Shortest Path Separators in Unit Disk Graphs
本文提出单位圆盘图中基于两条最短路径及其1跳邻居的平衡分隔符定理，改进了先前需移除3跳邻域的结果，并利用Delaunay三角剖分及推广的Lipton-Tarjan定理进行证明。
2024-07-22 cs.CG cs.DS
Balanced Line Separators of Unit Disk Graphs
我们证明了单位圆盘相交图的图分离定理的一个几何版本：对于平面中的任何$n$单位圆盘集合，存在一条线$\ell$，使得$\ell$与至多$O(\sqrt{(m+n)\log{n}})$圆盘相交，并且由$\ell$确定的每个半平面至多包含集合中的$2n/3$单位圆盘，其中$m$是相交圆盘对的数目.我们还表明，一个轴平行线相交$O(\sqrt{m+n})$磁盘存在，但每个半平面可能包含多达$4n/5$磁盘。我们给出了一个几乎紧的下限（亚对数因子），我们的方法，也表明，没有线分离器的次线性大小的$n$存在，当我们看磁盘的任意半径，即使当$m=0$。证明是建设性的，并建议在线性时间内运行的简单算法。实验结果表明，在随机情况下，该方法优于Fox和Pach（其分隔符大小为$O(\sqrt{m})$）方法.
2019-08-17 cs.CG cs.DM cs.DS
Near-optimal separators in string graphs
设G是一个有m条边的弦图（平面上连续弧的交图）。Fox和Pach证明了G有一个由O（m^{3/4} \sqrt{log m}）$个顶点组成的分隔符，并证明了O（\sqrt m）的界成立.我们得到了具有O（\sqrt m \log m）个顶点的分离器.
2013-05-06 cs.DM cs.DS math.CO
Yet Another Graph Partitioning Problem is NP-Hard
近年来，大量的图分离器问题被证明是\textsc{NP-Hard}。令人惊讶的是，我们发现$α$ -子图平衡顶点分隔符，一个重要的变量，被忽略了。在这项工作“又一个图划分问题是NP-难”，我们提出了令人惊讶的结果，$α$ -子图平衡顶点分隔符是$NP$ -难。这是尽管事实上，我们的新问题的约束比原来的问题更难满足。
2014-03-21 cs.CC cs.DS
Designing Multi-Commodity Flow Trees
传统的多商品流问题假设一个给定的流网络，其中多个商品将最大限度地响应于给定的需求路由。考虑多商品流网络设计问题：给定一组多商品流需求，在一定的约束条件下，寻找一个网络，使商品能最大限度地被运送。本文主要研究了要求网络是树的情况。主要结果是一个近似算法的情况下，树是需要常数度。该算法将问题简化为最小权重平衡分离器问题;该算法的性能保证在平衡分离器过程的性能保证的4倍之内。如果使用Leighton和Rao的平衡分隔符过程，则性能保证为O（log n）。这提高了O（log^2 n）的近似因子，而直接应用平衡分离器方法获得近似因子是微不足道的。
2002-05-30 cs.DM cs.DS
Approximating the Exponential, the Lanczos Method and an \tilde{O}(m)-Time Spectral Algorithm for Balanced Separator
对于平衡分离器问题，我们给出了一个新的谱近似算法：给定图G，一个常数平衡\in（0，1/2]，和一个参数γ，要么在G中找到一个电导为O（\sqrt（γ））的Ω（b）平衡割，要么输出一个证明，证明G中所有的b平衡割都至少有γ的电导，并在时间上运行\tilde{O}（m）.这就解决了平衡分离器的渐近最优谱算法的设计问题。我们的算法依赖于一个变种的热核随机游走，并要求，作为一个子程序，一个算法来计算\exp（-L）v，其中L是拉普拉斯算子的图有关G和v是一个向量。计算矩阵指数向量积的算法有效地构成了我们的下一组结果。我们在这里的主要结果是一种新算法，该算法针对一类PSD矩阵A和给定向量u计算\exp（-A）v的良好逼近，在时间上大致为\tilde{O}（m_A），其中m_A是A的非零条目的数量。这以非平凡的方式使用Spielman和Teng关于在\tilde{O}（m_A）时间内反转SDD矩阵的结果。最后，我们证明了e^{-x}可以在一个非负区间[a，b]中用一个近似为\sqrt{b-a}的多项式一致逼近到一个小的加性误差。虽然这一结果是独立的近似理论的兴趣，我们表明，通过Lanczos方法从数值分析，它产生一个简单的算法来计算\exp（-A）v的PSD矩阵，运行时间约为O（t_A \sqrt{||A||}），其中t_A是所需的时间为给定的矢量w的矢量Aw的计算。作为应用，我们得到了按时…
2011-11-07 cs.DS cs.NA math.CA
A Simple Distributed Deterministic Planar Separator
University of Haifa（海法大学）
本文提出一个简单确定性算法，用于平面图的分布式平衡分割，具有与之前算法相同的轮复杂度。
2026-02-26 cs.DC cs.DS
Separators in region intersection graphs
对于无向图$G=(V,E)$和$G_0=(V_0,E_0)$，如果存在$G_0$的一族连通子集$\{ R_u \subseteq V_0 : u \in V \}$使得$\{u,v\} \in E \iff R_u \cap R_v \neq \emptyset$，则称$G$是$G_0$上的区域交图。我们表明，如果$G_0$排除完全图$K_h$作为一个小的一些$h \geq 1$，那么每个区域相交图$G$在$G_0$与$m$边缘有一个平衡的分离器，最多$c_h \sqrt{m}$节点，其中$c_h$是一个常数，只取决于$h$。如果$G$另外具有一致有界顶点度，则通过谱划分找到这样的分离器。弦图是平面上连续弧的交图。前面的结果意味着每个具有$m$边的字符串图都有一个大小为$O(\sqrt{m})$的平衡分隔符。这个界限是最优的，因为它推广了平面分离定理。它证实了Fox和Pach（2010）的一个猜想，并改进了Matousek（2013）的$O(\sqrt{m} \log m)$界。
2017-07-27 cs.DS math.CO math.MG
Finding All Leftmost Separators of Size $\leq k$
