The length and depth of real algebraic groups
设$G$是连通实代数群. $G$的不可加细链是子群$G=G_0>G_1>...>G_t=1$的链，其中每个$G_i$是$G_{i-1}$的最大连通实子群。这种不可加细链的最大（或最小）长度称为$G$的长度（或深度）。给出了$G$的长度的精确公式，推广了Burness，Liebeck和Shalev关于复代数群和紧李群的结果.如果$G$是简单的，那么我们将$G$的深度限制在上面和下面，并且在许多情况下我们计算精确的值。特别地，任何简单的$G$的深度至多为$9$。
2018-11-15 math.GR
Expected Depth of Random Walks on Groups
对于$G$和$g \in G$，如果$g \notin N$，我们说$g$被正常子群$N \lhd G$检测到。$g$的深度$D_G(g)$是检测$g$的正常有限指数子群$N$的最低指数。在本文中，我们研究的预期深度，$\mathbb E[D_G(X_n)]$，其中$X_n$是一个随机游动$G$。我们给出了几个准则，这意味着$$\mathbb E[D_G(X_n)] \xrightarrow[n\to \infty]{} 2 + \sum_{k \geq 2}\frac{1}{[G:Λ_k]}\, ,$$，其中$Λ_k$是所有正规子群的指数最多$k$的交集。特别地，该等式在所有幂零群的类和所有满足Kazhdan性质$(T)$的线性群的类中成立。我们解释了上面的右手边是如何作为自然极限出现的，并给出了一个收敛不成立的例子。
2017-11-06 math.GR math.PR
Depth two, normality and a trace ideal condition for Frobenius extensions
我们回顾了数学RA/0108067中的深度2和Hopf代数体-伽罗瓦论，并专门讨论了半单代数的诱导表示和有限群的特征标理论。证明了复数上深度为2的子群是正规子群.作为一个逆，我们观察到，正常的Hopf子代数在一个领域是深度2的扩张。引入了环扩张的中心化子上的广义Miyashita-Ulbrich作用，并将其应用于深度为2的扩张和可分扩张的研究，给出了可分扩张和H-可分扩张的新刻画.针对可分扩张何时是Frobenius的问题，给出了环扩张何时是Frobenius的一个迹理想条件.
2006-01-20 math.GR math.QA
The length and depth of algebraic groups
设$G$是一个连通代数群. $G$的不可精化链是子群$G = G_0 > G_1 > \cdots > G_t = 1$的链，其中每个$G_i$是$G_{i-1}$的最大连通子群。我们引入的概念的长度（分别，深度）的$G$，定义为最大（分别，最小）的长度这样的链。在代数闭域上，利用连通群$G$的幂幺根$R_u(G)$的维数和约化商$G/R_u(G)$的Borel子群$B$的维数计算了连通群$G$的长度.特别地，秩为$r$的单代数群的长度为$\dim B + r$，这给出了Solomon和Turull关于李型有限拟单群的一个定理的自然推广。然后我们推出任何连通代数群$G$的长度超过$\frac{1}{2} \dim G$。我们还研究了单代数群的深度。在特征零，我们表明，这样一个组的深度是最$6$（这个界是尖锐的）。在正特征的设置，我们计算的确切深度的每个例外的代数群，我们证明了一个典型的组（在一个固定的代数闭域的正特征）的深度趋于无穷大的秩组。最后，我们研究了代数群的链差，即群的长度与群的深度之差。特别地，我们证明了对于任何连通代数群$G$，$G/R(G)$的维数是上界的，它是关于$G$的链差的.
