Entropy for expansive algebraic actions of residually finite groups
Lewis Bowen
本文证明了剩余有限群的扩张主代数作用的sofic熵的一个公式，推广了Deninger和Schmidt最近的工作。
We prove a formula for the sofic entropy of expansive principal algebraic actions of residually finite groups, extending recent work of Deninger and Schmidt.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Expansive algebraic actions of discrete residually finite amenable groups and their entropy
利用紧阿贝尔群在Fuglede-Kadison行列式下的自同构，证明了可数离散剩余有限群$Γ$的某些扩张作用的熵公式.这扩展了第一作者在限制性更强的条件下证明的一个较早的结果。这一推广的主要工具是一个表示的$Γ$ -行动的一个“基本同宿点”，和熵的描述方面的重整化对数增长率的一组$Γ_n$ -不动点，其中$(Γ_n, n\ge1)$是一个递减序列的有限指数正规子群的$Γ$平凡的交集。
Harmonic models and spanning forests of residually finite groups
本文证明了一类非扩张代数动力系统的sofic熵、有线生成森林的sofic熵和剩余有限群的Cayley图的树熵之间的若干恒等式。我们还证明了调和模型中的同宿点和周期点在一般条件下是稠密的。
Homoclinic groups, IE groups, and expansive algebraic actions
给出了可数群的代数作用的可扩性的代数刻画。对代数作用引入p-扩张性的概念，证明了对于可数顺从群，当代数作用具有有限熵时，它是1-扩张的.我们还研究了可数顺从群在紧群上的自同构作用的局部熵理论，并证明了IE群决定了这种作用的Pinsker因子。对于X上的多圈有限群的扩张代数作用，证明了该作用的熵等于同宿群的Pontryagin对偶上的诱导作用的熵，同宿群是IE群的稠密子群，当该作用具有正熵时，同宿群恰是非平凡的，当作用量具有完全正熵时，同宿群在X中是稠密的。
Expansiveness of algebraic actions on connected groups
本文研究了连通可度量化拓扑群G上任意离散半群的自同态作用。当G是李群或紧有限维群时，我们给出了这类作用可扩张的充要条件.
Expansive algebraic actions of countable abelian groups
本文给出了可数阿贝尔群在紧阿贝尔群上的扩张作用的一个代数刻划。这自然地扩展了施密特使用复簇给出的扩展代数$\mathbb{Z}^d$ -作用的分类。还包括一个应用程序的自然类的例子所产生的单位子群的整环域。
Algebraic actions of the discrete Heisenberg group: Expansiveness and homoclinic points
我们调查一些已知的标准的可扩展性的主要代数行动的可数无限离散群。在离散海森堡群的特殊情况下，我们提出了一个新的方法来解决这个问题的基础上艾伦的本地原则。此外，我们提出了一个绝对可和的同宿点的离散海森堡群的非扩张作用的第一个例子，并用它来构建一个等熵的符号覆盖系统。
Pseudo-Orbit Tracing and Algebraic actions of countable amenable groups
考虑紧度量化空间上作用于同胚的可数顺从群。Chung和Li问，如果扩张性和正熵的行动意味着存在一个非对角渐近对。对于多圈有限群的代数作用，Chung和Li证明了它是存在的。我们提供的例子表明，Chung和Li的结果是近最优的意义上，结论失败的一些非代数行动产生的一个单一的同胚，和一些代数行动的非代数生成的阿贝尔群。另一方面，我们证明了具有伪轨跟踪性质的正熵顺从群的每一个扩张作用都必须包含非对角渐近对。利用Chung和Li关于扩张性的代数刻画，证明了一类扩张代数作用的伪轨跟踪性质。这个类包含任意可数群的所有扩张主代数作用。
Expansive subdynamics for algebraic $Z^d$-actions
Boyle和Lind根据$R^d$的低维子空间的扩张性，提出了研究$Z^d$在紧致度量空间上的拓扑作用的一般框架.在这里，我们完全描述了这种扩张行为的类代数$Z^d$ -行动的交换自同构的紧阿贝尔群。描述使用对数图像的代数品种连同方向版本的诺特模块在环的洛朗多项式在几个交换变量。我们引入两个概念的秩拓扑$Z^d$ -行动，和代数$Z^d$ -行动描述他们是如何相互关联和克鲁尔维数。对于$R^d$的线性子空间，定义了沿子空间同宿于零的点群，并证明了此点群在扩张分支内是常数。
Nilpotent Endomorphisms of Expansive Group Actions
