Asymptotics of Polynomials Orthogonal with respect to a Logarithmic Weight
本文计算了在$(-1,1)$，$k > 1$上关于对数权$w(x){\rm d}x = \log \frac{2k}{1-x}{\rm d}x$正交多项式的递推系数的渐近性质，并验证了A.&这些系数的Magnus。我们使用Riemann-Hilbert/最速下降法，但不是标准的方法，因为在$x=1$的对数奇点附近没有已知的黎曼-希尔伯特问题的参数。
2018-06-12 math.CA math.CV
The non-linear steepest descent approach to the singular asymptotics of the sinh-Gordon reduction of the Painlevé III equation
受tt*-Toda方程最简单情形启发，研究人员采用非线性最速下降法，通过Riemann-Hilbert问题的单值化数据参数化解，得到sinh-Gordon型Painlevé III（$D_6$）方程实解在原点与无穷远行为的连接公式。
2024-10-29 math-ph math.CA math.MP
On the Riemann-Hilbert approach to asymptotics of tronquée solutions of Painlevé I
本文利用Riemann-Hilbert方法与最速下降法，通过构造含互补误差函数的局部参数化子，给出Painlevé I方程tronquée解超出庞加莱展开的非微扰贡献细节。
2023-06-25 math.CA math.CV
The dbar steepest descent method and the asymptotic behavior of polynomials orthogonal on the unit circle with fixed and exponentially varying nonanalytic weights
本文发展了一种分析矩阵黎曼-希尔伯特问题的新的渐近方法。我们的方法是由Deift和Zhou首先提出的最速下降方法的推广;然而，我们的方法系统地处理不需要解析的跳跃矩阵。基本的技术是引入非解析扩展的某些功能出现在跳转矩阵，并因此转换为一个dbar问题的黎曼-希尔伯特问题。我们使用我们的方法来研究几个关于单位圆上给定的测度正交多项式的渐近问题，获得新的详细的一致收敛性结果，并为某些类的非解析权重，完整的信息的渐近行为的个人零点。
2004-06-23 math.CA math.CV
The matching condition for larger size Riemann-Hilbert problems
在较大规模的黎曼-希尔伯特问题中，局部参数与全局参数的匹配往往是一个主要问题。在这篇文章中，我们提出了一个结果，应该在自然情况下解决这个问题。我们证明，在一般的设置，它是可能的，以获得一个双重匹配，也就是说，一个匹配条件，而不是一个圆的两个圆。我们讨论了如何匹配的方法可以用来获得当地的相关内核的缩放限制，并将我们的结果从现有的文献中的几个例子。
2019-11-04 math.CA
A priori $L^p$ estimates for solutions of Riemann-Hilbert Problems
作者使用最速下降的思想，以获得一个先验$L^p$估计的解决方案的黎曼-希尔伯特问题。这样的估计发挥了至关重要的作用，特别是在分析的扰动非线性薛定谔方程的解决方案的长期行为的线。
2002-06-21 math.CA math.FA
The local universality of Muttalib-Borodin ensembles when the parameter $θ$ is the reciprocal of an integer
Muttalib-Borodin系综是正实轴上的$n$粒子的概率密度函数，其取决于参数$θ$和权重$w$。我们考虑一个变化的指数权重，取决于一个外部字段$V$。在最近的一篇文章中，发现了$θ=\frac{1}{2}$在硬边缘处关联相关核的大$n$行为，其中对$V$施加的限制很少。在本文中，我们推广了本文的技巧和结果，以获得类似的结果$θ=\frac{1}{r}$，其中$r$是一个正整数。该方法是将系综与具有$r$权重的II型多个正交多项式系综相关，然后可以将其与$(r+1)\times (r+1)$ Riemann-Hilbert问题相关。利用Meijer G-函数构造原点附近的局部参数。我们匹配的局部参数与全局参数的原点周围的双重匹配，最近推出的技术。
2020-03-25 math.CA