我们定义了一个概念，称为最左分隔符的大小最多$k$。大小为$k$的最左侧分隔符是最小分隔符$S$，其分隔两个给定的顶点集合$X$和$Y$，使得我们“不能将$S$更朝向$X$移动“，使得$|S|$保持小于阈值。其中一个动机是，通过使用最左边的分隔符，我们可以改善树宽近似的时间复杂度。树宽近似是一个已知在输入大小方面具有线性时间FPT算法的问题，并且在参数树宽方面仅具有单指数。目前尚不清楚这一结果是否可以在理论上得到改善。然而，指数中的参数$k$（树宽）的系数大。因此，我们的目标是降低$k$的指数系数，以实现更实用的算法。因此，我们用线性时间算法交换$\mathcal{O}(n \log n)$时间算法。先前已知的$\mathcal{O}(f(k) n \log n)$ -时间算法具有$2^{24k}k!$、$2^{8.766k}k^2$（更好的分析表明它是$2^{7.671k}k^2$）和更高的依赖性。本文提出了一种在时间上运行的树宽近似算法$\mathcal{O}(2^{6.755k}\ n \log n)$，并计算了最左分隔符的个数，给出了最左分隔符的一个严格上界。我们证明了$\leq k$大小的最左边的分隔符的数目至多是$C_{k-1}$（加泰罗尼亚数）。然后，我们提出了一个算法，输出所有最左边的分隔符在时间$\mathcal{O}(\frac{4^k}{\sqrt{k}}n)…
2021-11-04 cs.DS
A Separator-based Algorithm for the Graph Edit Distance Problem
University of Bonn（波恩大学）
针对图编辑距离问题，提出基于分离器的指数时间精确算法，在特定图类上改进了最坏情况运行时间界。
2026-09-18 cs.DS
Dynamic Effective Resistances and Approximate Schur Complement on Separable Graphs
我们考虑的问题，动态保持（近似）所有对有效电阻可分图，这是那些承认一个$n^{c}$ -分离定理，一些$c<1$。我们给出了一个完全动态的算法，该算法保持$n$ -顶点图$G$的所有对有效电阻的$(1+\varepsilon)$ -近似，该图经历边插入和删除，具有$\tilde{O}(\sqrt{n}/\varepsilon^2)$最坏情况更新时间和$\tilde{O}(\sqrt{n}/\varepsilon^2)$最坏情况查询时间，如果$G$保证是$\sqrt{n}$ -可分离的（即，它取自满足$\sqrt{n}$ -分离器定理的类），并且它的分离器可以在$\tilde{O}(n)$时间内计算。我们的算法是建立在一个动态的算法，用于维护\emph{approximate Schur complement}，大约保留成对的有效电阻之间的一组终端可分离的图形，这可能是独立的利益。我们补充我们的结果证明，对于任何两个固定的顶点$s$和$t$，没有增量或减量算法可以保持$s-t$有效电阻$\sqrt{n}$ -可分离的图与最坏情况下的更新时间$O(n^{1/2-δ})$和查询时间$O(n^{1-δ})$的任何$δ>0$，除非在线矩阵向量乘法（OMv）猜想是假的。我们进一步表明，对于\emph{general}图，没有增量或减量算法可以保持$s-t$有效电阻问题的最坏情况下的更新时间$O…
2018-08-08 cs.DS
Hypergraph Partitioning through Vertex Separators on Graphs
超图提供的建模灵活性已经引起了组合科学界的极大兴趣，导致了新的模型和算法，它们的应用以及相关工具的开发。超图现在是组合科学计算中的标准工具。然而，超图的建模灵活性是有代价的：超图上的算法本质上比图上的算法更复杂，这有时会转化为处理时间的非平凡增加。超图的建模灵活性和图算法的运行效率都不容忽视。因此，新的研究重点应该是如何在两者之间巧妙地权衡。这项工作解决了一种方法，这种权衡解决超图分区问题，找到顶点分离器的图形。具体来说，我们研究如何解决超图的划分问题，寻求一个顶点分离器在其网络交叉图（NIG），其中每个网络的超图是由一个顶点，和两个顶点共享一条边，如果他们的网络有一个共同的顶点。由于NIG模型不能保持节点平衡信息，我们提出了一种顶点加权方案来获得良好的节点平衡超图。顶点删除和顶点分裂技术被描述为优化割网和连通性指标，分别在递归二分范式。我们还通过采用和修改最先进的GPVS工具onmetis，开发了基于GPVS的HP公式的实现。大量的稀疏矩阵上进行的实验证实了我们所提出的技术的有效性。
2011-03-01 cs.DS
Separator Theorem and Algorithms for Planar Hyperbolic Graphs
本文提出平面δ-双曲图的新型平衡分隔符定理，构造近线性时间且大小poly(δ)log n，并据此为最大独立集和旅行推销员问题设计近线性时间FPTAS，同时证明最大独立集在ETH下无n^{o(δ)}时间算法。
2023-10-17 cs.CG cs.DM cs.DS
Towards an SDP-based Approach to Spectral Methods: A Nearly-Linear-Time Algorithm for Graph Partitioning and Decomposition
在本文中，我们考虑以下图划分问题：输入是无向图$G=(V,E),$、平衡参数$b \in (0,1/2]$和目标电导值$γ\in (0,1).$。输出是切割，如果非空，对于某些功能$f(G, γ),$，在最多$O(f),$时具有电导，并且与最多$γ.$时的所有电导切割平衡或良好相关，Spielman和Teng给出了$\tilde{O}(|E|/γ^{2})$ -时间算法的$f= \sqrt{γ\log^{3}|V|}$，并使用它来分解成一个集合的近扩张图。我们提出了一个新的谱算法，该算法在时间上运行$\tilde{O}(|E|/γ)$为$f=\sqrtγ.$我们的结果产生了第一个近线性时间算法的经典平衡分离器问题，实现了渐近最优逼近保证谱方法。我们的方法具有概念简单的优点，并依赖于原始对偶半定规划SDP方法。我们首先考虑一个自然的SDP松弛的平衡分离器问题。虽然很容易从这个SDP中获得一个事实的证明，即该图没有电导小于$γ,$的平衡切割，但令人惊讶的是，我们可以获得更强相关条件的证明。这是通过一个新的分离预言我们的SDP和呼吁阿罗拉和凯尔的框架来约束运行时间。我们的结果包含可能独立感兴趣的技术成分。
2010-10-20 cs.DS
$c$-Packedness versus $λ$-Low-Density in Geometric Graphs: Theory and Practice
University of Konstanz（康斯坦茨大学）；ENSEIRB, Bordeaux（波尔多ENSEIRB）
本文研究几何图中 $c$-packedness 与 $\lambda$-low-density 参数，提出可扩展计算方法，证明 $c\in O(\lambda\sqrt n)$，并改进平衡分隔符算法，实现 $O(c)$ 查询时间的精确距离预言，实验验证于大型道路网络。
2026-09-24 cs.CG cs.DS
Hardness and Approximation Algorithms for Balanced Districting Problems
Rutgers University（罗格斯大学）；National Taiwan University（台湾大学）；Boston College（波士顿学院）；Osaka University（大阪大学）；George Mason University（乔治梅森大学）
针对政治划区驱动的平衡分区问题，证明了多类图上的近似难度，提出基于改进Whack-a-Mole算法的近似方案，引入平衡散射分隔器实现紧近似比。
