Regularity of Wave-Maps in dimension 2+1
Jacob Sterbenz, Daniel Tataru
本文证明了波映射$Φ:\mathbb{R}^{2+1}\to\mathcal{M}$到一般紧目标流形$\mathcal{M}$的一个Sacks-Uhlenbeck/Struwe型整体正则性结果.
In this article we prove a Sacks-Uhlenbeck/Struwe type global regularity result for wave-maps $Φ:\mathbb{R}^{2+1}\to\mathcal{M}$ into general compact target manifolds $\mathcal{M}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Boundary regularity of weakly anchored harmonic maps
本文研究了一类模拟液晶态的弱锚定能极小元的边界正则性。我们建立了最佳的边界正则性在所有的维度$n\geq 3 .$在维度$n=3,$，这产生了充分的规则性在边界上，这与观察到的边界缺陷的物理作品形成鲜明对比。我们还表明，在弱锚定和强锚定的情况下，极小的正则性是从相应的极限问题继承的，分析依赖于一个至关重要的方式上的事实，即表面和Dirichlet能量的规模不同，我们利用这一事实，以减少问题的已知的正则性的零Neumann条件的正切映射。
Global Regularity of Wave Maps from R^{3+1} to H^2
我们考虑了从R^{3+1}到双曲平面的具有光滑紧支撑的小H^{3/2}-范数初始数据的波映射，并证明了它们在时间上保持全局光滑。我们的方法是基于引入一个全球性的库仑规范，在最近的论文Shatah和Struwe，其次是动态分离，在早期的工作克莱纳曼和Machedon。然后，我们依赖于T.Tao在他最近的突破性成果Wave Maps中使用的方法，以适应低空间维度的球体。
Conditional global regularity of Schrödinger maps: sub-threshold dispersed energy
我们考虑薛定谔映射到球的初值问题在2+1维光滑，衰减，亚阈值的初始数据。假设解的先验$L^4$有界性条件，证明了薛定谔映射系统存在唯一的整体光滑解，只要初始数据是充分能量分散的.还显示的是全球的时间上的某些Sobolev规范的解决方案。为此，我们建立了改进的局部平滑和双线性Schhartz估计，适应Planchon-Vega方法，这样的估计薛定谔映射的非线性设置。
Global regularity of critical Schrödinger maps: subthreshold dispersed energy
本文考虑了从R^2到球面S^2的光滑初值的能量临界Schroedinger映射的初值问题.给出了充分的能量分散的数据与亚阈值能量，我们证明了该系统承认一个唯一的全球光滑的解决方案。这改进了先前的类似条件结果。这种改进背后的关键在于利用薛定谔映射和调和映射热流的交换子的估计。
Boundary regularity for manifold constrained $p(x)$-harmonic maps
证明了流形约束$p(x)$ -调和映射的部分和完全边界正则性。
Small data global regularity for half-wave maps
我们制定了半波映射问题的目标$S^2$，并证明了在足够高的空间维数的整体正则性的一类小的临界数据在Besov空间。
Partial regularity for minimizing constraint maps for the Alt-Phillips energy
本文建立了一种Alt-Phillips型功能最小化约束映射的ε正则性定理，证明在能量足够小时，最小化映射具有正则性，从而证明这些映射的光滑性，并进一步推导出最优正则性。
Boundary regularity for minimizing biharmonic maps
证明了具有光滑Dirichlet边界条件的极小化双调和映射的完全边界正则性。我们的结果，类似于调和映射的情况下，是基于非常数边界切映射的不存在性。借助Altuntas最近导出的极小化双调和映射的边界单调性公式，我们证明了Scheven内部论证的边界紧性。然后将这些结果与Gong-Lamm-Wang关于平稳双调和映射的条件部分边界正则性结果相结合。
Boundary partial regularity for a class of Dirac-harmonic maps
本文研究一类满足特定能量单调不等式的耦合 Dirac-harmonic 映射，证明其在边界附近具有部分正则性。
Regularity Properties of Monotone Measure-preserving Maps
本文推广了单调保测映射（最优传输）的正则性理论，涵盖任意凸域目标支撑及低正则性不变测度域情形。
Low-regularity Schrödinger maps
本文证明了在索伯列夫空间$H^σ$，$σ>(d+1)/2$中，Schroedinger映射初值问题对于小数据是局部适定的.
