Solutions for quasilinear fourth order elliptic equations on $\mathbb{R}^{N}$ with sign-changing potential
在变号位势的$\mathbb{R}^{N}$上得到了拟线性四阶椭圆型方程解的存在性和多解性结果.我们的结果推广了最近关于这个问题的一些结果。
2018-08-08 math.AP
On prescribed energy saddle-point solutions to indefinite problems
引入了具有指定能级的鞍点解的极大极小变分原理。该方法是基于能级非线性广义瑞利分量的连接定理的发展。给出了不定椭圆狄利克雷问题的一个应用。其中，零能级解的存在性得到。
2022-08-18 math.AP
Sign-changing solutions to elliptic second order equations: glueing a peak to a degenerate critical manifold
通过将一个标准泡粘在一个退化函数上，构造了一类非线性临界方程的变号爆破解。我们开发了一种基于解析性的方法来执行胶合时的临界流形的解决方案是退化的，没有Bianchi-Egnell型条件成立。
2014-10-13 math.AP
Saddle solutions for the fractional Choquard equation
研究了分数阶Choquard方程\begin{align*} (-Δ)^{s}u+ u=(K_α\ast|u|^{p})|u|^{p-2}u, \quad x\in \mathbb{R}^N \end{align*}的鞍型解，其中$s\in(0,1)$，$N\geq 3$和$K_α$为$α\in (0,N)$阶里斯位势.对于每个具有秩$1\leq k\leq N$和$p\in[2,\frac{N+α}{N-2s})$的Coxeter群$G$，我们构造了一个具有指定对称节点配置的$G$ -鞍解.这是一个对应的分数Choquard方程的鞍解Choquard方程，并进一步完成了非径向符号变化的解决方案，这个双重非局部方程的存在性。
2021-05-26 math.AP
Sign changing solutions for quasilinear superlinear elliptic problems
建立了一类由$Φ$ -Laplace算子驱动的非线性椭圆型问题解的存在性和多解性的结果.我们采用适当的Nehari流形上的最小化参数来建立一个负的和一个正的基态解。为了找到一个节点的解决方案，我们还采用了众所周知的变形引理和拓扑度理论。
2016-10-08 math.AP
Infinitely many sign-changing solutions for a class of elliptic problem with exponential critical growth
在这项工作中，我们证明了存在无穷多个非径向的解决方案，改变信号的问题$-Δu=f(u)$在$B$与$u=0$对$\partial B$，其中$B$是单位球在$\mathbb{R}^2$和$f$是一个连续的和奇函数的指数临界增长。
2015-03-31 math.AP
Uniqueness and nondegeneracy of sign-changing radial solutions to an almost critical elliptic problem
研究了半线性椭圆型方程\begin{align*} Δu-u+|u|^{p-1}u=0\quad{\rm{in}}\ \mathbb{R}^N,\quad u\in H^1(\mathbb{R}^N), \end{align*}的变号径向解，其中$1<p<\frac{N+2}{N-2}$，$N\geq3$ .众所周知，该方程存在唯一的正径向解和具有精确$k$节点的变号径向解。本文证明了当$p$接近于$\frac{N+2}{N-2}$时，这种变号径向解也是唯一的。此外，这些解是非退化的，即，线性化算子的核恰好是$N$维的。
2015-10-15 math.AP
Some remarks on sign changing solutions of a quasilinear elliptic equation in two variables
我们考虑一类拟线性椭圆型方程的Dirichlet边界条件的平面解，边界数据被假定为有有限个相对最大值和最小值.我们对这样的狄利克雷问题的变号解的某些消失性质感兴趣。我们的方法在平面上是适用的。
2012-09-14 math.AP
Two nontrivial solutions for a nonhomogeneous quasilinear elliptic system with sign-changing weight functions
该文研究带变号权函数和凹凸非线性项的非齐次拟线性椭圆系统，利用山路引理和Ekeland变分原理，证明系统存在正、负能量各一个非平凡解。
2023-12-29 math.AP
Sign-changing two-peak solutions for an elliptic free boundary problem related to confined plasmas
通过微扰的方法，我们分别在$1$和$-γ$两个水平上构造了具有两个相反符号尖峰的等离子体型问题的解，其中$0<γ<1$ .我们建立了一些物理相关的定性性质，这样的解决方案，包括水平集的连通性和渐近位置的峰值$γ\to0^+$。
2015-12-23 math.AP
Monotonicity of positive solutions to quasilinear elliptic equations in half-spaces with a changing-sign nonlinearity
本文证明了半空间中$ -Δ_p u = f(u) $在零Dirichlet边界条件下，对于$(2N+2)/(N+2) < p < 2$和一般的正则变号非线性项$f$，正解的单调性.主要结果的证明中所使用的技术是基于比较和最大值原理的精细使用，以及在无界域中拟线性椭圆型方程的著名移动平面方法的适应。
2021-12-16 math.AP
Sign changing solutions for elliptic equations with critical growth in cylinder type domains
本文证明了$\mathbb{R}^N$的一类开子集$Ω$位于两个无限圆柱之间时，$-Δu = |u|^{p-2}u+μ|u|^{q-2}u$，$u\in {\rm H_0^1}(Ω)$正解和节点解的存在性，其中$μ>0$和$2<q<p=2N(N-2)$.
