Szemerédi定理的有限类比

多部Hajnal-Szemerédi定理

A Multipartite Hajnal-Szemerédi Theorem

著名的Hajnal-Szemerédi定理给出了一个精确的最小度阈值，该阈值使得一个图包含一个完美的K_k-填充。费舍尔猜想指出，类似的结果适用于所有的多部图，除了那些由一个单一的建设。最近，我们从超图中完美匹配的新结果中推导出了这个猜想的一个近似版本。在本文中，我们应用稳定性分析的极端情况下，这一论点，从而表明，确切的猜想持有任何足够大的图。

Hajnal-Szemerédi定理的近似多部形式

Approximate Multipartite Version of the Hajnal--Szemerédi Theorem

设$q$是正整数，$G$是一个以$qn$为顶点的$q$ -部单图，每个顶点类中都有$n$.令$δ={k_q \over k_q+1}$，其中$k_q=q+O(\log{q})$ .如果$G$的每个顶点都至少与其他顶点类中的$δn$顶点相邻，$q$有界且$n$足够大，则$G$有一个$K_q$ -因子。

多参数Szemerédi-Trotter型定理及其在有限域中的应用

Multi-parameter Szemerédi-Trotter-type theorems and applications in finite fields

本文在有限域向量空间中建立了优于一般高维结果的多参数点-线关联估计，并展示了其在几何与数论组合问题中的多种应用。

群作用版本的 Szemerédi-Trotter 定理及其在所有特征下果园问题中的应用

A group-action Szemerédi-Trotter theorem and applications to orchard problems in all characteristics

本文在任意域上证明群作用版 Szemerédi-Trotter 定理，并将其用于有限域和复数域中可约三次曲面的共线三元组计数，改进已有界。

Szemerédi定理的模型论证明

A Model Theoretic Proof of Szemerédi's Theorem

我们提出了一个简短的证明Szemerédi定理使用动力系统丰富的思想从模型论。由此产生的证明包含的功能让人想起的证据的基础上，遍历论和超图的规律性。

关于埃尔多斯-塞梅尔里定理的评论

Remarks on a theorem of Erdős and Szemerédi

本文重新审视埃尔多斯-塞梅尔里定理，明确参数依赖关系，改进了原定理中隐含的 $n$ 与 $\varepsilon$ 之间的依赖关系。

A discrepancy version of the Hajnal-Szemerédi theorem

A perfect $K_r$-tiling in a graph $G$ is a collection of vertex-disjoint copies of the clique $K_r$ in $G$ covering every vertex of $G$. The famous Hajnal--Szemerédi theorem determines the minimum degree threshold for forcing a perfect $K_r$-tiling in a graph $G$. The notion of discrepancy appears in many branches of mathematics. In the graph setting, one assigns the edges of a graph $G$ labels from $\{-1,1\}$, and one seeks substructures $F$ of $G$ that have `high' discrepancy (i.e. the sum of the labels of the edges in $F$ is far from $0$). In this paper we determine the minimum degree thres…

超图 Balog-Szemerédi-Gowers 定理的一个定量改进

A quantitative improvement on the hypergraph Balog-Szemerédi-Gowers theorem

本文对超图 Balog-Szemerédi-Gowers 定理给出了定量改进，并证明了其“几乎全部”版本，提升了相关组合数论结果的精度。

图和超图的Hajnal-Szemerédi定理的多部版本

A multipartite version of the Hajnal-Szemerédi theorem for graphs and hypergraphs

图$G$中的完美$K_t$-匹配是由$K_t$的顶点不相交副本组成的生成子图。Hajnal和Szemerédi的一个经典定理指出，如果$G$是一个具有最小度$δ(G) \ge (t-1)n/t$和$t| n$的阶$n$的图，则$G$包含完美$K_t$-匹配。设$G$是一个$t$-部图，其顶点类为$V_1$，.，$V_t$，每个尺寸为$n$。证明了如果每个$x \in V_i$都至少与$V_j$的$((t-1)/t + γ)n $顶点相连，则对于$i \ne j$，$G$包含完美$K_t$-匹配，从而渐近地验证了Fisher的一个猜想.此外，我们考虑一个推广超图的codegree。