2018-05-24 math.GR
The length and depth of compact Lie groups
设$G$是连通李群. $G$的不可精化链是子群$G = G_0 > G_1 > \cdots > G_t = 1$的链，其中每个$G_i$是$G_{i-1}$的最大连通子群。在本文中，我们引入了$G$的长度（深度）的概念，定义为这样的链的最大（相应的，最小）长度，我们建立了紧群的几个新结果。特别地，我们计算了每个紧单李群的精确长度和深度，并得出了任意连通紧李群$G$的结论。我们得到了$G$的长度在维数方面的最佳可能界，并刻画了具有相等长度和深度的连通紧李群。后一个结果推广了Iwasawa关于有限群的一个著名定理。更一般地说，我们建立了一个最好的上界$\dim G'$的链差的$G$，这是它的长度减去它的深度。
2019-04-11 math.GR
Depth three towers of rings and groups
深度三和有限深度是已知的概念，通过图和Frobenius扩展的环通过中心在自同态塔的子因子。从深度为2的环扩张的观点出发，给出了三个环组成的塔C < B < A的深度为3的明确定义.若A = B_C且B| C是一个Frobenius扩张，这捕获了Frobenius扩张的深度为3的概念。例如，我们提供了一个代数证明，如果B| C是深度3，然后A| C是深度2。若A，B，C通过固定基环上的群代数对应于子群G > H > K的一个塔，则深度3条件是子群K有包含在H中的正规闭包K^G的条件.对于深度为3的塔环，从Galois对应理论的观点出发，对于环{}_BA_C和关于中心化子A^B和A^C的核（A_BA_A）^C，有一个有趣的代数理论，涉及Morita上下文双模、非退化配对和右共理想子环.
2007-05-11 math.GR math.RA
Completely Inert Subgroups of Abelian Groups
本文定义并研究了阿贝尔群的完全惯性与一致完全惯性子群，证明其分别等价于特征惯性与一致特征惯性子群，从而强化了Goldsmith-Salce关于全惯性子群的最新成果。
2025-04-05 math.AC math.GR
Three amalgams with remarkable normal subgroup structures
本文构造了三个群$Λ_1$，$Λ_2$，$Λ_3$，它们都可以分解为合并积$F_9 \ast_{F_{81}} F_{9}$，并且只有很少的有限或无限指标的正规子群.具体地说，$Λ_1$是单群，$Λ_2$不是单群但没有无穷指数的非平凡正规子群，$Λ_3$不是单群但没有有限指数的真子群.
2005-06-15 math.GR
Centralizer Excess as an Obstruction to Carlson's Depth Conjecture
Fudan University（复旦大学）；University of Macau（澳门大学）
该研究以SmallGroup(128,859)为反例，揭示卡尔森深度猜想失效的机制，提出中心化子过剩准则，证明该反例的直积仍为反例，并分析了相关上同调类的低次表现。
2026-08-12 math.GR
On Abelian Groups Having All Proper Characteristic Subgroups Isomorphic
我们考虑了具有所有真特征子群同构的阿贝尔群的两个变体，并与具有所有真全不变子群同构的阿贝尔群进行了平行或对比地深入研究了它们的基本性质和特殊性质。Algebra（2015）.此外，我们还研究了至少有一个真特征子群同构于全群的阿贝尔群。我们建立的结果在一定程度上推广了Grinshpon-Nikolskaya在托木斯克州立大学数学与机械学报（2011，2012）和Commun. Algebra（2011）.
2023-01-21 math.GR math.RA
Intersections of automorphism fixed subgroups in the free group of rank three
证明了在秩为3的自由群中，给定任意多个自同构，它们的固定子群的交等于另一个单自同构的固定子群。
2004-04-21 math.GR
Three subgroup common transversal in abelian groups
University of Crete（克里特大学）
本文完全刻画了有限阿贝尔群中三个等阶子群存在公共横截的条件，并由此解决了1997年提出的关于三个等体积满秩格点具有公共基本域的问题（n=3情形）。
2026-06-15 math.GR
On Abelian Groups Having Isomorphic Proper Strongly Invariant Subgroups
本文研究了所有真强不变子群同构的阿贝尔群的两种变体，深入探讨其基本与特殊性质，并与真全不变或特征子群同构的阿贝尔群进行对比，同时探索了真强不变子群与整个群同构的阿贝尔群。
2023-07-30 math.GR math.RA