2025-05-31 cs.DS
Approximate Maximum Flow on Separable Undirected Graphs
我们提出了更快的算法，在无向图中的近似最大流具有良好的分离器结构，如有界亏格，未成年人自由，几何图形。给定这样一个具有$n$顶点、$m$边以及递归$\sqrt{n}$ -顶点分隔符结构的图，我们的算法在时间上找到$1-ε$近似最大流$\tilde{O}(m^{6/5} \poly{ε^{-1}})$，忽略多对数项。对于具有较大大小分隔符的可分离图，也实现了类似的加速，尽管具有较大的运行时间。这些界限也适用于二维和三维的图像问题。我们的算法的关键是一个中间问题，我们称之为分组$L_2$流，它存在于最大流和电流之间。我们的算法还利用频谱顶点稀疏，以消除顶点，同时保持电力流的能量耗散。我们还给出了更快的谱顶点稀疏算法分离良好的图，这可能是独立的利益。
2012-10-18 cs.DS
Combinatorial Geometry of Graph Partitioning - I
{ \sc $c$ -平衡分离器}问题是一个图划分问题，其中给定图$G$，目标是找到最小尺寸的切割，使得切割的两侧至少具有$cn$顶点。在本文中，我们提出了新的进展方向的{ \sc $c$ -平衡分离器}问题。更具体地说，我们提出了一个家庭的数学计划，这取决于一个参数$p > 0$，是一个扩展的统一版本的SDPs提出的Goemans和Linial为这个问题。事实上，对于$p=1$的情况，如果可以在多项式时间内解决这个程序，那么简单地使用{ \sc Max Cut} \cite{WG95}的Goemans-Williamson随机舍入算法将给出{ \sc $c$ -平衡分离器}的$O(1)$ -因子近似算法，由于Arora，Rao和Vazirani \cite{ARV}，改进了$O(\sqrt{\log n})$的最佳已知近似因子。这一系列的计划是不凸的，但可以将它们转换成所谓的\emph{\textbf{concave programs}}，其中一个优化凸可行集上的凹函数。众所周知，这类规划的最优解位于可行集\cite{TTT85}的一个极值点上。我们的主要贡献是一个组合特征的一些极端点的可行集的数学规划，$p=1$的情况下，据我们所知，这是第一次。我们进一步展示了如何可以使用这种特性来解决在一个限制设置的程序。非凸计划最近已调查Bhaskara和Vijayaraghvan \ci…
2010-11-19 cs.DS math.MG
Reweighted Spectral Partitioning Works: A Simple Algorithm for Vertex Separators in Special Graph Classes
本文提出重加权谱划分这一多项式时间算法，通过改进Cheeger型不等式、推导半定规划界，为多类特殊图求得小规模2/3平衡顶点分隔器，同时得到若干相关独立结果。
2026-10-16 cs.CG cs.DM cs.DS
Induced-Minor-Free Graphs: Separator Theorem, Subexponential Algorithms, and Improved Hardness of Recognition
本文证明无诱导子式图具有大小为 $O_H(\sqrt{m})$ 的平衡顶点分离器，并据此为最大独立集等问题给出次指数时间算法，同时证明存在固定树 $T$ 使诱导子式检测在 ETH 下无 $2^{o(n/\log^3 n)}$ 算法，从而解决一个开放问题。
2023-08-09 cs.DS math.CO
Designing Practical PTASes for Minimum Feedback Vertex Set in Planar Graphs
我们提出了两个算法的最小反馈顶点集问题的平面图：一个$O(n \log n)$ PTAS使用线性核和平衡分离器，和一个启发式算法使用核化和局部搜索。我们实现了这些算法，并将其性能与Becker和Geiger的2-近似算法进行了比较。我们观察到，虽然我们的PTAS是有竞争力的2-近似算法的大平面图，其运行时间要长得多。我们的启发式算法在大多数大型平面图上的性能优于2-近似算法，并提供了运行时间和解质量之间的折衷，即“PTAS行为”。
2018-04-21 cs.DS
Polylogarithmic Approximation Algorithms for Weighted-$\mathcal{F}$-Deletion Problems
对于图族$\cal F$，规范加权$\cal F$顶点删除问题定义如下：给定$n$ -顶点无向图$G$和权函数$w: V(G)\rightarrow\mathbb{R}$，求最小权子集$S\subseteq V(G)$，使得$G-S$属于$\cal F$ .我们设计了一个递归的计划，以获得$O(\log^{O(1)}n)$ -近似算法，这样的问题，建立在经典的技术，找到平衡的分离器在一个图。粗略地说，我们的计划适用于问题的最佳解决方案$S$，连同一个结构良好的集合$X$，形成一个平衡的$G$分离器。我们得到了下列问题的第一个$O(\log^{O(1)}n)$ -近似算法。* 给出了弦图族顶点删除问题的加权弦点删除（WCVD）的一个$O(\log^2n)$ -因子近似算法。同时，我们还得到了弦图上多重割的常数因子近似算法。* 给出了加权距离遗传顶点删除（WDHVD）的一种$O(\log^3n)$因子近似算法.这是距离遗传图族的顶点删除问题，或者等价地，秩宽为1的图族的顶点删除问题。我们的方法也使我们能够获得一个干净的方式一个$O(\log^{1.5}n)$近似算法的加权$\cal F$顶点删除问题时，$\cal F$是一个未成年人的封闭家庭，不包括至少一个平面图。对于该问题的未加权版本，常数因子近似算法是已知的~[Fomin et al.，FOCS~2012]，而对于这里考虑的加权版…
2017-07-16 cs.DS
Euclidean TSP with few inner points in linear space
给定欧氏平面上的一组$n$点，使得只有$k$点严格位于整个集合的凸包内，我们希望找到访问每个点的最短路径。当$k$明显小于$n$时，即，当内部点很少时，在$O(k^{11\sqrt{k}} k^{1.5} n^{3})$时间中工作[Knauer and Spillner，WG 2006]，但也需要有序空间$k^{c\sqrt{k}}n^{2}$。最佳线性空间算法花费$O(k! k n)$时间[Deineko，Hoffmann，Okamoto，Woeginer，Oper.保留信函34（1），106-110]。我们构造了一个线性空间$O(nk^2+k^{O(\sqrt{k})})$时间算法。新的见解是扩展已知的分治方法的基础上，平面分隔符与匹配为基础的参数，以缩小每个递归调用的实例。这个论点也表明，该问题承认一个二次双内核。
2014-06-09 cs.DS
Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