我们考虑了紧致度量空间上的可扩群作用，该度量空间包含一个特殊的不动点，记为$0$，以及这类系统的自同态，其前向轨迹被吸引到$0$ .这样的自同态被称为渐近幂零的，我们研究的条件下，他们是幂零的，也就是说，整个空间映射到$0$在有限的迭代次数。我们表明，对于一大类离散群，这种性质的零刚性持有的所有扩张行动，满足一个自然的规格一样的财产，并有密集的同宿点。我们的主要结果特别表明，该类包括所有剩余有限的可解群和所有多项式增长的群。对于扩张行动的组$\mathbb{Z}$，我们表明，一个非常弱的胶合性质足以为零刚性。对于有限型的$\mathbb{Z}^2$ -子移位，我们证明了块胶合性质是充分的.零刚性的研究是由细胞自动机理论和符号动力学两个方面推动的：它可以被看作是群的有限性，这是细胞自动机理论在群上的代表。幂零性在作为动力系统的元胞自动机理论中也起着重要的作用。作为一种可能独立的技术工具，证明涉及分层动力系统的建设，其中几个群体的原始空间的嵌套子集的行为。
Garden of Eden and Specification
本文对具有弱规范性质的顺从群的扩张代数作用建立了伊甸园定理，即对任何从基空间到自身的连续等变映射T，T是预内射的当且仅当它是满射的.特别地，这适用于顺从群的所有扩张主代数作用和具有CPE的Z^d的扩张代数作用。
Self Duality and Codings for Expansive Group Automorphisms
Lind和Schmidt证明了循环$\Z^k$代数动力系统的同宿群同构于相群的对偶。我们证明了，如果$k=1$，这个对偶结果是正合序列的一部分。确切序列是一个众所周知的代数对象，这已适用于施密特在他的工作刚性。我们表明，它可以来自动力学的考虑。的建设自然导致几乎1-1编码的某些Pisot自同构由其相关的$β$ -移位，推广类似的结果Pisot自同构的环面。
Intrinsic Ergodicity, Generators and Symbolic Representations of Algebraic Group Actions
本文为可数无限顺从群的内禀遍历主代数作用构造自然符号表示，并据此找到显式生成划分。
Ergodicity of algebraic actions of nilpotent groups
代数$Γ$ -作用是可数群$Γ$通过$X$的连续自同构在紧交换群$X$上的作用。证明了连通群$X$上的可扩生成幂零群$Γ$的扩张代数作用是遍历的.我们还表明，这一结果并不适用于多环基团的行动。
Periodic Point Data Detects Subdynamics in Entropy Rank One
Boyle和Lind利用低维子空间的扩张行为的概念建立了一个理解Z^d连续作用几何的框架。对于熵秩为1的代数Z^d-作用，扩张子动力学很容易用李雅普诺夫指数来描述。在这里，我们表明，周期点计数元素的熵秩一行动确定的可扩展的子动力学。此外，非扩张集的精细结构在与周期点数据相关联的函数集的拓扑和光滑结构中是可见的。
Markovian properties of continuous group actions: algebraic actions, entropy and the homoclinic group
本研究提出统一框架关联代数作用与拓扑熵相关结论，引入马尔可夫性质证明熵与渐近对的关联，并借助独立熵对刻画两类顺从群有限表现膨胀代数作用的同宿群。
Homoclinic points, atoral polynomials, and periodic points of algebraic Z^d-actions
循环代数Z^d-作用由d个交换变量的洛朗多项式的理想定义。当理想的复簇与乘法d-环面不相交时，这样的作用是可扩张的。对于这样的扩张作用，我们知道存在周期点增长率的极限，它等于作用的熵。在较早的文件中，作者将这一结果扩展到理想的品种相交的d-环面在一个有限集。在这里，我们进一步扩展到的情况下，当多样性与d-环面的交集的维数是最多的d-2。主要的工具是同宿点的建设迅速衰减到足以求和。
Fuglede-Kadison Determinants and Sofic Entropy
我们将Fuglede-Kadison行列式与sofic群的代数作用的熵联系起来，基本上是完全一般性的。这推广了李汉峰和Andreas Thom最近的结果，从顺从的情况到sofic的情况，以及David Kerr，李汉峰和Lewis Bowen在剩余有限情况下的结果。此外，给出的证明是第一次计算熵的代数行动，以避免非平凡的行列式近似。我们将我们的结果应用到Christopher Deninger的一个问题，推广了Hanfeng Li和David Kerr的结果。最后，我们证明了在许多情况下，sofic群的代数作用的拓扑熵的有限性等价于度量平均维数为零。
Entropy and the variational principle for actions of sofic groups
最近Lewis Bowen在容许有限熵生成划分的标准概率空间上引入了可数sofic群的保测度作用的熵概念。通过应用算子代数的角度来看，我们开发了一个更一般的方法，sofic熵产生测量和拓扑动力学不变量，我们建立了变分原理在这方面。在剩余有限群的情况下，利用变分原理计算了定义群环元在完全群C*-代数中可逆的主代数作用的拓扑熵.