关于阿贝尔群中Szemeredi定理的二维类似

On a two-dimensional analog of Szemeredi's Theorem in Abelian groups

设G是有限阿贝尔群，A是基数至少为|G| ^2/（log log |G|）^c的子集G \times G，其中c>0是绝对常数。我们证明了A包含一个三元组{（k，m），（k+d，m），（k，m+d）}，其中d不等于0.这个定理是Szemeredi关于等差数列的定理的二维推广。

特征零任意域上的Szemerédi-Trotter定理

The Szemerédi-Trotter theorem over arbitrary field of characteristic zero

本文利用Baby Lefschetz原理将问题归约到复数情形，证明了特征零任意域上的Szemerédi-Trotter关联界，并推导出Beck定理、和积估计等推广结果。

关于多重Hajnal-Szemerédi定理

On multipartite Hajnal-Szemerédi theorems

设$G$是一个$k$ -部图，其中$n$顶点在部分中，使得每个顶点至少与其他部分中的$δ^*(G)$顶点相邻. Magyar和Martin \cite{MaMa}证明了对于$k=3$，如果$δ^*(G)\ge 2/3n $和$n$足够大，则$G$包含$K_3$ -因子（由$K_3$的$n$顶点不相交副本组成的生成子图），除了$G$是一个特殊的图。Martin和Szemerédi \cite{MaSz}证明了当$δ^*(G)\ge 3/4n$和$n$足够大时，$G$包含一个$K_4$ -因子。这两个结果都得到了正则性引理的证明。本文用吸收方法证明了这两个结果。我们的吸收引理实际上适用于所有$k\ge 3$。

多项式Szemerédi定理中的定量界：齐次情形

Quantitative bounds in the polynomial Szemerédi theorem: the homogeneous case

我们得到定量界的多项式Szemerédi定理的Bergelson和Leibman，提供的多项式是齐次和相同的程度。这样的配置包括具有等于完美k次幂的公差的等差数列。

Szemerédi定理III的新界：$r_4(N)$的一个多对数界

New bounds for Szemerédi's theorem, III: A polylogarithmic bound for $r_4(N)$

定义$r_4(N)$为不包含等差数列中四个元素的集合$A \subset \{1,\dots,N\}$的最大基数。在1998年，Gowers证明了\[ r_4(N) \ll N(\log \log N)^{-c}\]对于某个绝对常数$c>0$。2005年，作者将其改进为\[ r_4(N) \ll N e^{-c\sqrt{\log\log N}}.\]。在本文中，我们将其进一步改进为\[ r_4(N) \ll N(\log N)^{-c},\]，这似乎是我们方法的极限。

多部 Hajnal–Szemerédi 定理的一个稳健版本

A robust version of the multipartite Hajnal--Szemerédi theorem

本文强化多部 Hajnal–Szemerédi 定理，证明在满足最小度条件且边概率达到给定阈值时，随机扰动的均衡 r 部图以高概率含 K_r-因子，并推出横截版本。

多维Szemerédi素数定理的一个简短证明

A short proof of the multidimensional Szemerédi theorem in the primes

陶解释说，$\mathcal{P}^d$的每个稠密子集，素数的$d$元组，包含任何给定形状的星座。最近，库克、马扎尔和提提切特拉昆证明了这一点，陶和齐格勒也独立证明了这一点。在这里，我们给出了一个简单的证明使用格林-陶定理的线性方程在素数和Furstenberg-Katznelson多维Szemerédi定理。

有向图中的Hajnal-Szemerédi定理再探

The Hajnal-Szemerédi theorem in digraphs revisited

本研究发现Aboulker等人隐含的简单归约可直接由原始图论Hajnal–Szemerédi定理证明Treglown猜想及Czygrinow等人的有向图相关结果，修改归约后还得到了此类有向图公平无环$k$着色的多项式时间算法。

Szemerédi定理中的随机差分及相关结果

Random differences in Szemerédi's theorem and related results

本文介绍一种新的初等方法来研究等差数列中的随机差和沿随机整数序列的收敛现象。我们应用我们的方法，以获得显着的改进，以前已知的结果。

关于与随机集有差的Szemerédi定理

On Szemerédi's theorem with differences from a random set

我们认为，在整数和有限域，Szemerédi的定理$k$ -长期等差数列的集合$S$允许公差在这些级数是受限制的和随机的。通过Frantzikinakis等人提出的一系列调查，我们证明了在整数上，Szemerédi定理的$\mathbb{P}(d \in S)$的限制阈值可以从一个关于所谓的对偶函数如何被零序列逼近的猜想中得出。我们还证明了有限域上的阈值与整数上的阈值是不同的。