2014-07-22 math.AP
Multiple positive solutions for nonlinear critical fractional elliptic equations involving sign-changing weight functions
本文证明了具有变号权函数的分数阶椭圆型方程：\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l@{\quad }l} (-Δ)^αu= a_λ(x)|u|^{q-2}u+b(x)|u|^{2^*_α-1}u &{\rm in}\,\,Ω, u=0\,\,&{\rm in}\,\,\R^N\setminusΩ, \end{array} \right. \end{eqnarray*}正解的存在性和多解性，其中$0<α<1$，$ Ω$是具有$N>2α$的$ \R^N $中具有光滑边界的有界区域，$ 2^*_α=2N/(N-2α)$是分数阶临界Sobolev指数.我们的多重性结果是基于研究Nehari流形和Ljusternik-Schnirelmann范畴的分解。
2016-02-26 math.AP
Infinitely many sign changing solutions of an elliptic problem involving critical Sobolev and Hardy-Sobolev exponent
研究了方程$ \begin{cases} -Δu = μ|u|^{2^{\star}-2}u+\frac{|u|^{2^{*}(t)-2}u}{|x|^t}+a(x)u \quad\text{in}\quad Ω, u=0 \quad\text{on}\quad\partialΩ, \end{cases} $变号解的存在性和多重性，其中$Ω$是$R^N$，$0\in\partialΩ$中的有界区域，$\partialΩ$在$0$处的所有主曲率都是负的，并且$μ\geq 0, \ \ a>0, \ \ N\geq 7, \ \ 0<t<2, \ \ 2^{\star}=\frac{2N}{N-2}$和$2^{\star}(t)=\frac{2(N-t)}{N-2}$ .
2014-10-29 math.AP
A priori estimates for finite-energy sign-changing blowing-up solutions of critical elliptic equations
证明了在维数为$n \ge 3$的闭黎曼流形$(M,g)$上Schrödinger-Yamabe型临界方程有限能量变号解的精确逐点爆破估计.这是薛定谔-山部型方程正解的所谓$C^0$ -理论的推广。为了处理符号变化的情况下，我们开发了一种方法相结合的证明，\emph{a priori}气泡树分析与有限维减少，并减少证明获得尖锐的\emph{a priori}爆破估计的线性问题。
2021-12-14 math.AP
On finding bifurcations for non-variational elliptic systems by the extended quotients method
本文提出扩展商方法，通过鞍点直接寻找非变分椭圆系统的分岔，并给出稳定正解最大鞍结分岔点的变分公式及存在区间的精确阈值。
2024-05-04 math-ph math.AP math.MP
On the study of semilinear non-local elliptic systems
研究了一类由分数阶Laplacian算子驱动的半线性椭圆型方程组解的存在性，利用局部联系定理和鞍点定理得到了一些新的存在性结果.为了使非线性格式可行，需要对所涉及的函数空间和相应的能量泛函进行严格的分析。
2020-10-12 math.AP
Saddle solutions for the Choquard equation with a general nonlinearity
在Berestycki和Lions的思想下，我们证明了Choquard方程\[ -Δu + u= \big(I_α\ast F(u)\big)F'(u)\qquad \text{ in }\;\mathbb{R}^N \]鞍型节点解的存在性，其中$N\geq 2$和$I_α$是$α\in (0,N)$阶里斯位势.没有任何紧凑的设置，我们构造鞍解的Choquard方程的节点域的圆锥形证明考克斯特的对称配置在$\mathbb R^N$统一的方式。此外，如果$F'$是奇数的，并且在$(0,+\infty)$上具有常数符号，则鞍解在相应Coxeter群的基本区上保持有符号，并且在任何两个相邻区域上接收相反的符号。这些结果进一步完成了变分框架在构造的Choquard方程的符号变化的解决方案，但仍然需要一个二次或超二次增长的$F$附近的起源。
2021-05-26 math.AP
Sign-changing bubble-tower solutions to fractional semilinear elliptic problems