A nonlinear stationary phase method for oscillatory Riemann-Hilbert problems
研究了AKNS族可积非线性偏微分方程中振动黎曼-希尔伯特问题的渐近性态。我们的方法是基于Deift-Zhou非线性最速下降法，其中给定的黎曼-希尔伯特问题局部化到小邻域的稳定相点。在他们最初的工作中，Deift和Zhou只考虑了解析相函数。随后，Varzugin将Deift-Zhou方法扩展到某个受限制的非解析相函数类。在本文中，我们将Varzugin的方法扩展到更一般的非解析相函数类。在我们的工作中，实变量方法起着关键作用。
2010-08-12 math-ph math.AP math.CA
Double scaling limit for modified Jacobi-Angelesco polynomials
我们考虑了在接触区间[a，0]和[0，1]上关于两个修改的Jacobi权的多个正交多项式，其中a < 0，并研究了在a =-1处发生的过渡。在双标度极限下研究了这种转变，其中我们让多项式的次数n趋于无穷大，而参数a以O（n^{-1/2}）的速度趋于-1。我们得到了一个Mehler-Heine型渐近公式的多项式在这个政权。用于分析问题的方法是黎曼-希尔伯特问题的最速下降法。分析中的一个关键点是构造一个新的局部参数。
2011-02-07 math.CA
Riemann-Hilbert analysis for a Nikishin system
本文给出了具有两个不相交区间的二阶Nikishin系统的I型多重正交多项式的渐近性态。利用多个正交多项式的Riemann-Hilbert问题和振荡黎曼-希尔伯特问题的最速下降分析，得到了该问题在复平面所有相关区域的渐近性态.
2018-05-14 math.CA
The dbar steepest descent method for orthogonal polynomials on the real line with varying weights
我们得到Plancherel-Rotach型渐近有效的复平面上的所有区域的正交多项式的形式$e^{-NV(x)}$在实数线上的变化的重量，假设$V$只有两个Lipschitz连续导数和相应的平衡测度具有典型的支持特性。作为应用，我们推广了酉不变埃尔米特随机矩阵理论中特征值统计量的体渐近和边渐近的普适类。我们的方法涉及到开发一种新的技术，矩阵黎曼-希尔伯特问题的渐近分析与非解析的跳跃矩阵适合于分析这样的问题，甚至附近的过渡点的解决方案从振荡到指数行为的变化。
2008-05-14 math.CA math.PR
The Riemann-Hilbert approach to strong asymptotics for orthogonal polynomials on [-1,1]
我们考虑的多项式是正交的$[-1,1]$关于修改的Jacobi重量$(1-x)^α(1+x)^βh(x)$，与$α,β>-1$和$h$实解析和严格正的$[-1,1]$。我们得到充分的渐近展开的一元和正交多项式的间隔$[-1,1]$外，递归系数和首项系数的正交多项式。我们还推导出Hankel行列式的渐近行为。对于渐近分析，我们使用Deift和周开发的黎曼-希尔伯特问题的最速下降技术，并应用于Deift，Kriecherbauer，McLaughlin，Venakides和周的实直线上的正交多项式。在最速下降法中，我们将使用与权重相关的SzegIgn函数，对于端点$\pm 1$周围的局部分析，我们使用适当阶的Bessel函数，而Deift等人使用Airy函数。
2003-09-01 math.CA math.CV
A Riemann-Hilbert Approach to Asymptotic Analysis of Toeplitz+Hankel Determinants II
本文扩展了Riemann-Hilbert形式体系，将非恒等符号的Toeplitz+Hankel行列式渐近分析推广至更广泛的卷绕数配置，并计算了特定卷绕数下正交多项式系统范数的渐近行为。
2025-09-15 math-ph math.CA math.MP
Painleve IV asymptotics for orthogonal polynomials with respect to a modified Laguerre weight
我们研究的多项式是正交的修改拉盖尔重量$z^{-n + ν} e^{-Nz} (z-1)^{2b}$的限制，其中$n, N \to \infty$与$N/n \to 1$和$ν$是一个固定的数字在$\mathbb{R} \setminus \mathbb{N}_0$。在因子$(z-1)^{2b}$的作用下，临界点附近的局部参数$z =1$可以用与Painleve IV方程相联系的$Ψ$ -函数来构造.我们证明了正交多项式的递推系数的渐近性可以用Painleve IV方程在双标度极限下的指定解来描述。我们的方法是基于与正交多项式相关的Riemann-Hilbert问题的Deift/Zhou最速下降分析。