给定平面中的一组$n$点$S$，$S$的三角测量$T$是端点在$S$中的非交叉线段的最大集合。我们提出了一种算法，该算法计算给定的$n$时间点集$n^{(11+ o(1))\sqrt{n} }$上的三角剖分数量，显著改善了Alvarez和Seidel [SoCG 2013]之前$O(2^n n^2)$的最佳运行时间。我们的主要工具是确定分隔符的大小$O(\sqrt{n})$的三角剖分在一个规范的方式。分隔符的定义是基于三角剖分到嵌套层（“仙人掌图”）的分解。基于上述算法，我们开发了一个简单而形式化的框架，可以在$n^{O(\sqrt{n})}$时间内对其他非交叉直线图进行计数。我们证明了有用的框架，将其应用于计数非交叉汉密尔顿循环，生成树，完美匹配，$3$ -可着色三角，连通图，循环分解，四边形，$3$ -经常图，等等。
2016-03-23 cs.CG cs.DM cs.DS
A quasi-polynomial algorithm for well-spaced hyperbolic TSP
研究了高斯曲率双曲平面上的旅行商问题$-1$ .令$α$表示任意两个输入点之间的最小距离。利用一个新的分离定理和一个新的重路由参数，我们给出了双曲型TSP的一个$n^{O(\log^2 n)\max(1,1/α)}$算法。如果$α$至少是某个绝对常数，则这是准多项式时间，并且当$α$减小到$\log^2 n/\sqrt{n}$时，它增大到$n^{O(\sqrt{n})}$。(For甚至更小的$α$值，我们可以使用Hwang等人（1993）的基于平面的算法，其给出$n^{O(\sqrt{n})}$的运行时间。）
2020-02-13 cs.CG cs.DS
Partitioning a Graph into Small Pieces with Applications to Path Transversal
给定一个图$G = (V, E)$和一个整数$k$，我们分别研究了$k$ -顶点分离器. $k$ -边分隔符），其中的目标是删除最小数量的顶点（分别为边），使得所得图中的每个连通分量最多具有PDMATHAMN顶点。我们主要关注$k$是$n$的常数或缓慢增长函数（例如$O(\log n)$或$n^{o(1)}$）的情况。我们的问题可以被解释为一个特殊的情况下，已分别研究的三个一般类的问题（平衡图分区，超图顶点覆盖（HVC），固定参数易处理性（FPT））。我们的主要结果是一个$O(\log k)$ -近似算法的$k$ -顶点分离器，运行在时间$2^{O(k)} n^{O(1)}$，和一个$O(\log k)$ -近似算法的$k$ -边缘分离器，运行在时间$n^{O(1)}$。我们的$k$ -边缘分离器的结果改进了以前最好的小$k$图分割算法。我们在$k$ -顶点分离器上的结果改进了HVC的简单$(k+1)$ -近似.当$OPT > k$时，运行时间$2^{O(k)} n^{O(1)}$快于假设指数时间假设的精确算法的下限$k^{Ω(OPT)} n^{Ω(1)}$。虽然运行时间的$2^{O(k)} n^{O(1)}$的$k$ -顶点分离器似乎不令人满意，我们表明，超多项式依赖$k$可能需要实现多对数近似比，基于硬度的Denmark $k$ -子图。我们还研究了$k$ -路径transmi…
2016-07-18 cs.DS
Probabilistic Spectral Sparsification In Sublinear Time
在本文中，我们介绍了一个变种的频谱稀疏，称为概率$(\varepsilon,δ)$ -频谱稀疏。粗略地说，它保留具有$1\pm\varepsilon$乘性误差和$δ\left|S\right|$加性误差的任何切割$(S,S^{c})$的切割值。我们展示了如何产生一个概率$(\varepsilon,δ)$谱稀疏与$O(n\log n/\varepsilon^{2})$边的时间$\tilde{O}(n/\varepsilon^{2}δ)$时间的无向图。这给出了已知的最快的次线性时间算法的不同切割问题的无向图，如-一个$\tilde{O}(n/OPT+n^{3/2+t})$时间$O(\sqrt{\log n/t})$ -近似算法的稀疏切割问题和平衡分离器问题。- 具有$\varepsilon n$附加误差的$n^{1+o(1)}/\varepsilon^{4}$时间近似最小s-t截算法。
2013-12-31 cs.DS
Finding, Hitting and Packing Cycles in Subexponential Time on Unit Disk Graphs
我们给算法的运行时间$2^{O({\sqrt{k}\log{k}})} \cdot n^{O(1)}$为以下问题。给定一个$n$ -顶点单位圆盘图$G$和一个整数$k$，判定$G$是否包含（1）恰好/至少$k$顶点上的路径，（2）恰好在$k$顶点上的圈，（3）至少在$k$顶点上的圈，（4）大小至多为$k$的反馈顶点集，以及（5）$k$成对顶点不相交循环的集合。对于前三个问题，没有亚指数时间参数化算法是以前已知的。对于剩下的两个问题，我们的算法显着优于以前最好的已知的参数化算法，运行时间$2^{O(k^{0.75}\log{k})} \cdot n^{O(1)}$。我们的算法是基于一种新的树分解的单位盘图中的分隔符可以有大小高达$k^{O(1)}$，并存在一个解决方案，交叉每个分隔符在最多$O(\sqrt{k})$倍。假设指数时间假设，我们的算法的运行时间是最佳的指数中的$\log{k}$因子。
2017-04-24 cs.CG cs.DS
Structured Recursive Separator Decompositions for Planar Graphs in Linear Time
给定一个n阶平面图G和一个整数参数r<n，G的少洞r-划分是将G分解为O（n/r）个大小不超过r的区域，使得每个区域包含最多常数个不是G的面（也称为洞）的面，并且对于每个区域，这些面上的顶点总数为O（sqrt r）。我们提供了一个线性时间算法计算r-划分与几个孔。事实上，我们的算法计算了一个称为分解树的结构，它表示G的递归分解，其中包括基本上所有r值的r-划分。特别地，给定指数增长序列r =（r_1，r_2，.），我们的算法可以在线性时间内产生具有很少孔的递归R-除法。在计算最短路径、最小切割和最大流的有效算法中，已经使用了具有很少孔的R-划分。我们的线性时间算法改进了最小st-割的最新算法中使用的分解算法（Italiano，Nussbaum，Sankowski和Wulff-Nilsen，STOC 2011），消除了其算法整体运行时间的瓶颈之一（类似于平面和有界亏格图中的最小割）。
2013-05-17 cs.DM cs.DS math.CO
Small Independent Sets versus Small Separator in Geometric Intersection Graphs
ENS de Lyon, CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP, UMR 5668（里昂高等师范学院，法国国家科学研究中心，克洛德·贝尔纳里昂大学，LIP实验室）