相对Szemerédi定理

A relative Szemerédi theorem

著名的格林-陶定理指出素数中存在任意长的等差数列。其中一个主要成分在他们的证明是一个相对Szemerédi定理说，任何子集的伪随机集的整数正相对密度包含长期等差数列。在本文中，我们给出了一个简单的证明加强相关Szemerédi定理，表明一个弱得多的伪随机性条件是足够的。我们的加强版本可以应用于给出密度为$N^{-c_k}$的$\mathbb{Z}_N$的伪随机子集中的$k$项等差数列的第一相对Szemerédi定理。在我们的证明中的关键组成部分是稀疏伪随机超图的正则性方法的扩展，我们相信这是有趣的。由此我们得到了超图移除引理的一个相对推广。这是一个加强早期的定理所使用的陶在他的证明，高斯素数包含任意形状的星座，并通过标准的论点，使我们能够推导出相对Szemerédi定理。

一个相对Szemerédi定理的算术转移证明

An arithmetic transference proof of a relative Szemerédi theorem

最近，康伦、福克斯和作者给出了一个相对的塞梅雷迪定理的新证明，这个定理是著名的格林-陶定理证明的主要新成分，格林-陶定理证明素数包含任意长的等差数列。粗略地说，一个相对的Szemerédi定理说，如果S是满足一定条件的整数集合，A是S的一个具有正相对密度的子集，那么A包含长等差数列，我们最近的结果表明S只需要满足一个所谓的线性型条件。本注记包含新的相对Szemerédi定理的另一种证明，其中我们直接转移Szemerédi定理，而不是通过超图移除引理。这种方法提供了一种更直接的途径来建立结果，并且它给出了更好的定量界限。证明有三个主要成分：（1）Green-Tao和Tao-Ziegler的迁移原理/稠密模型定理（Gowers后来给出了简化的证明，Reingold-Trevisan-Tulsiani-Vadhan独立地给出了证明）应用了差异/割型范数（而不是一个高尔斯一致性规范，因为它是适用于早期的作品），（2）计数引理建立的康伦，福克斯，和作者，（3）Szemerédi定理是一个黑箱。

用超滤子表示Szemerédi定理

Formulating Szemerédi's Theorem in Terms of Ultrafilters

范德瓦尔登定理断言，如果你用五种不同的颜色给自然数着色，那么你总是可以找到任意长的具有相同颜色的数字序列，它们形成一个等差数列。Szemerédi定理推广了这一说法，并断言每一个具有正密度的自然数子集都包含任意长度的等差数列。范德瓦尔登定理可以用初等组合学证明，但也可以用超滤子和斯通-切赫紧化βN给出解释和简短证明。这篇毕业论文给出了一个解释Szemerédi定理方面的超滤波器以及。特别地，van der Waerden定理等价于存在一个具有特殊性质的超滤子，我们将证明Szemerédi定理等价于这样一个事实，即关于βN上的计数测度，几乎所有的超滤子都具有这些性质。

通过三层无穷给出的塞迈雷迪定理的一个简单组合证明

A Simple Combinatorial Proof of Szemerédi's Theorem via Three Levels of Infinities

本文利用非标准宇宙中三层无穷和四个初等嵌入，通过直接归纳给出了塞迈雷迪定理的一个简单初等证明。

A structural Szemerédi-Trotter Theorem for Cartesian Products

We study configurations of $n$ points and $n$ lines that form $Θ(n^{4/3})$ incidences, when the point set is a Cartesian product. We prove structural properties of such configurations, such that there exist many families of parallel lines or many families of concurrent lines. We show that the line slopes have multiplicative structure or that many sets of $y$-intercepts have additive structure. We introduce the first infinite family of configurations with $Θ(n^{4/3})$ incidences. We also derive a new variant of a different structural point-line result of Elekes. Our techniques are based on the …

