The $q$-Onsager algebra
Tatsuro Ito, Paul Terwilliger
本文给出了$q$ -Onsager代数的有限维不可约表示的一个总结，并在我们的论文“增广三对角代数”中作了详细的讨论。
This article gives a summary of the finite-dimesional irreducible representations of the $q$-Onsager algebra, which are treated in detail in our paper `The augmented tridiagonal algebra'.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The alternating central extension of the Onsager Lie algebra
Onsager李代数$O$常用于研究可积格模型。$O$的泛包络代数允许一个称为$q$ -Onsager代数的$q$ -变形$O_q$.最近，一个代数$\mathcal O_q$被引入称为交替中心扩张的$O_q$。在本文中，我们引入了一个李代数$\mathcal O$，它大致由以下两个类比来描述：（i）$\mathcal O$是$O$作为$\mathcal O_q$是$O_q$ ;（ii）$O_q$是$O$作为$\mathcal O_q$是$\mathcal O$。我们将$\mathcal O$称为$O$的交替中心扩展。本文包含对$\mathcal O$的全面描述。
The $q$-Onsager Algebra and the Universal Askey-Wilson Algebra
最近Pascal Baseilhac和Stefan Kolb得到了$q$代数$\mathcal O_q$的PBW基.他们递归地定义了PBW基元，如何以封闭形式表示它们是模糊的。为了减轻困难，我们引入了泛Askey-Wilson代数$Δ_q$。有一个自然代数同态$\natural \colon \mathcal O_q \to Δ_q$。我们将$\natural $应用于上述PBW基，并以封闭形式表示图像。我们的结果大量使用了第二类切比雪夫多项式。
The Lusztig automorphism of the $q$-Onsager algebra
Pascal Baseilhac和Stefan Kolb最近引入了$q$ -Onsager代数$\mathcal O_q$的Lusztig自同构$L$.在本文中，我们将每个$L, L^{-1}$表示为一个包含量子伴随的形式和。此外，（i）我们给出了$L$存在的一个无计算机证明;（ii）我们建立了先前由Baseilhac和Thao Vu建立的高阶$q$ -Dolan/Grady关系;（iii）我们得到了与$\mathcal O_q$相关的当前代数$\mathcal A_q$的一个Lusztig自同构;（iv）我们描述了当有限维不可约$\mathcal O_q$ -模通过$L$扭曲时会发生什么.
On a Certain Subalgebra of $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ Related to the Degenerate $q$-Onsager Algebra
在[Kyushu J.Math.64（2010），81-144，arXiv：0904.2889]中，讨论了量子仿射代数$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$的某个子代数控制第二类I型TD-代数（退化$q$-Onsager代数）。我们用$U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$表示的子代数是由$e_0^+$，$e_1^\pm$，$k_i^{\pm1}$ $(i=0,1)$生成的，其中在$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$的Chevalley生成元$e_i^\pm$，$k_i^{\pm1}$ $(i=0,1)$中缺少$e^-_0$。本文确定了$U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$的有限维不可约表示。纠结者也是如此。
The algebraic structure of the Onsager algebra
从理想理论的角度研究了Onsager代数的李代数结构。结合Onsager代数的有限维表示，得到了Onsager代数理想的一个结构定理。我们还讨论了可解代数方面的Onsager代数通过形式李代数理论。
An attractive basis for the $q-$Onsager algebra
设$\textsf{A},\textsf{A}^*$是$q-$ Onsager代数的基本生成元. $q-$ Onsager代数的线性基称为“zig-zag”基[IT 09]。本文利用文献[BK 05]中引入的无限维代数${\cal A}_q$的商与$q-$ Onsager代数之间的关系，给出了$q-$ Onsager代数的一个吸引基.