2008-07-08 math.CA math.CV
Universal behavior for averages of characteristic polynomials at the origin of the spectrum
Strahov和Fyodorov已经证明，对应于酉系综的厄米矩阵的特征多项式的乘积和比的平均值涉及与正交多项式及其柯西变换相关的核。我们将证明，对于$n\times n$厄米矩阵的酉系综$\frac{1}{\hat Z_n}|\det M|^{2α}e^{-nV(M)}dM$，这些内核在谱的原点具有通用行为，如$n\to\infty$，根据贝塞尔函数。我们的方法是基于正交多项式的表征连同他们的柯西变换通过矩阵黎曼-希尔伯特问题，由于Fokas，其和Kitaev，并在Deift/周最速下降法矩阵黎曼-希尔伯特问题的应用程序，以获得黎曼-希尔伯特问题的渐近行为。
2003-06-30 math-ph math.CA math.MP
Szego polynomials: a view from the Riemann-Hilbert window
这是在会议上给出的演讲的扩展版本“建设性功能技术-04”。综述了关于解析权的单位圆上正交多项式的正则表示和渐近性态的一些最新结果。这些结果是使用基于这些多项式的Riemann-Hilbert特征的最速下降方法获得的。
2006-01-03 math.CA math.CV
A vector Riemann-Hilbert approach to the Muttalib-Borodin ensembles
本文考虑Laguerre型的Muttalib-Borodin系综，它是$[0,\infty)$上的一个决定点过程，它依赖于变权$x^αe^{-nV(x)}$，$α>-1$和一个参数$θ$ .对于$θ$是一个正整数，我们得到了相关的双正交多项式的渐近附近的原点为$n\to \infty$的一大类势函数$V$。这进一步使我们能够建立相关核的硬边缘缩放极限，这是以前只知道在特殊情况下，并证明是普遍的。我们的证明是基于Deift/Zhou非线性最速下降分析的两个$1 \times 2$向量值黎曼-希尔伯特问题的特征的双正交多项式和显式结构的$(θ+1)\times(θ+1)$局部参数在原点附近的Meijer G-函数。
2021-12-30 math-ph math.CA math.MP
Global Asymptotics of the Meixner Polynomials
利用Deift和Zhou [Ann. Math. { \bf 137}（1993），295-368]提出的振荡黎曼-希尔伯特问题的最速下降法，我们导出了Meixner多项式在复平面上由矩形边界分隔的两个区域中的渐近公式。通过取内、外极限，得到了矩形边界的渐近公式。我们的结果与早先用积分的最速下降方法对正实直线上的$z$得到的结果一致。约{ \bf 14}（1998），113-150]。
2011-01-23 math.CA
Transitions between critical kernels: from the tacnode kernel and critical kernel in the two-matrix model to the Pearcey kernel
本文研究了两种多临界相关核，证明了它们在一定的双标度极限下收敛于Pearcey核。第一个核出现在一个不相交的布朗运动在tacnode模型。第二个问题出现在具有四次/二次势的Hermitian双矩阵模型中，表现为特征值相关核的三重标度极限。这两个核是不同的，但可以表示为相同的tacnode黎曼-希尔伯特问题。证明是基于这个黎曼-希尔伯特问题的最速下降分析。在分析中的一个特殊功能是引入一个明确的亚纯函数的黎曼曲面上指定的片结构。
2012-08-03 math-ph math.CA math.MP
Strong Asymptotics for a 3x3 Riemann-Hilbert Problem in a Regular Hard-Soft Two-Edge Regime
本文研究了3x3矩阵黎曼-希尔伯特问题在正则双边regime中的强渐进行为，通过解析方法获得端点附近的渐近展开，并给出了误差界。
2026-02-06 math.CA
The asymptotic expansion of a sum appearing in an approximate functional equation for the riemann zeta function
