Cyclic tridiagonal pairs, higher order Onsager algebras and orthogonal polynomials
引入了循环三对角对的概念，并给出了具体的例子。对于一个相当普遍的类循环三对角对循环度N，我们关联一对“分割多项式”。这对的性质推广了Racah型三对角对的性质。代数生成的对分割多项式被确定为一个高阶推广的Onsager代数。它可以被看作是q-Onsager代数的一个子代数，在q是本原2N单位根处有一个真特化。正交多项式超越伦纳德对偶重新审视在这个框架。特别地，某些二阶Dunkl移位算子提供N=2或q=i处的除法多项式的实现。
2017-02-05 math-ph math.CA math.MP
The $q$-Onsager algebra
本文给出了$q$ -Onsager代数的有限维不可约表示的一个总结，并在我们的论文“增广三对角代数”中作了详细的讨论。
2009-04-20 math.QA
Tridiagonal Symmetries of Models of Nonequilibrium Physics
我们研究了非平衡物理模型的边界对称性，其中稳态行为强烈依赖于边界速率。在矩阵乘积态方法中，物理学是用定义具有量子群对称性的非对易空间的矩阵来描述的。边界过程导致体对称性的减少。我们认为，边界算子的相互作用系统与简单的排斥产生一个三对角代数的不可约表示的阿斯基-威尔逊多项式。证明了对称过程和完全非对称过程的边界代数是部分非对称过程的真极限。在所有三种类型的过程中，三对角代数作为边界问题的对称性而出现，并允许模型的精确可解性。
2008-07-28 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Tridiagonal pairs of $q$-Racah type
令$K$表示代数闭域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。据了解，$d=δ$。对于$0 \leq i \leq d$，让$θ_i$（相应地，$θ^*_i$）表示$A$（resp.与$V_i$相关的$A^*$（分别为$V^*_i$）。当$0 \leq i \leq d$的$θ_i …
2008-07-02 math.CO math.QA
Tridiagonal pairs of $q$-Racah type and the $q$-tetrahedron algebra
令$\mathbb F$表示域，令$V$表示$\mathbb F$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的$\mathbb F$ -线性映射$A: V \to V$和$A^*:V\to V$使得（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_i+ V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1} = 0$和$V_{d+1}= 0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_i+ V^*_{i+1} $对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1} = 0$和$V^*_{δ+1}= 0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$U$使得$AU\subseteq U$，$A^*U \subseteq U$，$U\not=0$，$U\not=V$。我们在$V$上称这样的对为三对角对。我们假设$A, A^*$属于一个家庭的三对角对说有$q$ -拉卡型。有一种无限维的代数$\boxtimes_q$称为$q$ -四面体代数;它是由$U_q(\mathfrak{sl}_2)$的四个副…
2020-06-03 math.QA math.RA
Two relations that generalize the $q$-Serre relations and the Dolan-Grady relations
我们定义了一个代数上的两个发电机，我们称之为三对角代数，我们认为它的不可约模。代数定义如下。设K表示一个域，$β, γ, γ^*, \varrho, \varrho^*$表示从K中取的标量序列。相应的三对角代数$T$是由两个符号$A$，$A^*$生成的具有1的结合K-代数，满足关系式（i）\lbrack A，A^2 A ^*-βAA^*A + A^*A^2 -γ（AA^*+ AA ^*A）-PDMATHAMBMR A^* \rbrack = 0，（ii）\lbrack A^*，A^{*2}A-βA^*AA^* + AA^{*2} -γ^*（A^*A+AA^*）- \varrho^* A \rbrack = 0，其中$\lbrack r,s\rbrack $表示PDMATHAMV。我们称这些关系为三对角关系。对于$β= q+q^{-1}$、$γ= γ^*=0$、$\varrho=\varrho^*=0$，三对角关系是$q$-Serre关系。对于$β= 2$、$γ= γ^*=0$、$\varrho=b^2$、$\varrho^*=b^{*2}$，三对角关系是Dolan-Grady关系。在本文的第一部分中，我们综述了有限维不可约$T$ -模的已知情况。我们专注于这些模块是如何相关的伦纳德对最近介绍了本作者，和更一般的三对角对最近介绍了伊藤，田边，和本作者。在本文的第二部分中，我们利用As…
2003-07-01 math-ph math.CO math.MP
Tridiagonal pairs and the q-tetrahedron algebra