An $ε$--regularity result for optimal transport maps between continuous densities
这篇短文的目的是将最近关于最优输运映射的部分正则性的变分证明推广到连续密度的情形。
Regularity at the free boundary for Dirac-harmonic maps from surfaces
在非齐次Neumann和Dirichlet边界约束下，建立了一类具有反对称结构的临界椭圆方程组的正则性理论。作为应用，我们证明了自旋Riemann曲面上弱Dirac-调和映射在自由边界的完全正则性和光滑估计。我们的方法也导致全内部$ε$ -正则性和光滑估计的弱Dirac-harmonic映射在所有维度。
$C^{1,α}$-Regularity of energy minimizing maps from a 2-dimentional domain into a Finsler space
证明了从二维黎曼流形到具有Finsler结构$F(u,X)$的Finsler空间$(\R^n, F)$的能量极小化映射的$C^{1,α}$ -正则性.
Partial Regularity for optimal transport maps
证明了对于$\mathbb{R}^n$上的一般费用函数或黎曼流形上的代价$d^2/2$，光滑密度之间的最优输运映射在测度为零的闭奇异集之外总是光滑的.
Regularity and quantification for harmonic maps with free boundary
证明了从任意黎曼曲面到能量有界的${\mathbb R}^{n+1}$的单位球上的具有自由边界的调和映射的一个量化结果.这推广了Da Lio在圆盘上得到的结果。
Partial regularity for fractional harmonic maps into spheres
本文讨论了任意维上到$s\in(0,1)$阶球面上的平稳或极小分数调和映射的正则性问题。证明了这样的分数调和映射是$C^\infty$远离一个小的闭奇异集。奇异集的豪斯多夫维数也估计在$s\in(0,1)$和平稳/极小假设。
Regularity of monotone transport maps between unbounded domains
单调迁移映射的正则性在偏微分方程和几何学的一些应用中起着重要的作用。不幸的是，关于这个问题的经典陈述仅限于紧支撑测度的情况。本文证明了，在几种有趣的情形下，即使测度有无界支撑，也可以保证单调映射的正则性。
Regularity and Uniqueness of p-harmonic Maps with Small Range
本文证明了目标流形的小测地线球上的p-调和映象的狄利克雷问题解的唯一性。因此，我们表明，这样的地图有Hoelder连续的衍生物。这给出了S的一个结果的推广。Hildebrandt等人关于调和映射的研究。
Sharp boundary $\varepsilon$-regularity of optimal transport maps
本文对具有$C^{1,α}$ -边界的有界开集之间的最优输运映射建立了一个边界$\varepsilon$ -正则性理论.我们的主要结果断言尖锐的$C^{1,α}$ -正则性的运输地图在边界处的线性估计的形式在一定的假设下：主要的定量假设是，当地的无量纲运输成本是小的，在$C^{1,α}$的边界是当地几乎平坦的。我们的方法是完全变分的，并建立在最近发展的内部正则性理论。
Regularity for Dirac-harmonic maps into certain pseudo-Riemannian manifolds
证明了从闭自旋Riemann曲面到定常Lorentz流形的弱Dirac-调和映射的光滑性，并得到了一类无反对称结构的临界椭圆系统的正则性定理.