研究了一类分数阶半线性椭圆型方程\[ \begin{cases} (-Δ)^s u = |u|^{2^*_s-2-\varepsilon}u &\text{in } B_R, \\ u = 0 &\text{in }\mathbb{R}^n \setminus B_R, \end{cases} \]的最小能量径向变号解的渐近性质和定性性质，其中$s \in (0,1)$，$(-Δ)^s$是s-Laplacian，$B_R$是$\mathbb{R}^n$的球，$2^*_s := \frac{2n}{n-2s}$是临界Sobolev指数，$\varepsilon>0$是小参数.我们证明了这样的解决方案有一个“气泡塔”的极限轮廓，作为$ \varepsilon \to 0^+$，即积极和消极的部分集中在同一点不同的浓度速度。此外，我们提供了这些解决方案的节点集的信息。
2019-04-04 math.AP
A class of elliptic equations involving a general nonlocal integrodifferential operators with sign-changing weight functions
本文研究了一类含有一般非局部积分微分算子$\mathscr{L}_{\mathcal{A}K}$、两个实参数和两个变号权函数的椭圆型方程（$\mathscr{P}$）非平凡弱解的存在性.考虑到问题（$\mathscr{P}$）中涉及的非线性增长的不同情况，我们证明了两个非平凡的不同解的存在性和特征值的连续族的存在性.主要结果的证明是基于使用Nehari方法，Ekelands变分原理，和变分学的直接法的基态解。困难来自于算子$\mathscr{L}_{\mathcal{A}K}$是非齐次的，并且非线性项是未定义的。
2020-03-30 math.AP
On a property of the nodal set of least energy sign-changing solutions for quasilinear elliptic equations
本文证明了关于方程$-Δ_p u = f(u)$在有界Steiner对称域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上的最小能量变号解的节点集在零Dirichlet边界条件下的行为的Payne型猜想.假设非线性$f$是超线性的或共振的。在后一种情况下，最小能量符号变化解是$Ω$中的零Dirichlet $p$ -Laplacian的第二本征函数。我们证明了任何最小能量变号解的节点集与$Ω$的边界相交。证明是基于一个移动的极化参数。
2019-02-13 math.AP
Sign-changing solution for logarithmic elliptic equations with critical exponent
研究含临界指数与对数非线性项的椭圆方程，证明一般光滑有界域上存在两结域变号解，并在球域构造无穷多个预定结特征的径向变号解。
2023-08-17 math.AP
Sign changing bubble tower solutions to a slightly subcritical elliptic problem with non-power nonlinearity
本文针对含对数修正非幂次非线性的轻微次临界 Dirichlet 椭圆问题，利用有限维 Lyapunov–Schmidt 约化构造 ε→0 时的变号泡塔解。
2023-06-05 math.AP
Multiple Sign Changing Radially Symmetric Solutions in a General Class of Quasilinear Elliptic Equations
本文证明了方程$ -( r^αϕ(|u'(r)|)u'(r))' = λr^γf(u(r)), ~0<r<R$，其中$α, γ, {\bf{R}}$是给定的实数，$ϕ: (0, \infty) \to (0, \infty)$是一个适当的二次可微函数，$λ> 0$是一个实参数，$f:{\bf{R}}\to{\bf{R}}$是连续的，存在一个无穷序列的变号解满足$u'(0) =u(R) =0$ .需要函数$f$来满足$ t\neq 0$的$tf(t)>0$。我们的技术探讨适用于合适的积分方程和射击参数的不动点参数。我们的主要结果在$ϕ$为$ϕ(t) = |t|^β$形式的情况下推广了以前的结果。
2015-02-13 math.AP
Saddle solutions for Allen-Cahn type equations involving the prescribed mean curvature operator
该文研究含指定平均曲率算子的Allen-Cahn型椭圆偏微分方程的鞍点解存在性，明确了周期系数A与双阱对称势V的条件，为这类几何型偏微分方程解的存在性分析提供了新的研究内容。
2024-04-17 math.AP
A sign-changing Poisson kernel for a non-symmetric elliptic operator in a bounded domain
Yonsei University（延世大学）；Intelligent Computational Science Institute (IN2CSI), Yonsei University（延世大学智能计算科学研究所）
