Directional mean dimension and continuum-wise expansive $\mathbb{Z}^k$-actions
本文研究了$\mathbb{Z}^k$ -作用（其中$k$是正整数）的方向平均维数.一方面，我们证明了存在一个$\mathbb{Z}^2$ -作用，其方向平均维数（被认为是环面上的$[0,+\infty]$ -值函数）是不连续的。另一方面，我们证明了如果一个$\mathbb{Z}^k$ -作用是连续扩张的，那么它的$(k-1)$维方向平均维数的值是有界的。这是一个推广（鉴于对Meyerovitch和冢本定理的平均维数和可扩展的多参数行动）的一个经典结果，由于马涅：任何紧凑度量化空间承认一个可扩展同胚（关于一个兼容的度量）是有限维的。
2022-04-26 math.DS
Expansive multiparameter actions and mean dimension
Mañé（1979）证明，如果一个紧度量空间允许一个扩张同胚，那么它是有限维的。我们把这个定理推广到多参数作用。推广涉及平均维数论，它计算“平均维数”的动力系统。我们证明，如果$T:\mathbb{Z}^k\times X\to X$是可扩展的，并且如果$R:\mathbb{Z}^{k-1}\times X\to X$与$T$可交换，则$R$具有有限的平均维度。当$k=1$时，此陈述简化为Mañé定理。我们还研究了几个相关的问题，特别是与熵理论的联系。
2017-10-26 math.DS
The centralizer of Komuro-expansive flows and expansive R^d-actions
本文研究了紧致黎曼流形上流的中心化子和$\mathbb R^d$作用。证明了每个具有非共振奇点的$C^\infty$ Komuro-expansive流的中心化子都是平凡的，即它是最小的，并推导出存在具有平凡中心化子的几何Lorenz吸引子的开稠密子集.证明了作为$\mathbb Z^d$-作用的悬置而得到的$\mathbb R^d$-作用是可扩的当且仅当$\mathbb Z^d$ -作用也是可扩的.我们还表明，齐次膨胀$\mathbb R^d$ -行动有准平凡的中心化，这意味着它由轨道不变，连续线性reparametrizations的$\mathbb R^d$ -行动。特别地，齐次Anosov $\mathbb R^d$ -作用具有拟平凡中心化子.
2017-10-17 math.CA math.DS
Entropy for expansive algebraic actions of residually finite groups
本文证明了剩余有限群的扩张主代数作用的sofic熵的一个公式，推广了Deninger和Schmidt最近的工作。
2009-09-25 math.DS math.OA
Pseudo-Orbit Tracing and Algebraic actions of countable amenable groups
考虑紧度量化空间上作用于同胚的可数顺从群。Chung和Li问，如果扩张性和正熵的行动意味着存在一个非对角渐近对。对于多圈有限群的代数作用，Chung和Li证明了它是存在的。我们提供的例子表明，Chung和Li的结果是近最优的意义上，结论失败的一些非代数行动产生的一个单一的同胚，和一些代数行动的非代数生成的阿贝尔群。另一方面，我们证明了具有伪轨跟踪性质的正熵顺从群的每一个扩张作用都必须包含非对角渐近对。利用Chung和Li关于扩张性的代数刻画，证明了一类扩张代数作用的伪轨跟踪性质。这个类包含任意可数群的所有扩张主代数作用。
2017-02-06 math.DS
Expansive algebraic actions of countable abelian groups
本文给出了可数阿贝尔群在紧阿贝尔群上的扩张作用的一个代数刻划。这自然地扩展了施密特使用复簇给出的扩展代数$\mathbb{Z}^d$ -作用的分类。还包括一个应用程序的自然类的例子所产生的单位子群的整环域。
2005-02-08 math.AC math.DS
Expansive actions with specification on uniform spaces, topological entropy, and the Myhill property