Higher rank classical analogs of the Askey-Wilson algebra from the $sl_N$ Onsager algebra
$sl_N$ -Onsager代数是由Uglov和Ivanov在1995年提出的。本文给出了$sl_N$ -Onsager代数的FRT表示，构造了它的流代数和交换子代数.然后考虑某些等价物的$sl_N$ -Onsager代数，产生“经典”类似物的Askey-Wilson代数的高阶扩展。作为示例，详细描述情况$N=3$和$N=4$。
The algebra ${\cal A}_q$, $q-$Onsager algebras and coideal subalgebras: two open problems
本文对这一课题作了简要的介绍。两个开放的问题。
The structure of quotients of the Onsager algebra by closed ideals
从理想理论的角度研究了Onsager代数。得到了闭理想的一个完全分类和商代数的结构。我们还讨论了可解代数方面的Onsager代数通过使用正式的李代数。
$\imath$Hall algebra of the projective line and $q$-Onsager algebra
本文证明射影直线的 $\imath$Hall 代数在 Drinfeld 型呈现下实现泛 $q$-Onsager 代数，并通过导出等价建立其与 Kronecker 箭图 $\imath$Hall 代数的同构，统一了两种呈现。
The $q$-Onsager Algebra and the Quantum Torus
本文研究 $q$-Onsager 代数 $O_q$ 的交替元素，通过构造量子环面 $T_q$ 的基及代数同态 $p$，首次以闭合形式表达这些元素的 $p$-像。
Asymptotic representations of augmented q-Onsager algebra and boundary K-operators related to Baxter Q-operators
考虑Ito和Terwilliger引入的增广$q$代数的交织关系，利用$U_{q}(sl_2)$的Cartan元得到了广义（对角）边界$K$ -算子.这些$K$ -算子解反射方程。对这些$K$ -算子在Verma模中取适当的极限，得到Baxter Q-算子的$K$ -算子和相应的反射方程.
The compact presentation for the alternating central extension of the $q$-Onsager algebra
$q$ -Onsager代数$O_q$由两个生成元和两个关系定义，称为$q$ -Dolan/Grady关系。我们研究了$O_q$的交替中心延伸$\mathcal O_q$。代数$\mathcal O_q$由Baseilhac和Koizumi引入，他们称之为$O_q$的当前代数。最近Baseilhac和Shigechi用生成元和关系给出了$\mathcal O_q$的表示。这个表示很有吸引力，但是生成器和关系的大量使用使得这个表示很笨拙。在本文中，我们得到一个介绍$\mathcal O_q$，涉及一个子集的原始集的发电机和一个非常易于管理的关系。我们称这种表示为$\mathcal O_q$的紧凑表示。这种表现类似于$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$阳性部分的交替中央延伸的紧凑表现。
Braid group action and root vectors for the $q$-Onsager algebra
定义了$q$ -Onsager代数$B_c$的两个代数自同构$T_0$和$T_1$，它们提供了G的一个类似.量子群的Lusztig辫群作用。这些自同构用于定义根向量，这些根向量产生$B_c$的PBW基。我们发现，根向量满足$q$ -类似Onsager的原始交换关系。本文的写作灵感来自于我。Damiani构造和研究了$\widehat{\mathfrak{sl}}_2$的量子化包络代数的根向量。
The alternating central extension of the $q$-Onsager algebra
