Expected Frobenius numbers
Iskander Aliev, Martin Henk, Aicke Hinrichs
我们表明，对于大的情况下，预期的Frobenius数的数量级是（一个常数，仅取决于尺寸）由其下界。
We show that for large instances the order of magnitude of the expected Frobenius number is (up to a constant depending only on the dimension) given by its lower bound.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Expected Value of High Powers of Trace of Frobenius of Biquadratic Curves Over a Finite Field
将$Θ_C$表示为有限域$\mathbb{F}_q$上的曲线$C$的Frobenius类。本文确定了当$q$固定且$g$趋于无穷大时，$C$遍历所有双二次曲线的Tr $(Θ_C^n)$的期望值.这扩展了工作所做的鲁德尼克和Chinis谁分别期待在超椭圆曲线和布库尔，科斯塔，大卫，Guerreiro和Lowry，杜达谁期待在$\ell$ -循环曲线，为$\ell$一个总理，以及立方非伽罗瓦曲线。
Lower Order Terms for Expected Value of Traces of Frobenius of a Family of Cyclic Covers of $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_q}$ and One-Level Densities
我们考虑$\mbox{Tr}(Θ_C^n)$的期望值，其中$C$在$r$的一个薄族上运行-对于任何$r$，$\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_q}$的循环覆盖。我们得到了许多依赖于$r$的因子的低阶项。我们使用这些结果来计算一级密度的家庭和假设一个完善的一级密度的结果。
The Frobenius number for sequences of triangular numbers associated with number of solutions
著名的线性丢番图问题的弗罗贝纽斯是问题，以确定最大的整数（弗罗贝纽斯数），其表示的数量方面的$a_1,\dots,a_k$是最多为零，这是不可表示的。换句话说，所有大于大于这个数的整数都可以用至少一种方式表示。这个问题的自然推广之一是找到最大的整数（广义Frobenius数），其表示数至多是给定的非负整数$p$。在两个变量的情况下，很容易找到这个数的显式形式。然而，即使在三个变量的任何特殊情况下，也没有明确的形式。本文成功地给出了三角数三元组的广义Frobenius数的显式表示。当$p=0$时，他们的弗罗贝纽斯数由Robles-Pérez和Rosales在2018年给出。
The Frobenius number for shifted geometric sequences associated with the number of solutions
本文给出了移位几何序列$\{a b^n-c\}_n$的$p$-Frobenius数的闭式公式，涵盖几何、Thabit和Mersenne序列及其变体，解决了$p>0$时广义Frobenius数公式缺失的问题。
Positive semigroups and generalized Frobenius numbers over totally real number fields
Frobenius问题及其许多推广在数学的许多领域都得到了广泛的研究。我们研究半群的全正代数整数在全实数域，定义类似的Frobenius数在这种情况下。我们使用的几何框架最近推出的阿利耶夫，德Loera和Louveaux产生上界这些Frobenius数在一定的高度函数。我们讨论了这个函数的一些性质，将它与绝对Weil高度联系起来，并得到了满足某些特殊条件的代数向量的Lehmer猜想的一个下界。我们还使用Borosh和Treybig的结果，以获得在这样的正半群的全实代数整数的表示的大小和有界高度的元素的数量的界限。
On the determination of $p$-Frobenius and related numbers using the $p$-Apéry set
本文利用p-Apéry集给出p-Frobenius数及相关值的显式公式，并推广加权和公式，从而系统化地求解广义Frobenius问题。
The $p$-Frobenius and $p$-Sylvester numbers for Fibonacci and Lucas triplets
本文研究了一类广义线性丢番图的Frobenius问题。设$a_1,a_2,\dots,a_l$是正整数，使得它们的最大公因数为1。对于非负整数$p$，用$g_p(a_1,a_2,\dots,a_l)$表示$p$ -Frobenius数，它是最大的整数，可以用$a_1,a_2,\dots,a_l$的非负整数系数的线性组合来表示。当$p=0$时，$0$ -Frobenius数是经典Frobenius数.当$l=2$，$p$ -Frobenius数显式给出时.然而，当$l=3$甚至更大时，即使在特殊情况下，也不容易明确地给出Frobenius数，当$p>0$时就更困难了，并且还没有已知的具体例子。然而，最近，我们已经成功地给出明确的公式的情况下，序列是三角形数或代表的情况下，$l=3$。本文给出了当$p>0$ .此外，我们还给出了$p$ -Sylvester数的一个显式公式，即能用至多$p$方式表示的非负整数的总数。此外，给出了关于卢卡斯三元组的显式公式.