Normal subgroups whose conjugacy class graph has diameter three
本文研究了有限群 $G$ 的正规子群 $N$，确定了当包含在 $N$ 中的 $G$-共轭类相关联的图的直径达到最大值三时 $N$ 的结构。
2024-02-09 math.GR
On the length and depth of finite groups (with an appendix by D.R. Heath-Brown)
有限群$G$的不可加细链是子群链$G = G_0 > G_1 > \cdots > G_t = 1$，其中每个$G_i$是$G_{i-1}$的极大子群。$G$的长度（相应地，深度）是这样的链的最大（相应地，最小）长度。我们在以前的文章中研究了有限单群的深度，其中包括深度为$3$的单群的分类。这里我们通过确定深度为$3$和$4$的有限群来进一步研究。我们还得到了关于有限群长度的几个新结果。例如，我们分类的简单群体的长度最$9$，这扩展了早期的工作，扬科和原田从20世纪60年代，我们用它来描述结构的任意有限群的小长度。我们还给出了Heath-Brown的一个数论结果，即存在无穷多个长度至多为$9$的非交换单群.最后研究了$G$的链差（即长度减去深度）。我们得到了关于链差$1$和$2$群的结果，包括链差$2$单群的完全分类，扩展了Brewster等人的早期工作，我们还得到了链比的最佳可能下界（长度除以深度）的简单群体，其根据$G$的链差对$G/R(G)$的长度产生明确的线性界限，其中$R(G)$是$G$的可溶性基团。
2019-05-21 math.GR
A note on subgroup coverings of finite groups
本文确定了可表示为任意三个非冗余/相异真子群之并的有限群。刻画了可唯一地写成三个真子群之并的有限群。
2018-05-21 math.GR
An Exact Counterexample to Carlson's Associated-Prime Depth Conjecture from a Group of Order 128
Fudan University（复旦大学）；Westlake University（西湖大学）；ShanghaiTech University（上海科技大学）
研究卡尔森关于有限群上同调环深度与关联素数维数关系的猜想，通过列举特定128阶群的二阶初等阿贝尔子群及相关计算，给出该猜想的否定答案，证明该群上同调环无二维关联素数。
2026-07-28 cs.AI math.GR
Hopf subalgebras and tensor powers of generalized permutation modules
利用有限张量范畴中的某个模V及其张量幂幂，研究了有限维霍普夫代数H的子代数R的深度是否有限的问题.模V是从R导出到H的可数表示，它是一个广义置换模，也是一个模余代数。证明了：如果在子代数对中，任一霍普夫代数具有有限表示型，或V是R* 指向的半单的，或V是射影的，或V的张量幂满足包含R的有限集上的Burnside环公式，则R在H中的深度是有限的.通过比较V在有限张量范畴中的截断张量代数，给V或任何其他H-模赋予一个非负整数深度，从而得到一个Hopf子代数的深度的上界和下界.例如，一个相对霍普夫限制模的深度为1，一个无核子群的置换模的深度小于其特征标所假定的值的个数。
2014-06-12 math.GR math.RT
On the dimension datum of a subgroup. II
本文围绕维数基准研究了三个方面的问题：（1）维数基准的推广，我们称之为τ维基准;（2）不连通子群的维数基准;（3）正规齐性空间的等谱集的紧性.
2018-03-16 math.DG math.GR math.RT
On the subgroups of finite Abelian groups of rank three
本文描述了群$\Z_m \times \Z_n \times \Z_r$的子群，并导出了子群总数$s(m,n,r)$的简单公式，其中$m,n,r$是任意的正整数.推导了函数$n\mapsto s(n,n,n)$的渐近公式。
2013-04-10 math.GR math.NT
Narain Gupta's three normal subgroup problem and group homology
本文是关于群环理论中各种同调方法在经典问题中的应用。证明了群的第三同调在Narain Gupta的三个正规子群问题中起着关键作用。对于自由群$F$及其正规子群$R,\,S,\,T,$和整群环$\mathbb Z[F]$，${\bf r}=(R-1)\mathbb Z[F],\ {\bf s}=(S-1)\mathbb Z[F],\ {\bf t}=(T-1)\mathbb Z[F],$中的相应理想，给出了正规子群$F\cap (1+{\bf rst})$的完全刻划，条件是$R\subseteq T$和$R/R\cap S$的第三和第四同调群是扭群.