$q$ -Onsager代数$O_q$由两个生成元$W_0$、$W_1$和两个关系（称为$q$ -Dolan/Grady关系）表示.最近Baseilhac和Koizumi为$O_q$引入了一个流代数$\mathcal A_q$.不久之后，Baseilhac和Shigechi通过生成器和关系给出了$\mathcal A_q$的演示。我们表明，这些发电机给$\mathcal A_q$的PBW基础。利用这个PBW基，我们证明了代数$\mathcal A_q$同构于$O_q \otimes \mathbb F \lbrack z_1, z_2, \ldots \rbrack$，其中$\mathbb F$是基场，$\lbrace z_n \rbrace_{n=1}^\infty $是相互交换的不定式。回想一下量化包络代数$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$的正部分$U^+_q$。我们的研究结果表明，$O_q$与$\mathcal A_q$相关，就像$U^+_q$与$U^+_q$的交替中心延伸相关一样。因此，我们建议将$\mathcal A_q$称为$O_q$的交替中心扩展。
The $q$-Onsager algebra and the positive part of $U_q({\widehat{\mathfrak{sl}}}_2)$
$U_q({\widehat{\mathfrak{sl}}}_2)$的正部分$U^+_q$由满足$q$-Serre关系的两个生成元$X,Y$表示. $q$-Onsager代数$\mathcal O_q$具有满足$q$-Dolan/Grady关系的两个生成元$A,B$的表示。我们给出了两个结果，描述如何$U^+_q$和$\mathcal O_q$相关。首先，我们考虑$\mathcal O_q$的过滤，其$n$ th组件由最多$n$生成器的产品跨越。证明了相应的分次代数同构于$U^+_q$。其次，我们介绍了一个代数$\square_q$，并显示它是如何与$U^+_q$和$\mathcal O_q$。代数$\square_q$由生成元和关系定义。生成元是$\lbrace x_i \rbrace_{i \in \mathbb Z_4}$，其中$\mathbb Z_4$是4阶循环群。对于$i \in \mathbb Z_4$，生成元$x_i, x_{i+1}$满足$q$-Weyl关系，而$x_i,x_{i+2}$满足$q$-Serre关系。我们表明，$\square_q$是有关$U^+_q$在以下方式。令$ \square^{\rm even}_q$（resp. $ \square^{\rm odd}_q$）表示由$x_0, x_2$（resp. $x_1, x_3$）。证明了（i）存在发送…
Higher order relations for ADE-type generalized q-Onsager algebras
设$\{A_j|j=0,1,...,rank(g)\}$是在\cite{BB1}中引入的广义$q-$ Onsager代数$\cal O_{q}(\widehat{g})$的基本生成元，其中$\widehat{g}$是单缀仿射李代数.新的关系的基本生成元-索引的整数$r\in\mathbb{Z}^{+}$的某些单项式-之间的关系。这些关系可以看作是Lusztig的$r-$的变形类似物，高阶$q-$ Serre关系与${\cal U}_q({\widehat g})$相关，它们被恢复为特殊情况。证明了$r\leq 5$的关系。对于$r$通用，几个支持证据。
The higher order $q$-Dolan-Grady relations and quantum integrable systems
本文首先回顾了最近引入的代数结构（三对角代数、$q$-Onsager代数、广义$q-$-Onsager代数）、相关表示理论（三对角对、Leonard对、正交多项式）、这些代数的一些性质以及格点上相关量子可积模型（单位根处的$XXZ$开自旋链）的分析之间的联系。然后，介绍了论文的主要成果：（i）对于与$\widehat{sl_2}$和ADE型单缀仿射李代数相联系的$q-$ Onsager代数类，在各种情况下给出并证明了Lusztig关系的高阶类似;（ii）对于单位根上的开$XXZ$自旋链，引入了新的元素（即$q-$ Onsager生成元的可分多项式），并研究了它们的一些性质.这两个元素与$q-$ Onsager代数的两个基本元素一起生成一个新的代数，它可以被理解为$q-$ Onsager代数的Lusztig量子群的模拟。提出了一些观点。
Twisting finite-dimensional modules for the $q$-Onsager algebra $\mathcal O_q$ via the Lusztig automorphism
