A Small Observation on Co-categories
Peter LeFanu Lumsdaine
各种关注建议在具有强逻辑结构的范畴中寻找内部共范畴。结果表明，在任何一个连贯范畴中，所有的共范畴都是共等价关系。
Various concerns suggest looking for internal co-categories in categories with strong logical structure. It turns out that in any coherent category, all co-categories are co-equivalence relations.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
There is a well-known correspondence between coherent theories (and their interpretations) and coherent categories (resp. functors), hence the (2,1)-category $\mathbf{Coh_{\sim}}$ (of small coherent categories, coherent functors and all natural isomorphisms) is of logical interest. We prove that this category admits all small 2-limits and 2-colimits (in the ($\infty $,1)-categorical sense), and prove a 2-categorical small object argument to provide weak factorisation systems for coherent functors.
Cohomology of Small Cartesian Closed Categories
该研究证明了笛卡儿闭合范畴的奎伦上同调与巴乌斯-维尔斯钦格上同调的同构性，并扩展了此前关于小范畴和具有有限积的小范畴的结果。
A direction functor approach to the cohomology of small categories
该研究提出用方向函子构建Barr-正合范畴和S-Maltsev范畴的上同调理论，并证明其与Hoff等引入的小范畴上同调理论等价。
In analogy with the classical theory of filters, for fi\-nite\-ly complete or small cat\-e\-go\-ries, we provide the concepts of fil\-ter, $\mathfrak{G}$-neigh\-bor\-hood (short for "Grothendieck-neigh\-bor\-hood") and cover-neigh\-bor\-hood of points of such categories, with the goal of studying convergence, cluster point, closure of sieves and compactness on objects of that kind of categories. Finally, we study all these concepts in the category $\bf{Loc}$ of locales.
Factorisation and Cohomology of Higher Categories
我们构造了一个迭代法，用于将小严格n-范畴分解成一个唯一的（直到同构）小1-范畴的集合。在此之后，我们发展的理论，包括一个大类的$\infty$ -范畴。我们使用这种因式分解来定义高阶范畴的上同调理论。最后，我们讨论了低维范畴分解的一些具体例子。
An enriched small object argument over a cofibrantly generated base
本文提出一种在余纤维生成弱分解系统上富化的小对象论证变体，统一了范畴及多种高阶范畴中的小对象论证方法。
We prove that a category which is symmetric (relaxed) monoidal closed, (small) complete, well-powered and has a small cogenerating family, is cocomplete.
Cocompletion of restriction categories
限制范畴被引入作为推广部分映射范畴概念的一种方式。本文定义了余完备限制范畴，并给出了一个小限制范畴的自由余完备性作为一个适当定义的限制预层范畴。我们还考虑的情况下，我们的限制类别是局部小。
Homotopical presentation of categories
本文给出小范畴间函子生成 Dugger 万有模型范畴小呈现的判定准则。
We introduce a theory of modules over a representation of a small category taking values in entwining structures over a semiperfect coalgebra. This takes forward the aim of developing categories of entwined modules to the same extent as that of module categories as well as the philosophy of Mitchell of working with rings with several objects. The representations are motivated by work of Estrada and Virili, who developed a theory of modules over a representation taking values in small preadditive categories, which were then studied in the same spirit as sheaves of modules over a scheme. We also…
Limits and colimits of quantaloid-enriched categories and their distributors
证明了对于小量子群Q，小Q-范畴和Q-函子的范畴是全的和余全的，Q-分配子和Q-Chu变换的范畴也是全的和余全的.