Partial regularity for harmonic maps, and related problems
利用规范理论，给出了m>2维调和映射到任意目标的部分正则性的一个新证明.这个证明避免了使用自适应框架，并允许考虑“最小”C^2正则性的目标。此外，我们提出的证明扩展到一个大类的椭圆型系统的二次增长。
Small data global regularity for half-wave maps in $n = 4$ dimensions
我们证明了在基于Besov空间的临界$l^1$中，当初始数据很小时，以目标$S^2$为目标的$\mathbb{R}^{4+1}$上的半波映射问题是全局适定的.这是一个正式的模拟结果波地图的Tataru。
Partial regularity for manifold constrained p(x)-harmonic maps
证明了流形约束的$p(x)$ -调和映射在零$n$ -维Lebesgue测度集外是$C^{1,β}$ -正则的，对于某些$β\in (0,1)$ .我们还从上面给出了奇异集的豪斯多夫维数的一个估计。
Sobolev regularity for optimal transport maps of non-convex planar domains
该研究针对一类非凸平面区域到凸区域的最优输运映射位势，证明了精确的全局$W^{2,p}$估计，推进了最优输运正则性理论的相关研究。
Regularity issues for Cosserat continua and $p$-harmonic maps
对于极小的几何非线性Cosserat模型的微极弹性的连续体，我们证明内部Hölder正则性，孤立奇点，可能是可能的，如果从模型的指数$p$是$2$或在$(\frac{32}{15},3)$。完全连续的障碍原来是存在某些极小化齐次$p$ -调和映射到$S^3$。对于这些，我们稍微改进现有的正则性定理，以实现我们的结果的Cosserat模型。
Low-regularity Schrödinger maps, II: global well-posedness in dimensions $d\geq 3$
在维数大于或等于3的情况下，我们证明了在临界Besov空间中，Schroedinger映射初值问题对于小数据是全局适定的。
A brief introduction to the regularity theory of minimising harmonic maps
本文综述极小调和映射正则性理论的核心结果，涵盖变分、正则性定理、爆破与奇异集分析，并延伸至平稳情形及近期进展。
Optimal higher regularity for biharmonic maps via quantitative stratification
本文利用定量分层方法改进Breiner-Lamm关于双调和映射的几乎最优正则性结果，并得到极小化双调和映射的最优正则性。
n/p-Harmonic maps: regularity for the sphere case
我们引入n/p-调和映射作为E（v）的Lp-范数的α-拉普拉斯算子v的临界点，其中点态v映射Rn到一个球面上，并且α = n/p.这种能量结合了Riviere和第一作者引入的分数调和映射的非局部行为和n-拉普拉斯算子的退化参数.在这种情况下，我们将证明Holder连续性。
Partial Regularity for Harmonic Maps into Spheres at a Singular or Degenerate Free Boundary
本文证明了在域度量沿自由边界以$d^α$速率退化或奇异时，具有自由边界数据的弱平稳调和映照的部分正则性。
Partial regularity of the heat flow of half-harmonic maps and applications to harmonic maps with free boundary
我们引入了与半调和映射相关的热流，这是由Da Lio和Rivière引入的。这类映射在一维空间中具有补偿可积性，并与具有自由边界的调和映射有关。我们考虑一个新的流动与这些调和映射与自由边界，这实际上是由一个相当不寻常的热流半调和映射的动机。然后构造了该方程的弱解，并通过Ginzburg-Landau近似证明了它们在时空中的部分正则性.本文是对Struwe和Chen-Lin的研究的补充。
3-Commutators Estimates and the Regularity of 1/2 Harmonic Maps into Spheres
证明了从实直线到球面的弱1/2-调和映射的正则性。我们的结果的关键点是首先将1/2-调和映射方程表述为非局部线性薛定谔型方程，其右端是一个3项的调和子。然后，我们建立一个尖锐的估计，这些3-因子。
Global regularity of wave maps V. Large data local wellposedness and perturbation theory in the energy class
利用调和映射热流和Tataru及作者的函数空间，建立了二维Minkowski空间$\R^{1+2}$到双曲空间$\H^m$的波映射在能量类上的一个大数据局部适定性结果.这是本系列早期文章中证明这种波映射的全局正则性所需的五个主张之一。
On Uniqueness for Schrödinger maps with low regularity large data
证明了二维Schr dinger映射初值问题的解在$C_tL_x^{\infty} \cap L_t^{\infty} (\dot{H}^1_x\cap \dot{H}^2_x)$中是唯一的.为了证明，我们遵循McGahagan的论点，改进其技术部分，结合Yudovich的论点。
Regularity of solution maps of the generalized surface quasi-geostrophic equations
研究广义表面准地转方程族的解映射正则性，证明Lagrangian解映射为实解析，从而在Hadamard意义上局部适定，而Eulerian解映射在Sobolev拓扑下不连续。
On the regularity of the polar factorization for time dependent maps
本文研究了由Y.布雷尼尔在映射族依赖于参数的情况下。通过构造先验界，我们研究了极分解项关于这个参数的正则性。为了做到这一点，我们考虑相关的蒙赫-安培方程的线性化，我们认为这是一个守恒律。
Regularity of Dirac-harmonic maps
对任意具有给定自旋结构和旋量丛$ΣM$的$n$维紧自旋黎曼流形$M$和任意紧黎曼流形$N$，我们证明了弱狄拉克调和映射的一个$ε$ -正则性定理.结果证明了当n = 2时，任何弱狄拉克-调和映射都是光滑的。当$n = 2$ .对于$n \ge 3$，我们引入了平稳Dirac-harmonic映射的概念，得到了$R^n$中平稳Dirac-harmonic映射的Liouville定理.若对某个$p>2n/3$，有$ψ\in W^{1,p}$，则得到了一个能量单调性公式，并证明了一个部分正则性定理.
