Subgroups of arbitrary even ordinary depth
Hayder Abbas Janabi, Thomas Breuer, Erzsebet Horvath
我们证明了对于每个正整数$n$，存在一个群$G$和一个子群$H$使得平凡深度为$d(H, G) = 2n$ .这解决了Lars Kadison提出的开放问题，即是否会出现甚至比$6$更大的普通深度。
We show that for each positive integer $n$, there are a group $G$ and a subgroup $H$ such that the ordinary depth is $d(H, G) = 2n$. This solves the open problem posed by Lars Kadison whether even ordinary depth larger than $6$ can occur.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Subgroups of depth three and more
包含矩阵为M的半单复代数B < A的子代数对是深度为2的，如果对于某个正整数n和所有相应的元素，MM^t M < nM.若A和B是有限群-子群对H < G的群代数，则归纳限制表等于M且S = MM^t满足S^2 < nS当且仅当子群H在G中深度为3;类似地深度n > 3通过交替地将该不等式与M和M^t连续右乘得到。证明了弗罗贝尼乌斯群中的弗洛贝尼乌斯补是深度为3的子群的非平凡类.还考虑了霍普夫代数的深度3塔：证明了霍普夫代数A > B > C的塔是深度3的，如果C < core（B）.
On subgroup depth
我们基于归纳限制表M（及其转置矩阵）的幂的比较，定义了多矩阵代数B < A的包含的深度概念。这种深度概念与[Kadison，2008]的深度一致。特别是深度2扩展与Rieffel在1979年引入的正规扩张相一致。对于群扩张H < G，利用H在G中的核给出了一个必要的深度n条件.证明了对称群Sn < S_{n+1}的子群深度为2n-1.附录由S。Danz和B. Kuelshammer确定了交错群A_n < A_{n+1}和二面体群的子群深度。
On the depth of subgroups of simple groups
本文研究了简单群子群的深度，利用计算和概率技术，推导了关于几乎简单群子群深度的新结果，并计算了大部分奇点群子群的精确深度。
The depth of subgroups of Suzuki groups
本文确定了单Suzuki群Sz（q）的某些子群的组合深度，其中包括它们的极大子群的深度.我们应用这些结果来确定这些子群的平凡深度。
Irreducible characters of Sylow p-subgroups of the Steinberg triality groups $^3D_4(p^{3m})$
本文构造了Steinberg三元群${}^3D_4(p^{3m})$的Sylow $p$ -子群的所有普通不可约特征标，并对其进行了计数.
Ordinary $G$-permutable subgroups of finite simple groups
该研究解决了《Kourovka笔记》中问题17.112(a)，明确了存在真非平凡普通$G$-可置换子群的非阿贝尔有限单群类型，并对其相关子群完成分类，其余此类群无该类子群。
Principal blocks with six ordinary irreducible characters
我们对有限群的Sylow $p$ -子群进行分类，其主$p$ -块恰好有六个普通不可约特征标.
The depth of the maximal subgroups of Ree groups
确定了单Ree群$R(q)$的极大子群的组合深度和普通深度.
Restrictions of irreducible characters of finite groups of Lie type to derived subgroups and regular semisimple elements
在本文中，我们用公式表示了一个观察：当限制到导子群时，李型有限群的“几乎所有”不可约普通特征标保持不可约。要看到这一点，关键成分是共轭类的李型和强正规半单元在对偶群的有限群的一些渐近结果。
On the Andreadakis equality for a subgroup of the McCool group
McCool群有子群族，如普通纯辫群、上三角McCool群和部分内自同构群。推广的Andreadakis猜想对普通纯辫群和上三角McCool群成立.本文证明了部分内自同构群的一个类似结果，并建立了此群与上三角McCool群的内自同构群之间的同构.