一个表示的黎曼ζ函数有效的任意复杂$s=σ+it$是$ζ(s)=\sum_{n=0}^\infty A(n,s)$，其中\[A(n,s)=\frac{2^{-n-1}}{1-2^{1-s}} \sum_{k=0}^n \left(\!\begin{array}{c}n\\k\end{array}\!\right) \frac{(-)^k}{(k+1)^s}.\]在这篇文章中，我们研究的渐近$A(n,s)$作为$n\to\infty$时，$t=an$，其中$a>0$是一个固定的参数，通过应用的方法最陡下降到一个积分表示。数值结果说明了所得到的扩展的准确性。
2021-06-02 math.CA
Connection formulae for the radial Toda equations I
本文研究 $A_n$ 型二维周期 Toda 方程径向解的全局渐近行为，通过融合 PDE 分析与 Riemann-Hilbert 非线性最速下降法，在 $n=2$（秩 3）情形下建立了零点和无穷远处渐近参数之间的连接公式。
2025-02-06 math-ph math.CA math.MP
Asymptotic behavior and zero distribution of polynomials orthogonal with respect to Bessel functions
我们考虑多项式$P_n$关于$[0,\infty)$上的权重$J_ν$正交，其中$J_ν$是阶为$ν$的贝塞尔函数。Asheim和Huybrechs认为这些多项式与复高斯正交振荡积分。他们观察到零是复数，并在垂直线$\textrm{Re}\, z = \frac{νπ}{2}$附近积累为$n \to \infty$。我们证明这一事实的情况下$0 \leq ν\leq 1/2$从强渐近公式，我们推导出多项式$P_n$在复平面。我们的主要工具是正交多项式的黎曼-希尔伯特问题，适当修改，以涵盖目前的情况，和Deift-Zhou最速下降法。工作的一个主要部分是致力于建设一个本地参数的起源，我们给出了一个存在性证明，只适用于$ν\leq 1/2$。
2014-06-04 math.CA math.CV
The existence of a real pole-free solution of the fourth order analogue of the Painleve I equation
本文证明了Painleve I方程的四阶类似方程x=Ty-（{1/6}y^3+{1/24}（y_x^2+2 yy_{xx}）+{1/240} y_{xxxx}）在实直线上无极点的实解y（x，T）的存在性.这证明了Dubrovin提出的一个猜想的存在部分。我们得到我们的结果证明了相关的黎曼-希尔伯特问题的可解性，通过消失引理的方法。此外，通过对Riemann-Hilbert问题应用Deift/Zhou最速下降法，我们得到了y（x，T）的渐近解为x \to \pm \infty .
2006-04-20 math-ph math.CA math.CV
Asymptotics of orthogonal polynomials and the Painlevé transcendents
本文综述了与Painlevé超越有关的几类正交多项式的渐近结果。它们是用Deift-Zhou的非线性最速下降法解黎曼-希尔伯特问题得到的。在本文的最后一部分，我们列出了几个开放的问题。
2016-09-14 math.CA
Strong asymptotics of Laguerre-type orthogonal polynomials and applications in random matrix theory
我们考虑关于Laguerre型权值$w(x)=x^αe^{-Q(x)}$在$[0,\infty)$上正交的多项式，其中$α>-1$和其中$Q$表示具有正首项系数的多项式。本文的主要目的是确定关于$w$的标准正交多项式在整个复平面上的Plancherel-Rotach型渐近性，以及相应的递归系数和标准正交多项式的首项系数的渐近性。作为一个应用，我们将使用这些渐近证明随机矩阵理论的普遍性结果。我们将通过使用正交多项式通过一个$2\times 2$矩阵值黎曼-希尔伯特问题的特征，由于Fokas，Its和Kitaev，连同Deift-Zhou最速下降法的应用程序来分析黎曼-希尔伯特问题渐近证明我们的结果。
2005-08-29 math-ph math.CA math.MP
Quadratic Hermite-Pade approximation to the exponential function: a Riemann-Hilbert approach