$q$-Onsager代数$\mathcal O_q$由两个生成元$A$、$A^*$和两个关系（称为$q$-Dolan/Grady关系）定义.最近P. Baseilhac和S. Kolb发现了$\mathcal O_q$的自同构$L$，它修复了$A$，并将$A^*$发送到$A^*$，$A^2A^*$，$AA^*A$，$A^*A^2$的线性组合。设$V$表示有限维至少为2的不可约$\mathcal O_q$ -模，在该模上$A$，$A^*$都是可对角化的.已知$A$、$A^*$作为$q$-Racah类型的三对角对作用于$V$，从而可以访问${\rm End}(V)$中的四个熟悉的元素$K$、$B$、$K^\downarrow$、$B^\downarrow$，这些元素用于比较$A$、$A^*$在$V$上的本征空间分解。我们显示一个可逆的$H \in {\rm End}(V)$，使得对于所有$X \in \mathcal O_q$，$L(X)=H^{-1} X H$在$V$上。我们描述了当$K$、$B$、$K^\downarrow$、$B^\downarrow$之一与$H$结合时发生的情况。例如，$H^{-1}KH=a^{-1}A-a^{-2}K^{-1}$，其中$a$是用于描述$V$上的$A$的特征值的特定标量。我们使用共轭的结果来比较$A$，$A^*$，$L^{\pm 1}(A^*)…
FRT presentation of classical Askey-Wilson algebras
引入了无限维Onsager代数的自同构.昂萨格代数的某些子代数是用这些自同构中的多项式来表示的。在最简单的情况下，商与Askey-Wilson代数的经典模拟一致。在一般情况下，得到了经典Askey-Wilson代数的推广.构造了非标准经典Yang-Baxter代数的相应解类，并由此导出了交换子代数中元素的生成函数。我们还提供了另一种介绍的Onsager代数和经典的Askey-Wilson代数。
Cyclic tridiagonal pairs, higher order Onsager algebras and orthogonal polynomials
引入了循环三对角对的概念，并给出了具体的例子。对于一个相当普遍的类循环三对角对循环度N，我们关联一对“分割多项式”。这对的性质推广了Racah型三对角对的性质。代数生成的对分割多项式被确定为一个高阶推广的Onsager代数。它可以被看作是q-Onsager代数的一个子代数，在q是本原2N单位根处有一个真特化。正交多项式超越伦纳德对偶重新审视在这个框架。特别地，某些二阶Dunkl移位算子提供N=2或q=i处的除法多项式的实现。
A conjecture concerning the $q$-Onsager algebra
$q$ -Onsager代数$\mathcal O_q$由两个生成元$W_0, W_1$和两个称为$q$ -Dolan/Grady关系的关系定义。最近，Baseilhac和Kolb得到了$\mathcal O_q$的PBW基，其元素表示为$\lbrace B_{n δ+ α_0} \rbrace_{n=0}^\infty, \lbrace B_{n δ+ α_1} \rbrace_{n=0}^\infty, \lbrace B_{n δ} \rbrace_{n=1}^\infty $。在他们最近对当前代数$\mathcal A_q$的研究中，Baseilhac和Belliard猜想在$\mathcal O_q$中存在满足$\mathcal A_q$的定义关系的元素$\lbrace W_{-k}\rbrace_{k=0}^\infty, \lbrace W_{k+1}\rbrace_{k=0}^\infty, \lbrace G_{k+1} \rbrace_{k=0}^\infty, \lbrace {\tilde G}_{k+1} \rbrace_{k=0}^\infty$。为了建立这个猜想，需要知道上面第二个列表中的元素如何与上面第一个列表中的元素相关。在本文中，我们推测精确的关系，并给出一些支持证据。这个证据包括一些计算机检查SageMath由于特拉维斯Scrimshaw，和证…
PBW bases and centralisers for the $q$-Onsager algebra
该研究解决了q - 昂萨格代数PBW基与中心化子的五个猜想，通过证明特定根向量给出PBW基、建立多个PBW基及确定相关子代数中心化子，运用多种论证方法得出四个单族交替多项式子代数是极大交换的结论。
A new PBW basis for the alternating central extension of the $q$-Onsager algebra
为$q$-Onsager代数的交错中心扩张$\mathcal A_q$建立新PBW基，证明交错生成元在不同块序下也构成PBW基，乘法诱导同构证实猜想。
