Tridiagonal pairs of $q$-Racah type, the Bockting operator $ψ$, and $L$-operators for $U_q(L({\mathfrak{sl}}_2))$
Paul Terwilliger
利用量子圈代数$U_q(L({\mathfrak {sl}}_2))$的$L$ -算符描述了$q$ -Racah型三对角对的Bockting算符$ψ$.
We describe the Bockting operator $ψ$ for a tridiagonal pair of $q$-Racah type, in terms of a certain $L$-operator for the quantum loop algebra $U_q(L({\mathfrak {sl}}_2))$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Tridiagonal pairs of $q$-Racah type
令$K$表示代数闭域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V \to V$和$A^*:V \to V$，它们满足下列条件：（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1}=0$和$V_{d+1}=0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1}=0$和$V^*_{δ+1}=0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$W$使得$AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，$W \neq 0$，$W \neq V$。我们称这样的对为$V$上的{ \it三对角对}。据了解，$d=δ$。对于$0 \leq i \leq d$，让$θ_i$（相应地，$θ^*_i$）表示$A$（resp.与$V_i$相关的$A^*$（分别为$V^*_i$）。当$0 \leq i \leq d$的$θ_i …
Tridiagonal pairs of $q$-Racah type and the $q$-tetrahedron algebra
令$\mathbb F$表示域，令$V$表示$\mathbb F$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的$\mathbb F$ -线性映射$A: V \to V$和$A^*:V\to V$使得（i）每个$A,A^*$都是可对角化的;（ii）存在$A$的特征空间的序$\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$使得$A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_i+ V_{i+1}$对于$0 \leq i \leq d$，其中$V_{-1} = 0$和$V_{d+1}= 0$ ;（iii）存在$A^*$的特征空间的序$\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^δ$使得$A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_i+ V^*_{i+1} $对于$0 \leq i \leq δ$，其中$V^*_{-1} = 0$和$V^*_{δ+1}= 0$ ;（iv）不存在$V$的子空间$U$使得$AU\subseteq U$，$A^*U \subseteq U$，$U\not=0$，$U\not=V$。我们在$V$上称这样的对为三对角对。我们假设$A, A^*$属于一个家庭的三对角对说有$q$ -拉卡型。有一种无限维的代数$\boxtimes_q$称为$q$ -四面体代数;它是由$U_q(\mathfrak{sl}_2)$的四个副…
The algebra $U_q({\mathfrak{sl}_2})$ in disguise
本文讨论了代数$U_q({\mathfrak{sl}_2})$与$q$ -Racah型三对角对之间的联系。为了描述这种连接，让$x,y^{\pm 1},z$表示$U_q({\mathfrak{sl}_2})$的公平生成元。令$U^\vee_q$表示由$x,y^{-1},z$生成的$U_q({\mathfrak{sl}_2})$的子代数。利用$q$ -Racah型的三对角对，我们构造了两个有限维$U^\vee_q$ -模.构造产生两个非标准的表示$U^\vee_q$的生成元和关系。这些演示文稿进行了详细的调查。
Leonard pairs and the q-Racah polynomials
