Enumerating labeled graphs with a k-cycle
Alok Bhushan Shukla
这篇论文已经被作者撤回，因为一个更一般的结果是已知的，可以在“组合枚举”由伊恩P.古尔登，大卫M。Jackson - Dover出版物2004 -第3.3.13节，第176页。
This paper has been withdrawn by the author as a more general result is known and could be referenced at "Combinatorial Enumeration" by Ian P. Goulden, David M. Jackson - Dover Publication 2004 - Section 3.3.13, Page 176.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Enumerating Acyclic Digraphs by Descents
有标号无圈有向图的下降是有向边$x\to y$，其中$x>y$。在本文中，我们找到了一个递归的数量的标记无圈有向图与给定的下降数。
Enumerating Hamiltonian Paths and Cycles
本文证明了完全多部图中定向哈密顿路径与回路的计数公式，采用折叠技术关联普通路径图与合法着色路径图。
Enumerating Labeled Graphs that Realize a Fixed Degree Sequence
有限非增正整数序列$d = (d_1\geq \cdots\geq d_n)$称为度序列，如果存在一个图$G = (V,E)$，其中$i=1,\ldots,n$有$V = \{v_1,\ldots,v_n\}$和$deg(v_i)=d_i$.在这种情况下，我们说图$G$实现了度序列$d$。我们证明了实现固定度序列的标号图的确切个数满足一个简单的递归关系。利用这个关系，我们就得到了一个精确计数的递归算法。我们还表明，在经常图的情况下，我们的算法的复杂性是优于复杂的相同的枚举，使用生成函数。
Enumerating two permutation classes by the number of cycles
本文按循环数对两个置换类 Av_n(312,4321) 和 Av_n(321,4123) 进行枚举，并针对若干统计量细化结果。
Enumerating cycles in the graph of overlapping permutations
重叠排列的图是一个有向图，它类似于De Bruijn图。它由作为长度$n$的排列的顶点和作为长度$n+1$的排列的边组成，其中边$a_1\cdots a_{n+1}$将$a_1\cdots a_n$的标准化连接到$a_2\cdots a_{n+1}$的标准化。我们检查此图的属性，以确定有向循环可以存在，计数的数量有向$2$ -周期内的图形，并枚举的顶点，包含在封闭的散步和有向循环的更一般的长度。
Enumerations of Universal Cycles for $k$-Permutations
$k$ -置换的通用循环是一种循环排列，其中每个$k$ -置换作为$k$连续元素恰好出现一次。本文讨论了$k$ -置换的泛圈的计数问题，提出了一种新的计数方法。给出了$k=2,3$ .
Enumerating kth Roots in the Symmetric Inverse Monoid
对称逆幺半群SIM（n）是来自集合{1，2，.，n}在合成操作下对自身进行。关于对称逆幺半群的早期研究描绘了确定SIM（n）的元素是否有k次根的过程。从那时起，SIM（n）的给定元素的k次根的计数问题就被提出来了，在这项工作中解决了这个问题。为了求出一个元素的k次根的个数，我们只需要知道这个元素的循环和路径结构。方便地，在计算k次根的数量时，可以单独考虑循环分量和无循环分量。由于对称群的计数问题已经完成，本文只研究SIM（n）的无圈元.在这里，SIM（n）的无圈元素的公式使用整数分区，类似于它们在排列的k次根的数量的表达式中的使用。
Enumerating the Digitally Convex Sets of Powers of Cycles and Cartesian Products of Paths and Complete Graphs
给定一个有限集合$V$，凸性$\mathscr{C}$是$V$的子集的集合，它包含空集和集合$V$，并且在交集下是封闭的。$\mathscr{C}$的元素称为凸集。数字凸性，最初提出作为处理数字图像的工具，定义如下：一个子集$S\subseteq V(G)$是数字凸的，如果对于每个$v\in V(G)$，我们有$N[v]\subseteq N[S]$意味着$v\in S$。对于$k\geq 2$，将块长度至少为$k$的循环二进制串的个数表示为线性递归关系。在这些循环二进制串和循环的$(k-1)^{th}$幂的数字凸集之间建立双射。给出了两个完全图的笛卡尔积的数字凸集个数的一个封闭公式。在两条路径的笛卡尔积的数字凸集$P_n \square P_m$和某些类型的$n \times m$二进制阵列之间建立双射。