Constructing model categories with prescribed fibrant objects
本文给出了J.H.史密斯我们用它把一个模型范畴结构的范畴上的小范畴丰富的一个合适的monoidal单纯模型范畴。证明使用了模型结构的一部分，由于小单纯范畴J.伯格纳。我们给出了Smith结果的弱形式在一个合适的monoidal模型范畴中的左Bousfield局部化的应用。
A model structure on the category of small categories for coverings
我们在小范畴上定义了一个新的模型结构，它与小范畴的覆盖和基本群的概念密切相关。模型结构中的纤维对象与群胚一致，而纤维对象的替换就是群胚化。
Ramified coverings of small categories
我们引入了小范畴的分歧覆盖，并证明了这个概念的三个性质：Riemann-Hurwitz公式对于有限范畴的分歧覆盖成立，$C$的zeta函数对于有限范畴的分歧覆盖$\map{P}{\widetilde{C}}{C}$整除$\widetilde{C}$的zeta函数，小范畴的$d$ -重分歧覆盖的分类空间也是$d$ -重分歧覆盖的分类空间。Dold \cite{Dol86}意义下的折叠分歧覆盖。
We first prove an analogue of Lagrange theorem for global dimensions of fusion categories, then we give a complete classifications of pre-modular fusion categories of integer global dimensions less than or equal to $10$.
Enlargement of (fibered) derivators
我们证明了所有小范畴上的导子理论（或者更一般地说，纤维多导子理论）等价于偏序集上的导子理论，在以下意义上：定义在偏序集上的每个导子（更一般地说，每个纤维多导子）都有一个扩展到所有小范畴的唯一性，直到导子等价为止。此外，扩展的Cisinski定理，我们表明，每一个双纤维化的多模型范畴（基本上是一个集合的模型类别，和Quillen之间的几个变量）产生一个左，右纤维multiderivator的所有小范畴。
Locally class-presentable and class-accessible categories
我们推广了局部可表示范畴和可接近范畴的概念。我们的框架包括这样的类别，小presheaves在大类和ind-category。这种推广是为了在抽象同伦理论中的应用。
Čech complexes for covers of small categories
我们提出了一个组合模拟的神经定理覆盖的小范畴，使用Grothendieck建设。我们应用这个结果证明了有限范畴的欧拉示性数的容斥原理。
Coverings of small categories and nerves
本文证明了一个命题，它说明了小范畴的覆盖与神经之间的关系。作为应用，我们证明了对于有限范畴的覆盖$\map{P}{E}{B}$，$E$的zeta函数是$B$对$P$的片数的zeta函数.证明了范畴和覆盖的欧拉示性数的公式$χ(E)=χ(F)χ(B)$。
Derived categories of representations of small categories over commutative noetherian rings
研究交换诺特环上小范畴的导出范畴。我们的主要结果是局部化子范畴在环的谱和局部化子范畴在剩余域上的参数化。在交换诺特环上Dynkin抖动表示的特殊情况下，我们给出了导出范畴的局部化子范畴的完整描述，完全复形的厚子范畴的完整描述，并证明了望远镜猜想成立.我们还提出了一些结果，更一般的望远镜猜想。
Proxy-small objects present compactly generated categories
本文建立了紧生成三角范畴的局部化表示与 proxy-small 对象的对应，并利用余可表示函子的余积保持性刻画了 proxy-small 性。
Categories enriched over symmetric closed multicategories
本文构造了从对称闭完备多范畴生成其富集范畴多范畴的机器，并以短空间和集合范畴为例说明其应用。
Dévissage for Algebraic K-theory of Small Stable $\infty$-categories
本文扩展了heart定理，将其推广到一般的小稳定∞-范畴，建立了精确函子诱导非负K-群同构的充要条件，该条件满足分解条件。
Small presentations of model categories and Vopěnka's principle
我们证明了模型范畴的小表示的存在性结果，推广了D。Dugger从组合模型范畴到更一般的模型范畴。这些结果中的一些是在伏波尼卡原理的假设下显示的。我们的主要定理特别适用于cofibrantly生成的模型类别，其中生成cofibrations的域满足稍强的小性条件。因此，假设Voprynka原理，这样一个共纤生成的模型范畴是Quillen等价于一个组合模型范畴。此外，如果存在由可表示的对象组成的生成集，那么在没有伏普尼卡原理的假设的情况下，同样的结论也成立。我们还纠正了之前提出类似主张的工作中的一个错误。
The unitary symmetric monoidal model category of small C*-categories
本文对弱等价为幺正等价的（小幺正）C*-范畴构造了一个上纤维生成的单对称monoidal模型结构。闭幺半群结构由最大张量积组成，它推广了C*-代数的最大张量积，而 *-函子C*（A，B）的Ghez-Lima-Roberts C*-范畴提供了内部Hom's。
Spectra of small abelian categories
本文研究了小阿贝尔范畴的Serre子范畴格上的Ziegler拓扑和Zebraki拓扑。
Internal categories feature notions of limit and completeness, as originally proposed in the context of the effective topos. This paper sets out the theory of internal completeness in a general context, spelling out the details of the definitions of limit and completeness and clarifying some subtleties. Remarkably, complete internal categories are also cocomplete and feature a suitable version of the adjoint functor theorem. Such results are understood as consequences of the intrinsic smallness of internal categories.