通过将二阶方程约化为一阶Dirac系统，推导出非对称系数矩阵在直径上跳跃间断时单位圆盘上Dirichlet问题解的显式表示，揭示解算子的性质并解释半空间模型中变号泊松核的涌现机制。
2026-07-28 math.AP
Semilinear integro-differential equations, II: one-dimensional and saddle-shaped solutions to the Allen-Cahn equation
研究半线性方程$L_K u = f(u)$在$\mathbb{R}^{2m}$中的鞍形解，其中$L_K$是具有径向对称核的线性椭圆型积分微分算子$K$，$f$是Allen-Cahn型的.鞍形解是双径向的，关于西蒙斯锥$\{(x', x'') \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \, : \, |x'| = |x''|\}$是奇数的，并且只在这个集合中为零。我们建立了鞍形解的唯一性和渐近性。为此，我们证明了一个Liouville型结果，半空间中半线性问题正解的一维对称性，以及“窄”集上的最大值原理。解的存在性已经在本文的第一部分中得到了证明。
2020-09-04 math.AP
Ground state solution for a class of modified nonlinear fourth-order elliptic equation with sign-changing unbounded potential
本文研究四阶椭圆型方程\begin{equation}\tag{$P_λ$} \left\{ \begin{array}[c]{ll} Δ^2 u- Δu + V(x)u -λΔ[ρ(u^2)]ρ'(u^2)u= f(u)\, \, \mbox{in} \, \, \mathbb{R}^N, & u\in W^{2,2}(\mathbb{R}^N), \end{array} \right. \end{equation}，其中$Δ^2 = Δ(Δ)$是双调和算子，$3\leq N\leq 6$，径向对称势$V$可以变号，允许$\inf_{\mathbb{R}^N}V(x)=-\infty$.如果$f$满足一类非二次性和单调性条件，并且$ρ$是一个合适的光滑函数，我们通过变分方法证明了问题$(P_λ)$的径向对称非平凡基态解$u_λ$的存在性，对于所有的$λ\geq 0$ .
2019-06-19 math.AP
Qualitative properties of saddle-shaped solutions to bistable diffusion equations
在整个$\R^{2m}$中考虑椭圆型方程$-Δu = f(u)$，其中$f$是双稳态.已知在$\R^{2m}$中存在鞍形解。这是一个在$\R^{2m}$中改变符号并且只在Simons锥${\mathcal C}=\{(x^1,x^2)\in\R^m\times\R^m: |x^1|=|x^2|\}$上消失的解。众所周知，这些解在2维和4维中是不稳定的。本文证明了当$2m=6$时，每个鞍形解在每个紧集外都是不稳定的，从而具有无穷Morse指数.为此，我们建立了鞍形解在无穷远处的渐近行为。此外，我们还证明了一个最小和一个最大鞍形解的存在性，并得到了最大解的单调性。这些结果是有关的猜想德乔治一维对称性的某些解决方案。鞍形的解决方案是最简单的候选人，除了一维的解决方案，是全球最小的高维，尚未建立的属性。
2009-07-17 math.AP
Liouville-type theorems for sign-changing solutions to nonlocal elliptic inequalities and systems with variable-exponent nonlinearities
考虑具有变指数非线性项$$ (-Δ)^{\fracα{2}} u+λ\, Δu \geq |u|^{p(x)}, \quad x\in\mathbb{R}^N, $$的分数阶椭圆型不等式，其中$N\geq 1$，$α\in (0,2)$，$λ\in\mathbb{R}$为常数，$p: \mathbb{R}^N\to (1,\infty)$为可测函数，$(-Δ)^{\fracα{2}}$为$\fracα{2}$阶分数阶拉普拉斯算子.一个刘维尔型定理建立所考虑的问题。也就是说，我们得到了唯一弱解是平凡解的充分条件。接下来，我们扩展我们的研究系统的变指数非线性的分数椭圆不等式。除了考虑变指数的非线性，这项工作的新颖之处在于调查所考虑的问题的改变符号的解决方案。也就是说，据我们所知，以前只研究了分数阶椭圆型问题正解的不存在性结果。我们的方法是基于非线性容量方法，结合一些检验函数的分数拉普拉斯算子的逐点估计，这是由Fujiwara（2018）推导出来的（另见Dao和Reissig（2019））。注意，标准的非线性容量法不能应用于所考虑的问题，由于改变的符号的解决方案。
2020-03-26 math.AP
Multiple Positive Solutions for a Class of Nonlinear Elliptic Eigenvalue Problems with a Sign-Changing Nonlinearity