研究发现某些几何交图中存在亚指数算法，但不满足平方根现象，引入弱平方根现象概念及新的图参数α-调制数。
2026-04-29 cs.CG cs.DS
Approximation Schemes for Geometric Coverage Problems
在他们的开创性工作中，Mustafa和Ray（2009）表明，一类广泛的几何集合覆盖（SC）问题通过局部搜索允许PTAS-这是已知的此类问题的最通用方法之一。如果两个可行解的自然定义的“交换图”是平面的，并且基于通过Frederickson（1987）的平面分离器定理细分该图，则他们的结果适用。由于硬基数约束，相关的最大k-覆盖问题（MC）获得类似的结果似乎不平凡。事实上，虽然Badanidiyuru、Kleinberg和Lee（2012）已经（通过不同的分析）证明了局部搜索对二维实半空间产生PTAS，但他们只是证明了同样的情况对三维空间也成立。有趣的是，在这一点上，我们已经知道局部搜索为相应的集合覆盖情况提供了PTAS，这直接遵循Mustafa和Ray的方法。在这项工作中，我们提供了一种方法来解决上述问题。首先，我们提出了一个色彩平衡版本的平面分离定理。由此产生的细分在每个部分局部近似于颜色的全局分布。其次，我们展示了如何在更仔细的分析中使用这种大致平衡的细分来严格遵守硬基数约束。更具体地说，我们得到一个PTAS的任何“平面化”的MC实例，因此基本上为所有情况下，相应的SC实例可以通过穆斯塔法和射线的方法来解决。作为一个推论，我们证实了猜想Badanidiyuru，Kleinberg和李关于实半空间在三维。我们认为，我们的想法也可以在其他几何设置涉及基数约束的帮助。
2017-02-23 cs.CG cs.DS
On Ordinal Covering of Proposals Using Balanced Incomplete Block Designs
在同行审查制度中经常遇到的一个问题是，如何促进由尽可能少的推荐人对给定的一组提案进行两两比较。在[8]中，证明了，如果每个裁判被分配审查k个提案，则ceil{n（n-1）/k（k-1）}裁判是必要的，ceil{n（2n-k）/k^2}裁判足以覆盖所有n（n-1）/2对n个提案。虽然上限保持在下限的2倍之内，但对于小的k值，上限变得相对较大，并且当2 <= k <= n/2时，上限与下限的比率不小于3/2。在本文中，我们证明，如果sqrt（n）<= k <= n/2，那么上界和下界可以更接近，因为它们的比值永远不会超过3/2。这是通过一种新的方法来实现的，该方法使用特定的平衡不完全区组设计族将提案分配给裁判。具体地说，当n/k是素数幂，n整除k^2，并且sqrt（n）<= k <= n/2时，新方法使用ceil{n（n+k）/k^2}个引用。将这个新的上界与[8]中给出的上界进行比较，表明当k趋于sqrt（n）时，新的上界接近下界，而当k趋于n时，[8]中的上界接近下界。因此，当与[8]中的方法结合时，这里给出的新方法提供了一个赋值，当sqrt（n）<= k <= n时，其上限裁判复杂度始终保持在下限的3/2倍之内，从而改进了[8]中描述的赋值。此外，新方法提供了最小覆盖，即，当k = sqrt（n）并且k是素数幂时，它使用可能的最小数量的裁判。
2009-09-18 cs.DM cs.DS
Counting Cycles on Planar Graphs in Subexponential Time
本文研究了平面三角图上所有圈或自避免行走的计数问题。我们提出了一个次指数$2^{O(\sqrt{n})}$时间算法这个计数问题。在这个算法中使用的技术成分是平面分离定理和一个微妙的分析使用对Motzkin路径和Motzkin数。然后，我们可以适应这种算法均匀采样SAW，在次指数时间。我们的工作是由gerrymandered选区地图的问题。
2022-08-21 cs.DS math.CO
Fast Approximation Algorithms for Cut-based Problems in Undirected Graphs
针对无向图中基于割的极小化问题，提出了一种快速近似算法的一般设计方法。特别是，我们开发了一种技术，任何这样的问题，可以快速近似的树，允许近似它几乎一样快，一般的图形，而只失去了一个多对数因子的近似保证。为了说明我们的范例的适用性，我们把我们的注意力集中在无向稀疏割问题的一般要求和平衡分离器问题。通过一个简单的使用我们的框架，我们得到了这些问题的多项式对数近似算法，运行时间接近线性。我们的结果背后的主要工具是一个有效的过程，分解成更简单的一般图，同时近似保持割流结构。这种分解的灵感来自于Räcke在不经意路由方案的背景下开发的基于割的图分解，以及Spielman和Teng用于预处理对称对角占优矩阵的超解析器的构造。
2010-11-06 cs.DS
Balanced Allocation Through Random Walk
我们考虑的分配问题，其中$m \leq (1-ε) dn $项目被分配到$n$箱与容量$d$。项目$x_1,x_2,\ldots,x_m$按顺序到达，并且当项目$x_i$到达时，通过散列函数$h_1,h_2$给它两个可能的仓位置$p_i=h_1(x_i),q_i=h_2(x_i)$。我们考虑一个随机游动过程中插入项目，并表明，预期的时间插入时间是常数提供$ε= Ω\left(\sqrt{ \frac{ \log d}{d}} \right).$
2017-08-22 cs.DS math.CO
Minimizing Congestion for Balanced Dominators
宏基因组学的主要挑战是从测序产生的短片段的混合物中重建单个微生物基因组。最近的工作利用稀疏的组装图找到$r$-支配集，使快速近似查询通过一个支配者为中心的图分区。在本文中，我们考虑两个问题，减少不确定性和提高可扩展性，在这种情况下。首先，我们观察到，具有多个最接近支配者的节点需要在现有管道中进行任意平局打破。因此，我们建议通过一个新的$\textit{congestion}$参数找到$\textit{sparse}$支配集，最大限度地减少这种影响。我们证明了最小化拥塞问题是NP难的，并给出了一个$\mathcal{O}(\sqrt{Δ^r})$近似算法，其中$Δ$是最大度.为了提高可伸缩性，图应该被划分成大小均匀的块，并将顶点与最近的支配者一起放置。这导致$\textit{balanced neighborhood partitioning}$：给定一个$r$-支配集，找到一个具有最佳一致性的连通子图的划分，使得每个顶点都与某个最接近的支配者共同分配。利用块大小的方差来度量均匀性，证明了该问题是NP难的，当且仅当$r$大于$1$.我们设计和分析了几种算法，包括多项式时间的方法，这是准确的，当$r=1$（和启发式，否则）。我们补充我们的理论结果与计算实验语料库的真实世界的网络显示稀疏支配集导致更平衡的邻域划分。此外，在宏基因组$\textsf{HuSB1}$上，我们的方法保持了高的查…
2022-07-01 cs.DS
Optimal parameterized algorithms for planar facility location problems using Voronoi diagrams