Enumerating simple paths from connected induced subgraphs
本文给出了图的任意两点间简单路的普通生成列的一个精确公式。我们的公式包含了连通诱导子图的邻接矩阵，并且在加权图和有向图上都是有效的。作为一种特殊情况，我们得到了图的Hamilton路和圈与其控制连通集之间的关系。
Growing Graceful and Harmonious Trees
我们描述了符号结构的上市和枚举图具有相同的诱导边标签序列。我们以肯定的R来解决。Whitty的[W08]证明了行列式结构的存在性，用于列出和枚举优雅标记的树。我们总结了一个新的优美的标签算法的描述。
Enumerating Cayley digraphs on dihedral groups
该研究聚焦二面体群上Cayley有向图的CI-同构计数，借助Cauchy-Frobenius引理与自同构性质，推导了具有DCI性质的二面体群（特别是$\text{D}_{6p}$，p为大于3的素数）上非同构Cayley有向图数的显式公式。
Novel ways of enumerating restrained dominating sets of cycles
设$G = (V, E)$是一个图。一个集合$S \subseteq V$是一个约束支配集（RDS），如果每个不在$S$中的顶点都与$S$中的一个顶点相邻，并且与$V - S$中的一个顶点相邻. $G$的约束控制数（$γ_r(G)$）是$G$的约束控制集的最小基数。对于二部图和弦图，求约束控制数是NP-困难的。设$G_n^i$是$n$阶图$G$的约束控制集族，基数为$i$，$d_r(G_n, i)=|G_n^i|$ .定义$G_n$，$D_r(G_n, x)$的约束控制多项式（RDP）为$D_r(G_n, x) = \sum_{i=γ_r(G_n)}^{n} d_r(G_n,i)x^i$ .本文主要研究了圈的RDP，并由此介绍了几种计算$d_r(C_n, i)$的新方法，其中$C_n$是$n$阶圈.在第一种方法中，我们使用一个递归公式为$d_r(C_n,i)$，而在另一种方法中，我们构造一个生成函数来计算$d_r(C_n,i)$。
On Universal Cycles of Labeled Graphs
泛圈是一类组合对象的紧凑列表。在本文中，我们证明了一类标号图的泛圈的存在性，这些标号图包括单图、树、有m条边的图、有圈的图、重边图（每条边至多有m个重复）、有向图、超图和k一致超图.
Enumerating linear systems on graphs
图的因子理论将有限连通图$G$视为黎曼曲面的离散版本。$G$上的因子是$G$的顶点的形式积分组合，并且因子的线性等价性由$G$的离散拉普拉斯算子确定。在黎曼曲面的情况下，我们感兴趣的是完全线性系$|D|$的一个因子$D$-收集非负因子线性等价于$D$。与黎曼曲面的情况不同，图上因子的完全线性系总是有限的。我们计算生成函数编码的大小$G$上的所有完全线性系，并解释我们的结果在多面体与因子和不变量理论的（对偶的）雅可比群的$G$。如果$G$是一个圈图，我们的结果导致一个双射之间的完全线性系和二元项链。最后一节将我们的结果推广到基于积分$M$ -矩阵的模型。
$P$-Partitions and Quasisymmetric Power Sums
标记偏序集$(P, ω)$的$(P, ω)$ -划分生成函数是一个拟对称函数，它枚举了从$P$到$\mathbb{Z}^+$的某些保序映射。我们研究了这种生成函数在最近引入的1型拟对称幂和基$\{ψ_α\}$中的展开。使用这种扩展，我们表明，连接，自然标记偏序集有不可约的$P$ -分区生成函数。我们还证明了串并联偏序集是由其划分生成函数唯一确定的。最后，我们给出了一个组合解释的系数的$ψ_α$ -扩展的$(P, ω)$ -分区生成函数类似于Murnaghan-Nakayama规则。
Enumerating the Classes of Local Equivalency in Graphs
图$G$的标号$(g_{ij})$来自有限域，图$G$上存在局部算子.如果域是二进制的，换句话说，如果图是普通的，则操作只是局部补。也就是说，选择一个顶点并补它的邻居所诱导的子图。但是，在一般情况下，有两种不同类型的运算符。第一种类型如下。设$v$是图的一个顶点，$a\in \mathbf{F}_q$是$q$元素的有限域。该操作符用于获得带有标签$g'_{ij}=g_{ij}+ag_{vi}g_{vj}$的图。对于第二类算子，设$0\neq b\in \mathbf{F}_q$，结果图是带有标签$g''_{vi}=bg_{vi}$和$g''_{ij}=g_{ij}$的图，其中$i,j$不等于$v$。局部互补算子（二元情形）出现在组合理论中，其性质已有文献研究。近年来，人们发现图上的局部算子与量子稳定子码之间存在着深刻的联系，而识别这些算子下的等价类已成为一个自然的问题。本文证明了与给定图局部等价的图的个数至多为$q^{2n+1}$，从而证明了局部等价类的个数为$q^{\frac{n^2}{2}-o(n)}$ .