Interior and Boundary-Regularity for Fractional Harmonic Maps on Domains
本文证明了n/2-多重调和映射到流形上在域上直到边界的连续性。从技术上讲，我们展示了如何适应Helein的直接方法的分数设置。这扩展了一个评论的作者，这是可能的设置里维耶尔著名的正则性结果共形不变变分泛函的临界点。此外，点态行为所涉及的三个算子的建立。然后通过Hildebrandt和Kaul的技术对非局部设置的适应获得到边界的连续性。
Global regularity of wave maps IV. Absence of stationary or self-similar solutions in the energy class
利用调和映射热流，我们构造了一个能量类的波映射$ϕ$从二维Minkowski空间$\R^{1+2}$双曲空间$\H^m$，然后显示（条件上的大数据适定性要求这样的波映射），没有固定的，旅行，自相似，或退化的波映射存在于这个能量类。这些结果形成了我们早期论文（arXiv：0805.4666）中证明这种波映射的全局正则性所需的五个主张中的三个。(The大数据适定性的条件声明是该论文中要求的其余声明之一。
A variational proof of partial regularity for optimal transportation maps
我们提供了一个新的证明，已知的部分正则性结果的最佳运输映射（Brenier映射）之间的两个集合。与现有的正则性理论的蒙格-克雷方程，这是基于最大值原理，我们的方法是纯粹的变分。通过构建一个竞争对手的水平上的欧拉（Benamou-Brenier）制定，我们表明，在当地，速度接近梯度的调和函数提供的运输成本是小的。然后，我们翻译回拉格朗日描述，并执行Campanato迭代，以获得$ε$ -正则性结果。
The regularity of harmonic maps into spheres and applications to Bernstein problems
我们证明了正则性，并推导出先验估计的（弱）调和映射从黎曼流形到欧氏球面的假设下，图像避免了一些邻居的半赤道。证明结合了严格凸函数的构造和拟线性椭圆方程组的正则性理论。将这些结果应用于极小超曲面的球面和欧氏Bernstein问题，得到了球面中的紧致极小超曲面或欧几里得空间中的完备极小超曲面平凡的新条件.
Regularity via minors and applications to conformal maps
证明了当$k,d$不同时为偶数时，若Sobolev映射$\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$的度$k$的子式是光滑的，则该映射是光滑的.我们使用这个结果来获得一个简单的，自包含的证明著名的刘维定理的共形映射，在最弱的可能的正则性假设下，在偶数维不是$4$的倍数。这是基于Iwaniec和Martin在[Acta Mathematica，170（1）：29- 81，1993]中所采用的方法。在连续性的附加假设下，我们还证明了黎曼流形之间的$W^{1,d/2}$共形映射的正则性。
Quantitative regularity for minimizing intrinsic fractional harmonic maps
本文研究极小化内蕴分数阶调和映射，结合修正Luckhaus引理与定量分层理论证明紧性、奇异集体积估计及改进的维数界。
Derivation of a boundary monotonicity inequality for variationally biharmonic maps
对一类具有Dirichlet边界条件的双调和映射，给出了其边界单调性公式.在超临界维数的部分正则性理论中，单调性公式至关重要。由于这样的边界单调性公式，人们能够显示变分双调和映射的部分正则性和最小化双调和映射的完全边界正则性。
On regularity theory for n/p-harmonic maps into manifolds
本文继续研究所谓弱$\frac{n}{p}$ -调和映射在临界情形下的正则性。这些是下列非局部能量\[ {\mathcal{L}}_s(u)=\int_{\mathbb{R}^n}| ( {-Δ})^{\frac{s}{2}} u(x)|^p dx\,, \]的临界点其中$u\in \dot{H}^{s,p}(\mathbb{R}^n,\mathcal{N})$和${\mathcal{N}}\subset\mathbb{R}^N$是闭的$k$维光滑流形和$s=\frac{n}{p}$ .证明了$p \leq 2$在这类临界点上的Hölder连续性。对于$p > 2$，我们在附加的洛伦兹空间假设下得到相同的结果。正则性理论在这两种情况下是基于具有反对称势的非局部薛定谔系统的正则性结果。