我们研究了一类定义在平面图和二维平面上的设施选址问题。在这些问题中，$k$对象的子集必须被选择，满足一定的包装（不相交）和覆盖约束。我们的主要结果表明，对于这些问题中的每一个，选择$k$对象的$n^{O(k)}$时间蛮力算法可以改进到$n^{O(\sqrt{k})}$时间。该算法是基于一个想法，最近推出的几何QPTAS的设计，但尚未用于精确的算法和平面图。我们专注于一个假设的解决方案的$k$对象的Voronoi图，猜测这个沃罗诺伊图的平衡分离器循环，以获得一个集合，分离的解决方案，在一个平衡的方式，然后递归的子问题。我们补充我们的研究提供证据，包装问题有$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法更一般的一类对象比覆盖问题。
2015-04-21 cs.CC cs.CG cs.DS
Breaking Quadratic Time for Small Vertex Connectivity and an Approximation Scheme
点连通性是一个经典的被广泛研究的问题。给定一个整数$k$，它的目标是决定一个$n$ -节点$m$ -边图是否可以通过移除$k$的顶点而断开。尽管自1974年以来就提出了线性时间算法[Aho，Hopcroft和Ullman]，尽管其边缘连通性的兄弟问题在二十多年前就得到了解决[Karger STOC'96]，但到目前为止，即使对于$k=4$和$m=O(n)$，也没有顶点连通性算法比$O(n^2)$时间更快。在$m=O(n)$和$k=O(1)$的最简单的情况下，$O(n^2)$界可以追溯到五十年前[Kleitman IEEE Trans. Circuit Theory'69]。对于一般的$k$和$m$，最佳界限是$\tilde{O}(\min(kn^2, n^ω+nk^ω))$。本文对任意$k=O(\sqrt{n})$给出了一个带$\tilde{O}(m+k^{7/3}n^{4/3})$时间的随机Monte Carlo算法。这给出了任何$4\leq k \leq o(n^{2/7})$的{ \em第一次二次时间}界，并改进了所有$k\le n^{0.44}$的所有上述经典界。我们还提出了一个新的随机蒙特卡罗$(1+ε)$近似算法，严格快于以前的Henzinger的2-近似算法[J.算法'97]和所有以前的精确算法。我们的结果的关键是避免计算单源连接，这是需要由所有以前的精确算法，并不知…
2021-02-17 cs.DS
A Deterministic Algorithm for Balanced Cut with Applications to Dynamic Connectivity, Flows, and Beyond
我们考虑经典的最小平衡割问题：给定一个图$G$，计算其顶点划分为两个体积大致相等的子集，同时最小化连接子集的边的数量。我们提出了第一个{ \em确定性，几乎线性时间}近似算法。具体地说，我们的算法，给定一个$n$ -顶点$m$ -边图$G$和任何参数$1\leq r\leq O(\log n)$，计算$G$上的最小平衡割的$(\log m)^{r^2}$ -近似，在时间$O\left ( m^{1+O(1/r)+o(1)}\cdot (\log m)^{O(r^2)}\right )$。特别是，我们得到了一个$(\log m)^{1/ε}$ -近似的时间$m^{1+O(1/\sqrtε)}$为任何常数$ε$，和一个$(\log m)^{f(m)}$ -近似的时间$m^{1+o(1)}$，任何缓慢增长的功能$m$。我们获得了确定性算法与类似的保证Sparcanty切割和最低电导切割问题。我们的算法的最小平衡切割问题，实际上提供了一个更强的保证：它要么返回一个平衡的切割，其值接近一个给定的目标值，或者它证明这样的切割不存在展示一个大的子图的$G$，具有高电导。我们利用这个算法得到了动态连通性和最小生成森林的确定性算法，其在$n$ -顶点图上的最坏情况更新时间为$n^{o(1)}$，从而解决了动态图算法领域的一个主要的开放问题.我们的工作还意味着确定性算法的主机额外的问题，其时间复杂度匹…
2020-05-03 cs.DS
Tight Bounds for Online Balanced Partitioning in the Generalized Learning Model
本文研究广义学习模型下的在线均衡划分问题，提出两个确定性在线算法并给出匹配下界，证明了竞争比的紧最优性。
2024-10-23 cs.DS
Local decisions, diffusive influence, and lower bounds for graphical balanced allocation
研究图式两选择分配中端点局部规则的负载差距下界，通过扩散影响分析证明环上差距至少为常数乘以$\min\{\sqrt n,t^{1/4}\}$，并推广到环面，区分局部与全局策略。
2026-10-06 cs.DS math.PR
Exact recovery algorithm for Planted Bipartite Graph in Semi-random Graphs
在给定的图中寻找最大导出平衡二部子图的问题是NP-困难的。这个问题与寻找最小奇循环transmittance的问题密切相关。在这项工作中，我们考虑以下模型的实例：从一组顶点$V$开始，选择一组$k$顶点$S \subseteq V$，并在其上添加一个任意的$d$ -正则二部图; $S \times (V \setminus S)$和$(V \setminus S) \times (V \setminus S)$中的顶点对之间的边以概率$p$添加。由于对于$d=0$，问题简化为恢复种植的独立集，因此我们不期望$k=o(\sqrt{n})$的有效算法。这个问题是一个推广的种植平衡biclique问题的二分图诱导$S$是一个完全的二分图; [Lev 18]给出了一个算法恢复$S$在这个问题时，$k=Ω(\sqrt{n})$。我们的主要结果是一个有效的算法，恢复（w. h. p.）种植二分图时，$k=Ω_p(\sqrt{n \log n})$的参数范围很大。我们的研究结果也适用于一个自然的半随机模型的情况下，其中涉及的单调对手的存在。我们的证明表明，一个自然的SDP松弛的问题是通过构建一个适当的解决方案，它的对偶制定积分。我们的主要技术贡献是一种新的方法来构建对偶解决方案，我们校准的特征向量的邻接矩阵的对偶矩阵的特征向量。我们相信，这种方法也可以应用于半随机模型中的其他恢复问题。当有$k=…
2022-05-12 cs.DS
A Faster Algorithm for Minimum-Cost Bipartite Matching in Minor-Free Graphs