Enumeration of Hamiltonian Cycles on a Thick Grid Cylinder -- Part II: Contractible Hamiltonian Cycles
在这一系列的文件中，主要目标是枚举哈密顿圈（HC）的网格柱图$P_{m+1}\times C_n$，其中$n$允许增长，而$m$是固定的。在第一部分中，我们研究了所谓的不可收缩HC。在这里，在第二部分中，我们进一步讨论可收缩的情形。我们提出了两种不同的新的特征的可收缩HC的，从我们构造的有向图枚举的可收缩HC的。考虑到$m \leq 9$的计算数据所传达的印象，我们推测在HC的总数中，可收缩HC对不可收缩HC的渐近优势取决于$m$的奇偶性。}
A unified Erdős-Pósa theorem for constrained cycles
一个双群标号图是一个定向图，它的边用两个群的直和$Γ_1,Γ_2$的元素标号。一个双群标号图中的圈是$(Γ_1,Γ_2)$ -非零的，如果它在两个坐标上都不为零.我们的主要结果是将Robertson和Seymour的平壁定理推广到双群标号图上。作为应用，我们确定了双群标号图中$(Γ_1,Γ_2)$ -非零圈的Erdens-Pósa性质的所有正则障碍.这些障碍意味着半积分Erdens-Pósa性质对于$(Γ_1,Γ_2)$ -非零圈总是成立。此外，我们的方法给出了一个统一的框架，证明包装结果的限制循环图。例如，作为直接推论，我们恢复了圈和$S$ -圈的Erdens-Pósa性质以及奇圈和奇$S$ -圈的半积分Erdens-Pósa性质。进一步恢复了Reed的土墙定理。我们还证明了许多新的包装结果作为直接推论。例如，我们证明了半积分Erdens-Pósa性质对不与零同调的圈、不与零同调的奇圈和不与零同调的$S$ -圈成立。此外，在可定向曲面上的$S_1$ - $S_2$ -圈和非同调于零的圈都具有（完全）Erdens-Pósa性质。最后，我们还描述了不同调于零的圈和奇$S$ -圈的Erdens-Pósa性质的正则障碍。
Enumerating the distance magic labelings of a distance magic graph
研究针对Rao等人提出的预测两个特定圈笛卡尔积\(C_m\Box C_m\)（\(m\equiv 2\mod 4\)）所有距离幻标注的问题给出部分解，还证明距离幻图的距离幻标注数量是其自同构群阶数的倍数。
An Hopf algebra for counting simple cycles
简单圈，也称为自回避多边形，是图上不允许访问任何顶点超过一次的圈。本文给出了一个精确的公式，用于计算任意有向图上任意长度的简单圈，该有向图涉及其诱导子图的和。这个结果源于一个霍普夫代数，我们明确地构造，并提供了进一步的手段计数简单的循环。最后，我们得到了一个更一般的定理，断言任何李幂等元可以用来枚举简单的循环。
Gamma positivity of variations of $(α,t)$-Eulerian polynomials
该研究引入九变量广义欧拉多项式，证明其与循环$(α,t)$-欧拉多项式的关联公式，推导指数生成函数与多类变体的$γ$-正性公式，统一强化已有结果，并推广了web排列相关的$γ$-向量结论。
A spanning union of cycles in rectangular grid graphs, thick grid cylinders and Moebius strips
出于寻找最近的论文中出现的一些问题的答案，在一些特殊类别的网格图处理哈密顿圈（简称HC），我们开始调查的循环，所谓的2-因子，在这些图（作为HC的推广）的生成工会。对于所有三种类型的图的标题和任何整数$m \geq 2$，我们提出了一个算法，用于获得一个专门设计的（转移）有向图${\cal D}^*_m$。将2-因子的计数问题归结为有向图中有向游动的计数问题。计算结果，我们收集的$m \leq 17$揭示了一些有趣的性质，无论是有向图${\cal D}^*_m$和序列的2-因子。我们证明了其中的一些任意$m \geq 2$。
Enumeration of $n$-plexes
本文修正了Palmer关于n-plexes枚举方法中循环指数和相关数值的公式错误。
Labeled Packing of Cycles and Circuits
在2013年，Duch{ê}ne，Kheddouci，Nowakowski和Tahraoui [4，9]引入了图包装问题的标记版本。它导致了一个新的参数的引进图，k标记堆积数$λ$ k。这个参数对应于我们可以分配给图的顶点的标签的最大数量，这样我们就可以创建一个k个图副本的包装，同时保留顶点的标签。作者深入地研究了圈的标号填充，并证明了对n = 2k + x的圈Cn，当k为$\ge$ 2且1为$\le$ x $\le$ 2k - 1时，若x为1且k为偶数，则$λ$ k（Cn）的值为2，否则x + 2.本文通过一个反例证明了这一猜想是错误的。然而，我们证明，它给出了一个有效的下界，我们给充分条件的上界举行。然后，我们给出了一些类似的结果标记包装的电路。
Continued fractions using a Laguerre digraph interpretation of the Foata--Zeilberger bijection and its variants
