Lie algebroids generated by cohomology operators
通过研究上同调算子的Frölicher-Nijenhuis分解（即外代数$Ω(M)$的具有$\mathbb{Z}-$度$1$和$D^2=0$的导子$D$），我们描述了切丛$TM$（及其复化$T^{\mathbb{C}}M$）上的李代数体结构的新例子，这些结构是由已有的几何结构如叶状结构、复形结构、乘积结构或切结构构成的.我们还描述了一类切丛上的李代数胚，它们与具有非平凡Nijenhuis挠的幂等自同态相关联。
2014-10-07 math-ph math.DG math.MP
Quasi-Lie bialgebroids, Dirac structures and deformations of Poisson quasi-Nijenhuis manifolds
本文通过闭2-形式形变Poisson拟Nijenhuis流形，将其解释为拟李双代数胚的扭转特例，并在Courant代数胚与Dirac结构框架下给出结果。
2024-05-27 math-ph math.DG math.MP
$F$-algebroids and deformation quantization via pre-Lie algebroids
本文首先引入了$F$ -代数胚的新概念，它是$F$ -流形代数和$F$ -流形的推广，并证明了$F$ -代数胚是交换李代数胚的预结合形式变形的半经典极限.然后利用准李代数胚的变形上同调研究了交换结合代数胚的准李无穷小变形以及准李$n$ -变形到准李$(n+1)$ -变形的推广.其次，我们发展了具有最终恒等式的$F$ -代数胚的Dubrovin对偶理论，并利用$F$ -代数胚上的Nijenhuis算子构造了新的$F$ -代数胚。最后，我们引入了准$F$ -代数胚的概念，它是具有相容平坦联络的$F$ -流形的推广。讨论了具有最终恒等式的准$F$ -代数胚的Dubrovin对偶，准$F$ -代数胚上的Nijenhuis算子及其在积分系统中的应用.
2022-03-21 math-ph math.MP math.QA
Jacobi vector fields for Lagrangian systems on algebroids
研究了Jacobi方程的几何性质。特别是我们证明了雅可比向量场（JVF）沿着Euler-Lagrange（EL）方程的解决方案本身是EL方程的解决方案，但认为在一个非标准代数体（不同于切丛李代数体）。作为结果，我们得到一个简单的非计算证明的作用的二阶变分的零子空间和JVF（和共轭点）沿极值的存在之间的关系。我们在反对称代数胚的框架下工作。
2012-05-27 math-ph math.DG math.MP
The graded Jacobi algebras and (co)homology
在分次交换代数上的分次Jacobi括号的背景下研究Jacobi代数胚（即李代数胚的Jacobi版本）.这统一了几何学和物理学中关于分次李结构的各种概念。本文发展了一种用经典李代数胚通过一定的规范（在E.Witten的外导数规范的精神下）来描述这种结构的方法。一个构造相应的Cartan微分学（分次交换的一个）在一个自然的方式。这反过来又给出了三角Jacobi代数胚的正则生成算子。人们得到，特别是，Lichnerowicz-Jacobi同调算子与经典的Jacobi结构。Courant-Jacobi括号以类似的方式获得，并用于定义Courant-Jacobi代数体和Dirac-Jacobi结构的抽象概念。所有这些都为理解Batalin-Vilkovisky形式主义提供了一种新的味道。
2002-11-18 math-ph math.DG math.MP
Jacobi algebroids and quasi Q-manifolds
我们用加权奇Jacobi括号重新表述了Jacobi代数胚的概念。然后，我们展示了如何Jacobi代数体可以理解的一种弯曲的Q-流形。特别是奇向量场上的同调条件以一种非常特殊的方式变形。这就引出了拟Q流形的概念。
2011-12-03 math-ph math.DG math.MP
Generalized geometric Hamilton-Jacobi theorem on Lie algebroids
本文给出了李代数胚上Hamilton系统的Hamilton-Jacobi方程的一些形式。本文利用李代数胚的一般性质，给出并证明了李代数胚上Hamilton系统的两个几何形式的Hamilton-Jacobi定理。推广了这一结果，得到了李代数胚上Hamilton系统的两类含时Hamilton-Jacobi定理。
2019-02-19 math-ph math.MP
Dirac pairs
我们将李代数胚的自同态的Nijenhuis挠的定义推广到关系的自同态的Nijenhuis挠的定义上，并证明了由双Hamilton结构定义的关系的挠为零。继Gelfand和Dorfman，我们然后定义狄拉克对，我们分析的关系，这个一般概念与各种兼容的结构流形上，更普遍的李代数胚。
2011-04-07 math-ph math.DG math.MP