2009年Loc和Schmitt建立了一类p-Laplace算子在Dirichlet边界条件下的非线性本征值问题解的多重性的充分条件，推广了Peter Hess在1981年关于Laplacian算子的结果。并建立了存在的必要条件。本文将Loc和Schmitt的主要结果推广到$Φ$ -Laplacian上.为了克服困难，这更一般的运营商有必要采用规律性的结果利伯曼，一个强最大值原理的普奇和Serrin和一般结果的上下解乐。
2013-10-22 math.AP
Infinitely many sign-changing solutions for an elliptic problem with double critical Hardy-Sobolev-Maz'ya terms
本文研究了以下含双临界Hardy-Sobolev-Maz'ya项的椭圆问题：$$ \left\{\begin{array}{ll} -Δu = μ\frac{|u|^{2^*(t)-2}u}{|y|^t} + \frac{|u|^{2^*(s)-2}u}{|y|^s} + a(x) u, & {\rm in}\ Ω,\\ \quad u = 0, \,\, &{\rm on}\ \partial Ω, \end{array} \right. $$其中$μ\geq0$，$a(x)>0$，$2^*(t)=\frac{2(N-t)}{N-2}$，$2^*(s) = \frac{2(N-s)}{N-2}$，$0\leq t<s<2$，$x = (y,z)\in \mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^{N-k}$，$2\leq k<N$，$(0,z^*) \in \barΩ$和$Ω$是$\mathbb{R}^N$中的有界区域.应用\cite{sz}中的一个抽象定理，证明了如果$N>6+t$当$μ>0,$和$N>6+s$当$μ=0,$和$Ω$满足一定的几何条件，则上述问题有无穷多个变号解.主要工具是估计这些节点解的Morse指数。
2015-03-05 math.AP
Sign-changing solutions of competition-diffusion elliptic systems and optimal partition problems
本文证明了具有竞争相互作用的$m$薛定谔方程组$$ -Δu_i+a_i u_i^3+βu_i \sum_{j\neq i} u_j^2 =λ_{i,β} u_i \quad u_i\in H^1_0(Ω), \quad i=1,...,m $$（$Ω$是有界区域），$β>0$和$a_i\geq 0\ \forall i.$的无穷多个变号解的存在性。此外，对于$a_i=0$，我们还证明了该方程组的临界能量与最优划分问题$$ \mathop{\inf_{ω_i\subset Ω\text{open}}}_{ω_i\cap ω_j=\emptyset\forall i\neq j} \sum_{i=1}^{m} λ_{k_i}(ω_i), $$（其中$λ_{k_i}(ω)$表示$k_i$在$H^1_0(ω)$中的第一个特征值）之间的关系。在案件$k_i\leq 2$，我们表明，最佳分区问题出现作为一个限制临界值，作为竞争参数$β$发散到$+\infty$。
2011-05-27 math.AP
Saddle-shaped solutions of bistable diffusion equations in all of $\mathbb{R}^{2m}$
研究了半线性椭圆型方程$-Δu = f(u)$鞍形解的存在性和不稳定性，其中$-Δu = f(u)$是双稳态型方程.已知在$2m=2$维中存在鞍形解。这是一种在$\R^2$中改变符号并仅在$\{|x_1|=|x_2|\}$上消失的解决方案。我们也知道，这种解决方案是不稳定的。在这篇文章中，我们证明了鞍形解的存在性，以及在维数$2m=4$的情况下，它们的不稳定性。更准确地说，我们的主要结果建立，如果$2m=4$，每一个解决方案消失的西蒙斯锥$\{(x^1,x^2)\in\R^m\times\R^m : |x^1|=|x^2|\}$是不稳定的每一个紧集外，因此，有无限的莫尔斯指数。这些结果是有关的猜想德Giorgi广泛研究，近年来，其中存在一个反例在高维仍然是一个悬而未决的问题。
2008-01-22 math.AP
Unilateral global bifurcation and nodal solutions for the $p$-Laplacian with sign-changing weight
本文建立了一类变号权拟线性椭圆型方程的Dancer型单边全局分支结果。在扰动函数的某些自然假设下，我们证明了$(μ_k^ν(p),0)$是上述问题的一个分歧点，并且存在两个不同的无界连续统$(\mathcal{C}_{k}^ν)^+$和$(\mathcal{C}_{k}^ν)^-$，它们由$(μ_k^ν(p), 0)$的分歧分支$\mathcal{C}_{k}^ν$组成，其中$μ_k^ν(p)$是与上述问题对应的线性问题$ν\in\{+,-\}$的第$k$个正或负特征值.作为上述单侧全局分歧结果的应用，我们研究了一类变号权拟线性椭圆型方程节点解的存在性。此外，基于Drábek和Huang（1997）[ \ref{DH} ]的分歧结果，我们研究了一类变号权的高维拟线性椭圆型问题的单符号解的存在性.