本文用 Laguerre 有向图解释 Foata--Zeilberger 双射以计算排列中的环，从而得到了枚举排列和 D-排列的多变量多项式的 Jacobi 型、Thron 型和 Stieltjes 型连分数，并证明了 Sokal、Zeng 等人提出的连分数猜想。
Regular Bipartite Graphs And Their Properties
我们引入了一个新的符号表示标记的正则二部图的任意度。介绍了标号正则二部图和非标号正则二部图的计数问题。本文给出了一个计算具有指定顶点数的所有非同构2-正则二部图的一般算法，并给出了算法完备性的数学证明。为了可视化2 m个顶点的标记r-正则二部图并计算其自同构群，引入了m对称置换树的一种抽象。本文介绍了一种生成两个相容排列对应的划分的算法。利用自同构群与置换计数问题之间的关系，导出了对应于指定划分的相容置换个数的计算公式。
Combinatorial species and graph enumeration
在枚举组合学中，目标通常是枚举给定类型的标记和未标记结构。组合物种理论是一种新的工具集，它为处理标记和未标记结构之间的区别提供了严格的基础。一个物种的轮换指数序列编码了该物种的标记和未标记的计数数据。此外，通过使用物种操作，我们能够解决的循环指数系列的一个物种在其他方面，已知的其他物种的轮换指数。第3节是物种理论的阐述，第4节是使用此工具集枚举点确定二部图。在第五节中，我们将点决定图的一个结果推广到点决定Φ-图的一个类似结果，其中Φ是一类具有某些性质的图。最后，附录A是使用软件Sage [9]计算物种的实例，附录B使用Sage计算点决定二部图的循环指数系列。
A new matroid lift construction and an application to group-labeled graphs
Brylawski的一个著名结果是从$M$的线性回路类构造拟阵$M$的初等提升。我们推广了这个结果，展示了如何构建一个秩PDMATHAMN提升$M$从秩PDMATHAMN拟阵上的一组电路的$M$。我们猜想，每一个提升的$M$产生通过这个建设。然后，我们将这一结果应用到组标号图，推广Zaslavsky的建设。给定一个图$G$，其边被一个群标记，Zaslavsky的提升拟阵$K$是图拟阵$M(G)$的一个初等提升，它尊重群标记;具体地说，$G$的圈是$K$的圈，与关于群标记平衡的圈重合。对于$k \ge 2$，什么时候存在$M(G)$的秩- $k$提升，它以同样的意义尊重组标记？对于阿贝尔群，我们证明了这样一个拟阵存在的充要条件是这个群同构于一个非素有限域的加法群。
Long mutation cycles
本文研究了图中的突变循环，针对任意固定的 $n\ge 4$，构造了涉及 $n$ 顶点箭图的任意长突变循环，并证明这些循环无法被短突变循环铺砌。
Enumeration of idempotents in planar diagram monoids
我们分类和列举幂等元在几个平面图幺半群：即Motzkin，琼斯（又名。Temperley-Lieb）和Kauffman幺半群。该分类是在某些顶点和边着色图相关的Motzkin图。枚举本质上必然是算法的，并且基于与这些图的循环分量相关联的参数。我们比较我们的算法，现有的算法枚举幂等元在任意（正则 *-）半群，并给出了几个表的计算值。
A bijection on Dyck paths and its cycle structure
已知的Dyck路上的双射要么是对合，要么具有众所周知的难以处理的循环结构。在这里，我们提出了一个尺寸保持双射的Dyck路径的循环结构是服从完整的分析。特别地，每个周期具有2的幂的长度。一个新的表现形式的加泰罗尼亚数字标记的森林作物在途中一样，帕斯卡矩阵模2。我们使用双射来证明Motzkin数的两种已知表现形式的等价性。最后，我们考虑一些新的加泰罗尼亚表现的统计数据。
Finding a Path with Two Labels Forbidden in Group-Labeled Graphs
路和圈的长度的奇偶性是图论和理论计算机科学中一个经典的研究课题。奇偶约束可以扩展到群标记图中的标记约束，群标记图是每个弧由群的元素标记的有向图。最近，群标号图中的路和圈被研究了，例如填充非零路和圈，其中"非零"意味着单位元是唯一的禁止标号。本文提出了一种在群标号图中寻找具有两个禁止标号的$s$-$t$路的方法。这也导致了一个基本的解决方案，找到一个零$s$-$t$路径在${\mathbb Z}_3$标记的图，这是第一个非平凡的情况下找到一个零路。这种情况实际上推广了2-不相交的路径问题在无向图，这也促使我们考虑该设置。更准确地说，我们提供了一个多项式时间算法来测试是否有最多两个可能的标签的$s$-$t$路径在一个组标记的图或没有，并找到$s$-$t$路径达到至少三个不同的标签，如果存在。该算法基于一个群标号图恰好有两个可能的$s$--$t$路标号的充要条件，这是本文的主要技术贡献。
Integer Generalized Splines on Cycles
