Graded cellular bases for the cyclotomic Khovanov-Lauda-Rouquier algebras of type A
Jun Hu, Andrew Mathas
本文构造了$A$型分圆Khovanov-Lauda-Rouquier代数的一个显式齐性胞腔基.
This paper constructs an explicit homogeneous cellular basis for the cyclotomic Khovanov--Lauda--Rouquier algebras of type $A$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Finite Dimensional Representations of Khovanov-Lauda-Rouquier algebras I: Finite Type
本文对Khovanov-Lauda-Rouquier代数的简单表示进行了有限型分类。分类是在一个标准的家庭表示，产生的双重PBW的基础上的Grothendieck组。最后，我们证明了描述这些代数的整体维数的一个猜想。
Representations of Khovanov-Lauda-Rouquier algebras III: Symmetric Affine Type
我们发展了对称仿射型KLR代数的同调理论。对于每个PBW基，构造了一族标准模，将PBW基分类。
Categorification of Highest Weight Modules via Khovanov-Lauda-Rouquier Algebras
本文证明了Khovanov-Lauda关于所有可对称化Kac-Moody代数的分圆范畴化猜想。令$U_q(g)$是与可对称化的Cartan数据相关联的量子群，并且令$V(Λ)$是具有主导积分最高权$Λ$的不可约最高权$U_q(g)$ -模。证明了分圆Khovanov-Lauda-Rouquier代数$R^Λ$给出了$V(Λ)$的一个范畴化.
Affine Cellularity of Khovanov-Lauda-Rouquier algebras in type A
证明了$A_\infty$型的Khovanov-Lauda-Rouquier代数$R_\al$是Koenig和Xi意义下的分次仿射胞腔.事实上，我们建立了一个更强的性质，即$R_\al$中的仿射胞理想是由幂等元生成的。这特别意味着（已知的）结果，即$R_\al$的整体维数是有限的，并产生一个理论的标准和减少标准模$R_\al$。
Cuspidal systems for affine Khovanov-Lauda-Rouquier algebras
仿射Khovanov-Lauda-Rouquier代数$R_\al$的尖点系统给出了标准模理论.这使得我们可以将$R_\al$上的不可约模分类到所谓的虚模。本文对不可约$R_\al$ -模的模$p$约化提出了一个猜想，推广了James猜想.我们还描述了极小虚模，为今后虚Schur-Weyl对偶的研究奠定了基础。我们引入了有色虚张量空间，并将虚模的分类归结为一种颜色。研究了尖点模的性质。我们证明了在Khovanov-Lauda-Rouquier范畴下，尖点模对应于对偶根向量.
Categorification of Lie algebras [d'apres Rouquier, Khovanov-Lauda]
给定一个具有半单李代数作用的向量空间，我们可以尝试“分类”这个表示，这意味着找到一个范畴，其中李代数的生成元通过函子作用。这样的范畴表示自然出现在几何表示论和对称群的模表示论中。Rouquier和Khovanov-Lauda提出了一个研究范畴表示的框架。他们的定义是代数/图解，但连接到拓扑结构的random品种的工作Rouquier和Varagnolo-Vasserot。在本文中，我们给出了一个调查上述思想圈。
R-matrices for quantum affine algebras and Khovanov-Lauda-Rouquier algebras, I
让我们考虑由好的$U'_q(g)$ -模和可逆元组成的有限对集。正规化R-矩阵的极点分布产生Khovanov-Lauda-Rouquier代数我们定义了一个从KLR代数上的有限维模范畴到有限维$U_q'(g)$ -模范畴的函子。证明了当KLR albera是A，D，E型时，函子将卷积积发送到张量积，并且是正合的.