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$，满足以下条件（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的{ \it Leonard对}。讨论了Leonard对与一类正交多项式的对应关系，这类正交多项式由$q$ -Racah多项式和Askey方案的一些相关多项式组成.对于这类多项式，我们得到的3项递归，差分方程，Askey-Wilson对偶，正交性在一个统一的方式使用相应的伦纳德对。
The universal DAHA of type $(C_1^\vee,C_1)$ and Leonard pairs of $q$-Racah type
伦纳德对是有限维向量空间的一对可对角化的线性变换，其中每一个都以不可约三对角的方式作用在另一个的特征基上。令$\mathbb F$表示代数闭域，并固定一个非零的$q \in \mathbb F$，它不是单位根。$(C_1^\vee,C_1)$型泛双仿射Hecke代数（DAHA）$\hat{H}_q$是由生成元$\lbrace t_i^{\pm 1}\rbrace_{i=0}^3$和关系（i）$t_it_i^{-1}=t_i^{-1}t_i=1$ ;（ii）$t_i+t_i^{-1}$是中心的;（iii）$t_0t_1t_2t_3 = q^{-1}$定义的结合$\mathbb F$ -代数。我们考虑$\hat{H}_q$的元素$X=t_3t_0$和$Y=t_0t_1$。设$\mathcal V$表示有限维不可约$\hat{H}_q$ -模，在该模上$X$，$Y$都是可对角化的，且$t_0$有两个不同的特征值.则$\mathcal V$是$t_0$的两个特征空间的直和。我们表明，对$X+X^{-1}$，$Y+Y^{-1}$作用于每个本征空间作为一个伦纳德对，这些伦纳德对属于一类说，有$q$ -拉卡型。因此，从$\mathcal V$我们得到一对$q$-Racah型的Leonard对。已知一个$q$-Racah型的Leonard对由一个称为其Huang数据的参数序列$(a,b,c,d)$…
Tridiagonal pairs and the quantum affine algebra $U_q({\hat {sl}}_2)$
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。根据定义，$V$上的Leonard对是满足以下两个条件的一对线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$：（i）存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A^*$的矩阵是对角的。(ii)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的。Leonard对与由$q$ -Racah和Askey方案的一些相关多项式组成的正交多项式族之间存在对应。在本文中，我们讨论了一个轻微的推广伦纳德对，我们称之为三对角对。我们将展示某些三对角对如何与量子仿射代数$U_q({\hat {sl}}_2)$的有限维模相关联。
Two linear transformations each tridiagonal with respect to an eigenbasis of the other; an algebraic approach to the Askey scheme of orthogonal polynomials
设$K$表示域，$V$表示$K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对线性变换$A:V\to V$和$A^*:V\to V$满足以下两个条件：存在一个基$V$关于它的矩阵表示$A$是不可约的三对角的和矩阵表示$A^*$是对角的。存在$V$的基，关于该基，表示$A^*$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$A$的矩阵是对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。给出了Leonard对与一类正交多项式的对应关系。该类与Askey方案的终止分支一致，并且由$q$ -Racah，$q$-Hahn，双$q$-Hahn，$q$-Krawtchouk，双$q$-Krawtchouk，量子$q$ -Krawtchouk，仿射$q$ -Krawtchouk、Racah、Hahn、对偶Hahn、Krawtchouk、Bannai/Ito和孤儿多项式。我们详细描述了上述对应关系。我们展示了如何，对于所列的多项式，3项递归，差分方程，Askey-Wilson对偶和正交性可以表示在一个统一的和有吸引力的方式使用相应的伦纳德对。我们给出了一些例子，表明如何伦纳德对出现在表示论和代数组合。我们讨论一个温和的推广伦纳德对称为三对角对。最后，我们列出了一些开放的问题。在这些注释中，我们的论证都是初等的，只使用线性代数。假设事先没有接触过该主题。
Cyclic tridiagonal pairs, higher order Onsager algebras and orthogonal polynomials
