，利用幺半双范畴高效验证相干条件。
Aspects of algebraic Algebras
本文研究Kock-Zöberlein单子下Kleisli与Eilenberg-Moore范畴之间的中间范畴，刻画自由代数、研究加权极限存在性，并应用于滤子单子的幂等完备化。
Between Markov and restriction. Two more monads on categories for relations
研究关系结构性质的范畴多年来发展丰富，本文在前作基础上进一步丰富分类法，提出两个比马尔可夫和限制范畴更抽象的gs - 幺半范畴实例，介绍相关单子并证明其性质。
Commutativity and Kleisli laws of codensity monads of probability measures
本文研究了概率测度的码密度单子的交换性与Kleisli法则，证明了若干概率单子作为Giry单子终端提升的普遍性质，并探讨了码密度单子的单子和仿射条件。
Lax structures in 2-category theory
本论文研究2-范畴理论中的松弛结构，将因子分解系统等价描述为双范畴，并以泛用方式将弱结构转换为严格结构，利用松弛幂等伪单子建立2-范畴的弱余完备性。
Tape Diagrams for Monoidal Monads
本文扩展磁带图表示法，使其适用于由代数理论给出的对称幺半群单子的克莱斯利范畴，突破了原有仅适用于双积范畴的限制。
Unbiasing symmetric monoidal categories in Lean
本文在Lean 4中形式化了对称单子范畴的去偏过程，通过扩展数据到伪函子并利用Kleisli双范畴实现高 arity张量积的一致性。
Bi-representable bi-multicategories
本文证明了Hermida等价结果的二维版本，分类了更严格版本，并推广了Slattery关于Kleisli双范畴的双多范畴结构，涵盖双可表示性。
Weakly Markov categories and weakly affine monads
本文提出弱马尔可夫范畴和弱仿射单子，介于gs-幺半范畴与马尔可夫范畴之间，推广条件独立性理论，并以有限非零测度单子为例说明其在范畴概率中的应用。
Tapes as Stochastic Matrices of String Diagrams
本文研究了子分布单子下的绳状图与随机矩阵的同构性，并利用该结果对概率布尔电路进行了公理化描述。
Cartesian differential categories as skew enriched categories
本文将笛卡尔微分范畴刻画为基于斜幺半范畴的充实范畴，并证明每个小笛卡尔微分范畴可完全保持结构地嵌入由微分模态诱导的范畴，从而解决了该领域的一个公开问题。
Complete internal categories
内部范畴的特点是极限和完整性的概念，这一概念最初是在有效主题的背景下提出的。本文在一般的背景下阐述了内部完备性理论，详细地阐明了极限和完备性的定义，并澄清了一些微妙之处。值得注意的是，完备内部范畴也是上完备的，并且具有一个合适的伴随函子定理。这样的结果被理解为内部范畴的内在小性的结果。
A characterization of final functors between internal groupoids in exact categories
本文给出了Barr-正合范畴中内群胚之间的终函子的几个刻画。特别地，证明了群胚之间的内函子是终函子当且仅当它是满的且本质满射的。
Internal enriched categories
我们引入内部幺半范畴上的丰富理论，作为丰富范畴和内部范畴标准理论的共同概括。本文的目的是证明和上下文的新概念，通过比较它与其他已知的概括丰富：即，那些索引类别和广义multicategories。事实证明，这两个概念都与内部富集密切相关，并且作为必然结果，彼此相关。
Group Objects and Internal Categories
代数结构如幺半群、群和范畴可以用交换图表在一个范畴内公式化。在许多常见的类别中，这些简化为熟悉的情况。特别地，Grp中的群对象是阿贝尔群，而Grp中的内部范畴既等价于Cat中的群对象，又等价于群的交叉模。在这篇论述中，我们对这一领域的一些关键概念进行了初步的介绍。