2016-11-04 math.GR math.KT
Groups equal to a product of three conjugate subgroups
设$G$是有限不可解群.证明了存在$G$的一个真子群$A$，使得$G$是$A$的三个共轭的乘积，从而用最小可能值代替了$36$的一个上界.证明依赖于一个等价的公式在双陪集方面，并使用以下定理，这是独立的利益和更广泛的范围：任何组$G$与$BN$ -对和有限Weyl组$W$满足$G=\left( Bn_{0}B\right) ^{2}=BB^{n_{0}}B$其中$n_{0}$是任何原像的最长元素的$W$。最后一个定理的证明是在由$G$中的$B$的双陪集的所有并集组成的二次曲面中公式化的。给出了群被真子群共轭覆盖的最小长积的其它结果。
2015-01-22 math.GR
On the subgroups and normal subgroups of the group representation of the Cayley tree
本文给出了Cayley树群表示的指数为$2^{s}(2n+1),\ s\in\{1,2\},\ n\in \mathbb{N}$的正规子群和指数为3的子群的一个刻划.
2016-01-12 math.GR
Strongly solvable spherical subgroups and their combinatorial invariants
称代数群G的子群H是强可解的，如果H包含在G的博雷尔子群中.本文致力于建立约化复代数群中强可解球面子群的以下三种组合分类之间的关系：Luna对强可解情形的任意球面子群的一般分类，Luna 1993年对强可解奇异子群的分类，以及作者2011年对强可解球面子群的分类。我们给出了一个详细的介绍，所有这三个分类，并表现出相应的组合不变量之间的相互关系，这使得一个从这些分类之一，以任何其他。
2015-03-26 math.AG math.CO math.GR
Second maximal subgroups of the finite alternating and symmetric groups
有限群G的一个子群称为次极大子群，如果它在包含它的所有极大子群中都是极大的，一个引起广泛关注的问题是：在某个有限群G中，包含给定的次极大子群的所有极大子群的个数是否都是正整数？除了当G几乎是单的时候，各种约化参数都是可用的。继有限单群的分类之后，有限几乎单群又分为三类：交替对称群、李型几乎单群、偶发群和偶发群的自同构群。本文研究了有限交错对称群，发现在这类群中，除了三个著名的例子外，没有第二极大子群能包含在多于3个的极大子群中。
2008-10-21 math.GR
The quasi-isometry invariance of commensurizer subgroups
证明了单端群中至少有三个余端的双端子群的拟等距化子在拟等距下不变。我们讨论了这个结果的各种应用。
2010-02-05 math.GR
Duality between $p$-groups with three characteristic subgroups and semisimple anti-commutative algebras
设$p$是奇素数，$G$是指数为$p^2$的非阿贝尔有限$p$ -群，具有三个不同的特征子群，即$1$，$G^p$和$G$ .商群$G/G^p$产生一个反交换${\mathbb F}_p$ -代数$L$，使得${\rm Aut}(L)$的作用在$L$上不可约;我们称这样的代数IAC。本文建立了这类群与这类IAC代数之间的对偶$G\leftrightarrow L$.证明了IAC代数是半单的，并对某些域上维数至多为4的单IAC代数进行了分类。我们还给出了简单IAC代数的其他例子，包括与${\rm SL}(2,{\mathbb F})$的自然模的$m$次对称幂有关的一族。
2018-09-22 math.GR
Three-dimensional maps and subgroup growth
在本文中，我们推导出一个生成系列的细胞复合体的数量称为铺路或三维地图，在$n$飞镖，从而解决了类似的Tutte的问题在三维。我们得到的生成序列也计数自由子群的指数$n$在$Δ^+ = \mathbb{Z}_2*\mathbb{Z}_2*\mathbb{Z}_2$通过一个简单的双射之间的铺路和有限指数子群，可以推导出的作用$Δ^+$的陪集上的一个给定的子群。然后，我们表明，这个生成系列是非完整的。进一步，我们给出并研究了与$Δ^+$中有限指标自由子群共轭类对应的Paving同构类的生成级数。用作者设计的软件进行的计算实验提供了一些关于$n\leq 16$飞镖上铺筑物的拓扑和组合的统计数据。