研究了n次多项式p，q，r对指数函数的第一类Hermite-Pade逼近的渐近性态，定义为p（z）e^{-z}+q（z）+r（z）e^{z} = O（z^{3 n +2}）当z -> 0时.这些多项式的特点是一个黎曼-希尔伯特问题的3 × 3矩阵值的功能。利用Deift-Zhou最速下降法求解黎曼-希尔伯特问题，得到了尺度多项式p（3 nz），q（3 nz）和r（3 nz）在复平面上的强一致渐近性.一个重要的作用是由一个三层黎曼曲面和某些措施和功能从它派生。我们的工作补充了最近的结果赫伯特斯塔尔。
2003-02-28 math.CA math.CV
Riemann-Hilbert Characterisation of Rational Functions with a General Distribution of Poles on the Extended Real Line Orthogonal with Respect to Varying Exponential Weights: Multi-Point Padé Approximants and Asymptotics
给定$K$任意极点，这既不一定是独特的，也不一定有界的，在扩展的实数线上，一个相应的有序基地的有理函数正交相对于不同的指数权重构造：这产生了一个$K$倍家庭的正交有理函数（ORF）。将ORF问题刻画为扩展实直线上的一族$K$矩阵黎曼-希尔伯特问题（RHP），并构造了相应的一族含有奇点外场的$K$能量最小化（变分）问题，建立了相应的一族平衡测度的存在性、唯一性和正则性. $K$平衡测度的家庭是用来推导一个家庭的$K$模型矩阵RHP的扩展的实数线，是服从渐近分析通过Deift-Zhou非线性最速下降法：这是用来推导一致的渐近性，在一定的双标度限制，ORF和他们的首项系数，以及相关的，重要的对象，在整个复平面。给出了一类Markov-斯蒂尔切斯变换的$K$多点Padé逼近（MPA），并在一定的双尺度极限下，得到了相应MPA及其相关逼近误差（MPA误差项）在整个复平面上的一致渐近性.
2019-12-01 math-ph math.CA math.MP
On Asymptotic Regimes of Orthogonal Polynomials with Complex Varying Quartic Exponential Weight
研究了带四次指数权$\exp[-N(\frac 12 z^2+\frac 14 tz^4)]$的一元正交多项式$π_n(z)$的递推系数的渐近性，其中$t\in {\mathbb C}$和$N\in{\mathbb N}$，$N\to\infty$ .我们的目标是描述这些渐近行为的全球$t\in {\mathbb C}$在不同的地区。我们还描述了分离这些区域的“断裂”曲线，并讨论了它们的特殊（临界）点。所有这些信息的组合提供了$π_n(z)$的递归系数的全局渐近“相图”，在[Constr.约41（2015），529-587，arXiv：1108.0321]。本文的主要目的是通过对相应的Riemann-Hilbert问题（RHP）的非线性最速下降分析（采用$g$函数机制）和参数空间延拓原理，为全局渐近刻画提供一个严格的框架.后者允许将非线性最速下降分析从复杂$t$平面的某些部分扩展到$t$的所有非临界值。我们还提供了明确的解决方案的递归系数的黎曼θ函数。在[Constr.约41（2015），529-587，arXiv：1108.0321]和[Asymptotics of complex orthogonal polynomials on the cross with variing quartic weight：critical point behaviour and the sec…
2016-12-27 math-ph math.CA math.MP
Rational Solutions of the Painlevé-II Equation Revisited
Painlevé-II方程的有理解出现在几个应用中，并且已知具有许多显着的代数和分析性质。它们也有几种不同的表示，以不同的方式用于建立这些属性。特别是，Riemann-Hilbert表示已被证明是有用的，用于提取大次数极限（相当于大参数极限）的有理解的渐近行为。我们回顾了有理Painlevé-II函数的基本性质，然后描述了文献中出现的三种不同的Riemann-Hilbert表示：通过Flaschka-Newell拉克斯对的等单值理论的表示，通过Jimbo-Miwa拉克斯对的等单值理论的第二表示，以及由Bertola和Bothner发现的与伪正交多项式有关的第三种表示。我们证明了有理Painlevé-II函数的Flaschka-Newell和Bertola-Bothner Riemann-Hilbert表示是显式相互连接的。最后，我们回顾了最近的结果描述的理性Painlevé-II功能从这些Riemann-Hilbert表示通过最速下降法获得的渐近行为。