Formal aspects of Gray's tensor product of 2-categories
小2-范畴的范畴有两个么半群结构，一个是双闭的，一个是闭的。我们提出了一个形式化的建设正确的内部和内部霍姆斯这些monoidal结构。
Given two small dg categories $C,D$, defined over a field, we introduce their (non-symmetric) twisted tensor product $C\overset{\sim}{\otimes} D$. We show that $-\overset{\sim}{\otimes} D$ is left adjoint to the functor $Coh(D,-)$, where $Coh(D,E)$ is the dg category of dg functors $D\to E$ and their coherent natural transformations. This adjunction holds in the category of small dg categories (not in the homotopy category of dg categories $\mathrm{Hot}$). We show that for $C,D$ cofibrant, the adjunction descends to the corresponding adjunction in the homotopy category. Then comparison with a …
Pseudocolimits of Small Filtered Diagrams of Internal Categories
本文基于 Dalhousie University 硕士论文，通过定义内范畴图的内范畴元素并证明其为 oplax 余极限，结合（右）分式内范畴的公理与条件，为计算内范畴的小滤过图的伪余极限提供了合适的上下文。
Homotopy theory of small diagrams over large categories
设$D$是一个共完全的大范畴。我们构造了一个模型结构（在Quillen的意义下）的范畴上的小函子从$D$单纯集。作为应用，我们构造了单纯集范畴上的同伦局部化函子，它比通常的同伦局部化函子具有更强的泛性质。
We compute the collection of CW-complexes in the model category of small categories constructed by Joyal and Tierney. More generally, if $X$ is a connected topological space, we show that the homotopy category of CW-complexes in Joyal-Tierney's model category of sheaves of sets on $X$ is equivalent to the homotopy category of groupoids. As an application of the ideas, we show that the algebraic $K$-theory groups of the category of pointed small categories are trivial, and more generally, the algebraic $K$-theory groups of any sufficiently "nice" Waldhausen category $\mathcal{A}$ of pointed sma…
Model Structures on the Category of Small Double Categories
本文给出了小双范畴{ \bf DblCat}上的几种模型结构.我们的模型结构有三个来源。我们首先转移到一个神经分支上。其次，我们把双范畴看作是{ \bf Cat}中的内部范畴，并把通过Grothendieck拓扑定义的各种内部等价作为我们的弱等价.第三，{ \bf DblCat}继承了一个模型结构，作为2-单子上的代数范畴。这些模型结构中的一些是一致的，不同的观点给我们提供了关于凝聚替换和凝聚对象的进一步结果。作为该计划的一部分，我们给出明确的描述和讨论的性质的自由双范畴，商双范畴，双范畴的colimits，几个神经，和水平范畴。
Simplicial and categorical comma categories
我们考虑四个类别：O上的小范畴的（逗号）范畴，O上的单纯集的（逗号）范畴，O上的神经上的单纯集的（逗号）范畴，O上的小范畴O上的小范畴的图范畴。弗里奇和Golasinski声称，这四个类别有等价的同伦类别，但事实上，他们的证明包含一个错误和同伦类别是不等价的弱等价，他们使用的逗号类别。本文证明了正确的弱等价是Latch定义的“弱纤维同伦等价”。我们还构造了NO上单纯集范畴的一个模型范畴结构，其中弱等价是弱纤维同伦等价。
A Giraud-type characterization of the simplicial categories associated to closed model categories as $\infty$-pretopoi