The $S_3$-symmetric $q$-Onsager algebra and its Lusztig automorphisms
本文研究 S_3-对称 q-Onsager 代数，为六个标准生成元构造 Lusztig 自同构，刻画其相互关系及其对有限维不可约模的作用，并给出维数 5 的实例。
Analogues of Lusztig's higher order relations for the q-Onsager algebra
设$A,A^*$是$q-$ Onsager代数的生成元. Lusztig的$r-th$高阶关系的模拟提出。在第一部分中，基于满足$q-$ Onsager代数定义关系的$q-$ Racah型三对角对的性质，导出了$r$类属的高阶关系。从二元多项式生成函数确定进入关系的系数。在第二部分中，它被证明，$A,A^*$满足先前获得的高阶关系。对$r=2,3$证明了该猜想。对于$r$的一般情况，利用归纳法推导出了系数的递推公式.对于$r\geq 4$的几个值，检查该猜想。指出了边界在单位根$q$上的共理想子代数和可积系统的结果。
The $q$-Onsager algebra and its alternating central extension
$q$-Onsager代数$O_q$有一个表示，涉及两个生成元$W_0$，$W_1$和两个关系，称为$q$-Dolan/Grady关系。交替中心扩展$\mathcal O_q$具有涉及交替生成器$\lbrace \mathcal W_{-k}\rbrace_{k=0}^\infty$、$\lbrace \mathcal W_{k+1}\rbrace_{k=0}^\infty$、$ \lbrace \mathcal G_{k+1}\rbrace_{k=0}^\infty$、$\lbrace \mathcal {\tilde G}_{k+1}\rbrace_{k=0}^\infty$和大量关系的表示。令$\langle \mathcal W_0, \mathcal W_1 \rangle$表示由$\mathcal W_0$生成的$\mathcal O_q$的子代数$\mathcal W_1$。已知存在发送$W_0\mapsto \mathcal W_0$和$W_1 \mapsto \mathcal W_1$的代数同构$O_q \to \langle \mathcal W_0, \mathcal W_1 \rangle$。已知$\mathcal O_q$的中心$\mathcal Z$同构于可数多变量的多项式代数。已知乘法映射$\langle \mathcal W_0, \mathcal …
Universal TT- and TQ-relations via centrally extended q-Onsager algebra
本文通过中心扩展的q-Onsager代数分类一维表示，并利用K-算子构造通用转移矩阵，推导出TT关系及TQ关系，揭示了spin-j链的守恒量与非局部算子的对称性。
Exact spectrum of the XXZ open spin chain from the q-Onsager algebra representation theory
利用q-Onsager代数的表示理论对具有一般可积边界条件和一般各向异性参数（q不是单位根且|q| =1）的XXZ开自旋1/2链的转移矩阵进行对角化.类似于伊辛和超可积手征波茨模型，完整的谱用d=2^N次的特征多项式的根来表示。完整的本征态族是根据定义在离散支撑上的有理函数导出的，这些有理函数满足一个耦合递归关系系统。在特殊情况下的线性关系的左，右边界参数的Bethe型解决方案是已知存在的，我们的分析提供了一个替代的推导结果由Nepomechie等人。和曹等人。在后一种情况下，本征值和本征态的完整族分裂成两组，每一组与次数为$d< 2^N$的特征多项式相关联。对小的$N$值进行的数值检查支持该分析。
The $q-$Onsager algebra and multivariable $q-$special functions
本文构造了生成q-Onsager代数同态像的两组相互对易q-差分算子，发现其公共本征函数为Pochhammer函数的纠缠乘积，并揭示了对偶基之间的重叠系数由q-Racah及对偶q-Krawtchouk多项式描述。
Using the quantum torus to investigate the $q$-Onsager algebra
针对q-Onsager代数及其变体中元素难以闭式表达的问题，利用量子环面的代数同态映射，将相关元素映射到量子环面并给出基表示与闭式，解决了表达难题。