Odd Jacobi manifolds: general theory and applications to generalised Lie algebroids
本文定义了一个超流形上Jacobi结构的Grassmann奇模拟。探讨了其基本性质。奇雅可比流形的建设，然后用来重新审视的概念雅可比代数体。证明了Jacobi代数胚可以用一种曲Q流形来理解，我们称之为拟Q流形。
2012-06-28 math-ph math.DG math.MP
Dirac Structures and Hamilton-Jacobi Theory for Lagrangian Mechanics on Lie Algebroids
本文提出了李代数胚上隐式拉格朗日系统的概念，并建立了这类系统的Hamilton-Jacobi理论。李代数体框架提供了经典切丛几何的自然推广。利用李代数体延拓$\T^EE^*$上的Dirac结构定义了李代数体$E$上的隐式拉格朗日系统的概念。这种设置包括退化拉格朗日系统的非完整约束的李代数体。
2012-11-19 math-ph math.MP
On characterization of Poisson and Jacobi structures
我们通过相应张量的完全提升来表征泊松和雅可比结构：提升必须通过相应向量丛的态射与正则结构相关。与李代数胚和Jacobi代数胚相关的广义Poisson和Jacobi结构（规范结构）也有类似的结果。
2002-10-23 math-ph math.DG math.MP
Jacobi structures revisited
引入了Jacobi代数胚，即与向量丛相关的Grassmann代数上的分次李括号，它满足与Jacobi括号类似的性质.它们在伊格莱西亚斯和马雷罗意义上等价于广义李代数胚，并且也可以看作是与向量丛相关的超流形上的奇Jacobi括号。Jacobi双代数胚也以同样的方式定义。在保持相应括号的向量丛的全空间上，给出了Grassmann代数的元素到多向量场的提升过程。这就给出了在Kirillov意义下正则地将一个李代数胚与任何局部李代数联系起来的可能性。
2001-11-13 math-ph math.DG math.MP
Poisson Manifolds, Lie Algebroids, Modular Classes: a Survey
在简要总结了Poisson流形和李代数胚的主要性质之后，我们综述了Poisson流形和扭Poisson流形的模类、具有Poisson结构或扭Poisson结构的李代数胚的模类以及Poisson-Nijenhuis流形的模类的最新工作.回顾旋量方法的模块类的结论文件。
2008-01-16 math-ph math.MP math.SG
Jacobi algebroids and Jacobi sigma models
本文将雅可比σ模型的作用泛函定义推广至雅可比丛，提出含$\mathbb{R}^{\times}$主作用齐次结构的多种方法，证明解为雅可比代数胚态射且模型解空间一一对应，还可推广至几乎泊松/雅可比括号，模型具几何完全协变性。
2024-09-22 math-ph math.DG math.MP
Holomorphic Poisson Manifolds and Holomorphic Lie Algebroids
本文从实Poisson几何的角度研究了全纯Poisson流形和全纯李代数胚。利用Magri-Morosi的Poisson Nijenhuis结构给出了全纯Poisson结构的一个特征，并描述了一个计算全纯Poisson上同调的二重复形.证明了向量丛$A\to X$上的全纯李代数胚结构等价于一对匹配的复李代数胚$(T^{0,1}X,A^{1,0})$，在Lu意义下. $A$的全纯李代数胚上同调同构于椭圆李代数胚$T^{0,1}X\bowtie A^{1,0}$的上同调。当$(X,π)$是一个全纯Poisson流形且$A=(T^*X)_π$时，这样的椭圆李代数体与对应于全纯Poisson流形的广义复结构的Dirac结构一致。
2008-07-14 hep-th math-ph math.DG
Graded contact manifolds and contact Courant algebroids
我们发展了一个系统的方法来接触和Jacobi结构的分次超流形。在这个框架中，切触结构被解释为辛主GL（1，R）-丛。与GL（1，R）作用相容的分次导致分次接触流形的概念，特别是线性（更一般地，n-线性）切触结构。证明了线性切触结构是线丛第一射流上的正则切触结构。它们提供了线性Kirillov（或Jacobi）括号，并产生了Kirillov代数胚的概念，这是李代数胚的类似物，其相应的上同调算子不是由向量场（德拉姆导数）表示，而是由一阶微分算子表示。它表明，人们可以查看Kirillov或Jacobi括号作为同调哈密顿线性接触流形。接触流形的程度2的研究，以及接触类似物的柯朗代数胚。我们定义提升程序，为我们提供了建设的典型例子的结构问题。
2013-02-06 math-ph math.DG math.MP
Jacobi structure for dissipative mechanical systems on Lie Algebroids