Hajnal-Szemerédi定理的加权形式

Towards a weighted version of the Hajnal-Szemerédi Theorem

对于一个正整数r>=2，图的K_r-因子是K_r的一个顶点不交副本的集合，它覆盖了给定图的所有顶点。Hajnal和Szemerédi的著名定理证明了最小度至少为（1-1/r）n的n阶图都含有一个K_r-因子。本文研究了边权图的最小度与完美K_r-填充存在性之间的关系。我们研究的主要问题如下。设给定一个正整数r>=2和一个在[0，1]中的实数t。K_n的最小加权度是多少，它保证存在一个K_r-因子，使得每个因子的总边权至少为tr（r-1）/2？我们提供了一些下限和上界，并作出猜想的阈值的渐近n趋于无穷大。

关于带随机公差的Szemerédi定理下界的注记

A Note on Lower Bounds in Szemerédi's Theorem with Random Differences

该研究针对有限域上带随机公差集的Szemerédi定理，结合推广的Altman论证与Moshkovitz--Zhu的张量秩界，小幅改进了Briët提出的定理渐近几乎必然成立所需公差集大小的最优下界。

关于大小为四的团的密度Hajnal–Szemerédi定理

Density Hajnal--Szemerédi theorem for cliques of size four

本文研究Hajnal–Szemerédi定理的边密度版本，首次渐近确定了$r=4$时保证图中存在$k$个顶点不相交$K_4$副本的五类极值构造，并为一般$r \ge 5$提出$r+1$类候选极值构造。

Szemerédi-Trotter型定理，有限拟域中的和积估计及相关结果

A Szemerédi-Trotter type theorem, sum-product estimates in finite quasifields, and related results

在有限拟域的情形下证明了Szemerédi-Trotter型定理和和积估计。这些估计推广了第四作者Garaev和Vu的结果。本文推广了Gyarmati和Sárközy关于有限域上方程$a + b = cd$和$ab + 1 = cd$的可解性的结果.其他类似的结果是已知的有限域举行推广到有限准域。

关于Hajnal-Szemerédi定理的有向形式

On directed versions of the Hajnal--Szemerédi theorem

我们称一个（di）图$G$有一个完美的$H$ -packing，如果存在一组$H$的顶点不相交的副本，它们覆盖了$G$中的所有顶点.开创性的Hajnal-Szemerédi定理刻画了确保图$G$包含完美$K_r$ -填充的最小度。本文证明了有向图的下列类比：设$T$是$r$顶点上的竞赛图，$G$是充分大阶$n$的有向图，其中$r$整除$n$ .如果$G$具有至少$ (1-1/r)n$的最小入度和最小出度，则$G$包含完美$T$ -填充。在$T$是循环三角形的情况下，这一结果验证了Czygrinow，Kierstead和Molla（关于大有向图）的一个猜想.此外，在$T$是传递的情况下，我们推测，它足以使$G$中的每个顶点有足够大的入度或出度。我们证明了这个猜想的传递三角形和渐近所有$r \geq 3$。我们的方法利用Keevash和Mycroft关于超图中几乎完美匹配的结果以及有向图移除引理。

$\mathbb{R}^4$中的Szemeredi-Trotter型定理

A Szemeredi-Trotter type theorem in $\mathbb{R}^4$

我们证明了$m$点和$n$二维代数曲面在$\mathbb{R}^4$中最多可以有$O(m^{\frac{k}{2k-1}}n^{\frac{2k-2}{2k-1}}+m+n)$关联，只要代数曲面的行为像具有$k$自由度的伪平面，并且$m\leq n^{\frac{2k+2}{3k}}$。作为特例，我们得到了$\mathbb{R}^4$中2-平面的Szemerédi-Trotter型定理，条件是$m\leq n$与平面横交.作为进一步的特例，我们得到了$\mathbb{C}^2$中复直线的Szemerédi-Trotter型定理，对$m$和$n$没有限制（这个定理最初由Tóth用不同的方法证明）。作为第三种特殊情况，我们得到了$\mathbb{C}^2$中复单位圆的Szemerédi-Trotter型定理。我们得到我们的结果结合几种工具，包括两个级别的模拟的离散多项式分割定理和交叉引理。

固定密度集上三项等差数列的Enumeration

Enumeration of three term arithmetic progressions in fixed density sets

加法组合学是建立在著名的定理Szemerédi断言存在的等差数列之间的任何长度的整数。有几个不同的证明定理的基础上非常不同的技术。Szemerédi定理是一个存在性陈述，而组合学的最终目标总是进行枚举陈述。本文利用实代数几何的方法，给出了固定密度集上等差数列个数的几种定量表述。我们进一步讨论的可能性推广Szemerédi定理使用的方法从真正的代数几何。