Reflection $K$ matrices associated with an Onsager coideal of $U_p(A^{(1)}_{n-1})$, $U_p(B^{(1)}_n)$, $U_p(D^{(1)}_n)$ and $U_p(D^{(2)}_{n+1})$
我们确定了量子仿射代数$U_p(A^{(1)}_{n-1})$在基本表象中和$U_p(B^{(1)}_{n}), U_p(D^{(1)}_{n}), U_p(D^{(2)}_{n+1})$在自旋表象中的一族Onsager余理想子代数的缠绕子.他们再现反射$K$矩阵最近获得的矩阵产品建设连接到三维可积性。特别是本方法提供了第一个证明的反射方程的非类型$A$的情况下。
Fused K-operators and the $q$-Onsager algebra
本文研究了带有谱参数的反射方程的通用解，即K-算子，基于通用的K矩阵框架。通过量子循环代数$\mathcal{L} U_q \mathfrak{sl}_2$和$q$-Onsager代数的交替中心扩张，提出并研究了融合的K-算子，并证明其满足依赖于谱参数的反射方程。
The $S_3$-symmetric tridiagonal algebra
本文研究了具有 $S_3$ 对称性的三对角代数，该代数有六个生成元，生成元可对应正则六边形的顶点，非相邻生成元可交换，相邻生成元满足三对角关系。
The Universal Askey-Wilson Algebra
1992年A. Zhedanov引入了Askey-Wilson代数AW=AW（3），并用它来描述Askey-Wilson多项式。在本文中，我们介绍了一个中心扩张$Δ$的AW，得到AW通过重新解释某些参数作为中心元素的代数。我们称$Δ$为{ \it泛Askey-Wilson代数}。给出了模群${\rm {PSL}}_2({\mathbb Z})$在$Δ$上作为自同构自同构群的忠实作用.我们给出了$Δ$的线性基。我们描述了$Δ$的中心和双侧理想$Δ[Δ,Δ]Δ$。讨论了$Δ$与$q$ -Onsager代数的关系.
Generic triangular solutions of the reflection equation: $U_{q}(\widehat{sl_2})$ case
考虑三角$q$代数的交织关系，利用$U_{q}(sl_2)$的Borel子代数得到了一般三角边界$K$ -算子.这些$K$ -算子求解反射方程。
A bispectral q-hypergeometric basis for a class of quantum integrable models
对于由$q-$ Onsager代数生成的量子可积模型类，给出了双谱多变量$q-$正交多项式的基.在第一部分中，我们证明了Gasper和Rahman [1]引入的具有$N$变量和$N+3$参数的多变量Askey-Wilson多项式生成了$q-$ Onsager代数的一族无穷维模，其基本生成元由Iliev [2]提出的多变量$q-$差分和差分算子实现.还构造了扩展Sahi [3]的操作符的升高和降低操作符。在第二部分中，有限维模块的构造和研究的某一类参数，如果$N$变量属于离散支持。在这种情况下，双谱性质在三对角对的框架内找到了自然的解释。在第三部分中，本征函数的$q-$多兰-格雷迪层次被认为是在多项式的基础。特别是，不变的子空间被确定为某些条件推广Nepomechie的关系。在第四部分中，分析扩展到特殊情况$q=1$。这个框架提供了一个$q-$超几何公式的量子可积模型，如开放的XXZ自旋链与一般的可积边界条件（$q\neq 1$）。
A new (in)finite dimensional algebra for quantum integrable models
引入并详细研究了一类新的（非）有限维代数，它是一类（连续或格）量子可积模型的基本动力学对称性。有限维表示构造和相互交换量-这确保了系统的可积性-写在新代数的基本发电机。描述了作者之一最近发现的变形Dolan-Grady可积结构与Terwilliger三对角代数的关系。值得注意的是，这个（非）有限维代数是平面伊辛模型中产生的原始昂萨格代数的“$q-$变形”模拟。因此，它提供了一个新的和替代的代数框架，研究大量的，以及共形，量子可积模型。
New results in the XXZ open spin chain
在这篇评论中，我描述了一个最近的方法的基础上的表示理论的$q-$ Onsager代数是用来获得确切的结果XXZ开自旋链。完整的谱和本征态是作为一个单一的变量，其离散值对应于一个特定的特征多项式的根的有理函数获得。还提出了意见和开放的问题。
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