本研究将Jacobi结构推广至李代数胚相关的$A\times \mathbb{R}$与$A^{*}\times \mathbb{R}$空间，发现后者自带自然Jacobi结构，可用于建模耗散力学系统，拓展了现有相关模型的适用范围。
2023-06-12 math-ph math.MP math.SG
The Pontryagin Class for Pre-Courant Algebroids
本文证明了预Courant代数胚的Jacobiator $J$是自然闭的.相应的等价类$[J^\flat]$被定义为Pontryagin类，它是前柯朗代数胚变形为柯朗代数胚的障碍。我们构造了一个与pre-Courant代数胚相关联的Leibniz 2-代数和Lie 2-代数，并证明了这些代数结构在形变下是同构的。最后，我们引入了流形上李代数的扭曲作用，给出了包含Cartan几何的pre-Courant代数胚的更多例子。
2016-03-19 math-ph math.CT math.DG
Bianchi Identities for Non-Geometric Fluxes - From Quasi-Poisson Structures to Courant Algebroids
从一个（非结合）拟Poisson结构出发，给出了一个Roytenberg型代数的导子.由后者的Jacobi恒等式，导出了通量（H，f，Q，R）的Bianchi恒等式的最一般形式。它还解释了这种方法是如何与准李和柯朗代数体的数学理论。
2012-05-16 hep-th math-ph math.MP
Hamiltonian Mechanics on Duals of Generalized Lie Algebroids
在广义李代数胚的一般框架下，给出了不同于经典哈密顿力学理论的一种新的描述。在李代数胚的特殊情况下，得到了新的重要结果。我们提出的\emph{dual mechanical systems}使用，\emph{dual mechanical} $(ρ,η) $ \emph{-systems, Hamilton mechanical} $(ρ,η) $ \emph{-systems}或\emph{% Cartan mechanical} $(ρ,η) $ \emph{-systems.}，我们开发了它们的几何形状。我们得到了与双机械$(ρ,η) $系统相关的规范$(ρ,η) $ \emph{-}半（喷雾）。哈密顿力学$(ρ,η)$ -系统是发展哈密顿形式主义所必需的空间。我们得到了正则哈密顿量$H$和外力$F_{e}$所对应的$(ρ,η)$ -半映射，并导出了Hamilton-Jacobi型方程.
2011-08-25 math-ph math.DG math.DS
Gauged sigma-models with nonclosed 3-form and twisted Jacobi structures
我们研究了二维非线性西格玛模型的Wess-Zumino项对应于一个非封闭的3-形式，这可能会出现在目标空间的降维方面。我们在本文中的目标是双重的。在第一部分中，我们研究了在非封闭3-形式存在下西格玛模型的一致规范条件。在阿贝尔情形下，我们发现规范理论的目标具有由一个3-形式和两个2-形式扭曲的接触柯朗代数体的结构。规范不变性将理论限制在接触柯朗代数体的（小）狄拉克结构。在非阿贝尔的情况下，我们画了一个类似的平行规范西格玛模型和某些传递柯朗代数胚和相应的狄拉克结构之间。在本文的第二部分，我们研究了与Jacobi结构相关的二维西格玛模型。后者概括泊松和接触几何中存在的一个额外的矢量场。我们证明了可以构造一个规范对称性受Jacobi结构控制的西格玛模型，并且我们将该模型扭曲成一个3-形式。这种结构是Jacobi流形的WZW-Poisson结构的类似物。
2020-10-22 hep-th math-ph math.MP
Integrability of Jacobi structures
我们讨论了Jacobi流形的可积性的接触群胚，然后看看什么Jacobi的观点带来了新的泊松几何。特别地，利用切触群胚证明了辛群胚预量子化的Kostant型定理，回答了Weinstein和徐\cite{prequan}提出的一个问题.所用的方法是Crainic-Fernandes关于代数胚的$A$ -路和单值群的方法。特别是，我们得到的大多数结果是有效的，也在不可积的情况下。
2004-03-16 math-ph math.DG math.MP
Jacobi Geometry and Hamiltonian Mechanics: the Unit-Free Approach
我们提出了一个系统的处理线丛几何和雅可比流形的应用几何力学，还没有注意到在文献中。我们精确地识别类别，概括了普通类别的光滑流形和向量丛，以考虑缺乏选择的首选单位，这在标准微分几何总是由全球常数函数$1$。这就是我们所说的“无单位”方法。在通过符号映射给出局部李括号的特征之后，我们应用我们的新范畴语言来回顾Jacobi流形和相关概念，如Lichnerowicz括号和Jacobi代数体。我们的方法的主要优点是，Jacobi几何恢复为直接单位免费推广的泊松几何，所有熟悉的概念翻译在一个简单的方式。然后，我们应用这种形式主义的问题，是否有一个单位免费推广的哈密顿力学。我们确定了普通哈密顿力学的基本范畴结构，以证明确实有可能找到一个无单位的类似物。这项工作作为一个前奏调查的尺寸结构，试图在一个通用的数学框架，正式处理的物理量和尺寸分析。