一个O-极小Szemerédi-Trotter定理

An o-minimal Szemerédi-Trotter theorem

我们证明了一个模拟的Szemerédi-Trotter定理在平面上的可定义曲线和点在任何O-最小结构在一个任意的实封闭的域$\mathrm{R}$。在证明中的一个新的成分是著名的交叉数不等式的图的情况下，嵌入在任何O-最小结构的任意实封闭的字段的情况下的延伸。

带随机差的Szemerédi定理与算术Kakeya

Szemerédi's theorem with random differences and arithmetic Kakeya

该研究证明了带随机差的Szemerédi定理的阈值界，通过小覆盖引理结合Green与Ruzsa的算术Kakeya相关构造，改进了此前的最优结果。

关于Balog、Szemerédi与Gowers定理的注记

Note on the Theorem of Balog, Szemerédi, and Gowers

该研究针对Balog-Szemerédi-Gowers定理的结构化集合规模问题，证明满足特定能量条件的加性集存在更大规模的子集，且其差集大小有对应上界，给出了该定理下能得到的最大结构化集合结果。

Szemerédi素数定理

Szemerédi's theorem in the primes

格林和陶在2005年证明了一个著名的定理：任何固定正密度的素数子集都包含任意长的等差数列。格林以前曾证明，事实上任何子集的素数的相对密度趋于零足够缓慢地包含一个3长期长期进展。随后是Helfgott和de Roton以及Naslund的工作，他们改进了3项级数情况下相对密度的界限。本文的目的是通过将Conlon、Fox和Zhao给出的相对Szemerédi定理的量化版本与Henriot对包络筛重的估计相结合，为更长的级数给出一个类似的结果。

Szemerédi-Trotter定理的推广

Generalizations of the Szemerédi-Trotter Theorem

我们推广了Szemerédi-Trotter关联定理，在高维空间中定义了完备\emph{flags}的个数.具体地，对于每个$i=0,1,\ldots,d-1$，我们在$\R^d$或$\C^d$中给出$i$ -平坦的有限集合$S_i$，并且（完整）标志是元组$(f_0,f_1,\ldots,f_{d-1})$，其中$f_i\in S_i$用于每个$i$，而$f_i\subset f_{i+1}$用于每个$i=0,1,\ldots,d-2$。我们的主要结果是在最坏的情况下是紧的标志的数量上界。我们还研究了其他几种关联问题，包括（i）$\R^3$中的点与线之间的关联，使得在关联到一个点的线中，最多$O(1)$可以是共面的，（ii）$\R^3$中Legendrian线的关联，这是考虑根据其他组定义的标志时出现的一类特殊的线，以及（iii）$\R^3$中的标志（涉及点、线和平面），其中给定的线不能包含太多的点或位于太多的平面上。我们在（iii）中得到的界在最坏情况下几乎是紧的。最后，我们探讨了一组理论解释的旗帜，一个广义的版本，使我们新的发病率问题。

有限域上多项式Szemerédi定理的进一步界

Further bounds in the polynomial Szemerédi theorem over finite fields

我们提供了上界的大小的子集的有限域缺乏多项式级数$$ x, x+y, ..., x+(m-1)y, x+y^m, ..., x+y^{m+k-1}.$$这些是第一个已知的上界在多项式Szemerédi定理的情况下，多项式既不是线性无关，也不是齐次的相同程度。此外，我们改进了已知的界限子集的有限域缺乏等差数列的差异来自一组的$k$ -th幂剩余，即配置的形式$$ x, x+y^k, ..., x+(m-1)y^k.$$这两个结果遵循从估计的数量这样的级数在任意子集的一个有限域。

拟随机群上的Ajtai-Szemerédi定理

Ajtai-Szemerédi Theorems over quasirandom groups

在有限非阿贝尔群$G$的笛卡尔方上考虑Ajtai-Szemerédi定理的两个版本。在$G$是充分准随机的情况下，我们得到两个版本的强形式：如果$E \subseteq G\times G$是相当密集的，那么$E$包含了大量的所需模式的大多数个人选择的“公差”。对于其中一个版本，我们还表明，这组良好的公差是syndetic。