本文将 Hanfeng Li 关于可度量化空间的结论推广到紧 Hausdorff 空间，证明可和群上具弱 specification 性质的扩张连续作用满足 Myhill 性质。
2020-03-06 math.DS
Homoclinic groups, IE groups, and expansive algebraic actions
给出了可数群的代数作用的可扩性的代数刻画。对代数作用引入p-扩张性的概念，证明了对于可数顺从群，当代数作用具有有限熵时，它是1-扩张的.我们还研究了可数顺从群在紧群上的自同构作用的局部熵理论，并证明了IE群决定了这种作用的Pinsker因子。对于X上的多圈有限群的扩张代数作用，证明了该作用的熵等于同宿群的Pontryagin对偶上的诱导作用的熵，同宿群是IE群的稠密子群，当该作用具有正熵时，同宿群恰是非平凡的，当作用量具有完全正熵时，同宿群在X中是稠密的。
2014-04-16 math.DS math.OA
Garden of Eden and Specification
本文对具有弱规范性质的顺从群的扩张代数作用建立了伊甸园定理，即对任何从基空间到自身的连续等变映射T，T是预内射的当且仅当它是满射的.特别地，这适用于顺从群的所有扩张主代数作用和具有CPE的Z^d的扩张代数作用。
2018-01-05 math.DS
Expansive subdynamics for algebraic $Z^d$-actions
Boyle和Lind根据$R^d$的低维子空间的扩张性，提出了研究$Z^d$在紧致度量空间上的拓扑作用的一般框架.在这里，我们完全描述了这种扩张行为的类代数$Z^d$ -行动的交换自同构的紧阿贝尔群。描述使用对数图像的代数品种连同方向版本的诺特模块在环的洛朗多项式在几个交换变量。我们引入两个概念的秩拓扑$Z^d$ -行动，和代数$Z^d$ -行动描述他们是如何相互关联和克鲁尔维数。对于$R^d$的线性子空间，定义了沿子空间同宿于零的点群，并证明了此点群在扩张分支内是常数。
2001-04-27 math.AG math.DS
Expansive actions of countable amenable groups, homoclinic pairs, and the Myhill property
设$X$是一个紧可度量化空间，它具有可数顺从群$G$的连续作用.设动力系统$(X,G)$是可扩张的，并且是强不可约子移位的一致有界于一因子映射的商。设$τ\colon X \to X$是与$G$的作用可交换的连续映射。证明了如果$X$中不存在两个不同的$G$ -同宿点在$τ$下具有相同的象，则$τ$是满射的.
2015-10-23 math.DS math.GR
Expansive Actions of Automorphisms of Locally Compact Groups $G$ on ${\rm Sub}_G$
对于局部紧可度量化群$G$，我们考虑了${\rm Aut}(G)$在${\rm Sub}_G$上的作用.本文研究了群$G$的结构，其中自同构$T$扩张作用在${\rm Sub}_G$上.我们证明了这样的群$G$必然是全不连通的，$T$是可扩张的，$T$和$T^{-1}$的收缩群是闭的，它们的积在$G$中是开的;而且，如果$G$是紧的，则$G$是有限的.我们还得到了这样的$T$的收缩群的结构。对于$G$是$\mathbb{Q}_p$对不同素数的有限直积的群类，我们证明了$T\in{\rm Aut}(G)$扩张作用于${\rm Sub}_G$当且仅当$T$是扩张的.然而，任何更高维的$p$ -进向量空间$\mathbb{Q}_{p^n}$（$n\geq 2$）不允许任何自同构在${\rm Sub}_G$上扩展地起作用。
2020-04-29 math.DS math.GR
Expansive actions on uniform spaces and surjunctive maps
我们给出了M. Gromov关于与扩张群作用可换的映射的可补性的结果，并讨论了它的几个应用.特别证明了对任何群$Γ$和域$\K$，使得群代数$\K[G]$稳定有限的$Γ$标记群$G$的空间是紧的.