Traces of High Powers of the Frobenius Class in the Moduli Space of Hyperelliptic Curves
有限域上的曲线$C$的Zeta函数可以用酉矩阵$Θ_C$的特征多项式表示。在Rudnick工作的基础上，我们计算了有限域$\mathbb{F}_q$上亏格为$g$的超椭圆曲线的模空间上的$\mbox{tr}(Θ_C^n)$在大亏格极限下的期望值.作为应用，我们计算了当亏格趋于无穷大时，$C$在$\mathbb{F}_{q^n}$中的点数的期望值。我们还研究了小值$n$的两个预期值的偏倚。
Frobenius problem and the covering radius of a lattice
令$N \geq2$和$1 < a_1 < ... < a_N$是互素整数。该$N$元组的Frobenius数被定义为不能表示为$\sum_{i=1}^N a_i x_i$的最大正整数，其中$x_1,...,x_N$是非负整数。$gcd(a_1,...,a_N)=1$表示该数存在的条件。在给定$N$和$a_1,...,a_N$的情况下，确定Frobenius数的一般问题是NP困难的，但是不同的作者对Frobenius数给出了许多不同的界限。我们使用的技术，从数的几何数字，以产生一个新的界限，有关Frobenius数的覆盖半径的零格的$N$元组。我们的界限是特别有趣的情况下，当这个格有相等的连续极小值，这，正如我们证明，发生无限频繁。
Frobenius numbers associated with Diophantine triples of $x^2+y^2=z^r$ (extended version)
本研究推导了与丢番图方程$x^2+y^2=z^r$相关三元组的$p$-Frobenius数显式公式，明确了其定义，补充了$r=2$时该数已有结论的背景，拓展了相关数论问题的研究结果。
Generalized Frobenius numbers: Bounds and average behavior
通过将s-Frobenius数与某个凸体关于某个格的所谓s-覆盖半径联系起来，给出了s-Frobenius数的新的上、下界，推广了R. Kannan表示经典的Frobenius数。使用这些界限，我们得到的结果的平均行为的s-Frobenius数，扩展类似的最近调查的经典Frobenius数的各种作者。我们还推导出的s-覆盖半径，一个有趣的几何量本身的界限。
An Extreme Family of Generalized Frobenius Numbers
我们研究了一个推广的\emph{Frobenius problem}：给定$k$正相对素数，什么是最大的整数$g_0$，不能表示为一个非负整数线性组合这些参数？更一般地说，恰好具有$s$这种表示的最大整数$g_s$是多少？我们说明了一个家庭的参数，Tripathi，其广义Frobenius数$g_0, \ g_1, \ g_2, ...$表现出不自然的跳跃，即$g_0, \ g_1, \ g_k, \ g_{\binom{k+1}{k-1}}, \ g_{\binom{k+2}{k-1}}, ...$形成一个等差数列，任何整数大于$g_{\binom{k+j}{k-1}}$至少有$\binom{k+j+1}{k-}$表示。在此过程中，我们引入了一个广义Frobenius数的变化，并证明了它的一些基本结果。
The Frobenius Problem for the Proth Numbers
本文定义了Proth数值半群$P_{k}(n)$，给出了其嵌入维数公式，并通过推导Frobenius数的闭式公式解决了该半群的Frobenius问题，同时证明了其满足Wilf性质。
Automated conjecturing of Frobenius numbers via grammatical evolution
在数论和组合数学中经常出现猜想公式和其他符号关系。如果我们能够自动化编程，我们不仅可以从加速中受益，还可以从发现以前无法掌握的编程中受益。语法进化是一种遗传编程技术，可用于数学中的自动编程。具体地说，本文描述了如何将Frobenius问题解释为符号回归问题，然后将语法进化应用于它，以这种方式，自动找到了特定四元组的Frobenius数的一些公式。给出了一个证明公式的格点枚举法证明简图。同样的方法可以很容易地用于其他问题，以加快和加强研究进程。
Some experimental results on the Frobenius problem
研究Frobenius问题：给定互素正整数$a_1,...,a_d$，求t（Frobenius数）的最大值，使得$\sum_{k=1}^d m_k a_k = t$在非负整数$m_1,...,m_d$中无解.基于经验数据，我们猜想，除某些特殊情况外，Frobenius数可以由$\sqrt{a_1 a_2 a_3}^{5/4} - a_1 - a_2 - a_3$从上有界.