Reflection on the enrichment of double categories
充实和内部范畴是范畴概念的两种不同的概括方式。因此，丰富双重范畴（Cat内部的范畴）并不是一个明确的概念。我们可以看看C-丰富范畴的范畴的内部范畴或Cat中的内部C-范畴。不幸的是，这些概念还不够强大，即使是瘦的（posetal）双范畴也不能这样看。然而，一个正交的研究，即通过一个双重范畴的丰富，将有助于放松内部C范畴，以纳入C-丰富范畴的范畴的内部范畴，以及薄双重范畴或框架双范畴。
Internalization and enrichment via spans and matrices in a tricategory
本文在1-严格三范畴$V$中引入了矩阵和跨距的范畴$\M$和$§$内部范畴，这些范畴是由双范畴、伪函子、自然变换和修改组成的三范畴$\Bicat_3$.它们的水平三范畴是$V$中矩阵和跨距的三范畴。内部结构和丰富结构都是1范畴中相应结构的三范畴化。在\cite{FGK}之后，我们引入了单子和它们在三范畴内部范畴中的垂直态射。本文证明了1-严格三范畴$V$中矩阵$\M$和跨距$§$的内部范畴等价的一个等价条件，并推导出在这种情况下它们对应的（严格）单子范畴和垂直单子态射范畴也是等价的.我们证明了后者的范畴是同构的范畴丰富和离散内部的$V$，分别。作为我们的三范畴构造的副产品，我们从\cite{Fem}中恢复了一些结果。截断到1-范畴，我们恢复结果从\cite{CFP}和\cite{Ehr}的等价性丰富和离散内部1-范畴。
A new construction relating enriched categories and internal ones in an extensive ambient
本文提出了一种新的构造方法，将内部范畴与丰富范畴联系起来。关键的概念是广泛的环境范畴，和建设遵循的一个关联的范畴，其幂等分裂到一个给定的。当我们限制到一个特定的内部范畴类，它的幂等元以某种规范的方式分裂，并施加一个大小限制时，这个结合就变成了一个已知结合的函子和左伴随。
Internal categories, anafunctors and localisations
在这篇文章中，我们回顾了由Makkai和Bartels引入的anafunctors理论，并表明，给定一个次正则站点S，可以使用anafunctors作为1-箭头在弱等价处形成各种2-范畴的内部范畴或群胚的双范畴局部化。这统一了整个文献中的许多证明，使用了S上可能的最少假设。
The Formal Theory of Monads, Univalently
在单值基础中发展单子的形式理论，定义单子的双范畴并证明其单值性，定义Eilenberg-Moore对象并关联单子与伴随，用Coq和UniMath库形式化。
R-full Schreier internal categories and their directions
本文引入R-全 Schreier 内部范畴概念，关联其方向并证明该关联为保积上纤维化函子，进而为函子纤维连通分支配备交换幺半群结构，借助等价关系用交叉 Schreier 扩张描述该结构。
Formal aspects of Gray's tensor product of 2-categories
小2-范畴的范畴有两个么半群结构，一个是双闭的，一个是闭的。我们提出了一个形式化的建设正确的内部和内部霍姆斯这些monoidal结构。
Pseudocolimits of Small Filtered Diagrams of Internal Categories
本文基于 Dalhousie University 硕士论文，通过定义内范畴图的内范畴元素并证明其为 oplax 余极限，结合（右）分式内范畴的公理与条件，为计算内范畴的小滤过图的伪余极限提供了合适的上下文。
Enrichment and internalization in tricategories, the case of tensor categories and alternative notion to intercategories