Galois Automorphisms on Harish-Chandra Series and Navarro's Self-Normalizing Sylow $2$-Subgroup Conjecture
G. Navarro利用$G$的普通不可约特征标给出了有限群$G$有自正规Sylow 2-子群的一个充要条件.在前一篇文章中，作者已经简化了这个猜想的证明，证明了某些相关的陈述对单群成立。本文讨论了伽罗瓦自同构对Harish-Chandra诱导特征标的Howless-Lehrer参数化的作用。我们用它来完成证明的猜想，表明其余的单群满足所需的条件。
The depth of a finite simple group
我们引入了有限群$G$的深度的概念，定义为从$G$到平凡子群的不可加细子群链的最小长度。本文研究了（非交换的）有限单群的深度.我们确定的单群的最小深度，并显示，有点令人惊讶的是，交替组有界深度。建立了李型单群的深度的一般上界，并研究了深度与单群的长度之间的关系.我们的主要定理的证明依赖于（除其他工具）深数论的结果，即赫尔夫戈特最近解决的三元哥德巴赫猜想。
Classification of Artin groups admitting retractions onto their parabolic subgroups
本文通过分析三角子群，分类了允许到所有抛物子群重映射的Artin群，并证明此类群也允许普通重映射。
The length and depth of real algebraic groups
设$G$是连通实代数群. $G$的不可加细链是子群$G=G_0>G_1>...>G_t=1$的链，其中每个$G_i$是$G_{i-1}$的最大连通实子群。这种不可加细链的最大（或最小）长度称为$G$的长度（或深度）。给出了$G$的长度的精确公式，推广了Burness，Liebeck和Shalev关于复代数群和紧李群的结果.如果$G$是简单的，那么我们将$G$的深度限制在上面和下面，并且在许多情况下我们计算精确的值。特别地，任何简单的$G$的深度至多为$9$。
Blocks with the hyperfocal subgroup $Z_{2^n}\times Z_{2^n}$
本文计算了有限群$G$的块中的不可约普通特征标和不可约Brauer特征标的个数，该有限群在$G$的2-子群$P$上的相关融合系统（其是块的缺陷组）对于某些$n\geq 2$具有超焦点子组$\mathbb Z_{2^n}\times \mathbb Z_{2^n}$，当块由规范器$N_G(P)$控制并且超焦点子组包含在$P$的中心时，或者当阻断不受$N_G(P)$控制并且超焦点亚组包含在融合系统中的唯一基本亚组的中心时。特别是，Alperin的重量猜想举行的情况下考虑。
Bredon cohomological finiteness conditions for generalisations of Thompson's groups
我们定义了一个家庭的群体，推广汤普森的群体$T$和$G$，也Higman，斯坦和布林。对于这个族中的群，我们对有限子群的中心化子进行了降秩，并证明了对于给定的有限子群$Q$，有许多有限子群的共轭类同构于$Q$。我们使用这一点表明，无论何时定义，这些群体的T版本有一个稍微弱的属性，准$\underline{\operatorname F}_\infty$，一个组拥有一个有限型模型的分类空间适当的行动${\underline{E}}G$的当且仅当他们的有限型模型的普通分类空间。我们还概括了一些著名的性质，普通上同调Bredon上同调。
Universally extendible characters
研究有限群特征的可扩张性，得出普通或布劳尔特征可扩张至所有超群的等价条件，相关研究引出群的新特征子群。
Centralisers in Houghton's Groups
研究了Houghton群Hn的中心化子、有限子群和虚循环子群。我们讨论了Hn所满足的各种Bredon（余）同调有限性条件，包括Bredon（余）同调维数和Bredon-FPn条件，它们分别类似于普通的余同调维数和FPn条件.