本文进一步发展了三对角对与q-四面体代数$\boxtimes_q$之间的联系。令V表示代数闭域上的有限维向量空间，令A，A^* 表示V上的三对角对。$θ^*_i$）表示A（resp. A^*）。确定一个非零标量q，它不是单位根。T. Ito和P. Terwilliger已经证明，当$θ_i = q^{2i-d}$和$θ^*_i = q^{d-2i}$时，在V上存在不可约的$\boxtimes_q$ -模结构，使得$\boxtimes_q$生成元x_{01}、x_{23}分别充当A、A^*。在本文中，我们研究的情况下，存在一个非零的标量c在K，使$θ_i = q^{2i-d}$和$θ^*_i = q^{2i-d} + c q^{d-2i}$。在这种情况下，我们将A，A^* 与多项式P相关联，并证明以下等价性。以下是等价的：（i）在V上存在一个$\boxtimes_q$ -模块结构，使得x_{01}充当A，x_{30} + cx_{23}充当A^*，其中x_{01}、x_{30}、x_{23}是$\boxtimes_q$的标准生成元。(ii)P（q^{2d-2}（q-q^{-1}）^{-2}）\neq 0.假设（i），（ii）成立。则V上的$\boxtimes_q$ -模结构是唯一且不可约的。
2009-08-24 math.QA math.RA math.RT
Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other; an algebraic approach to the Askey scheme of orthogonal polynomials
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$满足以下两个条件：存在一个基$V$关于它的矩阵表示$A$是不可约的三对角的和矩阵表示$A^*$是对角的。存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。给出了Leonard对与一类正交多项式的对应关系。该类与Askey方案的终止分支一致，并且由$q$ -Racah，$q$-Hahn，双$q$-Hahn，$q$-Krawtchouk，双$q$-Krawtchouk，量子$q$ -Krawtchouk，仿射$q$ -Krawtchouk、Racah、Hahn、对偶Hahn、Krawtchouk、Bannai/Ito和孤儿多项式。我们详细描述了上述对应关系。我们展示了如何，对于所列的多项式，3项递归，差分方程，Askey-Wilson对偶和正交性可以表示在一个统一的和有吸引力的方式使用相应的伦纳德对。我们给出了一些例子，表明如何伦纳德对出现在表示论和代数组合。我们讨论一个温和的推广伦纳德对称为三对角对。最后，我们列出了一些开放的问题。在这些注释中，我们的论证都是初等的，只使用线性代数。假设事先没有接触过该主题。
2008-04-17 math-ph math.MP math.QA
The shape of a tridiagonal pair
设K表示特征为0的代数闭域.设V表示K上有限正维数的向量空间，A，B表示V上的一个三对角对。设q表示K中一个非零标量，它不是单位单位根。我们假设A和B满足q-Serre关系：（i）A^3B - [3]A^2BA + [3]ABA^2 - BA^3=0;（ii）B^3A - [3]B^2AB + [3]BAB^2 - AB^3=0，其中[3]=（q^3-q^{-3}）/（q-q^{-1}）。设（ρ_0，ρ_1，.，ρ_d）表示A，B的形状向量。我们证明了这个形状向量中的元素是由二项式系数上界的。实际上，我们证明了对于0 \leq i \leq d，ρ_i至多为（d \atop i）.我们通过显示V的生成集来获得这个结果。
2003-04-17 math.QA
The algebra $U_q({\mathfrak{sl}_2})$ in disguise
本文讨论了代数$U_q({\mathfrak{sl}_2})$与$q$ -Racah型三对角对之间的联系。为了描述这种连接，让$x,y^{\pm 1},z$表示$U_q({\mathfrak{sl}_2})$的公平生成元。令$U^\vee_q$表示由$x,y^{-1},z$生成的$U_q({\mathfrak{sl}_2})$的子代数。利用$q$ -Racah型的三对角对，我们构造了两个有限维$U^\vee_q$ -模.构造产生两个非标准的表示$U^\vee_q$的生成元和关系。这些演示文稿进行了详细的调查。
2013-07-29 math.QA math.RT
Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other; comments on the parameter array
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一序偶的线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$，满足以下条件（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \it Leonard对}。任何给定的伦纳德对的结构都是由称为{ \it参数数组}的标量序列决定的。参数阵列的集合是仿射代数簇。我们给出了这个簇的两个刻画。一个涉及双对角矩阵，另一个涉及正交多项式。
2003-06-19 math-ph math.CO math.MP
Tridiagonal pairs, alternating elements, and distance-regular graphs
本文研究 $q$-Serre 型三对角对，刻画 $U^+_q$ 中四类交错元素在六种空间分解上的作用形式，并分析一维特征空间及经典参数形式自对偶距离正则图两种情形。
2022-07-15 math.CO math.QA
The higher order $q$-Dolan-Grady relations and quantum integrable systems