2021-09-30 math.CO math.GR math.GT
Subgroups of 3-factor direct products
推广Goursat引理，研究了3-因子直积的次直积的结构.我们给出了几个例子的建设，然后提供一个结构定理表明，每一个这样的群体基本上是由一个组合的建设。在这个结构定理中的中心观察是，涉及所有三个因子的次直积中的群元素之间的依赖关系是阿贝尔性质的。在Goursat引理的精神下，对于两种特殊情况，我们导出了从三个因子的子群格（以及产生的因子群之间的同构）得到的数据与次直积之间的对应定理.利用我们的结果，我们得到了一个计算三个对称群直积的次直积个数的显式公式。
2016-07-12 math.GR
Degeneration and orbits of tuples and subgroups in an Abelian group
一个群中的元组（或子群）被称为退化到另一个，如果后者是前者的自同态像。在可数约化阿贝尔群中，证明了如果元组（或有限子群）相互退化，则它们位于同一自同构轨道上。这个证明是基于Kaplansky和Mackey为了给乌尔姆定理一个优雅的证明而开发的技术。对于主理想整环上的既约可数生成扭模，也有类似的结果.它表明，深度和描述的原子所产生的偏序集的轨道的元组只依赖于乌尔姆不变量的模块的问题（而不是在底层环）。利用模的乌尔姆不变量给出了元素轨道偏序集的完整描述。这种描述的轨道之间的关系和一个非常不同的期待一个由Dutta和Prasad获得的有界阶的扭模的解释。
2012-08-24 math.CO math.GR
The Chabauty space of closed subgroups of the three-dimensional Heisenberg group
当具有Chabauty首先定义的自然拓扑时，局部紧群$G$的闭子群形成紧空间$\Cal C(G)$。我们分析了某些低维李群的$\Cal C(G)$的结构，主要集中在3维海森堡群$H$上。我们证明了$\Cal C(H)$是一个6维空间，是路径连通的，但不是局部连通的。$H$中的格形成了一个稠密开子集$\Cal L(H) \subset \Cal C(H)$，它是一个无限序列的六维成对同胚非球面流形的不交并集，每个流形都是$(\bold S^3 \smallsetminus T) \times \bold R$上的环面丛，其中$T$表示三叶结。还明确描述了$\Cal C(H)$中$\Cal L(H)$的互补物。由包含中心$Z(H)$的子群组成的$\Cal C(H)$的子空间同胚于4-球面，并且我们证明了这是$\Cal C(H)$的弱收缩。
2008-11-18 math.GR
Finite groups with two relative subgroup commutativity degrees
本文证明了存在无穷多个具有两个相对子群交换度的有限群。给出了有限群至少有三个相对子群交换度的充分条件，证明了$D_6$是唯一具有两个相对交换度的有限二面体群.最后，我们研究了包含有限群的所有子群交换度的集合的稠密性。
2018-01-27 math.GR
The commutator subgroup of the braid group is generated by two elements
对于$n$至少为7且$n$等于5，我们给出了$n$股上辫群的换位子群的大小为2的生成集.这些生成集具有最小可能的基数。对于$n$等于4或6，我们给出大小为3的生成集。我们还证明了四股辫群的换位子群不能由少于三个元素生成。
2020-03-09 math.GR math.GT
Finite $p$-groups with a minimal non-abelian subgroup of index $p$ (III)
本文完成了三生成元有限$p$ -群$G$的分类，使得$Φ(G)\le Z(G)$。本文是有限$p$ -群的分类的一部分，它的最小非交换子群的指数为$p$，部分地解决了Y.伯科维奇
2013-10-26 math.GR
Finite subgroups of the extended modular group
我们证明了在扩展的模群PGL（2，Z）中恰好有七个共轭的有限子群;三个子群的大小为2，一个子群的大小为3，4和6，和平凡子群的大小为1。
2019-02-09 math.GR
A note on nilpotent subgroups of automorphism groups of RAAGs
我们观察到直角Artin群的自同构群包含幂零的非交换子群，即$H_3(\mathbb{Z})$三维整数海森堡群，只要它们允许某种类型的元素，称为相邻transvection。这是Charney-Vogtmann的一个结果的（小）推广。