Algebraic expansivity on abelian groups
本文研究了阿贝尔群上端态射的代数扩张性，探讨了其基本性质、与Weiss代数熵的关系，并证明正向扩张满射仅限于有限系统，同时通过庞特里亚金对偶性展示了其与拓扑动力学的联系。
Local weak$^{*}$-Convergence, algebraic actions, and a max-min principle
我们继续我们的研究时，拓扑和测度论熵同意代数行动sofic集团。特别地，我们提供了一个新的抽象方法来证明一个代数作用是强sofic的。该方法是基于传递到一个“限制对象”的措施是渐近支持的拓扑微观状态序列。这个限制对象有一个自然的偏序集结构，我们能够利用它来证明一个最大-最小原则：如果sofic近似有遍历中心化子，那么作用是局部弱$^{*}$ -拓扑微观状态上支持的措施限制的最大子群等于吸收所有拓扑微观状态的最小子群。我们能够提供一个版本的情况下，中心不是遍历。我们给出了许多应用，包括证明了对于剩余有限群，完全正的（下）拓扑熵（在存在下）等价于完全正的（下）测度熵（在存在下）.
Entropy and growth rate of periodic points of algebraic Z^d-actions
对应于理想的扩张代数Z^d-作用的特征在于理想的复簇与乘法单位环面不相交。对于这样的作用，已知存在周期点的增长率的极限，并且该极限等于作用的熵。我们将这个结果推广到复簇在有限集中与乘法环面相交的情形。主要的技术工具是使用同宿点，它衰减得足够快，可以求和。
Expansivity and periodicity in algebraic subshifts
d维配置c：Z^d -> A是d维无限网格被有限字母表A \subseteq Z的元素着色。如果c的n个平移的非平凡线性组合是零组态，则组态c有零化子。将c写成d-变量形式幂级数，零化子可以方便地表示为d-变量洛朗多项式f，其与c的形式乘积是零幂级数。更一般地，如果形式积是强周期配置，我们称多项式f为c的周期子。一个组态集合的公共零化子（周期化子）称为该集合的零化子（分别称为周期化子）。特别是，我们认为零化子和周期子的d维子移位，即，一套配置定义的不允许一些本地模式。证明了（d-1）维线性子空间S \subseteq R^d对于子移位是可扩张的，如果子移位有一个周期子，其支集恰好包含S的一个元素.由于子移位是有限的，如果所有（d-1）维子空间是可扩张的，我们得到一个简单的必要条件的周期子，保证有限的子移位，或等价地，强周期性的配置。我们通过平移单个瓦片来提供Z^d的瓦片化方面的示例。
A Garden of Eden theorem for principal algebraic actions
设$Γ$是可数阿贝尔群且$f \in \Z[Γ]$，其中$\Z[Γ]$表示$Γ$的整群环.考虑循环$\Z[Γ]$ -模$\Z[Γ]/\Z[Γ] f$的Pontryagin对偶$X_f$，并假设$Γ$在$X_f$上的自然作用是可扩的，且$X_f$是连通的.证明了如果$τ\colon X_f \to X_f$是$Γ$ -等变连续映射，则$τ$是满射的当且仅当$τ$对每个$Γ$ -同宿类的限制是内射的.这是一个类似的经典伊甸园定理的摩尔和Myhill的细胞自动机有限字母表上$Γ$。
Fitting ideals for finitely presented algebraic dynamical systems
本文考虑了Kittern和Schmidt提出的一类代数动力系统。在弱有限性条件--降链条件下，对偶模具有有限表示.使用方法从交换代数，我们展示了如何系统的动力学性质可以推导出从拟合理想的一个有限的自由分解的一个有限提出的模块。熵和膨胀性仅取决于第一拟合理想（和某些多重性数据），这给出了一个简单的计算：特别是，没有syzygy模块需要计算。对于“广场”介绍（其中发电机的数量等于关系的数量）的所有动态是可见的第一拟合理想和某些多重性数据，我们展示了如何的动力学性质和周期点的行为可以推导出关系矩阵的行列式。
Algebraic properties of the group of germs of diffeomorphisms