Quotient order density of ordinary triangle groups
本文利用Bertram定理启发的方法和Turan-Kubilius不等式，证明了任意普通三角群的有限商阶在正整数中的自然密度为零，回答了Larson等人提出的问题。
Expected Depth of Random Walks on Groups
对于$G$和$g \in G$，如果$g \notin N$，我们说$g$被正常子群$N \lhd G$检测到。$g$的深度$D_G(g)$是检测$g$的正常有限指数子群$N$的最低指数。在本文中，我们研究的预期深度，$\mathbb E[D_G(X_n)]$，其中$X_n$是一个随机游动$G$。我们给出了几个准则，这意味着$$\mathbb E[D_G(X_n)] \xrightarrow[n\to \infty]{} 2 + \sum_{k \geq 2}\frac{1}{[G:Λ_k]}\, ,$$，其中$Λ_k$是所有正规子群的指数最多$k$的交集。特别地，该等式在所有幂零群的类和所有满足Kazhdan性质$(T)$的线性群的类中成立。我们解释了上面的右手边是如何作为自然极限出现的，并给出了一个收敛不成立的例子。
Depth two, normality and a trace ideal condition for Frobenius extensions
我们回顾了数学RA/0108067中的深度2和Hopf代数体-伽罗瓦论，并专门讨论了半单代数的诱导表示和有限群的特征标理论。证明了复数上深度为2的子群是正规子群.作为一个逆，我们观察到，正常的Hopf子代数在一个领域是深度2的扩张。引入了环扩张的中心化子上的广义Miyashita-Ulbrich作用，并将其应用于深度为2的扩张和可分扩张的研究，给出了可分扩张和H-可分扩张的新刻画.针对可分扩张何时是Frobenius的问题，给出了环扩张何时是Frobenius的一个迹理想条件.
On conjugate separability of nilpotent subgroups
本文研究所有类至多为 k 的极大幂零子群均畸正规的群，证明其与 CSA 群性质相似，并引入幂零传递群，在特定剩余条件下证明两者等价，从而将 CSA 与 CT 群理论纳入更一般的框架。
Navarro vertices and lifts in solvable groups
设$Q$是有限$p$ -可解群$G$的一个$p$ -子群，其中$p$是一个素数，并假定$δ$是$Q$的一个线性特征标，且具有如下性质：当$x,y\in Q$在$G$中共轭时，$δ(x)=δ(y)$.在这种情况下，我们表明，$p$ -正则元素的限制定义了一个典型的双射从这些不可约的普通字符集的$G$ Navarro顶点$(Q,δ)$到一组不可约的Brauer字符集的$G$绿色顶点$Q$。此外，我们使用这种对应关系来检查布劳尔特征相对于正规子群的提升行为。
The length and depth of algebraic groups
设$G$是一个连通代数群. $G$的不可精化链是子群$G = G_0 > G_1 > \cdots > G_t = 1$的链，其中每个$G_i$是$G_{i-1}$的最大连通子群。我们引入的概念的长度（分别，深度）的$G$，定义为最大（分别，最小）的长度这样的链。在代数闭域上，利用连通群$G$的幂幺根$R_u(G)$的维数和约化商$G/R_u(G)$的Borel子群$B$的维数计算了连通群$G$的长度.特别地，秩为$r$的单代数群的长度为$\dim B + r$，这给出了Solomon和Turull关于李型有限拟单群的一个定理的自然推广。然后我们推出任何连通代数群$G$的长度超过$\frac{1}{2} \dim G$。我们还研究了单代数群的深度。在特征零，我们表明，这样一个组的深度是最$6$（这个界是尖锐的）。在正特征的设置，我们计算的确切深度的每个例外的代数群，我们证明了一个典型的组（在一个固定的代数闭域的正特征）的深度趋于无穷大的秩组。最后，我们研究了代数群的链差，即群的长度与群的深度之差。特别地，我们证明了对于任何连通代数群$G$，$G/R(G)$的维数是上界的，它是关于$G$的链差的.
The length and depth of compact Lie groups
设$G$是连通李群. $G$的不可精化链是子群$G = G_0 > G_1 > \cdots > G_t = 1$的链，其中每个$G_i$是$G_{i-1}$的最大连通子群。在本文中，我们引入了$G$的长度（深度）的概念，定义为这样的链的最大（相应的，最小）长度，我们建立了紧群的几个新结果。特别地，我们计算了每个紧单李群的精确长度和深度，并得出了任意连通紧李群$G$的结论。我们得到了$G$的长度在维数方面的最佳可能界，并刻画了具有相等长度和深度的连通紧李群。后一个结果推广了Iwasawa关于有限群的一个著名定理。更一般地说，我们建立了一个最好的上界$\dim G'$的链差的$G$，这是它的长度减去它的深度。
supercharacter table of certain finite groups
超字符理论是由P.Diaconis和I. M.艾萨克斯是古典普通性格理论的自然概括。数论中的一些经典和以超特征标的形式出现，这些超特征标是通过GLd（Zn）的某些子群在Zdn上的作用而得到的.本文取Zdp，p素，通过GLd（Zp）的某些子群的作用，找到了Zdp的超特征标表.