2018-03-22 math.GR
On Parabolic Subgroups of Symplectic Reflection Groups
利用Cohen对辛反射群的分类，证明了有限辛反射群的抛物子群，即稳定子群本身是辛反射群.这是复反射群的斯坦伯格定理的辛类似物。使用计算结果中所需的证明，我们表明不存在的辛解决方案对应于三个例外的辛反射群的辛商奇点，从而进一步减少的情况下，存在的问题仍然是开放的。我们的结果的另一个直接的后果是，与辛反射群相关联的辛商奇点的奇异轨迹是纯余维2。
2022-12-02 math.AG math.GR math.RT
Maximal $\mathrm{PSL_2}$ subgroups of exceptional groups of Lie type
研究了$\mathrm{PSL}_2(p^a)$嵌入到例外群$G(p^b)$中的情形，其中$G(p^b)$是$G=F_4,E_6,{}^2\!E_6,E_7$的例外群，$p$是一个素数，且$a,b$是正整数.除了少数可能的例外，我们证明了任何具有柱脚$\mathrm{PSL}_2(p^a)$的几乎单群，即在Lie型$F_4$，$E_6$，${}^2\!E_6$和$E_7$的几乎单例外群内的极大群，是在该代数群内相应的$A_1$型极大闭子群的Frobenius映射下的不动点.再加上最近的结果Burness和Testerman为$p$的考克斯特数加一，这证明了所有极大子群与柱脚$\mathrm{PSL}_2(p^a)$内这些有限几乎简单的群体是已知的，有三个可能的例外（$p^a=7,8,25$为$E_7$）。在剩下的三种情况下，我们提供了相当多的信息，一个潜在的极大子群。
2021-06-25 math.GR
Commensurated subgroups in tree almost automorphism groups
本文证明了树几乎自同构群恰允许闭可扩子群的三个可扩类。我们的证明利用了一个独立有趣的表征子群的树几乎自同构群，其中只包含周期元素的动态的作用在边界上的树。我们的结果进一步覆盖了树几乎自同构群的几个有趣的生成子群，包括Thompson群$F$，$T$，和$V$ .我们特别证明了Thompson群$T$除了有限子群和整个群之外没有其他子群。作为结果，我们得到了几个刚性的结果，这些群的可能嵌入到局部紧群。
2017-06-26 math.GR
Subgroups of the mapping class group of the torus generated by powers of Dehn twists
研究了由Dehn扭的幂生成的幂生成的环面的映射类群的子群。利用乒乓引理给出了一个判别条件，证明了幂的集合Dehn twists生成自由群.证明了由Dehn扭的三个一致幂生成的子群可以是整个映射类群，也可以是秩为2的自由群与秩为2的循环群的直积，或者是秩不超过3的自由群.我们的特点所产生的一个集合（分别平方）德恩扭曲的子群，如果有一对之间，使相应的简单闭曲线的几何相交数是两个（分别为一个）。我们还确定了所有Dehn扭转的均匀幂所生成的子群。
2019-09-16 math.GR math.GT
The volumes of Miyauchi subgroups
Miyauchi描述了$L$和$\varepsilon$ -因素附加到一般表示的unramified酉群的秩三的本地newforms定义的一个序列的子群。我们计算这些宫内群的体积。
2022-04-01 math.GR math.NT math.RT
Primitives and central detection numbers in group cohomology
Henn，Lannes和Schwartz引入了有限群G的模p上同调的两个不变量d_0（G）和d_1（G），使得H^*（G）可由H^d（C_G（V））检测和确定，其中d不大于d_0（G）和d_1（G），V < G的p-初等交换.我们研究如何计算这些不变量。我们定义一个数e（G）来度量H^*（G）到其极大中心p-初等交换子群的限制的象。利用Benson-Carlson对偶，我们证明了当$G$具有p-中心Sylow子群P时，d_0（G）= d_0（P）= e（P），并且对d_1（G）有一个类似的精确公式.在一般情况下，如果Benson正则性猜想成立，我们证明了d_0（G）在e（C_G（V））的最大值的上有界.特别地，这个不等式对所有群成立，使得G的p秩减去H^*（G）的深度至多为2。当我们看p=2的例子时，我们知道，对于所有阶数不超过64的2-Sylow子群，d_0（G）至多为7，除非Sylow子群同构于Sz（8）（且d_0（G）= 9）或SU（3，4）（且d_0（G）=14）。途中，我们恢复和加强定理的Adem和Karagueuzian的基本上同调，和绿色的深度基本上同调，并证明定理的结构相关的上同调原语的中央扩展。