研究微分同胚germ群Diff(C^n,0)及其形式完备化群的代数性质，证明其交换子、余有限性及Hopfian性质，探讨嵌入该群的群结构约束。
Cost, $\ell^2$-Betti numbers and the sofic entropy of some algebraic actions
在1987年，Ornstein和Weiss发现了Bernoulli $2$ -移位在秩2自由群因子上变成了看起来更大的Bernoulli $4$ -移位。随着最近创建的熵理论的作用sofic集团（特别是自由集团），他们的例子表明了令人惊讶的事实，熵可以增加下的因素地图。为了更好地理解这一现象，我们研究了可数群的Ornstein-Weiss映射的自然推广。我们将熵的增加与代价和群的第一个$\ell^2$ - Betti数联系起来。更一般地说，我们研究所产生的单纯行动的共边界映射，并在一定的假设下，$\ell^2$ -贝蒂数的Juzvinski{ \u}加法公式的失败。这项工作是建立在研究熵理论的代数行动。证明了在投射有限群上通过连续群自同构的作用，只要同宿子群稠密，拓扑sofic熵就等于关于Haar测度的测度sofic熵.对于剩余有限群的代数作用，我们找到了sofic熵等于周期点的上确界指数增长性的充分条件。
Commensurated subgroups and micro-supported actions
设$Γ$是有限生成群，$X$是极小紧$Γ$ -空间.我们假设$Γ$ -action是微支持的，即对于每个非空的开子集$U \subseteq X$，存在$Γ$的元素对$U$起非平凡作用，对补集$X \setminus U$起平凡作用。在适当的假设下，证明了$Γ$中某些可压缩子群的存在性对$Γ$ -作用的动力学性质产生了强的限制：空间$X$具有可压缩开子集，并且是几乎$Γ$ -边界.这些性质反过来又限制了$Γ$的结构：$Γ$既不顺从也不是剩余有限的。其中的应用，我们表明，（交替子群的）拓扑完全群相关联的一个极小的和可扩展的康托作用的一个可生成的顺从群有没有其他的平凡子群。类似地，一个正则生成的分支群的每个正则子群都与一个正规子群相称;后者的断言依赖于Dominik Francoeur的附录，并推广了Phillip Wesolek关于正则生成的恰好无限分支群的结果。其他的应用涉及作用在圆上的离散群，以及非离散全不连通的局部紧（tdlc）群的中心化格。我们的研究结果依赖于，在一个重要的方式，最近的结果tdlc组的结构，对他们的微支持行动的动力学，并在一致经常性的子群的概念。
On sofic groups, Kaplansky's conjectures, and endomorphisms of pro-algebraic groups
让$G$成为一个组。设$X$是代数闭域$K$上的连通代数群.用$A=X(K)$表示$X$的$K$-点的集合。研究了一类原代数群的自同态，即$(G,X,K)$上的代数群元胞自动机。它们是元胞自动机$τ\colon A^G \to A^G$，其局部定义映射由代数群$X^M \to X$的同态诱导，其中$M\subset G$是$τ$的有限记忆集。我们的第一个结果是，当$G$是sofic时，这样的代数群细胞自动机$τ$是可逆的，只要它是内射的，并且$\text{char}(K)=0$。作为应用，我们证明了如果$G$是sofic的，且群$X$是交换的，则群环$R[G]$是稳定有限的，其中$R=\text{End}(X)$是$X$的自同态环.当$G$是顺从的，我们证明了代数群元胞自动机$τ$是满射的当且仅当它满足一个弱形式的预内射称为$(\bullet)$-预内射。这产生了经典的摩尔-迈希尔伊甸园定理的类似物。我们还引入了近环$R(K,G)$，它是$K[X_g: g \in G]$作为一个加法群，但乘法是由$G$的群律诱导的。近环$R(K,G)$包含自然的群环$K[G]$和我们扩展Kaplansky的布局到这个新的设置。在其他结果中，我们证明了当$G$是一个有序群时，则$R(K,G)$的所有单侧可逆元素都是平凡的，即，对于某些$g\in G$、$a\in K^*$、$b\in K$，形式为$…
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