设G是一个边用正整数标号的图.用整数标记每个顶点，并假设如果两个顶点由一条边连接，则顶点标签以边标签为模彼此全等。满足这个条件的顶点标签集称为广义样条。吉尔伯特，Polster和Tymoczko最近定义了广义样条的基础上工作的多项式样条Billera，玫瑰，哈斯，Goresky-Kottwitz-Machperson，和许多其他人。本文主要研究$n$ -圈上的广义样条。我们为$n$ -圈上的样条模构造了一个特别好的基。作为应用，我们构造了星图、轮图和完全图上的广义样条。
An algorithm for map enumeration
Bauer和Itzykson表明，嵌入在定向黎曼曲面上的每个标记映射都有一个由一对排列产生的群。根据这个结果，可以构造用于枚举标记的映射的算法，并且该构造很容易被扩充以通过映射嵌入其中的表面的亏格来对数字进行分箱。结果与Harer和Zagier对1-顶点映射的计算，Bessis，Itzykson和Zuber对4-叶映射的计算，以及Ercolani，McLaughlin和Pierce对$2ν$ -叶映射的计算一致.然后，我们修改这个算法的一个计数无方向的地图或Mobius图。这种情况下的结果与Goulden和Jackson关于1-顶点无向映射的计算是一致的。
Graph Universal Cycles: Compression and Connections to Universal Cycles
本文提出图泛部分环这一更紧凑的图类表示方法，并为带标签图、阈值图和置换图给出构造，同时揭示了其与泛环及压缩泛环的联系，还证明了置换图和无标签图上相关泛环形式的存在性。
Generalized Hultman Numbers and Cycle Structures of Breakpoint Graphs
基因组重排可以被建模为$k$ -断裂，其在k个位置处断裂基因组并将所得片段以新的顺序粘合。特别地，反转、易位、融合和分裂被建模为$2$ -断裂，并且易位被建模为$3$ -断裂。虽然在进化中尚未观察到$k>3$的$k$ -断裂重排，但它们在癌症基因组学中用于模拟染色体断裂，这是一种基因组中同时发生多个断裂的灾难性事件。已知两个基因组之间的$k$ -断裂距离（即，将一个基因组转化为另一个基因组所需的最小$k$ -断裂数）可以根据这些基因组的断裂点图中的循环长度来计算。在目前的工作中，我们解决的组合问题，在一个给定的$k$中断距离从一个固定的unichromosomal基因组的基因组计数。更一般地，我们列举基因组对，其断点图具有给定的周期长度分布。我们进一步展示了我们的枚举如何可以用于随机基因组的均匀采样在一个给定的$k$ -中断距离，并描述其连接到各种组合对象，如贝尔多项式。
Labeled embedding of (n,n-2)-graphs in their complements
图包装通常处理未标记的图。在\cite{EHRT11}中，作者介绍了一个新的图形包装问题的变体，称为\textit{labeled packing of a graph}。这个问题最近已经研究了树\cite{TDK13}和周期\cite{EHRT11}。本文给出了任意$(n,n-2)$ -图到$K_n$的标号填充数的一个下界.这一结果改进了Woorphniak在\cite{W94}中给出的界.
Loose Hamilton Cycles in Regular Hypergraphs
本文建立了$n$标号顶点上的随机$k$ -图（对于常数$k \ge 3$）的两种一致模型之间的关系：$H(n,m)$，具有$m$精确边的随机$k$ -图，和$H(n,d)$，随机$d$ -正则$k$ -图.通过扩展到$k$ -图的开关技术的McKay和Wormald，我们表明，对于一定范围的$d = d(n)$和一个常数$c > 0$，如果$m \sim cnd$，那么可以耦合$H(n,m)$和$H(n,d)$，使后者包含前者的概率趋于一个$n \to \infty$。鉴于已知的结果存在一个松散的Hamilton圈在$H(n,m)$，我们得出结论，$H(n,d)$包含一个松散的Hamilton圈时，$\log n = o(d)$（或只是$d \ge C log n$，如果$k = 3$）和$d = o(n^{1/2})$。
On the Edit Distance of Powers of Cycles
在同一个标记顶点集上的两个图之间的编辑距离被定义为边集的对称差的大小。遗传特性$\mathcal{H}$的编辑距离函数是$p\in [0,1]$的函数，其在极限下测量密度$p$和$\mathcal{H}$的图之间的最大归一化编辑距离。在本文中，我们解决了编辑距离函数为$\mbox{Forb}(H)$，其中$H=C_h^t$，$t^{\rm th}$功率的周期长度$h$。对于不能被$t+1$整除的$h\geq 2t(t+1)+1$和$h$，我们确定$p$的所有值的函数。对于可被$t+1$整除的$h\geq 2t(t+1)+1$和$h$，除了小的$p$值之外，对于所有其它值都得到该函数。我们也得到了一些结果，为较小的值的$h$。
Skolem Circles
Skolem序列和Skolem标号图已经被描述和研究了几十年。本文探讨了圈图的弱Skolem标号，我们称之为Skolem圈。探讨了Skolem序列与Skolem圈之间的关系，列举了小尺寸的Skolem圈，并建立了一些松散的一般界.