定理（根据Giraud，SGA 4）：假设$A$是单纯范畴。下列条件是等价的：（i）存在共纤生成的闭模型范畴$M$，使得$A$等价于Dwyer-Kan单纯局部化$L(M)$ ;（ii）$A$允许所有同伦小余极限，并且存在$A$ -small的$A$的对象的一个小子集，它们由同伦余极限生成$A$;（iii）存在小1-范畴$C$和将$C$的对象发送到$A$ -小对象的态射$g:C\to A$，这导致完全忠实包含$i:A\to \hat{C}$，使得$i$允许左同伦伴随$ψ$ .我们称满足这些等价条件的Segal范畴$A$为$\infty$ -pretopos.注意，（i）意味着$A$也允许所有同伦小极限。如果进一步存在如（iii）中的$C\to A$，使得伴随$ψ$保持有限同伦极限，则我们说$A$是"$\infty$ -拓扑“。
A groupoid is a small category in which all morphisms are isomorphisms. An inductive groupoid is a specialised groupoid whose object set is a regular biordered set and the morphisms admit a partial order. A normal category is a specialised small category whose object set is a strict preorder and the morphisms admit a factorisation property. A pair of `related' normal categories constitutes a cross-connection. Both inductive groupoids and cross-connections were identified by Nambooripad \cite{mem,cross} as categorical models of regular semigroups. We explore the inter-relationship between these…
Orbits of automorphism groups of partially ordered sets are not necessarily congruence classes, i.e. images of an order homomorphism. Based on so-called orbit categories a framework of factorisations and unfoldings is developed that preserves the antisymmetry of the order Relation. Finally some suggestions are given, how the orbit categories can be represented by simple directed and annotated graphs and annotated binary relations. These relations are reflexive, and, in many cases, they can be chosen to be antisymmetric. From these constructions arise different suggestions for fundamental syste…
The Grothendieck Construction and Gradings for Enriched Categories
Grothendieck构造是一个从小范畴图中形成单个范畴的过程。本文将Grothendieck构造的定义推广到满足一定条件的对称幺半范畴上的小范畴图。满足本文条件的对称幺半范畴包括交换环$k$上的$k$ -模范畴、链复形范畴、单纯集范畴、拓扑空间范畴和现代谱范畴。特别地，我们得到了[math/0312214]中轨道范畴构造的推广。我们还推广了分次范畴的概念，并证明了Grothendieck构造在分次范畴范畴中取值。本文定义的分次范畴不需要任何上积分解，推广了Lowen定义的小范畴所索引的线性分次范畴$k$.从分次范畴到oplax函子范畴有两种常用的构造函子的方法。其中一个是在[math/0312214，0807.4706，0905.3884]中定义和研究的$k$ -线性范畴的smash积结构，另一个是纤维函子。我们构造了这些函子的扩充，并证明了它们在适当的意义下是Grothendieck构造的“右伴随”。作为一个副产品，我们获得了一个新的简短的描述小丰富的类别。
Negative K-groups of abelian categories
证明了小阿贝尔范畴的负K-群是平凡的。
Completeness of quantaloid-enriched categories up to Morita equivalence
本文研究了在莫里塔等价下量化loid富集范畴的完备性，通过预设单子和张量性特征化 Q-范畴的 (co) 完备性。
We give an informal introduction to model categories, and treat three important examples in some details: the category of small categories, the category of dg algebras, and the category of small dg categories.