我们给出了一个$\tilde{O}(n^{7/5} \log (nC))$ -时间算法来计算$K_h$ -minor free图中的最小代价最大基数匹配（最优匹配），其中$K_h$ -minor free图具有$h=O(1)$和整数边权值的幅度至多为$C$。这改进了Cohen等人的$\tilde{O}(n^{10/7}\log{C})$算法[SODA 2017]以及Gabow和Tarjan的$O(n^{3/2}\log (nC))$算法[SIAM J. COMPUT. 1989年]。对于具有$m$边和$n$顶点的图，著名的匈牙利算法在$O(m)$时间内计算每个阶段的最短扩充路径，从而在$O(mn)$时间内产生最优匹配。Hopcroft-Karp [SIAM J. Comput. 1973]和Gabow-Tarjan [SIAM J. 1989]算法计算，在每个阶段中，顶点不相交的最短增广路径（适当定义的成本）在$O(m)$时间的最大集合。这将减少从$n$到$O(\sqrt{n})$的阶段数，并将总执行时间减少到$O(m\sqrt{n})$。为了获得我们的速度，我们放松条件的扩增路径和迭代计算，在每个阶段，一组精心挑选的扩增路径，不限于最短或顶点不相交。因此，我们的算法在每个阶段中计算更多的增强路径，将阶段数从$O(\sqrt{n})$减少到$O(n^{2/5})$。通过使用小的顶点…
2018-07-12 cs.DS
Semi-Random Graphs with Planted Sparse Vertex Cuts: Algorithms for Exact and Approximate Recovery
计算图的顶点扩张问题是一个NP难问题。用于计算图的顶点扩展的当前最佳最坏情况近似保证是由Feige、Hajiaghayi和Lee提出的$O(\sqrt{\log n})$ -近似算法[SIAM J. Comp.，2008]，并且由于Louis、Raghavendra和Vempala [FOCS 2013]，$O(\sqrt{OPT \log d})$界于顶点度最多为$d$的图中。研究了具有稀疏割点的自然半随机图模型。在一定的参数范围内，我们给出了一个算法，以恢复种植的稀疏顶点割。对于更大的参数范围，我们给出了一个常数因子双准则近似算法来计算图的平衡点展开。我们的算法是基于研究一个半定规划松弛的平衡顶点扩张的图。除了作为一个家庭的实例，这将有助于我们更好地理解计算的复杂性的顶点扩展，我们的模型也可以用于社区发现的研究，只有少数节点从每个社区与其他社区的节点进行交互。关于具有稀疏边割的随机图和半随机图的研究已经有很多。据我们所知，我们的模型的半随机图种植稀疏顶点割还没有被研究过。
2018-05-24 cs.DS
Separate, Measure and Conquer: Faster Algorithms for Max 2-CSP and Counting Dominating Sets
我们展示了一种方法，导致几个多项式空间，指数时间算法的改进。问题Max（r，2）-CSP的一个实例，或简称为Max 2-CSP，由域大小r（通常为2），变量的数量n（约束图G中的顶点）和约束的数量m（G中的边）参数化。当G是三次时，为了清楚起见，这里省略了次指数项，我们给出了一个在时间上运行的算法r^（（1/5）n）= r^（（2/15）m）;以前的最佳算法是r^（（1/4）n）= r^（（1/6）m）。根据已知的结果，这种对立方情况的改进导致算法在一般情况下在时间上运行r^（（9/50）m）;以前最好的是r^（（19/100）m）。我们表明，早期算法的分析是紧密的：我们的改进是在算法，而不仅仅是分析。新的算法，像旧的，扩展到多项式和环CSP。我们还给出了#支配集的快速算法，计算每个基数0，.，n为n阶图G。对于三次图，我们的算法运行时间为3^（（1/6）n）;以前最好的是2^（（1/2）n）。对于一般图，我们给出了一个不相关的算法，运行时间为1.5183^n;以前的最佳算法是1.5673^n。以往求解这些问题的最佳算法都是采用局部变换，并采用“测量与征服”的方法进行分析。我们的新算法利用了三次图的小平衡分离器的存在-一个非局部属性-以及定制本地算法总是在分离器的顶点上“枢轴”的能力。新算法的性能与旧算法相当，直到分隔符为空，此时它们会获益，因为剩余的顶点被分成两个独立的问题实例，…
2017-11-17 cs.CC cs.DM cs.DS
Balanced Allocations with Incomplete Information: The Power of Two Queries
我们考虑分配$m$球到$n$箱与不完全信息。在经典的二选过程中，球首先查询两个随机选择的箱子的负载，然后被放置在负载最小的箱子中。在我们的设置中，每个球也采样两个随机箱，但只能通过发送形式为“负载是否至少是中位数？或“负载是否至少为100？".对于轻负载情况$m=O(n)$，Feldheim和Gurel-Gurevich（2021）表明，通过一个查询可以实现$O(\sqrt{\log n/\log \log n})$的最大负载，并提出了$m/n+O(\sqrt{\log n/\log \log n})$的最大负载是否可能用于任何$m = Ω(n)$的问题。在这项工作中，我们解决了这个开放的问题，证明了一个固定的$m=Θ(n \sqrt{\log n})$的$m/n+Ω( \sqrt{\log n})$的下限，和一个下限的$m/n+Ω(\log n/\log \log n)$的一些$m$取决于所使用的策略。我们通过证明多个查询的正结果来补充这个负结果。特别是，我们表明，只有两个二进制查询每个选择斌，有一个不经意的策略，确保最大负载的$m/n+O(\sqrt{\log n})$的任何$m \geq 1$。此外，对于任何数量的$k = O(\log \log n)$二进制查询，对于任何$m \geq 1$，最大负载的上限都提高到$m/n + O(k(\log n)^{1/k})$。此外，…
2022-01-26 cs.DM cs.DS math.CO
Directed Shortest Paths via Approximate Cost Balancing
我们提出了一个$O(nm)$算法的所有对最短路径计算的有向图与$n$节点，$m$弧，和非负整数弧成本。这与Thorup \cite{Thorup1999}为无向图中的所有对问题所获得的复杂性界限相匹配。主要的见解是，最短路径问题近似平衡的有向成本函数可以解决类似的无向情况下。该算法在$O(m\sqrt{n}\log n)$预处理步骤中找到近似平衡的降低的成本函数。使用这些降低的成本，每一个最短路径查询可以解决$O(m)$的时间使用Thorup的组件层次结构方法的适应。平衡结果也可应用于$\ell_\infty$ -矩阵平衡问题。
2022-11-30 cs.DS math.OC
A Weighted Approach to the Maximum Cardinality Bipartite Matching Problem with Applications in Geometric Settings