2017-08-16 math-ph math.CA math.MP
Riemann--Hilbert analysis for Laguerre polynomials with large negative parameter
研究了Laguerre多项式$L_n^{(α_n)}(nz)$作为$n \to \infty$的渐近行为，其中$α_n$是一个负参数序列，使得$-α_n/n$趋于极限$A > 1$作为$n \to \infty$ .这些多项式在复平面中的某些轮廓上满足非厄米正交性。这一事实允许制定黎曼-希尔伯特问题，其解根据这些拉盖尔多项式给出。黎曼-希尔伯特问题的渐近分析是用Deift和Zhou的最速下降法进行的，其精神与Deift等人对实直线上的正交多项式的分析相同。本文的一个主要特点是正确的轮廓的选择。
2002-04-19 math.CA math.CV
Strong asymptotics of the recurrence coefficients of orthogonal polynomials associated to the generalized Jacobi weight
研究了$[-1,1]$上具有有限个代数奇点的权函数广义Jacobi权所对应的正交多项式的递推系数的渐近性。递推系数可以写成正交多项式的相应黎曼-希尔伯特问题的解。利用Deift和Zhou的最速下降法分析了黎曼-希尔伯特问题，得到了递推系数的完全渐近展开.我们将明确地确定展开式中的顺序$1/n$项。黎曼-希尔伯特问题分析的一个关键步骤是围绕代数奇点的局部分析，为此我们使用适当阶的贝塞尔函数。
2002-12-02 math.CA math.CV
Recurrence Coefficients for Orthogonal Polynomials with a Logarithmic Weight Function
本文利用Riemann-Hilbert方法证明了带对数权函数的正交多项式递推系数的渐近公式，证实了Magnus猜想的特例，并克服了奇点附近缺乏局部参数矩阵的困难。
2024-01-10 math.CA
Locating the zeros of partial sums of exp(z) with Riemann-Hilbert methods
本文给出了指数级数部分和的一致渐近展开。我们表明如何将这些信息用于在以后的出版物中获得完整的和明确的可计算的渐近展开与误差界的泰勒多项式$p_{n-1}(z) = \sum_{k=0}^{n-1} z^k/ k!$的所有零。我们的证明是基于一个表示$p_{n-1}(nz)$的积分形式$\int_γ \frac{e^{nϕ(s)}}{s-z}ds$。我们演示了如何使用黎曼-希尔伯特方法得到这样的积分的一致展开。与经典的最速下降分析的比较显示了Riemann-Hilbert分析的优点，特别是对于接近$ϕ$的临界点的点$z$。
2007-09-08 math.CA math.CV
Universality and critical behavior in the chiral two-matrix model
本文研究了Akemann，Damgaard，Osborn和Splittorff提出的具有多项式势函数$V$和$W$的手征双矩阵模型。我们发现，在这个模型中的每个单独的矩阵的平方奇异值形成一个行列式点过程的相关核确定的矩阵值的Riemann-Hilbert问题。黎曼-希尔伯特矩阵的大小取决于势函数$W$（或分别为$V$）的阶数。这样我们得到了Kuijlaars-McLaughlin关于非手征双矩阵模型的一个结果的手征类似物。高斯情况对应于线性的$V,W$。对于$W(y)=y^2/2+αy$是二次的情形，我们利用Deift-Zhou最速下降法得到了Riemann-Hilbert问题的大$n$ -渐近性.这证明了这种情况下的普遍性。分析中的一个重要组成部分是三阶微分方程。最后，我们表明，如果也$V(x)=x$是线性的，那么一个多临界极限的内核存在所描述的一个$4\times 4$矩阵值的黎曼-希尔伯特问题相关联的Painlevé II方程$q"(x) = xq(x)+2q^3(x)-ν-1/2$。这样，我们获得了Duits和第二作者最近结果的手性类似物。
2013-03-05 hep-th math-ph math.CA
A Painlevé equation for the Hörmander-Bernhardsson constant
North Dakota State University（北达科他州立大学）
该研究确定霍尔曼德-伯恩哈德松常数与cosh-Gordon方程正则解的奇点相关，通过将多项式问题转化为Padé逼近问题，结合Deift-Zhou最速下降法与Painlevé超越函数完成分析。