2012-03-15 math.AP
Interior Regularity for Stable Solutions of Semilinear Elliptic Equations with Sign-Changing Nonlinearities
Tsinghua University（清华大学）
该研究针对具变号非线性项的半线性椭圆方程稳定解，在不同维数下建立了内部正则性估计，解决了相关公开问题并推广了已有结果，还证明了对应Liouville型定理。
2026-10-16 math.AP
Compactness results for Sign-Changing Solutions of critical nonlinear elliptic equations of low energy
Université Libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
本文研究临界非线性椭圆方程低能变分解的紧致性，证明在n≤5时解集在C²中无条件紧致，在n≥7时h不为零时紧致，补充了Devillanova-Solimini的结果。
2024-12-01 math.AP
Subcritical perturbations of resonant linear problems with sign-changing potential
建立了Dirichlet边值问题共振解的存在性和多重性定理，该问题是Cuesta研究的线性本征值问题的非线性亚临界扰动.我们的框架包括一个符号变化的潜力，我们找到的解决方案，使用山路引理和鞍点定理。
2005-11-07 math-ph math.AP math.MP
Sign-changing solution for an overdetermined elliptic problem on unbounded domain
本文证明了无界域上超定椭圆问题变号解的存在性，通过建立高维核空间的Crandall-Rabinowitz型分岔定理克服了二维核空间困难，为Berenstein猜想提供了反例。
2024-11-12 math.AP
Coupled and uncoupled sign-changing spikes of singularly perturbed elliptic systems
本文研究了有界区域上椭圆型方程组\begin{equation*} \begin{cases} -\varepsilon^2Δu_i+u_i=μ_i|u_i|^{p-2}u_i + \sum\limits_{\substack{j=1 \\ j \not=i}}^\ellλ_{ij}β_{ij}|u_j|^{α_{ij}}|u_i|^{β_{ij} -2}u_i,\\ u_i \in H^1_0(Ω), \quad u_i\neq 0, \qquad i=1,\ldots,\ell, \end{cases} \end{equation*}在$Ω$中具有正变号分量的解的存在性和渐近性态，其中有$N\geq 4$，$\varepsilon>0$，$μ_i>0$，$λ_{ij}=λ_{ji}<0$，$α_{ij}, β_{ij}>1$，$α_{ij}=β_{ji}$，$α_{ij} + β_{ij} = p\in (2,2^*)$，和$2^{*}:=\frac{2N}{N-2}$ .如果$Ω$是单位球，我们得到具有正的和非径向的符号变化分量的规定组合的解，其表现出两种不同类型的渐近行为，如$\varepsilon\to 0$：极限轮廓是极限系统\begin{equation*} \begin{cases} -Δu_i+u_i=μ_i|u_i|^{p-2}u_i + \sum\limits…
2022-07-07 math.AP
A Nehari manifold for non-local elliptic operator with concave-convex non-linearities and sign-changing weight function
本文研究了下列$p$ -分数阶方程：$$ \quad \left\{\begin{array}{lr}\ds \quad - 2\int_{\mb R^n}\frac{|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))}{|x-y|^{n+p\al}} dxdy = \la h(x)|u|^{q-1}u+ b(x)|u|^{r-1} u \; \text{in}\; \Om \quad \quad \quad \quad u \geq 0 \; \mbox{in}\; \Om,\quad u\in W^{\al,p}(\mb R^n), \quad \quad\quad \quad\quad u =0\quad\quad \text{on} \quad \mb R^n\setminus \Om \end{array} \right. $$其中$\Om$是$\mb R^n$中的有界区域，$p\geq 2$，$n> p\al$，$\al\in(0,1)$，$0< q<p-1 <r < \frac{np}{n-ps}-1$，$\la>0$和$h$，$b$是变号光滑函数.我们利用映射在Nehari流形的适当子集上通过极小化证明了解的存在性。我们发现存在$\la_0$使得对于$\la\in (0,\la_0)$，它至少有两个解.