近似格中正密度集合的 Szemerédi 型定理

A Szemerédi type theorem for sets of positive density in approximate lattices

本文针对局部紧第二可数 Abel 群的近似格，证明正密度集合的 Szemerédi 型定理，并借助新版 Furstenberg 对应原理与 Austin 的结果解决 Klick 等人的猜想。

关于有限域上的多项式Szemerédi定理

On the polynomial Szemerédi theorem in finite fields

设$P_1,\dots,P_m\in\mathbb{Z}[y]$是任意常数项为零的线性无关多项式。证明了存在一个$γ>0$，使得$\mathbb{F}_q$的任何子集的大小至少为$q^{1-γ}$，包含一个非平凡的多项式级数$x,x+P_1(y),\dots,x+P_m(y)$，只要$\mathbb{F}_q$的特征足够大.

从Szemerédi正则性证明极图的稳定性

A proof of the stability of extremal graphs, Simonovits' stability from Szemerédi's regularity

证明了图兰定理的下列锐化。设$T_{n,p}$表示具有最大边数的$n$阶完全$p$-部图.若$G$是一个有$e(T_{n,p})-t$边的$n$ -顶点$K_{p+1}$ -自由图，则存在（至多）一个$p$ -色子图$H_0$使得$e(H_0)\geq e(G)-t$ .利用这个结果，我们提出了一个简洁的，当代的证明（即，一个应用Szemerédi的正则性引理）的经典稳定性结果的Simonovits。

三维空间中的Szemerédi-Trotter型定理

Szemerédi--Trotter-type theorems in dimension 3

我们估计在三维空间中$m$线和$n$点的配置中发生的次数。如果我们在实数或复数上工作，则主项是$mn^{1/3}$，但在有限域上是$mn^{2/5}$。这两个都是最佳的，除了乘法常数最多为5。

关于有限域中Freiman和Balog-Szemeredi-Gowers定理的注记

A note on the Freiman and Balog-Szemeredi-Gowers theorems in finite fields

在有限域几何F_2 ^n的模型情形下，我们得到了Balog-Szemeredi-Gowers定理和Freiman定理的定量形式，改进了这类定理的已知界.例如，如果A是F_2^n的子集，使得|A+A| <= K |A|（因此A有小的加法加倍），我们证明了存在基数为|V| >> K^{-O（\sqrt{K}）} |A|的F_2 ^n的仿射子空间V，使得|A \cap V|>> |V| /2K。在假设A至少包含|A| ^3/K个四元组且a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0的情况下，我们得到了类似的结果，尽管条件|V| >> K^{-O（K）} |A|稍弱。

Szemerédi定理的改进界

Improved Bounds for Szemerédi's Theorem

本文利用Gowers $U^k$范数逆定理的拟多项式界和密度增量策略，改进了$k\ge5$时无$k$项等差数列集合的上界。

关于Hajnal-Szemerédi定理的Ramsey-Turán变式

On a Ramsey-Turán variant of the Hajnal-Szemerédi theorem

Hajnal和Szemerédi的一个开创性的结果指出，如果一个图$G$与$n$顶点有最小度$δ(G) \ge (r-1)n/r$为某个整数$r \ge 2$，那么$G$包含一个$K_r$ -因子，假设$r$整除$n$。极端的例子表明$δ(G)$上的界的最优性是非常结构化的，特别是，包含大的独立集。类似于拉姆齐-图兰理论，Balogh，Molla和Sharifzadeh开始研究缺乏这样大的独立集如何影响足够的最小度。我们证明了以下两个相关的结果：$\bullet$对于任何$r > \ell \ge 2$，如果$G$是一个满足$δ(G) \ge (r - \ell)n/(r - \ell + 1) +Ω(n)$和$α_\ell(G)=o(n)$的图，即最大的无$K_\ell$的导出子图有最多个$o(n)$顶点，则$G$包含一个$K_r$ -因子。这对于$\ell = r - 1$是最优的，并且扩展了Balogh、Molla和Sharifzadeh考虑$r = 3$情况的结果。如果图$\bullet$满足$δ(G) =Ω(n)$和$α_r^*(G) =o(n)$，即$G$的每个导出的无$K_r$的$r$ -部子图至少有一个顶点类的大小为$o(n)$，则它包含一个$K_r$ -因子.对于一般图$H$证明了类似的陈述。

Sharp Szemerédi-Trotter Constructions in the Plane

We present a new family of sharp examples for the Szemerédi-Trotter theorem. These are the first examples not based on a rectangular lattice. We also include an application to the discrete inverse Loomis-Whitney problem.