A Note on Homology over Functor Categories
我们知道，对于一个阿贝尔范畴$C$和小的$I$，函子范畴$C^I$又是阿贝尔的;因此我们可以在这样的范畴中做同调，并考察它如何与$C$本身的同调相联系。然而，似乎没有任何好的参考收集这些想法在一起。本文试图填补空白，显示同源性在$C^I$的行为，人们会期望。
Baues-Wirsching Cohomology and Svarc Genus in Small Categories
本文研究了小范畴间双纤维P的Baues-Wirsching上同调中杯积长度与同伦截面类别（Svarc genus）之间的关系，提出了一个计算高效的方法，并将经典的Svarc不等式扩展到范畴论的范畴。
Some remarks on groupoids and small categories
这篇未发表的笔记包含了我以前关于群胚和小范畴的研究笔记中的一些材料。它包含了一个证明的事实，即任何广群是一个群丛上的等价关系。此外，将定义范畴$G$对范畴$H$的作用以及所得到的半直积范畴$H\times_αG$（当$G$是广群或$H^{(0)} = G^{(0)}$时）.如果$G$和$H$都是类群，则$H\times_αG$也是类群。制作这张纸条的原因是为了让人们想检查李的近期作品中的一些细节。
Every small monoidal category with universal finite joins of central idempotents is monoidally equivalent to the category of global sections of a sheaf of local monoidal categories on a topological space. Every small stiff monoidal category monoidally embeds into such a category of global sections. An infinitary version of these theorems also holds in the spatial case. These representation results are functorial and subsume the Lambek-Moerdijk-Awodey sheaf representation for toposes, the Stone representation of Boolean algebras, and the Takahashi representation of Hilbert modules as continuous…
Morita equivalence of pointed fusion categories of small rank
我们将点融合类别C（G，$ω$）分类为1 < |G| < 32的Morita等价。其中着重讨论了|G| = 2 3、2 4和3 3的情况。虽然这类范畴的等价类不能用它们的Frobenius-Schur指标来区分，但它们的范畴Morita等价类可以用它们的Drinfeld中心的指标集和带状扭曲来区分。特别地，模数据对于模范畴Z（C（G，$ω$））是完全不变量，|G[< 32.我们使用计算机代数软件包GAP和本代码处理复值群上同调和计算Frobenius-Schur指标。
A Model Structure On The Category Of Small Acyclic Categories
本文证明了非循环范畴上的Quillen等价上纤维生成的模型结构，它的生成上纤维与生成非循环范畴上的Quillen等价上纤维生成的模型结构相同.为了理解梅森模型的结构，我们需要仔细研究单纯集范畴上的（重心）细分内函子。这个函子有一个著名的右伴随，称为Kan的Ex函子。对基本范畴进行两次细分，得到单纯集范畴和小范畴范畴之间的一个伴随的左伴随，其右伴随通过在范畴的神经上应用两次Ex函子给出。这种附加将单纯集上的共纤生成的Quillen模型结构提升为小范畴上的共纤生成的模型结构，即Quilason模型结构。生成集由Quillen模型结构的生成集在单纯集上的像在上述附加下给出。我们还证明了非循环范畴的范畴是适当的和组合的，就说模型结构。也就是说，弱等价对于沿着纤维化和上纤维化的推出表现得很好，并且上纤维化满足某些小性条件，这些条件允许我们使用集合而不是真类。
A Thomason Model Structure on the Category of Small n-fold Categories
我们在小n重范畴上构造了一个共纤维生成的Quillen模型结构，并证明了它与单纯集范畴上的标准模型结构是Quillen等价的.一个n重函子是一个弱等价当且仅当它的n重神经的对角线是单纯集的一个弱等价。这是一个n倍的模拟，以Quillen模型结构的猫。我们介绍了一个n倍的Grothendieck建设的多单集，并证明它是一个同伦逆的n倍神经。由此，我们完全证明了单纯集与n重范畴之间的连接的单位与可数是自然弱等价的。
A local-global principle for small triangulated categories
对具有交换诺特环作用的本质小三角化范畴T上的上同调函子范畴构造了局部上同调函子.这是用来建立一个局部-整体原则，并制定一个分层的概念，为T和上同调函子，类似于这样的概念，为紧生成的三角范畴。
Cometic functors for small concrete categories and an application
我们的目标是从内射映射和满射映射导出一些映射族，也称为函数;这在数学的各个领域都很有用。设A是一个具体的小范畴。本文定义了从A到范畴Set的函子F（Cometic函子）和从F到A到Set的包含函子的自然变换π（Cometic投影），使得每个单态A的F-象是内射，π的分支是满射。同时，我们给出了F和π的一个非平凡应用.