本文件是处理以下三个问题的结果。首先，我们希望双范畴嵌入到伪双范畴中是monoidal的，如果使用monoidal伪双范畴的通常概念，则不是monoidal的。第二，在\cite{Gabi}中提出了一个问题：哪一个是Grandis和Paré的范畴间的替代概念，所以Böhm的严格双范畴和严格双函子的幺半范畴$(Dbl,\ot)$中的Monoidal范畴和Gray型Monoidal乘积是它的一个例子？我们得到并证明了$(Dbl,\ot)$的么半群结构解决了第一个问题。另一方面，为了解决第二个问题，我们将范畴$Dbl$提升为一个三元范畴$\DblPs$，并提出了一个考虑三元范畴内部范畴的范畴间定义。%，使$(Dbl,\ot)$中的monoid成为此小工具的示例。除了$(Dbl,\ot)$中的幺半群--更重要的是，包含$(Dbl,\ot)$作为子1-范畴的三范畴中的弱伪幺半群--大部分范畴间的例子也是这个小工具的例子，逃脱的是那些依赖于产品在拉回上的松弛性的例子，作为对偶范畴。为了后一个目的，我们定义了三大类（$\DblPs$类型）内部的范畴，这同时服务于我们的第三个动机。即受张量范畴的三范畴和$(1\times 2)$ -范畴的启发，在较弱的条件下，证明了在某些类型的三范畴上富集的范畴可以成为它们内部的范畴.我们说明了这种情况下张量范畴相对于环境的三范畴$2\x\Cat_{wk}$的2-…
Internal Grothendieck construction for enriched categories
针对富集范畴语境，提出内蕴Grothendieck构造，证明其与内蕴离散纤维化的范畴等价，建立$\u27e8V\u27e9$-函子可表示性的多种刻画，并将结果应用于加权$\u27e8V\u27e9$-极限的研究，得到新的极限描述结论。
On Naturally and Weakly Mal'tsev Categories
本文探究范畴代数中Mal'tsev、自然Mal'tsev和弱Mal'tsev范畴的层次结构，通过引入乘法有向风筝结构及风筝条件，统一描述这些概念并推广结果至更广泛范畴。
From Gs-monoidal to Oplax Cartesian Categories: Constructions and Functorial Completeness
本文扩展 gs-monoidal 范畴为带箭头预序的 oplax cartesian 范畴，刻画其 Kleisli 与 span 构造，并证明 Yoneda 嵌入及函子完备性定理。
Internal Neighbourhood Spaces
本文的主要目的是给出具有有限余积的完备范畴中的邻域算子的一个刻画和一个适当的分解系统，使得容许子余积的半格构成分配完全格.证明了邻域、Kuratowski内算子和伪框架集之间的等价性。此外，内部邻域的类别是拓扑的。描述了邻域范畴的正则满态，并探讨了保证正则满态遗传的条件。证明了拓扑空间的内邻域范畴是双拓扑空间范畴，而在locale范畴中，每个locale都具有一个自然的内拓扑.
Internal bicategories
我们定义了2-范畴内部的双范畴。当环境2-范畴是对称的幺半范畴时，这为编码对称的monoidal 3-范畴的结构提供了一个方便的框架。这个框架非常适合于几何和代数中出现的例子，例如3-范畴的有边性或3-范畴的共形网。
Categories vs. groupoids via generalised Mal'tsev properties
本文从广义Mal'tsev性质--弱Mal'tsev性质和$n$ -置换性两个方面研究了内范畴和内群胚之间的区别。在文章的第一部分中，我们给出了内部范畴结构的条件，这些条件可以检测周围的范畴是否自然地是Mal'tsev，Mal'tsev或弱Mal'tsev。我们表明，这些不依赖于二元产品的存在。在第二部分中，我们专注于各种代数。
On internal categories and crossed objects in the category of monoids
本文针对幺半群范畴中交叉模等价命题不成立的问题，引入交叉半双模概念并证明其能生成内范畴，同时将其与已有的交叉半模相关联。
String Diagrams for Premonoidal Categories