Homological properties of finite type Khovanov-Lauda-Rouquier algebras
给出了Khovanov-Lauda-Rouquier代数在所有有限型上的标准模（对量子化包络代数的PBW基进行分类的无限维模）的代数构造.这使我们能够证明在一个基本的方式，这些代数满足同调性质的仿射拟遗传代数。“在简单的花边类型中，这些属性最初是由加藤通过几何方法建立的。我们还构造了一些对应于无重性正根的标准模的Koszul样投射分解。
Graded skew Specht modules and cuspidal modules for Khovanov-Lauda-Rouquier algebras of affine type A
Kleshchev，Mathas and Ram（2012）给出了有限和仿射型A的Khovanov-Lauda-Rouquier代数上的分次Specht模。我们表明，这种结构可以更普遍地应用于斜形状，以给出一个介绍分级斜Specht模块，这是作为子项的限制的Specht模块。作为一个应用，我们表明，尖点模相关的平衡凸前序仿射型A是斜Specht模的某些钩形。
Biadjointness in cyclic Khovanov-Lauda-Rouquier Algebras
证明了量子群的不可约最高权模通过分圆Khovanov-Lauda-Rouquier代数的范畴化中出现的单根函子E和F是双伴随对.
Representations of orientifold Khovanov-Lauda-Rouquier algebras and the Enomoto-Kashiwara algebra
本文提出KLR代数的定向折叠推广，通过Schur-Weyl对偶与量子对称对及Enomoto-Kashiwara代数的最高权模建立联系，给出最高权模的混洗实现与基的构造，并分类标架平凡时的不可约表示及计算整体维数。
Blocks of cyclotomic Hecke algebras and Khovanov-Lauda algebras
本文构造了分圆Hecke代数与A型（符号修正）Khovanov-Lauda代数的块之间的显式同构。这些同构将Khovanov和Lauda的范畴化猜想与Ariki的范畴化定理联系起来。Khovanov-Lauda代数是自然分次的，这使得我们可以在分圆Hecke代数的块上证明非平凡的Z-分次，包括正特征的对称群.
Integral Basis Theorem of cyclotomic Khovanov-Lauda-Rouquier algebras of Type A
本文证明了A型分圆Khovanov-Lauda-Rouquier代数$\mathscr R_n^Λ$是$\mathbb{Z}$ -free的.然后我们将Hu和Mathas构造的$\mathscr R_n^Λ$的分次胞腔基推广到$\mathscr R_n$，并利用这个基给出了所有不可约$\mathscr R_n$ -模的分类.
Affine Cellularity of Khovanov-Lauda-Rouquier Algebras of Finite Types
证明了有限型的Khovanov-Lauda-Rouquier代数$R_α$是Koenig和Xi意义下的（分次）仿射胞腔.事实上，我们建立了一个更强的性质，即$R_α$中的仿射胞理想是由幂等元生成的。这特别意味着（已知的）结果，即$R_α$的全局维数是有限的。
Rewriting modulo isotopies in Khovanov-Lauda-Rouquier's categorification of quantum groups
利用代数重写方法研究了量子群的Khovanov-Lauda- Rouquier候选$2$ -分类的表示.我们使用的计算方法的基础上重写模的枢轴结构的合痕公理计算一族的线性基的所有向量空间的$2$ -细胞在这个$2$ -范畴。我们表明，这些基地对应于Khovanov和劳达的约束生成集，证明了非退化的图解演算。这意味着这个$2$ -范畴是Lusztig的幂等整数量子群$\bf{U}_{q}(\mathfrak{g})$的一个范畴，它与一个可对称化的单缀Kac-Moody代数$\mathfrak{g}$相关联。
Homogeneous Representations of Khovanov-Lauda Algebras
本文构造了单缀Khovanov-Lauda代数的不可约分次表示。基本的组合学的斜形状和标准tableaux对应于任意简单的花边类型已经开发了彼得森，普罗克特和Stembridge。特别地，彼得森-普洛克托钩子公式给出了对应于直形的齐次不可约模的维数。