The extended Frobenius problem for Fibonacci sequences incremented by a Fibonacci number
本文研究由斐波那契数列平移一个斐波那契数所得序列的扩展 Frobenius 问题，并证明相应数值半群族满足 Wilf 猜想。
The tree of irreducible numerical semigroups with fixed Frobenius number
本文给出了一种构造具有固定Frobenius数的不可约数值半群集的方法。构造给出了这个集合的一个有根树结构。此外，通过使用Kunz坐标向量的概念，我们将寻找这样的树的问题转化为操作具有与Frobenius数一样多的分量的0-1向量的问题。
The Frobenius problem for four numerical semigroups
不属于数值半群$S$的最大整数称为$S$的Frobenius数，找到Frobenius数称为Frobenius问题。本文引入了由Thabit数基b生成的数值半群的Frobenius问题和由Thabit数半群的Frobenius问题所激发的第二类基b的Thabit数.同时，我们还介绍了由Cunningham数和费马数基$b$生成的数值半群的Frobenius问题
The Parametric Frobenius Problem
给定互素的正整数a_1，.，a_n，Frobenius数是不能写成a_i的非负整数组合的最大整数。我们研究这个问题的参数版本：给定a_i=a_i（t）作为t的函数，计算作为t的函数的Frobenius数。一个函数f是拟多项式，如果存在一个周期m和多项式f_0，.，f_{m-1}使得对于所有正整数t，f（t）= f_{t mod m}（t）。我们猜想，如果a_i（t）是关于t的多项式（或拟多项式），那么对于足够大的t，Frobenius数与拟多项式一致。我们在a_i（t）是线性函数的情况下证明了这一点，并且在n（生成元个数）至多为3的情况下也证明了这一点。
The Frobenius number for sequences of triangular and tetrahedral numbers
我们计算Frobenius数的三角形和四面体数的序列。此外，我们还研究了与这些序列相关的数值半群的一些性质。
A Combinatorial Approach to Frobenius Numbers of Some Special Sequences (Complete Version)
本文提出一种新的组合方法来解决弗罗贝尼乌斯问题，通过将问题转化为更易处理的优化问题，推导出弗罗贝尼乌斯数、赛尔伯格数和赛尔伯格和的公式。
A note on the new q-extension of Frobenius-Euler numbers and polynomials
本文考虑Frobenius-欧拉数和多项式的新q-扩张，并利用Frobenius-欧拉多项式的新q-扩张的正交性性质得到了一些有趣的恒等式.最后，我们提出了一个公开的问题有关的正交多项式。
Bounds on generalized Frobenius numbers
令$N \geq 2$和$1 < a_1 < ... < a_N$是互素整数。该$N$元组的Frobenius数被定义为没有$\sum_{i=1}^N a_i x_i$表示的最大正整数，其中$x_1,...,x_N$是非负整数。更一般地说，$s$ -Frobenius数被定义为最大的正整数，它具有精确的$s$不同的表示。我们使用的技术，从数的几何号码给上界和下界的$s$ -Frobenius数的任何非负整数$s$。
The mean value of Frobenius numbers with three arguments
本文证明了三个自变量的Frobenius数均值的一个渐近公式。为了证明这一点，我们使用了A. Ustinov，Rodseth算法给出了指数和的界.