2007-01-04 math.AT math.GR
The abstract groups (3, 3 | 3, p), their subgroup structure, and their significance for the non-associative finite simple Moufang loops
对于大多数（可能是所有）非结合有限单Moufang循环，可以选择三个3阶生成元，使得它们中的每两个生成同构于$(3, 3 | 3, p)$的群。$(3, 3 | 3, p)$的子群结构依赖于某个二次同余方程的可解性，这里用生成元来描述。
2007-01-24 math.GR
Finite Soluble Groups Need Not Admit Increasing Unrefinable Subgroup Chains
Independent Researcher, United States
本文否定回答了Monakhov和Sokhor提出的问题：并非每个有限群（即使可解）都有递增指标的不可加细子群链，并通过构造无限族反例（最小阶419904）证明。
2026-09-23 math.GR
Inclusion among commutators of elementary subgroups
本文继续研究初等换位子群$[E(n,A),E(n,B)]$，其中$A$和$B$是结合环$R$，$n\ge 3$的双边理想.首先，我们改进和扩展了一些辅助结果，这两个结果都是经典的，由于Bass，Stein，Mason，Stothers，Tits，Vaserstein，van der Kallen，Stepanov，以及我们与Hazrat的联合工作中的一些中间结果，以及我们自己最近的论文[40，41]。本文的技巧是给出了初等算子$[t_{ij}(ab),t_{ji}(c)]$的显式三重同余，其中$a,b,c$属于$R$的三个理想$A,B,C$.特别是，它提供了一个更清晰的对应的三个子群引理在理想的水平。我们得到了一些进一步的引人注目的推论，如交换子群$[E(n,I^r),E(n,I^s)]$的类属格的完全描述，多个基本换位子群之间的新包含等.
2019-11-24 math.GR math.RA
Overgroups of Levi subgroups I. The case of abelian unipotent radical
本文证明了Chevalley群$G(Φ,R)$的子子群$E(Δ,R)$的扩群对于三种类型的$(Φ,Δ)$（根系及其子系统）的三明治分类，使得$G(Δ,R)$（直到环面）是具有交换幂幺根的抛物子群的Levi子群.也就是说，我们证明了对于任何这样的扩群$H$，存在环$R$的唯一理想对$σ$，使得$E(Φ,Δ,R,σ)\le H\le N_{G(Φ,R)}(E(Φ,Δ,R,σ))$。
2021-06-29 math.GR
On malnormal peripheral subgroups in fundamental groups of 3-manifolds
设$K$是3-球面中的非平凡纽结，$E_K$是其外部，$G_K = π_1(E_K)$是其群，$P_K = π_1(\partial E_K) \subset G_K$是其外围子群。我们表明，$P_K$是异常的$G_K$，即$gP_Kg^{-1} \cap P_K = \{e\}$的任何$g \in G_K$与$g \notin P_K$，除非$K$是在以下三个类之一：环面结，电缆结，和复合结;这些正是类，其中存在环在$E_K$附于$T_K$，这不是边界平行（定理1和推论2）。更一般地，我们证明了边界为非空环面并的紧致可定向不可约3-流形的基本群中的非正规周边子群（定理3）。校对是为非专业读者编写的。我们的论文的一半（第7至10节）是提醒一些三流形拓扑，因为它蓬勃发展之前的瑟斯顿革命。在一个配套文件[HaWeOs]，我们收集一般的事实异常子群和弗罗贝纽斯群，我们审查了一些例子。
2011-04-15 math.GR
The Unknown Subgroup of $Aut(E_8)$
一个多世纪以来，人们对$E_8$格进行了深入的研究，几乎所有的$W(E_8)$的极大子群都被描述了--除了$2A_9$。我们将从三个不同的角度展示$2A_9$的简单描述：查看$E_8/2E_8$ ;查看格的范数2向量;查看其范数4向量。这三种描述中有两种特别简单：$2A_9$将2160个范数为4的向量稳定化为$E_8$的9个尺度副本; $2A_9$将$E_8/2E_8$的135个各向同性点稳定化为9个不相交的各向同性4-空间，每个空间15个点（因此众所周知的同构$A_8$ $\cong$ $L_4$（2）在$E_8$中可见）。