Quantitative stratification and higher regularity for biharmonic maps
在本文中，我们证明了定量的正则性结果的平稳和最小化外部双调和映射。作为一个应用程序，我们确定尖锐的，尺寸独立的$L^p$界$\nabla^k f$，不需要一个小的能量假设。特别地，对于所有$1\le p<5/4$，每个极小化双调和映射都在$W^{4,p}$中。此外，对于最小化双调和映射从$Ω\subset \mathbb{R}^5$，我们确定了一个统一的界限的数量的奇点在一个紧集。最后，使用降维参数，我们将这些结果扩展到最小化和平稳的双调和映射到特殊的目标。
Partial Regularity of a minimizer of the relaxed energy for biharmonic maps
本文研究了从$m$维区域到球面的双调和映射的弛豫能。利用一种近似方法，证明了Hessian能量的松弛能量的极小元的存在性，并且证明了该极小元在有限$(m-4)$维Hausdorff测度的奇异集$Σ$外是双调和光滑的.此外，当$m=5$，我们证明了奇异集$Σ$是1-可求长的。
Regularity for solutions of H-systems and n-harmonic maps with n/2 square integrable derivatives
本文研究了两个涉及$n$ -Laplacian算子和右端临界非线性项的椭圆型方程组：$H$ -方程组和紧黎曼流形中的$n$ -调和映射的弱解的正则性.在偶数维$n$上，在解属于$W^{n/2,2}$的假设下，证明了它们的连续性.证明中使用的工具涉及Hardy空间和BMO，以及Rivière-Uhlenbeck分解（在Morrey空间中估计）。一个突出的作用是由Coifman-Rochberg-Weiss换向器定理。
Ill-posedness for one-dimensional wave maps at the critical regularity
我们证明了$\R^{1+1}$中的波映射方程在临界空间$\dot H^{1/2}$和Besov空间$\dot B^{1/2,1}_2$中一般是不适定的。该问题归因于这些空间中一维双线性表达式$D^{-1}(f Dg)$的不良行为。
Boundary regularity of stationary biharmonic maps
本文考虑从有界光滑区域$Ω\subset\mathbb R^n$（$n\ge 5$）到无边界紧致光滑黎曼流形$N\subset\mathbb R^l$的平稳双调和映射$u$的狄利克雷问题.对于任何光滑边界数据，我们证明，如果，此外，$u$满足一定的边界单调性不等式，那么存在一个闭子集$Σ\subset\barΩ$，与$H^{n-4}(Σ)=0$，使$u\in C^\infty(\barΩ\setminusΣ, N)$。
Fine regularity of fractional harmonic maps and applications
本文研究分数调和映射的正则性问题，通过非局部方程理论改进了已知结果，并应用于具有自由边界的调和映射及热流的可微性研究。
Variational approach to regularity of optimal transport maps: general cost functions
我们扩展的变分方法的规则性最优输运地图高盛和第一作者的情况下，一般的费用函数。我们的主要结果是一个$ε$ -正则性结果的最优输运地图之间的霍尔德连续密度比德Philippis-Figalli的结果稍定量。新的贡献之一是使用几乎最小：如果成本是定量接近欧几里德费用函数，最小的最优输运问题的一般成本是一个几乎最小的二次成本。这进一步突出了我们的变分方法和德Giorgi的$ε$ -规则性的极小曲面的战略之间的连接。
A regularity theory for multiple-valued Dirichlet minimizing maps
本文讨论了球面上多值Dirichlet极小映射的正则性。这表明，即使在分支点，只要归一化能量足够小，我们也有能量衰减估计。结合Chun-Chi Lin的工作，得到了奇异集的m-2维Hausdorff测度为零的第一个估计.此外，通过观察切映射和使用降维论证，我们证明了奇异集至少是余维3。
Partial regularity of harmonic maps from a Riemannian manifold into a Lorentzian manifold
本文研究从黎曼流形到洛伦兹流形的平稳调和映射的部分正则性定理。对于从光滑有界开域$Ω\subset\R^m$到具有Dirichlet边界条件的Lorentz流形的弱平稳调和映射$(u,v)$，证明了它在$(m-2)$维Hausdorff测度为零的闭集外是光滑的.此外，如果目标流形$N$不允许调和球面$S^l$，$l=2,...,m-1$存在，我们将证明$(u,v)$是光滑的.