2013-07-19 math.AP
Sharp asymptotic profiles for singular solutions to an elliptic equation with a sign-changing nonlinearity
给定$B_1(0)$为$\mathbb{R}^n$（$n\geq 3$）的单位球，研究了$u\in C^2(B_1(0)\setminus \{0\})$的光滑正奇异解.这里，$0< s<2$、$2^\star(s):=2(n-s)/(n-2)$对于Sobolev嵌入、$q>1$和$μ> 0$至关重要。当$μ=0$和$s=0$时，在奇点$0$处的轮廓由Caffarelli Gidas Spruck完全描述。我们证明，当$μ>0$和$s>0$，除了这个配置文件，两个新的配置文件可能会出现。我们提供了所有奇异配置文件的完整描述。特别注意$\liminf_{x\to 0}|x|^{\frac{n-2}{2}}u(x)=0$和$\limsup_{x\to 0}|x|^{\frac{n-2}{2}}u(x)\in (0,+\infty)$等解决方案。特殊情况$q=(n+2)/(n-2)$需要单独分析，我们也进行了分析。
2016-01-20 math.AP
On the profile of sign changing solutions of an almost critical problem in the ball
本文研究了微次临界问题$$ -\De u=|u|^{2^*-2-\eps}u \hbox{in} \cB, \quad u=0 \hbox{on}\partial \cB, $$变号解的存在性和轮廓，其中$\cB$是$\rr^N$，$N\geq 3$，$2^*=\frac{2N}{N-2}$中的单位球，$\eps>0$是小参数.使用Lyapunov-Schmidt约化，我们发现了两个新的非径向的解决方案，有3个不同的节点结构的气泡。一个有趣的特点是，获得的解决方案作为一个局部极小值和一个局部鞍点的减少功能，因此他们没有一个全球最小-最大的描述。
2012-08-29 math.AP
Nonsymmetric sign-changing solutions to overdetermined elliptic problems in bounded domains
针对Serrin超定椭圆问题的对称性结论，本文通过研究线性化算子并采用局部分支论证，在非球有界区域中构造出变号解，说明正性假设不可或缺。
2023-04-20 math.AP
Nodal solutions for singular semilinear elliptic systems
本文证明了不具变分结构的奇异半线性椭圆型方程组节点解的存在性，其中两个分量都是变号的。我们的方法是基于上下解方法结合摄动参数涉及奇异项。
2021-10-11 math.AP
Nonexistence of stable solutions to quasilinear elliptic equations on Riemannian manifolds
证明了黎曼流形上一类具位势的拟线性椭圆型方程在测地球上适当的加权体积增长条件下非平凡的、可能变号的稳定解的不存在性.
2016-07-28 math.AP
Multiplicity of Positive Solutions of P-Laplacian Systems With Sign-Changing Weight Functions
本文研究了具有变号权函数的p-Laplacian系统正解的多重性.利用Nehari流形的分解，证明了椭圆型方程组至少有两个正解.