Depth three towers of rings and groups
深度三和有限深度是已知的概念，通过图和Frobenius扩展的环通过中心在自同态塔的子因子。从深度为2的环扩张的观点出发，给出了三个环组成的塔C < B < A的深度为3的明确定义.若A = B_C且B| C是一个Frobenius扩张，这捕获了Frobenius扩张的深度为3的概念。例如，我们提供了一个代数证明，如果B| C是深度3，然后A| C是深度2。若A，B，C通过固定基环上的群代数对应于子群G > H > K的一个塔，则深度3条件是子群K有包含在H中的正规闭包K^G的条件.对于深度为3的塔环，从Galois对应理论的观点出发，对于环{}_BA_C和关于中心化子A^B和A^C的核（A_BA_A）^C，有一个有趣的代数理论，涉及Morita上下文双模、非退化配对和右共理想子环.
Algorithms detecting stability and Morseness for finitely generated groups
有限生成群的稳定子群和Morse子群的概念推广了字双曲群的拟凸子群的概念。对于字双曲群$G$，Kapovich提供了一个部分算法，在输入$G$的有限集$S$时，如果$S$生成$G$的拟凸子群，则停止，否则永远运行。本文给出了映射类群、直角Artin群、环面相对双曲群和由局部拟凸无挠双曲群判别的有限生成群（例如普通极限群）的稳定性和Morseness的各种检测和判定算法.
Endo-trivial modules for finite groups with Klein-four Sylow 2-subgroups
研究了模的内接平凡交换群$T(G)$，其中$kG$是特征域$p>0$上有限群$G$的群代数.当群代数的表示类型不是Wild时，当$G$的Sylow $p$ -子群$P$是循环的、半二面体的和广义四元数的情形下，$T(G)$的群结构是已知的.我们研究了$T(G)$，更准确地说，研究了它的扭子群$TT(G)$，其中$P$是Klein-4群.更确切地说，我们给出了$TT(G) = f^{-1}(X(N_{G}(P)))$成立的一个关于对合的中心化子的充要条件，其中$f^{-1}(X(N_{G}(P)))$表示由一维$kN_{G}(P)$ -模的$kG$ -Green对应构成的阿贝尔群.证明了$TT(G)$中任何不可分解模到特征零的提升提供了一个不可约的普通特征标。此外，我们表明，在$f^{-1}(X(N_{G}(P)))$的模的endo-trivial的属性是不是固有的模块本身，但决定在块的水平，它属于。
Completely Inert Subgroups of Abelian Groups
本文定义并研究了阿贝尔群的完全惯性与一致完全惯性子群，证明其分别等价于特征惯性与一致特征惯性子群，从而强化了Goldsmith-Salce关于全惯性子群的最新成果。
Sylow subgroups and the number of irreducible characters of degrees divisible by a prime $p$
本文研究了有限群中 Sylow p-子群的导出长度与可约特征标度数 divisible 由素数 p 的关系，证明了 p-块中缺陷群的导出长度与正高度特征标的数量之间的上界。
Centralizer Excess as an Obstruction to Carlson's Depth Conjecture
该研究以SmallGroup(128,859)为反例，揭示卡尔森深度猜想失效的机制，提出中心化子过剩准则，证明该反例的直积仍为反例，并分析了相关上同调类的低次表现。
On Abelian Groups Having All Proper Characteristic Subgroups Isomorphic
我们考虑了具有所有真特征子群同构的阿贝尔群的两个变体，并与具有所有真全不变子群同构的阿贝尔群进行了平行或对比地深入研究了它们的基本性质和特殊性质。Algebra（2015）.此外，我们还研究了至少有一个真特征子群同构于全群的阿贝尔群。我们建立的结果在一定程度上推广了Grinshpon-Nikolskaya在托木斯克州立大学数学与机械学报（2011，2012）和Commun. Algebra（2011）.