Biharmonic wave maps: Local wellposedness in high regularity
我们证明了具有足够高Sobolev正则性的初始数据的双调和波映射的局部适定性和解的梯度在上范数下的爆破准则。与波映射方程相反，我们使用了一个消失的粘性参数和适当的抛物正则化，以获得存在性结果。利用方程的几何性质证明了近似解的收敛性、极限的唯一性和对初值的连续依赖性。
Partial regularity of $p(x)$-harmonic maps
令$(g^{αβ}(x))$和$(h_{ij}(u))$是一致椭圆对称矩阵，并假定$h_{ij}(u)$和$p(x) \, (\, \geq 2)$是充分光滑的。在$p(x)$型非标准增长条件下，证明了泛函[ { \mathcal F}（u）= \int_Ω（g^{αβ}（x）h_{ij}（u）D_αu^iD_βu^j）^{p（x）/2} dx，\]极小解的部分正则性.如果$g^{αβ}(x)$在类$VMO$中，我们有部分Hölder正则性。此外，如果$g^{αβ}$是Hölder连续的，我们可以证明部分$C^{1,α}$ -正则性.
Epsilon-regularity for p-harmonic maps at a free boundary on a sphere
证明了向量值p-调和映射的$ε$ -正则性定理，该定理对于部分自由边界条件是临界的，即它们将边界映射到一个圆球面上.这似乎并不遵循Scheven用于具有自由边界的调和映射的反射方法（即，案例$p=2$）：反射方程可以被解释为到流形中的$p$ -调和映射方程，但是这种方程的正则性理论仅对于圆形目标是已知的。相反，我们遵循最后命名的作者最近的工作的精神自由边界调和映射，并选择一个好的框架直接在自由边界。这导致增长估计，这在临界状态$p=n$，意味着解决方案的Hölder正则性。在超临界状态下，$p < n$，我们结合了几何反射参数的增长估计：反射方程是超临界的，但是，在增长估计的假设下，解决方案是经常的。在$p<n$情形下，对于具有自由边界的平稳$p$ -调和映射，作为单调性公式的结果，我们得到了直到远离一组$(n-p)$ -维Hausdorff测度的边界的部分正则性.
Global regularity of wave maps VII. Control of delocalised or dispersed solutions
这是系列\cite{tao:heatwave}，\cite{tao:heatwave2}，\cite{tao:heatwave3}，\cite{tao:heatwave4}的最后一篇论文，它建立了二维波映射到双曲目标的全局正则性。在本文中，我们建立了这一声明所需的其余权利要求，即一个可分割的扰动理论，和一种手段的频率离域，空间分散，或空间离域数据的解决方案，严格较小的能量合成的解决方案。作为这里的扰动理论和本系列前面得到的结果的结果，我们还建立了波映射到双曲空间的时空边界和散射性质。
Regularity and relaxed problems of minimizing biharmonic maps into spheres
对于$n\ge 5$和$k\ge 4$，我们证明了从$Ω\subset R^n$到$S^k$的极小化双调和映射在Hausdorff维数至多为$n-5$的闭集上是光滑的.当$n=5$和$k=4$，对于一个参数$λ\in [0,1]$，我们引入一个$λ$ -松弛能量$\H_λ$作为$W^{2,2}(Ω,S^4)$中映射的Hessian能量，使得$\H_λ$的每个极小元$u_λ$也是一个双调和映射.我们还建立了关于$λ\in [0,1)$的$\H_λ$极小元的存在性和部分正则性.
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