2011-01-13 math.DS math.GR math.RA
Hierarchy and Expansiveness in Two-Dimensional Subshifts of Finite Type
使用确定性版本的自相似（或层次，或固定点）的方法来构造二维子移位的有限型（SFT），我们构造了非周期性的二维SFT与一个唯一的方向的非扩张性，并证明了空性问题的SFT是不可判定的，即使在这种限制的情况下。作为我们的方法的一个额外的应用，我们的方向集，可以是2D SFT的非扩张方向的集合的特征。
2016-03-17 cs.DM math.DS
Garden of Eden and weakly periodic points for certain expansive actions of groups
本文给出了最近由S. Barbieri，F. García-Ramos和H. Li，并由伪轨跟踪性质所暗示的，对紧空间上的一般扩张群作用。首先证明了紧致可度量化空间上可数顺从群的任意扩张作用满足弱规范和强拓扑马尔可夫性，即满足Moore性质，即这种动力系统的满射自同构都是预内射的.这与H.本文重新证明了Myhill性质的Li（其中不需要强拓扑马氏性），建立了紧致可度量化空间上可数顺从群的所有扩张作用满足弱规范和强拓扑马尔可夫性的伊甸园定理.我们暗示如何容易地推广这一结果，甚至不可数顺从的群体和一般的紧凑，不一定度量化，空间。其次，推广了D. B. Cohen证明了至少有两个端点的有限生成群的任何有限型子移位都有弱周期点。我们证明了这样一个群的每一个扩张作用都有一个弱周期点，这个群具有一定的马尔可夫拓扑性质，这也是伪轨跟踪性质所隐含的。如果它还具有弱规格性质，则这样的点的集合是稠密的。
2021-10-08 math.DS math.GR
Expansive algebraic actions of discrete residually finite amenable groups and their entropy
利用紧阿贝尔群在Fuglede-Kadison行列式下的自同构，证明了可数离散剩余有限群$Γ$的某些扩张作用的熵公式.这扩展了第一作者在限制性更强的条件下证明的一个较早的结果。这一推广的主要工具是一个表示的$Γ$ -行动的一个“基本同宿点”，和熵的描述方面的重整化对数增长率的一组$Γ_n$ -不动点，其中$(Γ_n, n\ge1)$是一个递减序列的有限指数正规子群的$Γ$平凡的交集。
2006-10-09 math.DS math.OA
Nilpotent Endomorphisms of Expansive Group Actions
我们考虑了紧致度量空间上的可扩群作用，该度量空间包含一个特殊的不动点，记为$0$，以及这类系统的自同态，其前向轨迹被吸引到$0$ .这样的自同态被称为渐近幂零的，我们研究的条件下，他们是幂零的，也就是说，整个空间映射到$0$在有限的迭代次数。我们表明，对于一大类离散群，这种性质的零刚性持有的所有扩张行动，满足一个自然的规格一样的财产，并有密集的同宿点。我们的主要结果特别表明，该类包括所有剩余有限的可解群和所有多项式增长的群。对于扩张行动的组$\mathbb{Z}$，我们表明，一个非常弱的胶合性质足以为零刚性。对于有限型的$\mathbb{Z}^2$ -子移位，我们证明了块胶合性质是充分的.零刚性的研究是由细胞自动机理论和符号动力学两个方面推动的：它可以被看作是群的有限性，这是细胞自动机理论在群上的代表。幂零性在作为动力系统的元胞自动机理论中也起着重要的作用。作为一种可能独立的技术工具，证明涉及分层动力系统的建设，其中几个群体的原始空间的嵌套子集的行为。
2019-02-15 math.DS math.GR
On the existence of minimal expansive solutions to the $N$-body problem
该研究针对经典N体问题，通过在合适函数空间最小化重整化拉格朗日作用量的方法，统一处理三类弧的解，证实已有结果并首次证明双曲-抛物解存在性，还给出相关粘性解及解的增长性的更优描述。
2023-10-10 math.DS
Periodic Point Data Detects Subdynamics in Entropy Rank One
Boyle和Lind利用低维子空间的扩张行为的概念建立了一个理解Z^d连续作用几何的框架。对于熵秩为1的代数Z^d-作用，扩张子动力学很容易用李雅普诺夫指数来描述。在这里，我们表明，周期点计数元素的熵秩一行动确定的可扩展的子动力学。此外，非扩张集的精细结构在与周期点数据相关联的函数集的拓扑和光滑结构中是可见的。
2006-02-28 math.AC math.DS
Expansive actions with specification of sofic groups, strong topological Markov property, and surjunctivity