2020-07-03 math-ph math.DG math.MP
2-plectic geometry, Courant algebroids, and categorified prequantization
一个2-plectic流形是一个流形配备了一个封闭的非退化3-形式，就像一个辛流形配备了一个封闭的非退化2-形式。在2-plectic几何中，我们遇到了辛几何中熟悉的许多结构的高级类似物。例如，任何2-plectic流形都有一个由光滑函数和Hamilton 1-形式组成的李2-代数。这是配备了一个泊松式括号，只满足雅可比身份到'相干链同伦'。在任何2-plectic流形上，有一个向量丛配备了额外的结构，称为正合Courant代数胚。这个柯朗代数胚是辛流形上的传递李代数胚的2-plectic模拟。它的整体截面空间也构成一个李2-代数。我们证明了这个李2-代数包含一个重要的子李2-代数，它同构于Hamilton 1-形式的李2-代数。此外，我们证明了它是拟同构的中心扩张的（平凡）李2-代数的Hamilton向量场，因此是更高的模拟著名的Kostant-Souriau中心扩张辛几何。我们解释所有这些结果的范围内的范畴prequantization程序的2-plectic流形。在这样做时，我们描述了如何U（1）-gerbes，配备了一个连接和弯曲，和柯朗代数胚是2-plectic类似物的主U（1）丛配备了一个连接和他们的相关Atiyah李代数胚。
2012-07-02 math-ph math.MP math.SG
A new perspective on nonholonomic brackets and Hamilton-Jacobi theory
本文提出Eden括号的新概念，证明其与约束子流形非完整括号、反对称代数胚定义的非完全括号三者等价，并借助该新表述推进了非完整系统的Hamilton-Jacobi理论与量子化研究。
2024-02-01 math-ph math.DG math.DS
A Landscape of Hamiltonian Phase Spaces: on the foundations and generalizations of one of the most powerful ideas of modern science
在这篇论文中，我们修正了现代物理学中的相空间概念，并设计了一种将物理尺寸明确地纳入几何力学的方法。计量学和相空间的历史帐户，以说明在今天使用的理论物理模型和测量单位的正式处理之间的脱节。给出了局部李代数、李代数胚、Poisson流形、线丛和Jacobi流形的自包含表示。无单位流形被定义为光滑流形上的一般线丛，我们将其解释为函数环不再具有单位的优先选择的流形。这种观点使我们能够把物理尺寸应用到几何力学中。无单位流形与普通光滑流形有许多相同的核心结构：笛卡儿积、作为切向量的导子、作为余切向量的喷流、子流形和分支。这允许重新解释雅可比流形的概念作为泊松流形的无单位模拟。用这种新的语言，我们重新发现已知的结果，雅可比映射，余迷向子流形，雅可比产品和雅可比约化。通过定义相空间理论和哈密顿函子的概念，给出了松项“正则哈密顿力学”的范畴表述。传统的配置空间，然后取代线丛，称为单位自由配置空间，并显示，他们适合到一个理论的相空间与哈密尔顿函子给出的射流函子。受量纲分析中物理量的代数结构的启发，我们通过实现部分定义的加法运算来定义量纲群、环、模和代数。Jacobi流形具有相关的维数泊松代数和维数余各向同性演算。
2019-10-18 math-ph math.DG math.MP
Higher Symplectic Geometry
我们考虑辛流形的推广称为n-辛流形。一个流形是n-plectic的，如果它配备了一个封闭的，非退化的形式的次数n+1。我们发现，这些流形上出现的更高的结构，可以理解为范畴化或同伦类似物的辛几何和几何量子化研究的重要结构。正如一个辛流形给出了一个泊松代数的功能，我们表明，任何n-辛流形给出了一个李n-代数包含某些微分形式，我们称之为哈密顿。李n-代数是强同伦李代数的例子。它们由一个n项链复杂配备了一个集合的反对称多括号，满足广义雅可比恒等式。然后，我们开发的机械必要的几何n-plectic流形。特别地，正如预量子化辛流形配备有具有联络的主U（1）-丛，预量子化2-辛流形配备有具有2-联络的U（1）-丛。gerbe是一个范畴化的层或栈，它推广了主丛的概念。此外，在任何2-plectic流形上，有一个向量丛配备了额外的结构称为柯朗代数胚。这个丛是预量子化辛流形上的Atiyah代数体的2-plectic模拟。它的整体截面空间也构成一个李2-代数，我们用它来表示Hamilton形式的李2-代数。最后，我们介绍了2-plectic模拟的玻尔-索末菲各种相关的一个真正的极化，并使用此几何plectic流形。这个过程的输出是一类量子态。我们考虑一个特殊的例子，其中这个范畴的对象可以用李群SU（2）的表示来识别。
2011-06-21 math-ph math.DG math.MP