Graphs associated to conjugacy classes of normal subgroups in finite groups
本文研究有限群正规子群对应的两类共轭类图，证明其连通分量数至多2，给出直径上界并刻画不连通时的群结构。
On Abelian Groups Having Isomorphic Proper Strongly Invariant Subgroups
本文研究了所有真强不变子群同构的阿贝尔群的两种变体，深入探讨其基本与特殊性质，并与真全不变或特征子群同构的阿贝尔群进行对比，同时探索了真强不变子群与整个群同构的阿贝尔群。
Separating versus ordinary Noether numbers
本文研究了有限群的分离诺特数与普通诺特数的关系，发现当群具有特定子群时，分离诺特数与普通诺特数相等，并确定了某些非交换群的分离诺特数特性。
The principal $p$-blocks with small numbers of characters
对素数$p$，确定有限群$G$的Sylow $p$ -子群$D$，使得$G$的主$p$ -块$B$有四个不可约的普通特征标.它已经确定的情况下，其中的数目是多达三个工作的R。Brauer，J. Brandt和V.A. Belonogov三十年前。我们的证明依赖于有限单群的分类。
On the length and depth of finite groups (with an appendix by D.R. Heath-Brown)
有限群$G$的不可加细链是子群链$G = G_0 > G_1 > \cdots > G_t = 1$，其中每个$G_i$是$G_{i-1}$的极大子群。$G$的长度（相应地，深度）是这样的链的最大（相应地，最小）长度。我们在以前的文章中研究了有限单群的深度，其中包括深度为$3$的单群的分类。这里我们通过确定深度为$3$和$4$的有限群来进一步研究。我们还得到了关于有限群长度的几个新结果。例如，我们分类的简单群体的长度最$9$，这扩展了早期的工作，扬科和原田从20世纪60年代，我们用它来描述结构的任意有限群的小长度。我们还给出了Heath-Brown的一个数论结果，即存在无穷多个长度至多为$9$的非交换单群.最后研究了$G$的链差（即长度减去深度）。我们得到了关于链差$1$和$2$群的结果，包括链差$2$单群的完全分类，扩展了Brewster等人的早期工作，我们还得到了链比的最佳可能下界（长度除以深度）的简单群体，其根据$G$的链差对$G/R(G)$的长度产生明确的线性界限，其中$R(G)$是$G$的可溶性基团。
An Exact Counterexample to Carlson's Associated-Prime Depth Conjecture from a Group of Order 128
研究卡尔森关于有限群上同调环深度与关联素数维数关系的猜想，通过列举特定128阶群的二阶初等阿贝尔子群及相关计算，给出该猜想的否定答案，证明该群上同调环无二维关联素数。
Dominating Sets in Intersection Graphs of Finite Groups
设$G$是一个群。$G$的交图$Γ(G)$是一个无环无重边无向图，定义如下：顶点集是$G$的所有真非平凡子群的集合，两个不同顶点$H$和$K$之间存在一条边当且仅当$H\cap K \neq 1$其中$1$表示$G$的平凡子群.本文研究了有限群的交图的控制集。它证明了顶点集的一个子集是一个控制集当且仅当相应子群的并包含所有极小子群的并。我们将阿贝尔群按其控制数进行分类，并找到了某些特定类群的上界。子群交与Burnside环有关。引入了$G$ -集的交图的概念（在一定程度上推广了群的交图的一般定义），并利用Burnside环中满足某种性质的子群建立了$Γ(G)$的控制数的一般上界. $G$的交图是单纯复形的$1$ -骨架，其面是非平凡相交的真子群的集合。我们称之为$G$的单纯复交复形，并证明了它与$G$的真非平凡子群的序复形具有相同的同伦类型。证明了如果$Γ(G)$的控制数是$1$，则$G$的交复形是可收缩的.