本文证明了对于 sofic 群作用的膨胀动力系统，在非负 sofic 拓扑熵且满足弱 specification 与强拓扑马尔可夫性质的条件下，系统必为满射的。
2022-09-13 math.DS math.GR
Homoclinically expansive actions and a Garden of Eden theorem for harmonic models
设$Γ$是可数阿贝尔群，$f \in \Z[Γ]$是$Γ$的整群环，其中$\Z[Γ]$是$Γ$的整群环.考虑循环$\Z[Γ]$ -模$\Z[Γ]/\Z[Γ] f$的Pontryagin对偶$X_f$，并假设$f$是弱扩张的（例如，$f$在$\ell^1(Γ)$中是可逆的，或者，当$Γ$实际上不是$\Z$或$\Z^2$时，$f$是良好平衡的），并且$X_f$是连通的。证明了：如果$τ\colon X_f \to X_f$是$Γ$ -等变连续映射，则$τ$是满射的当且仅当$τ$对每个$Γ$ -同宿类的限制是内射的.我们还证明了当$Γ= \Z^d$和$f \in \Z[Γ] = \Z[u_1,u_1^{-1}, \ldots, u_d, u_d^{-1}]$是一个不可约的无向多项式，使得它的零集$Z(f)$包含在$[0,1]^d$和$\R^d$中的超平面的有限并集在商映射$\R^d \to \T^d$下的交集的像中时，这种等价性仍然有效（例如，当$d \geq 2$使得$Z(f)$是有限的时）。这两个结果类似于经典的伊甸园定理的Moore和Myhill的细胞自动机有限字母表在$Γ$。
2018-03-08 math.DS math.GR
The non-coexistence of distality and expansivity for group actions on infinite compacta
设$X$是紧度量空间，$G$是有限生成群.假设$ϕ:G\rightarrow {\rm Homeo}(X)$是一个连续动作。我们表明，如果$ϕ$是远端和膨胀，那么$X$必须是有限的。构造了一个反例说明了有限生成条件在$G$上的必要性.这也是一个补充的结果，由于Auslander-Schenner-Weiss说，每一个远端行动的有限生成群上的零维紧是等度连续的。
2021-10-01 math.DS
Homoclinic points, atoral polynomials, and periodic points of algebraic Z^d-actions
循环代数Z^d-作用由d个交换变量的洛朗多项式的理想定义。当理想的复簇与乘法d-环面不相交时，这样的作用是可扩张的。对于这样的扩张作用，我们知道存在周期点增长率的极限，它等于作用的熵。在较早的文件中，作者将这一结果扩展到理想的品种相交的d-环面在一个有限集。在这里，我们进一步扩展到的情况下，当多样性与d-环面的交集的维数是最多的d-2。主要的工具是同宿点的建设迅速衰减到足以求和。
2012-04-07 math.AG math.DS
Non-determinism in group actions and topological minimal self-joinings
Université de Picardie Jules Verne（亚眠皮卡第大学）；Universidad de Chile（智利大学）
本文推广非扩张方向至一般群作用，建立非确定性horoballs限制，应用于自由群、幂零群及拓扑动力学中的极小自连接问题。
2026-09-23 math.DS math.GR
Dynamics of actions of automorphisms on the space of one-parameter subgroups of a torus and applications
Jawaharlal Nehru University（贾瓦哈拉尔·尼赫鲁大学）；Indian Statistical Institute (ISI)（印度统计研究所）
本文研究连通李群自同构在闭单参数子群紧空间 Sub$^p_G$ 上的 distal 与扩张动力学，证明环面上仅有限阶自同构 distal 作用，并证明中心环面维数至少为 2 的连通李群不存在扩张自同构，推广了若干已有结果。
2026-10-14 math.DS math.GR
Measure rigidity for algebraic bipermutative cellular automata
设$(\az,F)$是一个双置换代数元胞自动机。我们提出的条件，迫使概率测度是不变的$\N\times\Z$ -作用的$F$和移位映射$\s$的Haar测度$\gs$，一个封闭的移位不变子群的阿贝尔紧群$\az$ .这同时推广了B. Host，A. Maass和S. Mart \cite{Host-Maass-Martinez-2003}和M. Pivato \cite{Pivato-2003}。当$F$是$\an$上的一个特殊的可逆可扩元胞自动机时，这个结果被应用于给出一个条件，该条件也迫使一个$(F,\s)$ -不变概率测度成为一致Bernoulli测度.