本文提出了一种计算任意二部图中最大基数匹配的加权方法。我们的主要结果是一个新的算法，作为输入的加权二分图$G(A\cup B,E)$与$0$或$1$的边权重。让$w \leq n$是$G$中任何匹配的权重的上限。考虑由$G$的所有边导出的具有权重$0$的子图。假设这个子图中的每个连通分支都有$\mathcal{O}(r)$顶点和$\mathcal{O}(mr/n)$边。我们提出了一个算法来计算一个最大的基数匹配$G$在$\tilde{\mathcal{O}}( m(\sqrt{w}+ \sqrt{r}+\frac{wr}{n}))$时间。当所有的边权重都是$1$时（当所有的权重都是$0$时是对称的），我们的算法将与著名的Hopcroft-Karp（HK）算法相同，该算法在$\mathcal{O}(m\sqrt{n})$时间内运行。然而，如果我们可以仔细地在其边缘上分配$0$和$1$的权重，使得$w$和$r$在$n$和$wr=\mathcal{O}(n^γ)$中对于$γ< 3/2$都是次线性的，那么我们可以在$o(m\sqrt{n})$时间内计算$G$中的最大基数匹配。利用我们的算法，我们得到了一个新的$\tilde{\mathcal{O}}(n^{4/3}/\varepsilon^4)$时间算法来计算$A,B\subset\mathbb{R}^2$的$\varepsilon$-近似…
2019-03-25 cs.CG cs.DS
Learning Partition Trees for Nearest Neighbor Search
NYU（纽约大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
从数据驱动算法设计角度研究最近邻搜索，专注平衡半空间树。在类似高斯边际条件下给出算法，能学习到\(o(nd)\)查询时间的树。核心是平衡半空间切割问题，设计非恰当学习算法规避NP难，输出特定平衡多项式阈值函数。
2026-07-14 cs.DS cs.LG
Balanced Partitioning for Optimizing Big Graph Computation: Complexities and Approximation Algorithms
本文面向大图计算研究面向工作负载和模体计算的平衡图划分，给出半定规划形式、NP 完全性与不可近似性证明，并提出多项式时间双准则近似算法。
2024-04-09 cs.DB cs.DS
The Vector Balancing Constant for Zonotopes
两个对称凸体$K,Q$的矢量平衡常数$\mathrm{vb}(K,Q)$是最小的$r \geq 0$，使得来自$K$的任意数量的矢量可以被平衡到$Q$的$r$ -缩放中。Schechtman提出的一个问题是，对于任何地带位$K \subseteq \mathbb{R}^d$，是否都有$\mathrm{vb}(K,K) \lesssim \sqrt{d}$。直觉上，这是在问斯宾塞定理（$K = B^d_\infty$）的自然几何推广是否成立。证明了对任何带位$K \subseteq \mathbb{R}^d$都有$\mathrm{vb}(K,K) \lesssim \sqrt{d} \log \log \log d$ .我们的主要技术贡献是一个严格的下限高斯措施的任何一节的规范化zonotope，推广Vaaler定理的立方体。我们还证明，对于两个不同的归一化zonotopes $K$和$Q$之一有$\mathrm{vb}(K,Q) \lesssim \sqrt{d \log d}$。所有的界限是建设性的，相应的着色可以在多项式时间内计算。
2022-10-29 cs.DS math.MG
Detecting and Counting Small Patterns in Planar Graphs in Subexponential Parameterized Time
我们提出了一个算法，作为输入$n$ -顶点平面图$G$和$k$ -顶点模式图$P$，并计算在$2^{O(k/\log k)}n^{O(1)}$时间$G$中的$P$（诱导）副本的数量。如果$P$是一个匹配的、独立集的或连通的有界最大度图，则运行时将简化为$2^{\tilde{O}(\sqrt{k})}n^{O(1)}$。虽然我们的算法计数的所有副本的$P$，它也提高了最快的算法，只检测副本的$P$。在我们的工作之前，没有已知的用于检测非限制模式$P$的$2^{O(k/\log k)}n^{O(1)}$时间算法，并且根据Bodlaender等人[ICALP 2016]的结果，$2^{o(k/\log k)}n^{O(1)}$时间算法将违反指数时间假设（ETH）。此外，它只知道如何检测一个固定的连接有界的最大程度模式$P$在$2^{\tilde{O}(\sqrt{k})}n^{O(1)}$时间概率的副本。对于计数问题，这是一个反复问开放的问题，是否存在$2^{o(k)}n^{O(1)}$时间算法，即使是特殊的模式，如独立集，匹配和平面图中的路径计数。上述结果通过给出算法来计算运行时间等于其决策版本的ETH下界的问题的版本，在很大程度上解决了这个问题。一般来说，我们的算法计数$P$的副本在时间上成比例的顺序$\tilde{O}(\sqrt{k})$的非同构分离的数量。该算法引入了一种新的递…
2019-04-25 cs.CC cs.DM cs.DS
Quantum Lower and Upper Bounds for 2D-Grid and Dyck Language
我们研究了两个问题的量子查询复杂度。首先，我们考虑的问题，确定一个括号的序列是一个适当的平衡（一个戴克字），深度最多$k$。我们称之为$Dyck_{k,n}$问题。我们证明了一个下界的$Ω(c^k \sqrt{n})$，表明这个问题的复杂性呈指数级增加$k$。这里$n$是单词的长度。当$k$是一个常数时，这是有趣的无星语言的一个代表性例子，Aaronson等人最近构造了一个令人惊讶的$\tilde{O}(\sqrt{n})$查询量子算法。他们的证明并没有产生一个通用的算法。当$k$不是常量时，$Dyck_{k,n}$不是上下文无关的。我们给出了一个对所有$k$的$Dyck_{k,n}$进行$O\left(\sqrt{n}(\log{n})^{0.5k}\right)$量子查询的算法.这比$k=o\left(\frac{\log(n)}{\log\log n}\right)$的平凡上限$n$更好。其次，我们考虑在2维网格图的连通性问题，如果一些边缘的网格可能会丢失。通过将“平衡括号”问题嵌入到网格中，我们给出了有向二维网格的$Ω(n^{1.5-ε})$和无向二维网格的$Ω(n^{2-ε})$的下界.有向问题作为一类经典动态规划策略的黑箱模型是有趣的，包括通常用于众所周知的编辑距离问题的策略。我们还展示了一个推广的结果，超过2维。
2020-07-09 cs.CC cs.DS quant-ph
Minimum Sum Vertex Cover via Minimum Vertex Cover
University of Windsor（温莎大学）；University of Ottawa（渥太华大学）；Carleton University（卡尔顿大学）；Aalto University（阿尔托大学）
本研究通过顶点覆盖结构研究最小和顶点覆盖问题，提出近似算法（最大度图近似比$R_\Delta$，$d$-正则图$1.184$-近似）和精确算法（参数化$2^{O(k\log k)}$及平面图$2^{O(\sqrt n \log n)}$），并证明平面图NP-难及ETH下界。
2026-09-24 cs.DM cs.DS