Weak hyperbolicity and free constructions
本文的目的是证明群相对于子群的弱相对双曲性（或Farb意义下的相对双曲性）并不意味着普通双曲群的某些著名代数性质的任何自然类似物。我们的主要工具是弱相对双曲群的组合定理。
Degeneration and orbits of tuples and subgroups in an Abelian group
一个群中的元组（或子群）被称为退化到另一个，如果后者是前者的自同态像。在可数约化阿贝尔群中，证明了如果元组（或有限子群）相互退化，则它们位于同一自同构轨道上。这个证明是基于Kaplansky和Mackey为了给乌尔姆定理一个优雅的证明而开发的技术。对于主理想整环上的既约可数生成扭模，也有类似的结果.它表明，深度和描述的原子所产生的偏序集的轨道的元组只依赖于乌尔姆不变量的模块的问题（而不是在底层环）。利用模的乌尔姆不变量给出了元素轨道偏序集的完整描述。这种描述的轨道之间的关系和一个非常不同的期待一个由Dutta和Prasad获得的有界阶的扭模的解释。
Separability Properties of Nilpotent $\mathbb{Q}[x]$-Powered Groups
本文研究了幂零$\mathbb{Q}[x]$-幂群类的共轭性和子群可分性。许多在普通幂零群中研究这些性质的技巧自然地延续到这个更一般的类中。在其他结果中，我们提供了一个定理由于G。鲍姆斯拉格推广的版本指出，如果$G$是一个由$\mathbb{Q}[x]$生成的无挠幂零$\mathbb{Q}[x]$幂群，并且$H$是$G,$的一个$\mathbb{Q}[x]$孤立子群，则对于任何素数$π\in \mathbb{Q}[x]$，$\bigcap_{i = 1}^{\infty} G^{π^{i}}H = H.$
Primitives and central detection numbers in group cohomology
Henn，Lannes和Schwartz引入了有限群G的模p上同调的两个不变量d_0（G）和d_1（G），使得H^*（G）可由H^d（C_G（V））检测和确定，其中d不大于d_0（G）和d_1（G），V < G的p-初等交换.我们研究如何计算这些不变量。我们定义一个数e（G）来度量H^*（G）到其极大中心p-初等交换子群的限制的象。利用Benson-Carlson对偶，我们证明了当$G$具有p-中心Sylow子群P时，d_0（G）= d_0（P）= e（P），并且对d_1（G）有一个类似的精确公式.在一般情况下，如果Benson正则性猜想成立，我们证明了d_0（G）在e（C_G（V））的最大值的上有界.特别地，这个不等式对所有群成立，使得G的p秩减去H^*（G）的深度至多为2。当我们看p=2的例子时，我们知道，对于所有阶数不超过64的2-Sylow子群，d_0（G）至多为7，除非Sylow子群同构于Sz（8）（且d_0（G）= 9）或SU（3，4）（且d_0（G）=14）。途中，我们恢复和加强定理的Adem和Karagueuzian的基本上同调，和绿色的深度基本上同调，并证明定理的结构相关的上同调原语的中央扩展。
Fibered orbifolds and crystallographic groups
本文证明了n维晶体群G的正规子群N决定平坦轨道结构E^n/G上的几何纤维轨道结构，反之，E^n/G上的每一几何纤维轨道结构都由G的正规子群N决定，该正规子群N在G的正规子群的可积类中是极大的.特别地，我们证明了E^n/G是b维环面上的具有全测地纤维的纤维丛，其中b是G的第一贝蒂数.设N是G的一个正规子群，它在其可分解类中是极大的.研究了正合序列1 -> N -> G -> G/N -> 1分裂与相应的具有仿射截面的纤维化投影之间的关系。如果N是无挠的，我们证明了确切序列分裂当且仅当纤维化投影有仿射截面。如果一般纤维F = Span（N）/N有一个常点，它被F的每一个等距所固定，我们证明了正合序列总是分裂的.最后，我们描述了所有的几何纤维化的轨道空间的所有2-和3-维晶体群建设的工作康威和瑟斯顿。
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