本文首先回顾了最近引入的代数结构（三对角代数、$q$-Onsager代数、广义$q-$-Onsager代数）、相关表示理论（三对角对、Leonard对、正交多项式）、这些代数的一些性质以及格点上相关量子可积模型（单位根处的$XXZ$开自旋链）的分析之间的联系。然后，介绍了论文的主要成果：（i）对于与$\widehat{sl_2}$和ADE型单缀仿射李代数相联系的$q-$ Onsager代数类，在各种情况下给出并证明了Lusztig关系的高阶类似;（ii）对于单位根上的开$XXZ$自旋链，引入了新的元素（即$q-$ Onsager生成元的可分多项式），并研究了它们的一些性质.这两个元素与$q-$ Onsager代数的两个基本元素一起生成一个新的代数，它可以被理解为$q-$ Onsager代数的Lusztig量子群的模拟。提出了一些观点。
2016-01-31 math-ph math.MP math.QA
Augmented down-up algebras and uniform posets
受一致偏序集结构的启发，我们引入了增广下上（或ADU）代数的概念。讨论了ADU代数与Benkart和Roby定义的down-up代数之间的关系。对于每一个ADU代数，我们给出了生成元和关系的两种表示。我们还显示了一个$Z$分级和线性基础。此外，我们还证明了中心同构于一个二元多项式代数。我们展示了七个家庭的一致偏序集，并表明，每个给一个ADU代数模在一个自然的方式。ADU代数概念的主要灵感来自于第二作者的论文，该论文涉及使用对偶极图构造的一类一致偏序集。
2012-06-03 math.QA
Twisting finite-dimensional modules for the $q$-Onsager algebra $\mathcal O_q$ via the Lusztig automorphism
$q$-Onsager代数$\mathcal O_q$由两个生成元$A$、$A^*$和两个关系（称为$q$-Dolan/Grady关系）定义.最近P. Baseilhac和S. Kolb发现了$\mathcal O_q$的自同构$L$，它修复了$A$，并将$A^*$发送到$A^*$，$A^2A^*$，$AA^*A$，$A^*A^2$的线性组合。设$V$表示有限维至少为2的不可约$\mathcal O_q$ -模，在该模上$A$，$A^*$都是可对角化的.已知$A$、$A^*$作为$q$-Racah类型的三对角对作用于$V$，从而可以访问${\rm End}(V)$中的四个熟悉的元素$K$、$B$、$K^\downarrow$、$B^\downarrow$，这些元素用于比较$A$、$A^*$在$V$上的本征空间分解。我们显示一个可逆的$H \in {\rm End}(V)$，使得对于所有$X \in \mathcal O_q$，$L(X)=H^{-1} X H$在$V$上。我们描述了当$K$、$B$、$K^\downarrow$、$B^\downarrow$之一与$H$结合时发生的情况。例如，$H^{-1}KH=a^{-1}A-a^{-2}K^{-1}$，其中$a$是用于描述$V$上的$A$的特征值的特定标量。我们使用共轭的结果来比较$A$，$A^*$，$L^{\pm 1}(A^*)…
2020-05-01 math.QA
Asymptotic representations of augmented q-Onsager algebra and boundary K-operators related to Baxter Q-operators
考虑Ito和Terwilliger引入的增广$q$代数的交织关系，利用$U_{q}(sl_2)$的Cartan元得到了广义（对角）边界$K$ -算子.这些$K$ -算子解反射方程。对这些$K$ -算子在Verma模中取适当的极限，得到Baxter Q-算子的$K$ -算子和相应的反射方程.
2018-03-07 hep-th math-ph math.MP
A new (in)finite dimensional algebra for quantum integrable models
引入并详细研究了一类新的（非）有限维代数，它是一类（连续或格）量子可积模型的基本动力学对称性。有限维表示构造和相互交换量-这确保了系统的可积性-写在新代数的基本发电机。描述了作者之一最近发现的变形Dolan-Grady可积结构与Terwilliger三对角代数的关系。值得注意的是，这个（非）有限维代数是平面伊辛模型中产生的原始昂萨格代数的“$q-$变形”模拟。因此，它提供了一个新的和替代的代数框架，研究大量的，以及共形，量子可积模型。
2005-06-01 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Finite-dimensional irreducible $\square_q$-modules and their Drinfel'd polynomials
令$\mathbb{F}$表示具有特征$0$的代数闭域，并令$q$表示$\mathbb{F}$中非单位根的非零标量。令$\mathbb{Z}_4$表示$4$阶循环群。令$\square_q$表示由生成元$\{x_i\}_{i\in \mathbb{Z}_4}$和关系\begin{gather*} \frac{qx_ix_{i+1}-q^{-1}x_{i+1}x_i}{q-q^{-1}}=1, \\ x_i^3x_{i+2}-[3]_qx_i^2x_{i+2}x_i+[3]_qx_ix_{i+2}x_i^2-x_{i+2}x_i^3=0, \end{gather*}定义的酉结合$\mathbb{F}$ -代数，其中$[3]_q=(q^3-q^{-3})/(q-q^{-1})$ .存在$\square_q$的自同构$ρ$，它为$i\in \mathbb{Z}_4$发送$x_i\mapsto x_{i+1}$。设$V$表示一个$1$型的有限维不可约$\square_q$ -模。在$V$中，我们附加了一个称为Drinfel'd多项式的多项式。在我们的主要结果中，我们解释了以下内容是如何相关的：（i）$\square_q$ -模块$V$的Drinfel'd多项式;（ii）$\square_q$ -模块$V$通过$ρ$扭曲的Drinfel'd多项式。具体地说，我们证明了（i）的根是（ii）的根…
2017-06-01 math.QA math.RT