Representations of Khovanov-Lauda-Rouquier Algebras and Combinatorics of Lyndon Words
构造了任意有限型仿射Khovanov-Lauda-Rouquier代数的不可约表示.这些不可约表示是作为适当的诱导模的单头而产生的，因此我们的构造类似于Bernstein和Zelevinsky对A型仿射Hecke代数的构造。不可约模的最高权由所谓的好字给出，而“尖点模”的最高权由好林登字给出。从某种意义上说，这已经被勒克莱尔预测到了。
Representation theory and cohomology of Khovanov-Lauda-Rouquier algebras
本文是根据新加坡国立大学“有限和$p$ -adic群的模表示论”课程的演讲而撰写的。我们关注的是最近的结果表示论和上同调的KLR代数，重点是标准模理论。
Canonical bases and Khovanov-Lauda algebras
本文证明了Khovanov-Lauda关于与简单加缀Cartan数据相联系的量子群的二分之一的分类的一些最近的定理。
Geometric realization of Khovanov-Lauda-Rouquier algebras associated with Borcherds-Cartan data
本文构造了与对称Borcherds-Cartan矩阵$A=(a_{ij})_{i,j\in I}$相关联的Khovanov-Lauda-Rouquier代数$R$的一个几何实现.作为应用，如果对任何$i\in I$都有$a_{ii} \ne 0$，我们证明了$U_\A^-(\g)$的Kashiwara下整体基（或Lusztig规范基）（分别为$V_\A(λ)$）和$R$上不可分解投射分次模的同构类集合（分别为$R^λ$）。
Weighted Khovanov-Lauda-Rouquier algebras
本文定义了Khovanov-Lauda-Rouquier代数的一个推广，称之为加权Khovanov-Lauda-Rouquier代数。我们发现，这些代数进行许多相同的结构，原来的Khovanov-Lauda-Rouquier代数，包括诱导和限制函子，诱导扭曲的双代数结构的Grothendieck群。我们还定义了这些代数的自然代数，这在一个重要的特殊情况下进行了相关的李代数的范畴作用。这些的特殊情况包括代数分类张量积和Fock空间定义的作者和Stroppel在过去的工作。对于对称的Cartan矩阵，加权KLR代数也有一个自然的几何解释卷积代数，推广了Varagnolo和Vasserot对原始KLR代数的解释;这个结果在晶体基理论中具有重要的正性后果。在这种情况下，我们也可以将Grothendieck群及其双代数结构与相关的群的Hall代数联系起来。
Mirkovic-Vilonen polytopes and Khovanov-Lauda-Rouquier algebras
我们描述了如何Mirkovic-Vilonen多面体自然产生的分类李代数使用Khovanov-Lauda-Rouquier代数。这给出了一个明确的描述之间的KLR代数和MV多面体的简单表示的唯一晶体同构。MV多面体，从几何的仿射格拉斯曼，只对有限维半单李代数的意义，但我们的建设实际上给出了一个映射，从无限晶体的多面体在所有对称化的Kac-Moody代数。然而，为了使映射是单射的，并且在图像上有定义良好的晶体算子，我们通常必须用一些额外的信息来装饰我们的多面体。我们认为，由此产生的KLR多面体是MV多面体的一般类型的类似物。我们给出了一个组合的描述所产生的装饰多面体在所有仿射的情况下，并表明，这恢复了仿射MV多面体最近定义的Kamnitzer和鲍曼和第一作者在对称仿射型。我们还简要讨论了超越仿射型的情况。
Irreducible Modules over Khovanov-Lauda-Rouquier Algebras of type $A_n$ and Semistandard Tableaux