2013-12-25 math.AP
Maximum principle and one-sign solutions for the elliptic $p$-Laplacian
在本文中，我们证明了一个最大值原理的$p$ -Laplacian与一个符号变化的重量。作为这个最大值原理的应用，我们研究了一类拟线性椭圆型方程单符号解的存在性。
2012-07-28 math.AP
Uniqueness and stability of the saddle-shaped solution to the fractional Allen-Cahn equation
本文证明了半线性非局部椭圆型方程$(-Δ)^γu = f(u)$在$\mathbb R^{2m}$中鞍形解的唯一性，其中$γ\in (0,1)$和$f$是Allen-Cahn型的.此外，我们还证明了当$2m\geq 14$ .由于这一结果和连接的问题与非局部极小曲面，我们表明，西蒙斯锥$\{(x', x'') \in \mathbb R^{m}\times \mathbb R^m \ : \ |x'| = |x''|\}$是一个稳定的非局部$(2γ)$ -极小曲面的尺寸$2m\geq 14$。分数阶Allen-Cahn方程的鞍形解是双径向的，关于Simons锥是奇的，并且只在这个集合中为零。已知这些解存在于所有偶数维中，并且在$2$、$4$和$6$维中是不稳定的。因此，在我们的结果之后，稳定性仅在维度$8$、$10$和$12$中仍然是一个开放的问题。研究这种类型的解决方案的重要性是由于它的关系与分数版本的猜想德乔吉。鞍形解是最简单的非一维候选者，在高维中是全局极小，尚未建立在任何维度的属性。
2019-09-03 math.AP
Existence of nodal solutions for quasilinear elliptic problems in $\mathbb{R}^N$
本文证明了在$\mathbb{R}^N$上具有$p$ -超线性次临界项的$p$ -Laplacian方程的一个正解、一个负解和一个变号解的存在性.关于以$\mathbb{R}^N$为整体的拟线性椭圆型方程组的变号解的研究在文献中很少。我们的假设在这里是类似于以前使用的一些作者在有界域，我们的证明使用相当初级的临界点理论，约束最小化的基础上，节点Nehari集。通过在适当的加权索伯列夫空间中工作，克服了由于无界域而导致的紧性不足。
2014-05-27 math.AP
Existence and uniqueness of a saddle-node bifurcation point for nonlinear equations in general domains
本文提出利用缩放扩展商的鞍点刻画一般区域非线性方程的鞍结分岔，并由鞍点唯一性证明分岔点唯一性，还用于解决凸-凹椭圆边值问题正解曲线最大鞍结分岔的公开问题。
2024-04-08 math-ph math.AP math.MP
Regularity results for solutions of mixed local and nonlocal elliptic equations
考虑由Brown过程和Lévy过程叠加驱动的混合局部-非局部半线性椭圆型方程\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} - Δu + (-Δ)^s u = g(x,u) & \hbox{in $Ω$,} u=0 & \hbox{in $\mathbb{R}^n\backslashΩ$.} \\ \end{array} \right. \end{equation*}在对非线性项$g$的适当假设下，利用Moser迭代法证明了任意弱解（不变号或变号）的$L^\infty$有界性.当解是$s\in (0, \frac{1}{2}]$时，我们得到了解是唯一的，并且对于任何$α\in (0,1)$，它实际上属于$C^{1,α}(\overlineΩ)$.
2022-08-20 math.AP
Existence and multiplicity for an elliptic problem with critical growth in the gradient and sign-changing coefficients
设$Ω\subset \mathbb{R}^N$，$N \geq 2$是光滑有界区域.考虑边值问题\begin{equation} \label{Plambda-Abstract-ch3} \tag{$P_λ$} -Δu = c_λ(x) u + μ|\nabla u|^2 + h(x)\,, \quad u \in H_0^1(Ω) \cap L^{\infty}(Ω)\,, \end{equation}，其中$c_λ$和$h$属于$L^q(Ω)$，对于某些$q > N/2$，$μ$属于$\mathbb{R} \setminus \{0\}$，我们把$c_λ$写成$c_λ:= λc_{+} - c_{-}$的形式，其中有$c_{+} \gneqq 0$，$c_{-} \geq 0$，$c_{+} c_{-} \equiv 0$和$λ\in \mathbb{R}$.这里$c_λ$和$h$都允许改变符号。作为第一个主要结果，我们给出了一个充分必要条件，保证存在唯一的解决方案，\eqref{Plambda-Abstract-ch3}时$λ\leq 0$。然后，假设$(P_0)$有一个解决方案，我们证明$λ> 0$的存在性和多重性结果。我们的证明依赖于一个适当的改变变量的类型$v = F(u)$和变分方法与上下解技术相结合。
2019-09-11 math.AP
Least energy sign-changing solution of fractional $p$-Laplacian problems involving singularities
本文利用Nehari流形方法、约束变分方法和Brouwer度理论研究了涉及奇异性的非局部椭圆偏微分方程最小能量变号解的存在性。
2019-06-05 math.AP