Generalized graph splines and the Universal Difference Property
本文研究广义图样条的普适差分性质，证明路径、树、圈满足UDP，并揭示UDP成立当且仅当环为Prüfer整环，且UDP在同构下保持。
Cordial Digraphs
一个集合的$(0,1)$ -标记被称为是友好的，如果标记为0的集合的元素的数量和标记为1的数量相差最多1。设$g$是由图的顶点集的标号$f$导出的图的边集的标号。如果$g$和$f$都是友好的，则称$g$是图的亲切标记。我们将这个概念推广到有向图，并研究了有向图的亲切性。我们证明了所有的有向路径和所有的有向循环都是亲切的。我们还讨论了有向树和其他有向图的亲切性。
Contributions to the theory of de Bruijn cycles
德布鲁因循环是一个长度为A的循环列表，它包含A个组合对象的集合，使得每个对象在循环中作为一组连续元素出现一次。在本文中，我们证明了de Bruijn的原始定理的威力，即对于k，n的所有值，k字母表上的n个字母的单词都存在以他的名字命名的圈，从而证明了我们可以为[n]={1，2，.，n}到布尔格的任何标记子集中的集合; de Bruijn定理对应于所讨论的子集由单个基元素组成的情况。Chung，Diaconis和Graham的里程碑式的工作将寻找de Bruijn循环的议程扩展到可能是下一个最自然的组合对象集合，即[n]的k-子集。在这方面，Hurlbert和Rudoy作出了重要贡献。在这里，我们遵循布兰卡和Godbole的方向，谁证明了，在一个合适的编码，德布鲁因周期可以创建的子集[n $ of size in the interval [s,t]; 0<=s<t<=n$。在本文中，我们推广这个结果展示存在的de Bruijn圈的重量之间的s和t，这些参数是适当的限制。
A Simple Proof of the Cayley Formula using Random Graphs
我们提出了一个很好的结果的概率发生在一个随机生成的图的周期。然后，我们提供了一些扩展和应用，包括著名的凯莱公式的证明，该公式指出$n$顶点上的标记树的数目是$n^{n-2}.$
On the second largest eigenvalue of certain graphs in the perfect matching association scheme
本文研究了完美匹配关联方案中特定划分标记的矩阵的第二大特征值，提出并验证了关于其特征空间的猜想。
A Linear-Time Algorithm for Finding an Odd/Even Cycle Through Two Specified Vertices
本文提出一种线性时间算法，用于在无向图中找到通过两个指定顶点的奇环，基于群论中的元素阶数限制。
Prime Vertex Labelings of Several Families of Graphs
本文针对循环悬挂星、循环链、棱柱和广义书等新图族，给出了此前未知的素数顶点标号，即用1到n的整数单射标号顶点，使相邻顶点标号互素。
Enumeration of Preferred Extensions in Almost Oriented Digraphs
在本文中，我们提出了枚举算法列出所有首选的扩展论证框架。这个任务等价于枚举有向图的所有极大半核。对于$n$顶点上的有向图，可以在$O^*(3^{n/3})$时间内枚举所有优选扩展，并且存在具有$Ω(3^{n/3})$优选扩展的有向图。对于最多有$0.8004\cdot n$顶点出现在$2$ -圈中的有向图，我们给出了更快的枚举算法.特别是，对于定向图（有向图，没有2-循环），我们的算法之一运行在时间$O(1.2321^n)$，我们表明，有定向图与$Ω(3^{n/6}) > Ω(1.2009^n)$首选的扩展。三个算法的组合导致最快的枚举时间为各种比例的顶点数在$2$ -周期。最具创新性的是一种新的2阶段采样算法，结合了一种新的参数化枚举算法，结合了最近的单调局部搜索技术（STOC 2016）及其扩展（ICALP 2017）进行了分析。
Enumerative problems inspired by Mayer's theory of cluster integrals
连通图和2连通图的基本函数方程可以追溯到统计物理学家Mayer和Husimi。它们在严格建立不完全气体的维里膨胀中起着至关重要的作用。我们调查这种方法，并受到这些方程的启发，我们调查的问题，列举了一些类的连通图，所有的块都包含在一个给定的类B。包括Husimi图（B =“完全图“）、仙人掌（B =“无定向圈”）和定向仙人掌（B =“定向圈”）的种类。对于每一个这些，我们考虑的问题，他们的标记或未标记的枚举和他们的分子膨胀，根据（或不）他们的块大小分布。
Exact counting of unlabeled quartic graphs by permutation-cycle aggregation