利用Young tableaux的组合数学，给出了Khovanov-Lauda-Rouquier代数$R$及其$A_{n}$型分圆模$R^λ$上不可约分次模的一个显式构造.我们的结构与晶体结构相容。令${\mathbf B}(\infty)$和${\mathbf B}(λ)$分别是由$λ$形状的边缘大表和半标准表组成的$U_q(\slm_{n+1})$晶体。另一方面，设${\mathfrak B}(\infty)$和${\mathfrak B}(λ)$分别是由不可约分次$R$ -模和$R^λ$ -模的同构类组成的$U_q(\slm_{n+1})$ -晶体.我们发现存在明确的晶体同构$Φ_{\infty}: {\mathbf B}(\infty) \overset{\sim} \longrightarrow {\mathfrak B}(\infty)$和$Φ_λ: {\mathbf B}(λ) \overset{\sim} \longrightarrow {\mathfrak B}(λ)$。
Construction of Irreducible Representations over Khovanov-Lauda-Rouquier Algebras of Finite Classical Type
利用晶体基理论方法，给出了Khovanov-Lauda-Rouquier代数$R$上不可约模及其有限经典型分圆模$R^λ$的显式构造.更精确地，对于晶体$B(\infty)$的每个元素$v$（分别为$B(λ)$），我们首先构造由$v$的适配字符串$\mathbf{a}$标记的某些模块$\nabla(\mathbf{a};k)$。然后证明了导出模$\ind \big(\nabla(\mathbf{a};1) \boxtimes...\boxtimes \nabla(\mathbf{a};n)\big)$的头是不可约的，并且每个不可约$R$ -模（分别为. $R^λ$ -模块）可以实现为其中一个导出模块$\ind (\nabla(\mathbf{a};1) \boxtimes...\boxtimes \nabla(\mathbf{a};n))$的不可约头。此外，我们表明，我们的建设是兼容的$B(\infty)$上的晶体结构（分别。$B(λ)$）。
Implicit structure in 2-representations of quantum groups
给出了Kac-Moody李代数的强2-表示（在Rouquier意义下），我们证明了如何将其推广到范畴化的量子群的2-表示（在Khovanov-Lauda意义下）.这涉及到检查某些额外的2-关系，这是明确的定义，由霍瓦诺夫劳达，因为它原来，隐含在Rouquier的定义。并讨论了一些应用。
KLR algebras and the branching rule I: the categorical Gelfand-Tsetlin basis in type An
定义An型分圆Khovanov-Lauda-Rouquier代数上的有限生成模范畴的商，并证明它在An-1型分圆Khovanov-Lauda-Rouquier代数的直和上具有模范畴结构，从而对sl（n）包含在sl（n+1）中的分支规则进行了分类.利用这一点，我们给出了Khovanov-Lauda割圆猜想的一个新的初等证明。我们表明，继续递归给出Gelfand-Tsetlin基础类型安。作为应用，我们证明了Mackaay，Stosic和Vaz关于范畴Weyl模的一个猜想.
Unfurling Khovanov-Lauda-Rouquier algebras
研究李代数\(\mathfrak{g}\)范畴作用在谱变形下的行为，给出其一般点承载更大李代数\(\mathfrak{\tilde{g}}\)作用的条件，利用变形技术证明 2 - 量子群\(\mathcal U\)的非退化性。
Homomorphisms between standard modules over finite type KLR algebras
有限李型的Khovanov-Lauda-Rouquier代数带有标准模族，在Khovanov-Lauda-Rouquier分类下，标准模族对应于相应的量化包络代数的正部分的PBW-基。我们证明了不同的标准模之间不存在非零同态，并且标准模的所有非零自同态都是内射的。我们得到了标准模之间的扩张和KLR代数的模表示理论的应用。
Quiver Hecke superalgebras
我们引入了一个新的超代数族，它应该被认为是Khovanov-Lauda-Rouquier代数的一个超级版本。令$I$是具有奇偶性的Dynkin图的顶点集。对于这些数据，我们将分次超代数的一个族，即Hecke超代数联系起来。当没有奇顶点时，这些代数只不过是通常的Khovanov-Lauda-Rouquier代数。然后我们定义了另一类分次超代数--Hecke-Clifford超代数，并证明了它们是Hecke-Clifford超代数的弱Morita超等价.此外，我们证明了仿射Hecke-Clifford超代数及其退化版本仿射Sergeev超代数在一个完备化后同构于仿射Hecke-Clifford超代数.