引入了循环三对角对的概念，并给出了具体的例子。对于一个相当普遍的类循环三对角对循环度N，我们关联一对“分割多项式”。这对的性质推广了Racah型三对角对的性质。代数生成的对分割多项式被确定为一个高阶推广的Onsager代数。它可以被看作是q-Onsager代数的一个子代数，在q是本原2N单位根处有一个真特化。正交多项式超越伦纳德对偶重新审视在这个框架。特别地，某些二阶Dunkl移位算子提供N=2或q=i处的除法多项式的实现。
Twisting finite-dimensional modules for the $q$-Onsager algebra $\mathcal O_q$ via the Lusztig automorphism
$q$-Onsager代数$\mathcal O_q$由两个生成元$A$、$A^*$和两个关系（称为$q$-Dolan/Grady关系）定义.最近P. Baseilhac和S. Kolb发现了$\mathcal O_q$的自同构$L$，它修复了$A$，并将$A^*$发送到$A^*$，$A^2A^*$，$AA^*A$，$A^*A^2$的线性组合。设$V$表示有限维至少为2的不可约$\mathcal O_q$ -模，在该模上$A$，$A^*$都是可对角化的.已知$A$、$A^*$作为$q$-Racah类型的三对角对作用于$V$，从而可以访问${\rm End}(V)$中的四个熟悉的元素$K$、$B$、$K^\downarrow$、$B^\downarrow$，这些元素用于比较$A$、$A^*$在$V$上的本征空间分解。我们显示一个可逆的$H \in {\rm End}(V)$，使得对于所有$X \in \mathcal O_q$，$L(X)=H^{-1} X H$在$V$上。我们描述了当$K$、$B$、$K^\downarrow$、$B^\downarrow$之一与$H$结合时发生的情况。例如，$H^{-1}KH=a^{-1}A-a^{-2}K^{-1}$，其中$a$是用于描述$V$上的$A$的特征值的特定标量。我们使用共轭的结果来比较$A$，$A^*$，$L^{\pm 1}(A^*)…
New realizations of algebras of the Askey-Wilson type in terms of Lie and quantum algebras
Askey-Wilson代数是根据量子代数$U_q(\mathfrak{su}(2))$或$U_q(\mathfrak{su}(1,1))$的元素来实现的。给出了Racah代数用李代数$\mathfrak{su}(2)$或$\mathfrak{su}(1,1)$表示的一种新的实现.提供了不同专业化的详细信息。这些新实现的优点是，Askey-Wilson（或Racah）代数的一个生成元在通常的量子代数表示中成为对角的，而第二个生成元是三对角的。这允许容易地恢复Askey方案的相关联的正交多项式的递归关系。这些实现涉及到量子代数的Cartan生成元的有理函数，它们关于其他生成元是线性的，并且依赖于量子代数的Casimir元。
The quantum loop algebra of $sl_2$ and $q$-Racah type bivariate functions
该研究借助$sl_2$的量子环代数$\mathcal{L} U_q sl_2$的表示理论，构建统一代数框架处理两个六参数二元$q$-拉卡型函数族。通过特定元素得到相关重叠系数，在一定条件下这些元素对呈现特定类型，还讨论了系数性质及与其他代数的关系。
Two linear transformations each tri-diagonal with respect to an eigenbasis of the other; the TD-D canonical form and the LB-UB canonical form
设$\K$表示域，$V$表示$\K$上具有有限正维数的向量空间。我们考虑一对有序的线性变换$A:V\to V$和$B:V\to V$，它们同时满足下面的（i），（ii）。(i)存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是不可约三对角的，并且表示$B$的矩阵是对角的;（ii）存在$V$的基，关于该基，表示$A$的矩阵是对角的，并且表示$B$的矩阵是不可约三对角的。我们称这样的对为$V$上的伦纳德对。我们引入了Leonard对的两个标准型。我们称之为TD-D标准形和LB-UB标准形。在TD-D标准形中，伦纳德对由不可约的三对角矩阵和对角矩阵表示，并服从一定的归一化。在LB-UB标准型中，伦纳德对由下双对角矩阵和上双对角矩阵表示，并进行一定的归一化。我们详细描述了这两个典型的形式。作为应用，我们得到以下结果。给定$\K$上的方阵$A,B$，其中$A$为三对角阵，$B$为对角阵，给出了$A,B$表示Leonard对的一个充要条件.给定$\K$上的方阵$A,B$，其中$A$为下双对角线，$B$为上双对角线，给出了$A,B$表示Leonard对的一个充要条件.我们简要地讨论了Leonard对如何对应于Askey方案中的$q$-Racah多项式和一些相关的多项式。我们提出了一些关于伦纳德对的公开问题。
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