该论文提出一种精确递推算法，通过逐循环处理置换并仅记录剩余循环长度和度数，实现无标号四次图的高效计数，达到指数级复杂度上界，并验证了至阶数50的计数结果。
Polynomials Counting Group Colorings in Graphs
本文定义了α-兼容图和循环分配多项式，用于计数图中的(A,f)-着色，并展示了多项式系数与可接受分配的关系。
Finding a Shortest Non-zero Path in Group-Labeled Graphs
研究了一类具有非负边长的群标号图的约束最短路问题，称之为最短非零路问题。根据所讨论的组，这个问题包括两种类型的易处理的变种无向图：一个是奇偶约束的最短路径/循环问题，另一个是计算表面嵌入图中的最短不可收缩循环。对于有限阿贝尔群的最短非零路径问题，Kobayashi和Toyooka（2017）通过永久计算提出了一种随机伪多项式时间算法。对于稍微更一般的一类群，Yamaguchi（2016）将问题简化为加权线性拟阵奇偶问题。特别是，一些情况下解决强多项式时间通过减少与一个确定性的，多项式时间算法的加权线性拟阵奇偶问题的帮助下，由岩田和小林（2021），这推广了一个众所周知的事实，奇偶约束的最短路径问题是通过加权匹配解决。在本文中，作为第一个与群无关的通解，我们提出了一个相当简单的，确定性的，强多项式时间算法的最短非零路问题。该算法基于Dijkstra的无约束最短路径问题算法和Edmonds的匹配算法中的花朵收缩技术;该方法受到Derigs的更快算法（1985）的启发，通过简化为加权匹配来解决奇偶约束最短路径问题。此外，我们改进了我们的算法，使它不需要显式的花收缩，并使计算时间匹配Derigs的。在加速步骤中，一个对偶线性规划的等价问题的基础上潜在的最大化的无约束最短路问题的制定起着关键作用。
Hamiltonicity thresholds in Achlioptas processes
在本文中，我们分析了以下随机过程中的Hamilton圈的出现。该过程从n个标记顶点上的空图开始。在每一轮中，我们都会看到K=K（n）条边，这些边是从缺失的边中随机均匀选择的，并要求我们将其中一条边添加到当前图中。我们的目标是尽快建立一个汉密尔顿循环。我们表明，这个问题有三个政权，取决于K的值。对于K=o（\log n），哈密尔顿性的阈值是（1+o（1））n \log n /（2K），即，通常，我们可以比通常的随机图过程快K倍地构造Hamilton循环。当K=ω（\log n）时，我们基本上可以几乎不浪费边，并且以高概率在n+o（n）轮中创建Hamilton圈。最后，在K=Θ（\log n）的中间状态中，阈值具有阶数n，并且我们获得相差3倍的上界和下界。
Tridiagonalized GUE matrices are a matrix model for labeled mobiles
众所周知，具有指定顶点度分布和适当标记的平面映射的数目可以表示为$N$ × $N$ GUE矩阵的幂的迹的联合累积量的$\frac{1}{N}$展开的首项系数。在这里，我们以不同的方式计算这个首项系数。首先，我们用Trotter和Dumitriu-Edelman的方法对GUE矩阵进行三对角化，然后通过共轭变换使其次对角线与$1$相同。其次，我们从严格的统计力学应用集群扩展技术（特别是，Brydges-Kennedy-Abdesselam-Rivasseau公式）。第三，通过对由此产生的扩展项进行排序，我们得到了与长循环$(12\cdots n)\in S_n$的因子分解相关的首项系数的另一种解释。最后，我们调和从我们的计算中出现的群论对象与标记的移动的Bouttier-Di Francesco-Guitter。
Enumeration and Random Generation of Unlabeled Classes of Graphs: A Practical Study of Cycle Pointing and the Dissymmetry Theorem
本文研究了无根图的无标号组合类的计数和随机生成问题。虽然顶点指向的技术提供了一个简单的程序来分析一个标记类的无根图，首先研究它的根对应，非平凡对称性的存在，在无标记的情况下，导致这种技术崩溃。相反，技术，如不对称定理（水獭）和循环指向（Bodirsky等人）。在未标记的情况下出现，前者提供类的枚举，后者提供枚举和无偏采样器。在这项工作中，我们扩展了权力的不对称定理表明，它实际上提供了一个玻尔兹曼采样器的类的问题。然后，我们提出了一个循环指向技术的阐述，重点是枚举和随机生成的底层unpointed类。最后，我们应用圈指向枚举和实现的距离遗传图和三叶功率图类的采样器。
From Modular Decomposition Trees to Level-1 Networks: Pseudo-Cographs, Polar-Cats and Prime Polar-Cats