On the definition of Kac-Moody 2-category
我们证明了Rouquier定义的Kac-Moody 2-范畴与Khovanov和Lauda定义的Kac-Moody 2-范畴是相同的。
Steadied Khovanov-Lauda-Rouquier algebras and local models for blocks
本文通过引入 KLRW 代数的稳定商，为 Ariki--Koike 代数的所有块（包括 $S_n$ 的 RoCK 块）提供了一种新的 Morita 等价局部模型。
Rouquier Complexes are Functorial over Braid Cobordisms
利用B. Elias和M. Khovanov，我们证明了Rouquier复形是辫子配边的函子。我们明确地描述了对应于电影移动生成器的链映射。
On the monoidality of Saito reflection functors
本文将Khovanov-Lauda-Rouquier代数的Saito反射函子的定义推广到对称Kac-Moody代数的情形，并证明了它定义了一个monoidal函子。
Trace and categorical sl(n) representations
Khovanov-Lauda定义了一个2-范畴$\mathcal{U}$，使得分裂的Grothendieck群$K_0(\mathcal{U})$同构于量子化泛包络代数$\mathbf{U}(\mathfrak{sl}_n)$的一个整数版本，$n \geq 2$ . Beliakova-Habiro-Lauda-Webster证明了Khovanov-Lauda 2-范畴的迹去范畴化同构于当前代数$\mathbf{U}(\mathfrak{sl}_n [t])$ -李代数$ \mathfrak{sl}_n \otimes \mathbb{C} [t]$的泛包络代数。$\,\mathcal{U}$的2-表示是从$\mathcal{U}$到线性加法2-范畴的2-函子。本文主要研究Khovanov-Lauda利用旗簇的上同调环上的双模定义的2-表示。这个2-表示导出了当前代数$\mathbf{U}(\mathfrak{sl}_n [t])$在上同调环上的作用。我们使用跟踪函子显式计算$\mathbf{U}(\mathfrak{sl}_n [t])$生成器的操作。结果表明，所得到的当前代数模与另一类称为局部Weyl模的$\mathbf{U}(\mathfrak{sl}_n [t])$ -模有关.利用已有的关于上同调环的结果，给出了局部Weyl模的特征公式的一个新的证明.
Trace decategorification of categorified quantum sl(3)
证明了M. Khovanov和A. Lauda也可以与量子sl（3）相一致，从而提供了一种非范畴化的替代方法。
Highest weight categories arising from Khovanov's diagram algebra I: cellularity
这是第一个四篇文章研究一些轻微的概括H（n，m）的Khovanov的图代数，以及准遗传覆盖K（n，m）这些代数的意义上的Rouquier，和某些无限维限制版本。本文证明了H（n，m）是胞腔对称代数，K（n，m）是胞腔拟遗传代数.在随后的文章中，我们将这些代数分别与退化分圆Hecke代数的水平二块、抛物范畴O和一般线性超群相联系。
Categorification of quantum Borcherds-Bozec algebras
本研究通过构造对应的Khovanov-Lauda-Rouquier代数，完成了量子Borcherds-Bozec代数的范畴化工作，为该类量子代数的研究提供了范畴化视角的新途径。
Specht modules labelled by hook bipartitions I
Brundan，Kleshchev和Wang在分圆Khovanov-Lauda-Rouquier代数$\mathscr{H}_n^Λ$上用齐次$\mathbb{Z}$ -分次基配置了Specht模$S_λ$.本文研究了在$\mathscr{H}_n^Λ$的$2$层上用Hook二分划$((n-m),(1^m))$标记的分次Specht模，它是B型Hecke代数，量子特征至少为3.我们给出了Khovanov-Lauda-Rouquier代数生成元$ψ_1,\dots,ψ_{n-1}$在$S_{((n-m),(1^m))}$的基元上的作用.通过引入一定的Specht模同态，构造了这些Specht模的不可约子模，从而完全确定了$e\geqslant{3}$的由钩双划分标注的Specht模的合成列.