2026-09-21 math.CA
Uniform Asymptotics of the Meixner Polynomials
利用Deift-Zhou的最速下降方法，得到了Meixner多项式的局部一致渐近公式.这些包括一个渐近公式在附近的起源，结果，据我们所知尚未获得以前。这个特殊的公式涉及到一个特殊函数，它是标量黎曼-希尔伯特问题的一致有界解，并且除了在原点之外，它渐近（当多项式次数$n$趋于无穷大时）等于常数$"1"$。利用我们的公式进行了数值计算，并与以前的结果进行了比较。
2009-04-08 math.CA
Type II Hermite-Padé approximation to the exponential function
我们得到强和统一的渐近性在复平面的每个域的缩放多项式$a (3nz)$，$b (3nz)$，$c (3nz)$其中$a$，$b$，$c$是II型厄米-帕德逼近的指数函数的相应程度$2n+2$，$2n$和$2n$，定义为$a (z)e^{-z}-b (z)=Ø(z^{3n+2})$和$a (z)e^{z}-c (z)=Ø(z^{3n+2})$为$z\to 0$。我们的分析依赖于这些多项式的表征方面的一个$3\times 3$矩阵黎曼-希尔伯特问题，作为一个后果，著名的马勒关系，对应于一个简单的变换到一个类似的黎曼-希尔伯特问题的I型厄米-Padé逼近。由于这种关系，在以前的工作中进行的研究，基于Deift-Zhou最速下降法Riemann-Hilbert问题，可以重复使用，以建立我们目前的结果。
2005-10-13 math.CA math.CV
Riemann-Hilbert analysis for Jacobi polynomials orthogonal on a single contour
经典的雅可比多项式$P_{n}^{(α,β)}$和$α, β>-1$具有许多众所周知的性质，特别是它们的零点在开区间$(-1,1)$中的位置。此属性对于其他参数值不再有效;通常，零是复数。本文研究了实参数$α_n,β_n$依赖于$n$的雅可比多项式的强渐近性，使得$$ \lim_{n\to\infty}\frac{α_{n}}{n}=A, \quad \lim_{n\to\infty}\frac{β_{n}}{n}=B, $$与$A,B \in \mathbb{R}$ .我们将我们的注意力限制在极限$A,B$不都是正的并且取由直线A=0、B=0和$A+B+2=0$限定的三角形之外的值的情况。作为推论，我们表明，在极限的零点分布沿某些曲线构成的二次微分的轨迹。非埃尔米特正交关系的雅可比多项式与不同的参数在于我们的方法的核心，在我们考虑的情况下，这些关系保持在一个单一的轮廓的复平面。渐近分析是使用Deift-Zhou最速下降法的基础上的Riemann-Hilbert的雅可比多项式重新制定。
2004-10-13 math.CA math.CV
Supercritical Regime for the Kissing Polynomials
研究一类多项式族，它与$[-1,1]$上的变化的、高振荡的复权函数$e^{niλz}$正交，其中$λ$为正参数.这一系列的多项式出现在文献中最近与复杂的正交规则，和他们的渐近已被研究时，$λ$小于一定的临界值，$λ_c$。我们的主要目标是计算当$λ>λ_c$。首先，我们提供了一个几何描述，基于二次微分理论，在复杂的平面，最终将支持这些多项式的渐近零分布的曲线。接下来，使用强大的黎曼-希尔伯特制定的正交多项式由于Fokas，其和Kitaev，随着其渐近解的方法，通过Deift-Zhou非线性最速下降，我们提供了一致的渐近多项式在整个复平面。虽然这种渐近分析遵循的路线，以前的作品在文献中，主要的障碍出现在建设所谓的全球参数。这种构造是在某些椭圆型积分的帮助下以显式的方式进行的。与存在实正交性时通常遇到的情况形成鲜明对比，这种构造的一个有趣的副产品是存在$λ$的离散值集，对于该离散值集，不能求解模型黎曼-希尔伯特问题，因此相应的多项式不存在。
2020-04-06 math.CA math.CV
Szegő orthogonal polynomials with respect to an analytic weight: canonical representation and strong asymptotics
我们提供了一个表示在某些典型的功能的多项式序列正交的重量是严格积极的和解析的单位圆。这些公式给出了这些多项式的完全渐近展开，在整个复平面上一致有效。作为结果，我们得到了关于这些多项式零点分布的一些结果。主要技术是Deift和Zhou的最速下降分析，基于Fokas，Its和Kitaev提出的矩阵Riemann-Hilbert特征。
2005-02-15 math.CA math.CV