图$G$的模块化分解是一种自然的构造，用于根据标记树$(T,t)$捕获$G$的关键特征，该标记树的顶点被标记为“串联”（$1$）、“并行”（$0$）或“素数”。然而，如果$G$不包含素模块，则$G$的全部信息仅由其模块分解树$(T,t)$提供。在这种情况下，$(T,t)$解释$G$，即，$\{x,y\}\in E(G)$当且仅当$x$和$y$的最低共同祖先$\mathrm{lca}_T(x,y)$具有标签“$1$“。然而，每当$(T,t)$包含带有标签“prime”的顶点时，该信息就会丢失。在这篇文章中，我们的目标是在$(T,t)$中用简单的0/1标记圈来替换“素”顶点，这导致了有根标记1级网络$(N,t)$的概念。我们的特征图，可以解释这样的1级网络$(N,t)$，它概括了可以解释的图的概念，标记树，即，cographs。我们提出了三个新的图类：\emph{polar-cats}是\emph{pseudo-cographs}的一个真子类，它形成了\emph{prime polar-cats}的一个真子类。特别是，每个上图都是伪上图，而素极猫正是那些可以用标记的1级网络来解释的图。根据图的模分解和所有素模都诱导极猫的性质，定义了素极猫类。我们提供了大量的结构结果和这些新的类的图的特征。此外，我们表明在哪些条件下有一个独特的最低分辨率标记的1级网络，解释一个给定的图形，并提供线性时间…
On Cycles in Random Graphs
本文研究了$d-$维环面上的几何随机图，其距离测度为$1 \leq σ\leq \infty$.我们的主要结果是一个确切的概率，一个特定的标记周期存在于这个随机图的特征。对于$σ= 2$和$σ= \infty$，我们使用这个特性来推导出一个系列，评估的周期概率。因此，我们得到了随机图中Hamilton圈的期望数的精确公式（当$σ= \infty$和$σ= 2$）。我们还考虑了随机图的邻接矩阵，并导出了关于邻接矩阵的特征值（从而是行列式）的初等对称函数的期望值的递推关系，以及关于邻接矩阵的积和式的期望值的递推关系。循环概率在这些递推关系中具有显著的特征。我们计算这些数量的几何随机图（在$σ= 2$和$σ= \infty$的情况下）与多达$20$顶点，并比较它们与相应的数量的Erdös-Rényi（ER）随机图具有相同的边缘概率。计算表明，GR图中Hamilton圈数快速增长的阈值（以及邻接矩阵的积和式快速增长的阈值）比ER图中的低.然而，随着顶点数$n$的增加，GR和ER阈值之间的差减小，并且在两种情况下，阈值$\sim \log(n)/n$减小。此外，我们观察到，预期的行列式可以采取非常大的值。这给对称$0/1$矩阵的极大行列式问题带来了一些启发。
A general purpose algorithm for counting simple cycles and simple paths of any length
我们描述了一个通用的算法计算简单的循环和简单的路径的任何长度$\ell$（加权di）图上的$N$顶点和$M$边，实现了$O\left(N+M+\big(\ell^ω+\ellΔ\big) |S_\ell|\right)$的时间复杂度。在这个表达式中，$|S_\ell|$是$G$在至多$\ell$顶点上的（弱）连通导出子图的数目，$Δ$是任何顶点的最大度，$ω$是矩阵乘法的指数。我们比较了算法的复杂性，理论和实验与大多数现有的算法相同的任务。这些比较表明，这里描述的算法是最好的通用算法的类图，其中$(\ell^{ω-1}Δ^{-1}+1) |S_\ell|\leq |\text{Cycle}_\ell|$，与$|\text{Cycle}_\ell|$的总数目的简单的循环的长度最多$\ell$，包括回溯和自循环。在Erdens-Rényi随机图上，我们经验地发现，当边概率大于约$4/N$时，会发生这种情况。此外，我们表明，一些现实世界的网络也属于这一类。最后，该算法允许枚举网络上的简单循环和简单路径，其中顶点从$n$字母上的字母表标记，时间复杂度为$O\left(N+M+\big(n^\ell\ell^ω+\ellΔ\big) |S_\ell|\right)$。这里提出的算法的Matlab实现可供下载。
Second Best, Third Worst, Fourth in Line
我们研究可分解的组合标记结构更充分，专注于指数对数类的类型a=1或1/2。例如，随机n-排列中第二长循环的模态长度是（0.2350.）n，而在随机n-映射中第二小分量的模长是2（实际上，给定n>=434）。在早期的工作中，我们的方法是建立如何以及现有的理论与实验数据相匹配，并提出开放的问题。
Universal cycle constructions for k-subsets and k-multisets
本文提出了一种新的表示方法，实现了k子集和k多重集的高效通用循环构造，首次在O(1)均摊时间内完成。
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