Highest weight categories arising from Khovanov's diagram algebra III: category O
证明了与gl（m+n）的子代数gl（m）× gl（n）相关联的抛物范畴O的整块Morita等价于广义Khovanov代数的拟遗传覆盖.虽然这个结果在原则上是已知的，但现有的证明是相当间接的，通过格拉斯曼的反常层。我们的新方法是完全代数的，利用Schur-Weyl对偶更高的水平。作为副产品，我们得到了对应于有限型A中二级权重的Rouquier意义下的2-Kac-Moody表示的具体组合构造。
Resolutions of standard modules over KLR algebras of type $A$
有限李型Khovanov-Lauda-Rouquier代数$R_θ$与标准模$Δ(π)$仿射拟遗传，标准模$π$是$θ$的Kostant分拆.在类型$A$中，我们构造了标准模$Δ(π)$的显式投射归结.
Fully commutative elements of type D and homogeneous representations of KLR-algebras
当Coxeter群为$D_n$型时，本文将全交换元素的集合分解为自然子集，并研究这些子集的组合学，揭示隐藏的结构. (We不要首先考虑类型$A_n$，因为类型$A_n$的类似分解是微不足道的。）作为应用，我们对$D_n$型Khovanov-Lauda-Rouquier代数的齐次表示进行了分类和计数.
Categorification of quantum boson algebras
本文在任意可对称化Kac-Moody类型下，通过图解生成元与关系构造了量子玻色子代数的分次幺半范畴化，并在Khovanov-Lauda和Rouquier的正部分量子群范畴化上建立了忠实2-表示，进而生成了量子玻色子代数及其扩张的有趣基。
The Brundan-Kleshchev isomorphism revisited
本文给出了分圆Hecke代数和分圆KhovanovLauda-Rouquier代数的块之间的Brundan-Kleshchev同构的一个简洁而统一的证明。
Link splitting deformation of colored Khovanov--Rozansky homology
我们引入了一个多参数变形的三阶Khovanov-Rozansky同调的链接着色的一栏杨图，推广了“$y$化”链接同调的Gorsky-Hogancamp和工作的Cautis-Lauda-Sussan。对于每个连杆组件，变形参数的自然集合对应于平面的希尔伯特方案上的插值坐标。通过引入$A$型奇异Soergel双模的弯曲复体的monoidal dg 2-范畴，我们将形变链的同同调论推广到辫子上.使用这个框架，我们推广到弯曲设置的范畴彩色绞链关系arXiv：2107.08117，也有分裂映射的概念，彩色全扭转两股。作为应用程序，我们计算的不变量的彩色Hopf链接的海曼决定因素产生的理想，并使用这些结果来建立一般的链接分裂性质，我们的变形，有色，triangular分级链接同源性。告知这一点，我们制定了几个apturtures有影响的（有色）Khovanov-Rozansky同源性和希尔伯特计划之间的关系。
A diamond lemma for Hecke-type algebras
本文给出Bergman钻石引理的一个版本，它适用于由生成元和关系表示的某些幺半范畴。特别是，它适用于：考克斯特介绍的对称群，赫奇代数的霍瓦诺夫劳达鲁奎尔，韦伯斯特张量积代数，以及各种推广这些。我们也给出了一个推广的Manin-Schechtmann理论的非约化表达式。
Quiver Hecke algebras and categorification
本文简要介绍Khovanov，Lauda和Rouquier的Hecke代数，强调它们在量子群分类中的应用。本文基于作者于2012年8月在比勒费尔德举行的ICRA研讨会上的演讲。
Representations of Quiver Hecke Algebras via Lyndon Bases
Khovanov和Lauda提出了一类新的代数，Rouquier独立地提出了这类代数。这些代数将与任意Cartan数据相关的量子群的一半进行分类。本文利用Lyndon字的组合数学构造了与有限型Cartan数据有关的代数的不可约表示。这就完成了Kleshchev和Ram所提出的Hecke代数的简单模的分类。
Modular Representation Theory of Symmetric Groups
综述了对称群及相关Hecke代数的模表示论的最新进展。本文讨论了群代数$FΣ_n$与Khovanov-Lauda-Rouquier代数的联系及其所揭示的群代数块上的分次，分次范畴与量子群和晶体基的联系，分次胞腔结构与分次Specht模，分次格腔结构与分次格腔结构之间的关系。仿射KLR代数的尖点系统和虚Schur-Weyl对偶，将这些代数的表示论与通常的小秩Schur代数联系起来.