多维Szemerédi定理的一个近似计数版本

An Approximate Counting Version of the Multidimensional Szemerédi Theorem

本文证明了多维Szemerédi定理的一个近似计数版本，利用Behrend构造的多维扩展和超图容器引理，推广了关于无特定模式集合数量的已有结果。

Szemerédi定理的定量遍历论证明

A quantitative ergodic theory proof of Szemerédi's theorem

Szemerédi的一个著名定理断言，给定任何密度$0 < δ\leq 1$和任何整数$k \geq 3$，任何具有密度$δ$的整数集合将包含无穷多个长度为$k$的真等差数列。对于一般的$k$，这个事实基本上有四个已知的证明：Szemerédi使用Szemerédi正则性引理和van der Waerden定理的原始组合证明，Furstenberg使用遍历论的证明，Gowers使用傅里叶分析和加法组合学的逆理论的证明，以及Gowers使用超图正则性引理的最近证明。在这四个证明中，遍历论证明可以说是最短的，但也是最不基本的，特别需要使用超穷归纳法（因此也是选择公理选择公理），将一般遍历系统分解为一个超穷紧扩展塔的弱混合扩展。在这里，我们提出了一个定量的，自足的版本，这个遍历论证明，这是“基本的”，在这个意义上，它不需要选择公理，使用无限集或措施，或使用傅里叶变换或逆定理从加法组合。它还给出了明确的（但极差的）定量界限。

多项式Szemerédi定理的进一步界

Further bounds in the polynomial Szemerédi theorem

该研究针对多项式Szemerédi定理，证明满足特定大小条件的整数子集包含指定非平凡模式，是除等差数列细化外首个获整数定量界的高复杂度构型。

Szemeredi定理的新界I：有限域几何中长度为4的级数

New bounds for Szemeredi's Theorem, I: Progressions of length 4 in finite field geometries

设F是特征至少为5的固定有限域。设G = F^n是F上的n维向量空间，记为N：= |G|。本文证明了：如果A是G的一个子集，其大小至少为c_FN（log N）^{-c}，对某个绝对常数c > 0和某个c_F > 0，则A在等差数列中包含四个不同的元素.在加法组合学的通常符号中，这等价于断言r_4（G）<<_FN（log N）^{-c}。

有限群中的Roth型定理

Roth type theorems in finite groups

证明了有限群中的Roth型定理。我们的主要工具是Ruzsa和Szemerédi的三角形移除引理。

Szemeredi定理Ia的新界：重评有限域几何中长度为4的级数

New bounds for Szemeredi's theorem, Ia: Progressions of length 4 in finite field geometries revisited

设p > 4为素数。我们证明了F_p^n中不含4项等差数列的最大子集具有基数<< N（log N）^{-c}，其中c = 2^{-22}且N：= p^n.作者在之前的一篇论文中提出了这种类型的结果，并发表在《伦敦数学学会学报》上。不幸的是，证明有一个缺口，我们在这里发布一个勘误表。我们的新论点是不同的，而且明显更短。事实上，我们证明了一个更强的结果，它可以被看作是Bergelson-Host-Kra和作者以前的一些结果的定量版本。

Szemerédi定理的一个构造性下界

A Constructive Lower Bound on Szemerédi's Theorem

令$r_k(n)$表示集合$A \subset \{1,2, \dots, n \}$的最大基数，使得$A$不包含$k$项算术级数。本文给出了一种构造这种集合的方法，并证明了它的下界$n^{1-\frac{c_k}{k \ln k}} < r_k(n)$，其中$k$是素数，$c_k \rightarrow 1$是$k \rightarrow \infty$ .当我们选择越来越大的$k$时，这个界限对于$n$的越来越大的区间是最有名的。我们还表明，可以证明或证伪猜想Erdalos的等差数列在大集一旦足够紧的界限$r_k(n)$。

两个证明与一个紧的Szemerédi–Trotter定理

Two proofs and a tight Szemerédi--Trotter theorem

本文为Lewko与Miao–Xie分别提出的两个Szemerédi–Trotter定理推广证明提供几何直观并比较，利用Hasse导数改进证明，最终得到任意代数闭域上的紧关联对数量上界。