Limiting Distribution of Frobenius Numbers for $n=3$
本文的目的是给出J. Bourgain和Ya早期工作中概述的大Frobenius数的极限分布的完整推导。西奈和填补一些空白制定有作为假设。
Integer Knapsacks: Average Behavior of the Frobenius Numbers
本文的主要结果表明，平均Frobenius数的渐近增长明显慢于最大Frobenius数的增长。
Exact properties of Frobenius numbers and fraction of the symmetric semigroups in the weak limit for n=3
推广并证明了V.Arnold关于Frobenius数奇偶性的一个假设.对于具有三个Frobenius数生成元的对称半群，我们得到了一个精确公式，它在某种意义上是两个Sylvester公式之和.证明了对称半群的分式在弱极限中为零。
Weighted Sylvester sums on the Frobenius set in more variables
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。令${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$表示不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的正整数集合。最大不可表示整数$\max{\rm NR}$、不可表示正整数个数$\sum_{n\in{\rm NR}}1$、不可表示正整数和$\sum_{n\in{\rm NR}}n$与著名的Frobenius问题有关，长期以来一直被广泛研究.本文利用欧拉数给出了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}}λ^{n}n^μ$的计算公式，其中$μ$非负整数，$λ$是复数.我们还研究了不可表示数的幂和三个变量的一些公式。几个例子说明和支持我们的结果。
The Frobenius problem for shifted square sequences
本文解决了以4的倍数开头的移位平方序列的Frobenius问题，即找到不属于该数值半群的最大整数。
A note on the Frobenius-Euler numbers and polynomials associated with Bernstein polynomials
本文讨论了伯恩斯坦多项式和Frobenius-欧拉数及多项式。我们应用Zp上的生成函数和费米子p-adic整表示的方法，导出了更多的伯恩斯坦多项式和Frobenius-欧拉数及多项式.更精确地说，我们将所得结果概括如下，得到了Frobenius-欧拉数与多项式之间的一些组合关系。进一步，我们得到了Zp上n次伯恩斯坦多项式的整表示.同时，我们还导出了不同次数n1，n2，.的乘积伯恩斯坦多项式的费米子p-adic整表示.并表明它可以用Frobenius-欧拉数来写，从而更深入地了解这种类型的推广的有效性。我们的应用程序具有一些有趣的属性，我们在本文中的状态。
On the Frobenius number for three variables
本文解决了三个变量弗罗贝尼乌斯数公式中的不一致问题，提供了更准确的计算方法。
Counting Frobenius Pseudoprimes
本研究将Frobenius伪素数计数从一、二次情形推广到任意次数，给出Grantham Frobenius素性检验的伪证数计数公式，以及Frobenius伪素数平均数量的条件渐近上下界。
On the Frobenius Number and Genus of a Collection of Semigroups Generalizing Repunit Numerical Semigroups
本文研究了特定数数半群的弗罗贝尼乌斯数和亏格，提出d可为负整数的新方法，并针对特殊情形如梅森、塔比特和雷努特数数半群给出简化公式，部分解决了普罗思数数半群的开放问题。
Frobenius numbers of Pythagorean triples
给定互素整数$a_1, \dotsc, a_n$，Frobenius数$g(a_1, \dotsc, a_n)$定义为不能表示为$x_1 a_1 + \dotsb + x_n a_n$且$x_i$为非负整数的最大整数.本文给出了本原毕达哥拉斯三元组的Frobenius数。即，\[ g(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) = (m-1)(m^2-n^2) + (m-1)(2mn) - (m^2 + n^2). \]
On a Generalization of the Frobenius Number
我们考虑一个推广的Frobenius问题，其中感兴趣的对象是最大的整数，它具有确切的$j$表示的正互素整数的集合。我们证明了一个类似的一个定理的布劳尔和肖克利，并显示它可以用于计算。
The Frobenius problem, rational polytopes, and Fourier-Dedekind Sums
本文研究了有理多胞形$P = (x_1,...,x_n) \in \R_{\geq 0}^n : \sum_{k=1}^n x_k a_k \leq 1$的整数扩张中的格点数，其中$a_1,...,a_n$为正整数.这个多面体与弗罗贝纽斯的线性丢番图问题密切相关：给定互素正整数$a_1,...,a_n$，找到t（弗罗贝纽斯数）的最大值，使得$m_1 a_1 + ... + m_n a_n = t$在正整数$m_1,...,m_n$中没有解。这等同于找到最大扩张tP使得小平面$\sum_{k=1}^n x_k a_k = t$不包含晶格点的问题。本文给出了计算P的Ehrhart拟多项式的两种方法，即计算扩张多胞形及其内部的整数点。在计算中，出现了类似戴德金的有限傅立叶和。我们得到了这些款项的倒易律，推广了Gessel定理。作为我们的公式的推论，我们重新推导Zagier的高维Dedekind和的互易定律。最后，我们找到了Fourier-Dedekind和的界，并利用它们给出了Frobenius数的新界。