2006-01-24 math.DS
Rank one Z^d actions and directional entropy
研究了秩为1的Zd作用的方向熵.我们表明，如果序列的塔产生的行动是矩形的形状，那么总是有一个方向，沿其方向熵为零。如果矩形满足“次指数增长性“条件，则我们证明了方向熵在每个方向上都为零。
2008-09-10 math.DS
Markovian properties of continuous group actions: algebraic actions, entropy and the homoclinic group
本研究提出统一框架关联代数作用与拓扑熵相关结论，引入马尔可夫性质证明熵与渐近对的关联，并借助独立熵对刻画两类顺从群有限表现膨胀代数作用的同宿群。
2021-12-10 math.DS math.OA
Directional Recurrence for Infinite Measure Preserving Z^d Actions
本文定义了保无穷测度Z^d作用的方向递归，并证明了这两种定义是等价的。研究了递归方向集的结构，证明了它总是G_delta集。我们构造了一个没有递归方向的递归动作的例子，回答了Daniel J. Rudolph在2007年的一篇论文中提出的问题。我们还通过例子表明，它是可能的经常性的行动，不经常性的非理性方向，即使它的所有子行动是经常性的。
2014-05-08 math.DS
Directional ergodicity and weak mixing for actions of $\mathbb R^d$ and $\mathbb Z^d$
我们定义的概念方向$L$遍历，弱混合，混合的措施保持$\mathbb Z^d$行动$T$上的Lebesgue概率空间$(X,μ)$，其中$L\subseteq\mathbb R^d$是一个线性子空间。对于$\mathbb R^d$动作，这些概念清楚地对应于将$T$限制为$L$的相同属性。对于$\mathbb Z^d$动作$T$，我们通过使用单位悬架$\widetilde T$对方向$L$和垂直于悬架旋转因子的$L^2(\widetilde X,\widetilde μ)$的子空间的限制来定义它们。我们表明，对于$\mathbb Z^d$行动，这些属性是光谱不变的，因为他们显然是为$\mathbb R^d$行动。我们表明，弱混合行动$T$在这两种情况下，方向遍历意味着方向弱混合。对于遍历的$\mathbb Z^d$行动$T$，我们探讨通过单位悬浮液和嵌入的$T$在$\mathbb R^d$行动定义的方向属性之间的关系。泛型问题和非遍历和非弱混合方向的结构也得到了解决。
2022-11-29 math.DS
Directional recurrence and directional rigidity for infinite measure preserving actions of nilpotent lattices
设$Γ$是单连通幂零李群$G$中的格。给定$Γ$的一个无穷保测度作用$T$和$G$中的一个“方向”（即$G$的李代数$\goth g$的射影空间$P(\goth g)$的一个元素$θ$），引入了$T$沿$θ$的常返性和刚性的概念.证明了$T$的递归方向集$\Cal R(T)$和刚性方向集都是$G_δ$ .在$G=\Bbb R^d$和$Γ=\Bbb Z^d$的情况下，我们证明了：（a）对于每个$G_δ$-$P(\goth g)$的子集$Δ$和可数子集$D\subsetΔ$，存在秩为1的动作$T$，使得$D\subset\Cal R(T)\subsetΔ$和（b）对于$Γ$的一般无限测度保持动作$T$，存在$\Cal R(T)=P(\goth g)$。这部分回答了A.~约翰逊和A.~ { \c S}ahin.讨论了泊松作用的方向熵的一些应用。在$G$是海森堡群$H_3(\Bbb R)$和$Γ=H_3(\Bbb Z)$的情况下，构造秩1的$Γ$作用$T$，其中$\Cal R(T)$在自然“伴随”$G$作用下不是不变的。
2014-08-08 math.DS
On Directional Entropy of a $\mathbb{Z}^{2}$-Action
考虑$\mathbb{Z}^{2}$ -作用$Φ$的元胞自动机（CA）在所有值在有限集合$\mathbb{Z}_{r}$，$r \geq 2$中的双无限序列空间上，由元胞自动机$T_{F[-k, k]}$和加法自动机规则$F(x_{n-k},...,x_{n+k})=\sum\limits_{i=-k}^{k}a_{i}x_{n+i}(mod r)$确定.研究了$ω_{0}$方向上单位长度的测度理论方向熵的概念。证明了$h_μ(T_{F[-k,k]}^{u})=uh_μ(T_{F[-k,k]})$，$h_μ(Φ^{u})=uh_μ(Φ)$和$h_{\vec{v}}(Φ^{u})=uh_{\vec{v}}(Φ)$对于$\vec{v} \in \mathbb{Z}^{2}$，其中$h$是测度论熵.