Evidential Decision Theory via Partial Markov Categories
本文引入部分马尔可夫范畴以编码带约束、观测和更新的随机过程，证明合成贝叶斯定理并定义观测句法部分理论，最终基于该范畴形式化证据决策理论并给出实现示例。
Reducing and Classifying Fiber Bundles over Small Categories
将小范畴上的纤维丛视为到小范畴范畴的局部常值函子，通过Grothendieck构造得到具有双纤维化投影的全范畴，并利用单值性分类纤维丛，证明规范群同构于单值子群的中心化子。
Cartesian modules over representations of small categories
本文在伪函子$R$上引入了从小范畴到小预加范畴范畴的Carnival模的新概念。当$R$是一个取值于交换环范畴的（严格）函子时，这种情况已经足以涵盖一个概型上模的拟凝聚层的经典构造。另一方面，我们的一般设置允许一个很好的理论逆变添加剂局部平坦函子，提供了一个几何意义的扩展克劳利-Boevey的表示定理。作为应用，我们联系和推广了一些关于概型的纯导出范畴的构造。
Thomason cohomology of categories
本文从单形范畴出发，引入了具有一般系数系的小范畴的上同调和同调论。这些理论同时推广了Baues-Wirsching上同调和同调以及其他更经典的理论。我们分析了这些理论的自然性和函性性质，并构造了小范畴之间函子的关联谱序列。
Classification spaces of maps in model categories
本文纠正了Dwyer-Kan的一篇论文中的一个小错误，并利用这个错误来识别具有某些Z字形范畴神经的模型范畴中的同伦函数复形。
Quantum modules
双代数有各种各样的推广到它们的“多对象”版本，如量子范畴，双代数胚和弱双代数。这些也可以被认为是小范畴的量子类似物。在本文中，我们研究这些结构上的模，它们是小范畴之间的原函子（也称为分配子）的量子模拟。
Fibrancy of Partial Model Categories
本文研究了小范畴上的类森模型结构的相容性条件。特别地，我们证明了部分模型范畴的弱等价范畴是不相容的。此外，我们描述连接到分数的演算。
The goal of this paper is to classify fusion categories $\otimes$-generated by a $K$-normal object (defined in this paper) of Frobenius-Perron dimension less than 2. This classification has recently become accessible due to a result of Morrison and Snyder, showing that any such category must be a cyclic extension of a category of adjoint $ADE$ type. Our main tools in this classification are the results of Etingof, Ostrik, and Nikshych, classifying cyclic extensions of a given category in terms of data computed from the Brauer-Picard group, and Drinfeld centre of that category, and the results …
A category of quantum categories
量子范畴是在[4]中作为双（余）代数胚和小范畴的推广而引入的。我们澄清了这项工作的细节。特别是，我们明确展示了如何一元定义的量子范畴解包到一组公理接近的定义的一个bialgebroid在霍普夫代数文献。我们定义了量子范畴的函子和自然变换的概念。
The elementary theory of the 2-category of small categories
本文给出了内部范畴2-范畴的基本描述，扩展了Bourke和Lawvere的刻画，引入了2-良点性、全子对象分类器等概念，并展示了生成族与正交分解系统的提升。
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