On a conjecture of Wilf about the Frobenius number
给定互质正整数$a_1 < ...< a_d$，Frobenius数$F$是不能表示为$a_i$的非负整数组合的最大整数.令$g$表示所有不可表示的正整数的个数：Wilf证明了$d \geq \frac{F+1}{F+1-g}$。我们证明，对于每一个固定值的$\lceil \frac{a_1}{d} \rceil$的猜想成立的所有值的$a_1$是足够大的，是不是整除由一个有限的素数集。我们还提出了一个推广的上下文中的一维局部环和一个问题的平等$d = \frac{F+1}{F+1-g}$。
Frobenius Numbers and Automatic Sequences
具有$\gcd 1$的非负整数集合$S$的Frobenius数$g(S)$是不能表示为$S$的元素的线性组合的最大整数。给定序列${\bf s} = (s_i)_{i \geq 0}$，我们可以定义相关序列$G_{\bf s} (i) = g(\{ s_i,s_{i+1},\ldots \})$。在本文中，我们计算$G_{\bf s} (i)$的一些经典的自动序列：邪恶的号码，可憎的号码，和上下Wythoff序列。与通常的方法相比，我们的证明主要是基于自动机理论和逻辑。
The polynomial part of a restricted partition function related to the Frobenius problem
给定一组正整数A = {a_1，.，a_n}，研究了方程组的非负整数解（m_1，.，m_n）到m_1a_1 + ... m_n a_n = t.我们导出了p_A的多项式部分的一个显式公式。
On the Frobenius fields of abelian varieties over number fields
研究数字段上非CM简单阿贝尔簇的弗罗贝尼乌斯域性质，证明满足特定条件的数域地方集的上狄利克雷密度为零，并在GRH假设下给出计数的幂次改进上界。
A New Algorithm for Computing the Frobenius Number
本文提出了一种计算 Frobenius 数的新算法，并给出了该算法的序列形式。
A semilattice structure for the set of numerical semigroups with fixed Frobenius number
给出了一个计算具有给定Frobenius数F，S（F）的数值半群的方法.该方法基于S（F）的一个同余关系的划分的构造。我们确定在每个类的关系，一个不可约和一个齐次数值半群，并从这两个元素，我们重建整个类。提出了一种更有效的方法，该方法基于S（F）中元素的Kunz坐标向量的使用。
Average Frobenius distribution for the degree two primes of a number field
设$K$为数字字段，$r$为整数。给定定义在$K$上的椭圆曲线$E$，考虑Frobenius迹等于$r$的$K$的二次素理想的个数问题.在$K$的某些限制下，我们证明了“平均”这样的素理想的范数小于或等于$x$的数量满足一个渐近恒等式，这是按照标准的代数。这项工作涉及到经典的Lang-Trotter猜想，并扩展了几位作者的工作。
The Frobenius number corresponding to the squares of three consecutive Fibonacci numbers: comparison of three algorithmic processes
本文针对三个连续斐波那契数平方生成的数值半群，计算其Frobenius数，并比较Ramírez Alfonsín-Rødseth、Rosales-García-Sánchez和Tripathi三种算法过程的效果。
Unbounded discrepancy in Frobenius numbers
令g_j表示最大整数，该最大整数精确地表示为{ x_1，..的非负整数线性组合j次。，x_n。我们证明，对于任何k > 0且n = 5，量g_0 - g_k是无界的。此外，我们提供了g_0 > g_k（n >= 6）和g_0 > g_1（n >= 4）的例子。
Minimal relations and the Diophantine Frobenius Problem in embedding dimension three
本文给出了由三个两两互质正整数极小生成的数值半群的极小关系和Frobenius数的一个公式。
A Graphical Approach to the Frobenius Number Problem in Three Variables
本文提出一种图形化方法，通过分析与直线ax+by=ab及其平移相关的格点来求解三变量Frobenius数，将算术问题转化为定位格点并求值的简单任务，并推导出比已知结果更简洁的一般公式。
Frobenius transformation, mirror map and instanton numbers
证明了中维Calabi-Yau上同调的Frobenius变换可以用镜像映射和瞬子数三重表示。我们用p-adic上同调的Frobenius变换来表示镜像映射。讨论了Gopakumar-Vafa不变量的完整性猜想的$p$ -adic解释.