2005-11-11 math.DS
Finite entropy for multidimensional cellular automata
设$X=S^G$，其中$G$是可数群，$S$是有限集.元胞自动机（CA）是一个自同态$T : X \to X$（连续的，与$G$的动作交换）。Shereshevsky（1993）证明了对于具有$d>1$的$G=Z^d$，没有CA可以向前扩展，提出了以下猜想：对于$G=Z^d$，$d>1$，任何CA的拓扑熵要么是零，要么是无穷大。Morris和Ward（1998）证明了线性CA的这一点，而原始的猜想则是开放的。我们证明了这个猜想是错误的，证明了任何$d$存在一个$d$维CA有限，非零拓扑熵。我们还讨论了一个测量理论对应的测量保持CA的这个问题。我们的主要工具是Kari（1994）构建的CA。
2007-05-30 math.DS
Commensurated subgroups and micro-supported actions
设$Γ$是有限生成群，$X$是极小紧$Γ$ -空间.我们假设$Γ$ -action是微支持的，即对于每个非空的开子集$U \subseteq X$，存在$Γ$的元素对$U$起非平凡作用，对补集$X \setminus U$起平凡作用。在适当的假设下，证明了$Γ$中某些可压缩子群的存在性对$Γ$ -作用的动力学性质产生了强的限制：空间$X$具有可压缩开子集，并且是几乎$Γ$ -边界.这些性质反过来又限制了$Γ$的结构：$Γ$既不顺从也不是剩余有限的。其中的应用，我们表明，（交替子群的）拓扑完全群相关联的一个极小的和可扩展的康托作用的一个可生成的顺从群有没有其他的平凡子群。类似地，一个正则生成的分支群的每个正则子群都与一个正规子群相称;后者的断言依赖于Dominik Francoeur的附录，并推广了Phillip Wesolek关于正则生成的恰好无限分支群的结果。其他的应用涉及作用在圆上的离散群，以及非离散全不连通的局部紧（tdlc）群的中心化格。我们的研究结果依赖于，在一个重要的方式，最近的结果tdlc组的结构，对他们的微支持行动的动力学，并在一致经常性的子群的概念。
2021-07-16 math.DS math.GR
The Topological Directional Entropy of Z^2-actions Generated by Linear Cellular Automata
本文利用生成的加法元胞自动机研究了$\mathbb{Z}^2$ -作用的拓扑熵和度量方向熵（CA），由局部规则$f[l, r]$、$l, r\in \mathbb{Z}$、$l\leq r$定义，即由环$\mathbb{Z}_m (m \geq 2)$上的$T_{f[l, r]}(x) =(y_n)_ {-\infty}^{\infty}$、$y_{n} = f(x_{n+l}, ..., x_{n+r}) = \sum_{i=l}^rλ_{i}x_{i+n}(mod m)$、$x=(x_n)_ {n=-\infty}^{\infty}\in \mathbb{Z}^\mathbb{Z}_{m}$和$f: \mathbb{Z}_{m}^{r-l+1}\to \mathbb{Z}_{m}$给出的映射$T_{f[l, r]}: \mathbb{Z}^\mathbb{Z}_{m} \to \mathbb{Z}^\mathbb{Z}_{m}$，以及作用在紧致度量空间$\mathbb{Z}^\mathbb{Z}_{m}$上的移位映射，其中$m$ $(m \geq2)$是正整数。我们的主要目的是给出一个算法来计算由加性CA和移位映射生成的$\mathbb{Z}^2$ -作用的拓扑方向熵。因此，我们要求给出一个封闭的公式的拓扑方向熵的$\mathbb{Z}^2$ -行动产生的对$(T_{f[l, …
2008-02-07 math.DS math.FA
Genericity of sublinearly Morse directions in CAT(0) spaces and the Teichmüller space
我们证明了具有几何群作用的秩为1的CAT（0）空间的视觉边界中的次线性Morse方向在几个常用的研究意义上是通用的，即关于随机游动的Patterson-Sullivan测度和平稳测度。我们证明了次线性Morse边界是几何作用在秩为1的CAT（0）空间上的群上的非线性支撑随机游动的Poisson边界的一个模型.我们证明了Teichmüller空间上映射类群作用的一个类似结果。我们的主要技术工具是一个准则，在任何唯一的测地线度量空间中有效，即任何具有足够多（在统计意义上）强收缩段的测地线射线都是次线性收缩的。
2022-08-09 math.DS math.GR