RoCK blocks, wreath products and KLR algebras
我们考虑对称群的RoCK（或Rouquier）块和单位根上的Hecke代数.我们证明了一个猜想特纳断言，一定幂等截断的洛克块的重量$d$的对称群$\mathfrak S_n$定义在一个域$F$的特征$e$是森田等价于主块的圈积$\mathfrak S_e \wr \mathfrak S_d$。这推广了Chuang和Kessar的一个定理，该定理适用于具有阿贝尔亏损群的RoCK块。我们的证明依赖于关键的同构之间的$F\mathfrak S_n$和分圆Khovanov-Lauda-Rouquier代数，和森田等价，我们生产的是分次代数。我们还证明了类似的结果岩堀-Hecke代数在一个根的单位定义在任意域上。
Three perspectives on categorical symmetric Howe duality
研究范畴对称豪对偶，它有图示、几何和表示理论解释。证明‘变形的韦伯斯特代数’体现\(\mathfrak{gl}_n\)上盖尔芳德 - 采特林模范畴块与线性箭图表示上特定可构造层间的科祖尔对偶，且对偶交织平移函子与图示范畴作用。
Comparison of canonical bases for Schur and universal enveloping algebras
我们证明了$\dot{U}(\mathfrak{sl}_n)$和Schur代数中的规范基是相容的，实际上我们将这个结果推广到了$p$ -规范基。这是紧接着从一个充满结果从函子分类这个地图。为了证明这一结果，我们还解释了Schur代数的奇偶性之间的联系，它产生于部分旗簇上的奇偶层，奇异Soergel双模和Khovanov和Lauda的“旗范畴”，这是一些独立的兴趣。
Homogeneous representations of Type A KLR-algebras and Dyck paths
Khovanov-Lauda-Rouquier（KLR）代数起源于对量子群进行分类的尝试。Kleshchev和拉姆证明了一个结果减少表示论这些代数的研究不可约尖表示。在有限型A中，这些尖点表示包含在齐次表示类中，齐次表示类与相应的Coxeter群的全交换元素有关。本文利用Dyck路的组合学研究了全交换元。从而对A型KLR代数的齐次表示进行了分类和列举，并从Dyck路的组合学出发得到了这些表示的维数公式。
Knot invariants and higher representation theory I: diagrammatic and geometric categorification of tensor products
本文研究了2-量子群（在Rouquier和Khovanov-Lauda意义下）的2-表示，它们是不可约表示的张量积的范畴.我们的目标是构建结的同源性分类Reshetikhin-Turaev不变量的任意表示，这将在后续文件中完成。我们考虑这些类别的代数结构，通过明确的图解表示，推广分圆商的Hecke代数。我们的主要结果之一是，当两者都被定义时，这些类别是一致的。我们还研究了这些类别的更精细的结构。像许多类似的表示论范畴一样，它们是标准分层的，并且关于它们的自对偶模满足双中心化子性质。分层的标准模扮演着重要的角色，正如Vermas在更经典的表示论中所做的那样，作为函子的测试对象。这些表示的存在对以前研究的代数代数的结构有影响;它使我们能够证明Khovanov和Lauda的2-范畴在所有可对称化类型中的非退化性（其Hom空间具有期望的维数），并且分圆的Hecke代数是对称的Frobenius。
Knot invariants and higher representation theory
我们构造了纽结不变量，对量子群的所有表示的量子纽结变量进行了分类。我们证明了这些不变量与Khovanov对sl_2和sl_3定义的不变量以及Mazenuk-Stroppel和Sussan对sl_n定义的不变量相一致。我们的技巧是研究2-量子群的2-表示（在Rouquier和Khovanov-Lauda意义下），它们是不可约表示的张量积的分类。这些是某些有限维代数的表示范畴，具有明确的图解表示，推广了KLR代数的分圆商。当所考虑的李代数是$\mathfrak{sl}_n$时，我们证明了这些范畴对于gl_k与抛物范畴O的某些子范畴一致.我们还研究了这些范畴的更精细的结构：它们是标准分层的，并且满足关于它们的自对偶模的双中心化子性质。分层的标准模作为函子的测试对象起着重要的作用，就像Vermas在更经典的表示论中所做的那样。这些表象的存在对先前研究的结构有影响。它允许我们证明Khovanov和Lauda的2-范畴在所有可对称化类型中的非退化性（它的Hom空间具有期望维数），并且分圆的Hecke代数是对称的Frobenius。在Reshetikhin和Turaev的工作中，量子群的表示之间的编织和（共）评价映射被用来定义多项式结不变量。我们证明了张量积的代数化是通过函子对这些映射进行分类而实现的，从而可以构造双阶纽结同调，其阶化欧拉示性数是原多项式纽结不变量.