2018-02-15 math.GR
Iterated identities and iterational depth of groups
给定$n$字母上的单词，我们研究满足“迭代恒等式”$w$的群，这意味着对于所有$x_1, \dots, x_n$，存在$m$，使得$m$-恩格尔型$w$的迭代，应用于$x_1, \dots, x_n$，等于恒等式。我们定义了有界群和关于恒等式是分形的群。这种分形的概念可以被看作是一组恒等式的自相似条件，由一个组满足。与挠群和恩格尔群相反，关于恒等式是分形的群出现在非线性生成的基本顺从群中。我们证明了任何多环，以及任何亚阿贝尔群是有界的，我们计算各种圈积的迭代深度。我们研究了一个给定的群所满足的迭代恒等式的集合，它不一定是自由群的子群，也不一定是共轭不变的，与通常的恒等式相反。最后，我们讨论了另一个概念的迭代身份的群体，我们称之为可解型迭代身份，其关系到基本类的品种的群体。
2014-09-21 math.GR
On growth types of quotients of Coxeter groups by parabolic subgroups
本文主要研究既不是有限也不是仿射的Coxeter群$W$。de la Harpe的一个著名结果断言，这样的群具有指数增长性。本文利用$W$的抛物子群和某类反射子群来研究$W$的代数。我们发现这些变量也有指数增长性。为了实现这一点，我们使用戴尔定理构造一个反射子群的$W$是同构的通用Coxeter群上的三个发电机。这些结果都是在$W$的Coxeter图是简单的约束下证明的，并对如何放宽这一约束作了一些评论。
2006-03-01 math.GR
On the number of subgroups of a given exponent in a finite abelian group
本文研究有限阿贝尔群中给定指数的子群的个数。在秩为2和秩为3的阿贝尔群的情况下得到了显式公式。并给出了一个渐近公式。
2017-04-27 math.CO math.GR math.NT
Factorizations of finite groups by conjugate subgroups which are solvable or nilpotent
考虑有限群$G$分解为共轭子群，$G=A^{x_{1}}\cdots A^{x_{k}}$为$A\leq G$和$x_{1},\ldots ,x_{k}\in G$，其中$A$是幂零或可解的.首先利用李型有限单群的分裂$BN$ -对结构，给出了一个统一的自包含证明，证明了每一个这样的群都是四个或三个幂幺Sylow子群的积.然后，我们得到了一般有限群的可解共轭分解的最小长度的一个上界。最后，利用一般有限可解群的任意Carter子群的共轭分解，得到了一般有限群的幂零共轭分解的最小长度的一个上界.
2015-03-06 math.GR
Rings of invariants of three-dimensional upper-triangular representations of finite groups
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）
本文证明了奇特征域上有限三维上三角群的不变式环为多项式环的充要条件，即极大幂幺子群由伪反射生成或不含平延。
2026-09-14 math.AG math.GR
On free-group algorithms that sandwich a subgroup between free-product factors
设$F$是有限秩自由群，$H$是$F$的有限秩子群.我们讨论的两个算法，夹$H$之间的上层自由积因子的$F$，包含$H$和下层自由积因子的$F$，包含在$H$的证明。Richard Stong指出，唯一的最小可能的上层，记为$\operatorname{Cl}(H)$，在J. H. C.怀特黑德Stong的证明使用了Cayley树中的双无限路径和三流形的子曲面。我们给他的证明的一个变体，使用边削减的凯莱树引起的边削减的巴斯-塞尔树。A. Clifford和R. Z.戈尔茨坦给出了一个指数时间算法，确定是否平凡子群是唯一可能的下层。他们的证明使用怀特黑德的三流形技术。我们给出了一个变种，他们的证明，使用怀特黑德的割顶点的结果，从而获得一个稍微简单的算法，产生一个较低的层的最大可能的排名。
2013-06-17 math.GR