本文证明 Alan Jeffrey 提出的带“运行时对象”的弦图可作为效应范畴的内语言，并推广用于预幺半范畴和 Freyd 范畴。
Colimits of internal categories
研究在特定1-范畴$\mathcal{E}$条件下，内部范畴的2-范畴$\mathbf{Cat}(\mathcal{E})$的性质，证明其有有限2-余极限等，还给出了逆结果，核心方法是利用范畴相关性质及伴随关系进行推导。
Projection formulas and induced functors on centers of monoidal categories
本文研究了单子adjunction诱导的braided lax单子函子，通过投射公式 morphisms 的可逆性，探讨了Hopf代数的限制与诱导沿态射的单子adjunction，并应用这些函子到 affine代数群、量子群和Radford-Majid双积Hopf代数的例子中。
Descent for internal multicategory functors
本文提出两种方法研究广义内部多范畴范畴中的有效下降态射，给出充分条件，分别基于等化子构造和扩展Le Creurer的技术。
Internal Coalgebras in Cocomplete Categories: Generalizing the Eilenberg-Watts-Theorem
余完备范畴$\mathcal{C}$关于簇$\mathcal{V}$的内部余代数范畴等价于从$\mathcal{V}$到$\mathcal{C}$的左伴随函子范畴。当考虑这样的余代数作为从$\mathcal{T}_\mathcal{V}^\mathsf{op}$（$\mathcal{V}$的Lawvere理论的对偶）到$\mathcal{C}$的有限余积保持函子时，这一点可以看得最清楚：余代数是左伴随的限制，任何这样的左伴随都是沿着$\mathcal{T}_\mathcal{V}^\mathsf{op}$嵌入到$\mathsf{Alg}\mathcal{T}$中的余代数的左Kan扩张。由于环$R$和$S$的簇${_R\mathit{Mod}}$中的${_S\mathit{Mod}}$ -余代数只不过是左$S$ -、右$R$ -双模，所以上面的等价推广了Eilenberg-Watts定理及其所有以前的推广。推广并加强了Bergman关于内部余代数范畴的完备性结果，证明了局部可表示范畴$\mathcal{C}$中的余代数范畴在$\mathcal{C}$上是局部可表示的和余单进的，因此是完备的.此外，我们表明，Freyd的规范建设内部余代数在各种定义左伴随函子。相应的右伴随的特殊实例出现在各种代数上下文中，并且在$\mathcal{V}$是交换簇的情况下，是从范畴$\mathsf{Coa…
Categories of operators and actions of group operads
我们提出了一个新的模型与对称性的多范畴与张的组操作。完全忠实嵌入的类别的组操作到交叉区间组的使用，它表明，每一个multicategory产生纤维化，在某种意义上说，在商的总类别的组操作。对称结构可以表示为小范畴范畴内部的范畴上的内部预层结构，换句话说，是一个双重范畴。
Enhanced 2-categorical structures, two-dimensional limit sketches and the symmetry of internalisation
该研究从增强型2-范畴视角解释二维范畴论中结构的内在严格性，引入增强型2-范畴极限草图以弥补现有理论不足，并建立了这类结构的内化对称性。
Bourn-normal monomorphisms in regular Mal'tsev categories
Bourn意义下的正规单态描述了内部等价关系的等价类。虽然这个定义是在一个有限极限范畴的相当一般的背景下给出的，但后来对这个问题的研究往往集中在原模的背景下，在那里正规性成为一个属性。本文阐明了具有沿任意态射的分裂单态推出的正则Mal'tesv范畴的内部等价关系与Bourn正规单态之间的联系，并对具有沿任意态射的分裂单态推出的拟点正则Mal'tsev范畴进行了完整的描述.