Spin nilHecke algebras of classical type
我们构造并研究了B/D型自旋nilHecke代数${}^\mathfrak{b}\!{\mathrm{NH}}_n^-$和${}^\mathfrak{d}\!{\mathrm{NH}}_n^-$，它们与通常的nilHecke代数的区别在于一些奇数符号. B型spin nilHecke代数是第二作者和Khongsap早先引入的spin B型Hecke代数的一个nil版本，但不是D型的。通过奇Demazure算子构造了nilHecke代数的忠实多项式表示$\mathrm{Pol}_n^-$.我们制定了自旋舒伯特多项式，并使用它们来证明自旋nilHecke代数是矩阵代数，其元素在由自旋对称多项式组成的$\mathrm{Pol}_n^-$的子代数中。所有这些结果对于一般的有理数域上的nil-Hecke代数都有对应的结果。我们的工作推广了Lauda和Ellis-Khovanov-Lauda在通常/自旋类型A下的结果。
The cyclotomic non-degenerate Hecke algebras of arbitrary Weyl groups
该研究为任意Weyl群的非退化仿射Hecke代数构造KLR型生成元，建立了分圆Hecke代数块直和与KLR型代数分圆商的同构，明确了两类模分解的对应关系。
Some extension algebras for standard modules over KLR algebras of type $A$
有限Lie型Khovanov-Lauda-Rouquier代数$R_θ$是仿射拟遗传的，其标准模$Δ(π)$用$θ$的Kostant划分来标记.设$Δ$是所有标准模的直和。已知Yoneda代数$\mathcal{E}_θ:=\operatorname{Ext}_{R_θ}^*(Δ, Δ)$带有一个$A_\infty$ -代数的结构，它可以用来重构标准滤$R_θ$ -模的范畴.本文在两种特殊情况下明确地描述了$\mathcal{E}_θ$：（1）当$θ$是$\mathtt{A}$型的正根时，和（2）当$θ$是Lie型的$\mathtt{A_2}$时.在这些情况下，$\mathcal{E}_θ$证明是无扭的，本质上是形式的。我们给出一个例子来说明$A_\infty$ -代数$\mathcal{E}_θ$在一般情况下是非形式的.
Representation type of cyclotomic quiver Hecke algebras of type $C^{(1)}_{\ell}$
针对仿射类型C，通过构造支配极大权连通箭图，完全确定了任意层级分圆KLR代数的表示型，并给出了部分表示有限与驯顺型代数的Morita等价类及分次分解矩阵。
Construction of PBW and canonical bases in the folding extension algebras for symmetrizable types
研究源于Lusztig构造的扩张代数，扩展Varagnolo和Vasserot方法构造斜群代数，证明相关过渡矩阵性质，为对称型情形下PBW基与典范基及其关系提供几何范畴化。
Representation type of cyclotomic quiver Hecke algebras of type $A_\ell^{(1)}$
本文构造了仿射A型支配极大权的连通quiver，并利用它完全确定了任意阶环状KLR代数的表示类型，从而完整分类了环状Hecke代数块的表示类型。
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