The Frobenius problem for Numerical Semigroups generated by binomial coefficients
本文研究由二项式系数生成的数值半群的Frobenius问题，给出其求解结果，同时得到二项式系数的非平凡恒等式，并将结论与整数的$(s,s+1,s+p)$-core分拆理论建立关联。
Sylvester sums on the Frobenius set in arithmetic progression with initial gaps
本文针对具有初始间隙的等差数列，给出了不可表示正整数之和（Sylvester和）、Frobenius数及不可表示正整数个数的显式公式。
Evaluating the Sharpness and Limitations of Bounds on the Frobenius Number
本文针对 Frobenius 数，结合理论分析与 Monte Carlo 模拟比较多种上界，并证明不存在最坏情形指数严格低于二次的一般上界。
Sums of triangular numbers from the Frobenius determinant
我们表明，分母公式的奇怪系列的仿射超代数，由卡茨和Wakimoto，证明了Zagier，从一个经典的行列式评价Frobenius。作为极限情况，我们得到了任意数表示为4m^2/d个三角形之和（当d整除2 m时）和4 m（m+1）/d个三角形之和（当d整除2 m或d整除2 m +2时）的精确公式。这扩展了Getz和Mahlburg，Milne和Zagier最近的结果。
On the limit distribution of Frobenius numbers
具有正互质系数的整数向量a的Frobenius数g（a）被定义为不具有作为a的系数的非负整数线性组合的表示的最大整数。根据Marklof最近的一个结果，如果a在扩展的d维区域D中是随机的，那么g（a）（适当地重新标度）具有极限分布。在本文中，我们证明了这个极限分布的（代数）尾部行为的渐近公式。我们还证明了Frobenius数大的概率的相应上界关于区域D的扩张因子一致成立。最后，我们证明了，对于大的d，极限分布几乎所有的质量集中在一个相当短的时间间隔。所涉及的技术证明来自数的几何，特别是我们使用施密特的结果分布的子格Z^m，和界限罗杰斯和施密特的格覆盖空间的凸体。
The extended Frobenius problem for Lucas series incremented by a Lucas number
本文研究了增加一个Lucas数的Lucas序列的扩展Frobenius问题，并证明了与这些序列相关的数值半群族满足Wilf猜想。
Sufficient conditions for solvability of linear Diophantine equations, and Frobenius numbers
本文研究了线性丢番图方程可解性的充分条件，并提出了新的递推方法来计算弗罗贝尼乌斯数。
Counting extensions of number fields with Frobenius Galois group
设$G$是具有交换Frobenius核$F$的Frobenius群，$k$是$\mathbb{Q}$的有限扩张.我们得到了具有伽罗瓦群$G$的$|F|$代数扩张$K/k$的次数的一个上界，其判别式$\mathcal{N}_{k/\mathbb{Q}}(d_{K/k})$的范数由$X$上界.我们将此方法推广到任何具有阿贝尔正规子群的群$G$。若$G$有一个阿贝尔正规子群，则我们得到了判别式范数有界的伽罗瓦群$G$的$|G|$扩张次数的上界.马勒提出了一个猜想，这个数量的数量级应该是什么程度的扩展$d$和基础伽罗瓦群$G$变化。我们表明，根据$\ell$ -扭转猜想，上界，我们实现了某些对$d$和$G$同意与预测的Malle。无条件地证明了伽罗瓦群$A_4$的6次扩张数的上界也满足Malle的弱猜想.
Integral Frobenius for Abelian Varieties with Real Multiplication
本文引入了$\mathit{integral}$ $\mathit{Frobenius}$的概念，将数域上由阿贝尔簇产生的有理Tate模的集合$V_λ(A)$与实数乘法联系起来，给出了经典相容条件的积分模拟.我们的主要结果给出了一个配方，用于构建一个完整的Frobenius时，真正的乘法领域有类数1。通过利用已有的算法在文献中，我们调查这种结构的三个模块交换表面上$\mathbf{Q}$。
On the Solutions of Three Variable Frobenius Related Problems Using Order Reduction Approach
本文提出了一种确定三变量Frobenius相关问题解的个数并利用降阶法求解的新方法。在这里，弗罗贝纽斯相关问题的阶意味着问题中出现的变量的数量。我们提出了两种类型的降阶方法，可以应用于问题的所有非负解的三个变量Frobenius相关的问题。第一种方法是将三变量Frobenius相关问题的三阶方程化为两个固定变量的方程组。第二种方法是将三阶方程化为三个二阶方程，并设计了一个算法，同时留下一个有趣的解的公开问题作为猜想。
Generalized Frobenius Number of Three Variables
本文针对满足特定条件的三元正整数，给出了广义 Frobenius 数的计算公式，该数定义为至多具有 $s$ 种非负整数表示的最大整数。
Commutative algebra and the linear diophantine problem of Frobenius
设$A$是互素正整数的有限集合，$S(A)$是$A$中元素的所有非负整数线性组合的集合.集合$S(A)$是一个包含所有充分大整数的半群。不在$S(A)$中的最大整数是$A$的Frobenius数，不在$S(A)$中的正整数的个数是$A$的亏格。Sharp和Sylvester在1884年证明了集合$A = \{a,b\}$的Frobenius数是$ab-a-b$，而$A$的亏格是$(a-1)(b-1)/2$。利用分次环和Hilbert合冲定理的一个简单形式给出了这个结果的一个交换代数证明。
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