A Small Observation on Co-categories
各种关注建议在具有强逻辑结构的范畴中寻找内部共范畴。结果表明，在任何一个连贯范畴中，所有的共范畴都是共等价关系。
A model structure on internal categories in simplicial sets
我们把一个模型结构的范畴内的范畴内部的单纯集，其弱等价反映了神经函子的双单纯集与Rezk的模型结构。这个模型结构被证明是Quillen等价于Rezk的模型结构，因此内部范畴是$(\infty,1)$ -范畴的另一个模型。
Yoneda's lemma for internal higher categories
我们发展了任意$\infty$ -topos内部的高阶范畴理论中的一些基本概念。我们定义内部左，右纤维化，并证明了一个版本的Grothendieck建设和米田引理的内部类别。
Categories internal to crossed modules
本文刻画了交叉模范畴中的内部范畴，并证明了交叉模上的交叉模范畴（即交叉正方形）与交叉模范畴中的内部范畴之间存在自然等价.最后，我们得到的交叉广场使用这种等价的例子。
Discrete vertices in simplicial objects internal to a monoidal category
本文在幺半范畴中引入单纯对象，比较三种离散顶点定义，证明基于点函子与templicial对象等价，且与丰富Segal预范畴在笛卡尔情形等价。
Actor of categories internal to groups
本文利用Brown-Spencer定理和Norrie的著作，在群内范畴（又称群群胚）中，解释了群上交叉模的Actor的概念。进一步，我们构造了群广胚在群广胚上的作用。此外，我们给出了两个群胚的半直积和群胚的全形的显式构造。
Localizations of the category of $A_\infty$ categories and internal Homs
证明了dg范畴、上同调酉范畴和严格酉$A_\infty$范畴关于相应拟等价类的局部化都是等价的。此外，我们还证明了后两个局部化与相应的同调是等价的，这是由于$A_\infty$函子的$A_\infty$范畴的上同调同构的关系.作为一个应用程序，我们给出了一个完整的证明的索赔Kontsevich指出，范畴的内部霍姆斯的两个dg范畴可以描述为范畴的严格酉$A_\infty$函子之间。
Logical systems I: Lambda calculi through discreteness
本文展示了多态lambda演算的内模是如何在任何具有离散性概念的2-范畴中产生的。我们推广到一个2-范畴设置著名的定理彼得Freyd说，有没有充分（共）完整的非退化范畴。作为一个简单的推论，我们得到了Freyd定理的一个变种，范畴内部的任何张量范畴。此外，借助相关范畴的概念，我们证明了一个表示定理，我们的内模与研究良好的纤维模型多态性。
Remarks on Units of Skew Monoidal Categories
本文证明了一个斜幺半范畴范畴的单位在一个唯一同构下是唯一的，并将这一事实内化到斜半群范畴中。在证明斜幺半范畴的公理是独立的之前，还讨论了单位映射上的某些额外结构的一些好处。
Internal Partial Combinatory Algebras and their Slices
部分组合代数（PCA）是一个集合，它配备了一个部分二元运算来模拟可计算性的概念。本文研究了由W. Stekelenburg，其中PCA不是一个集合，而是给定正则类别中的对象。相应的类的类别的装配是封闭的，无论是在采取小产品和切片，这是对比的情况下，为普通PCA。我们明确地描述了这两个结构的PCA的水平，使我们能够计算的产品和切片的PCA的一些例子。此外，我们展示了如何PCA可以沿常规函子运输，使我们能够比较PCA构建在不同的基础类别。通过Grothendieck构造，这导致了一个（2-）范畴，其对象是PCA，其箭头是广义应用态射。这个范畴有小积，对应于集合范畴的小积，并且它有弱意义上的有限余积。最后，通过推广P. Hofstra和J. van Oosten提出的计算密度的概念，给出了由应用态射诱导的集合范畴之间的函子有右伴随的一个判别准则.
Internal Languages of Finitely Complete $(\infty, 1)$-categories
我们证明了Joyal族的同伦理论与纤维化范畴的同伦理论是等价的。作为结果，我们推导出一个变体的猜想断言，马丁-洛夫类型理论与依赖和和内涵单位类型是内部语言的$(\infty, 1)$ -范畴有限限制。
An Internal Logic of Virtual Double Categories
本文提出纤维化虚拟双范畴类型论（FVDblTT），作为形式范畴论的内在语言，通过语法-语义对偶性（双伴随）验证其与虚拟双范畴的等价性，从而支持范畴论中的同构推理。
The internal languages of univalent categories
本文研究并扩展了Clairambault和Dybjer关于合一范畴内部语言的定理，将其应用于多种拓扑空间类别，使用形式化方法验证了结果。
Abelian objects in categories with normal projections
本文证明在具有正规投影的任意范畴中，内部阿贝尔群仍保持简单行为，即与减法代数等价、结构唯一且态射保持结构，将幺半与减法范畴的结论推广。
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