Combinatorial study on the group of parity alternating permutations
Shinji Tanimoto
阐述了奇偶交替置换集的组合理论。鉴于上升和反转的数量，集合的几个枚举方面进行了研究。特别是，它表明，签署欧拉数有密切的关系，该集。
The combinatorial theory for the set of parity alternating permutations is expounded. In view of the numbers of ascents and inversions, several enumerative aspects of the set are investigated. In particular, it is shown that signed Eulerian numbers have intimate relationships to the set.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A Survey of Alternating Permutations
交替排列和欧拉数的调查包括欧拉数的改进，欧拉数的其他出现，最长交替连续性，交替排列类的本影计数，以及对称群的cd-指数。
On a Family of Conjectures of Joel Lewis on Alternating Permutations
我们证明了广义版本的一些代数的乔尔刘易斯的交替排列的数量，避免某些模式。我们的主要工具是可能令人惊讶的观察，一个经典的双射模式避免置换往往保持交替属性。
A refined bijection between alternating permutations and 0-1-2 increasing trees
我们构造了交替排列与度不超过2的0-1-2增树之间的精细双射$ϕ$。它满足交替置换$π$的第一个元素等于后序中$ϕ(π)$的第一个顶点。
On alternating signed permutations with the maximal number of fixed points
由R. Stanley关于一类交错置换的研究，R. Chapman和L.威廉姆斯指出，交替排列的最大数量的不动点是均匀分布的无序。我们扩展这个（类型$A$）的结果，类型$B$：我们证明了各类交替签署置换的最大数量的不动点是等分布的某些类型的错位（类型$B$），分别。
A Combinatorial Proof of the Enumeration of Alternating Permutations with Given Peak Set
利用循环上下排列与一对匹配之间的对应关系，给出了根据给定峰集计数交替排列的组合证明。
The Expected Shape of Random Doubly Alternating Baxter Permutations
Guibert和Linusson引入了双交替Baxter置换族，即Baxter置换$σ\in S_n$，使得$σ$和$σ^{-1}$是交替的。他们证明了在$S_{2n}$和$S_{2n+1}$中这样的排列数是Catalan数$C_n$。在本文中，我们探讨了预期的极限形状，这样的排列，矿工和帕克的方法。
Quadrant marked mesh patterns in alternating permutations
本文是系统研究四象限标记网格分布规律的继续。我们研究了四分之一标记的网格模式上下和上下排列，也被称为交替和反向交替排列，分别。特别是，我们通过表明感兴趣的象限标记网格模式的分布由$(\sec(xt))^{1/x}$在偶数长度的上下排列上给出，以及由$\int_0^t (\sec(xz))^{1+\frac{1}{x}}dz$在奇数长度的上下排列上给出，改进了André关于交替排列的经典枚举结果。
Alternating permutations with restrictions and standard Young tableaux
本文通过Yamanouchi词的中间结构，给出了长度为$2n$的4123-避免的上下交替排列集与形状为$(n,n,n)$的标准Young表集之间的双射，以及长度为$2n-1$的4123-避免的上下交替排列集与形状为$(n+1, n, n-1)$的移位标准Young表集之间的双射.此外，通过给出4123-避免上下交替排列与标准Young表之间的双射，得到了4123-避免上下交替排列的偶数和奇数长度的计数.
Enumeration of permutations by number of alternating runs
设R（n，k）表示{1，2，.，n}，其中k个交替运行。我们找到了数R（n，k）的一个语法描述，然后给出了数R（n，k）的几个包含生成函数的卷积公式。此外，我们建立了交替运行和安德烈排列之间的联系。
Finite Difference Calculus for Alternating Permutations
在交替置换环境下，重新解释了Christiane Poupard在切树研究中引入的有限差分方程组。它使得有可能进行联合研究的切线和割线树和计算生成多项式交替排列的一个新的统计量，被称为是最大值的更大的邻居。
The alternating run polynomials of permutations
本文首先考虑David-Barton恒等式的推广，它把交错游程多项式与欧拉多项式联系起来。通过使用上下文无关文法，我们提出了一个家庭的q-交替运行多项式的组合解释。此外，我们引入了半伽玛正多项式的定义，并证明了对偶Stirling置换的交错游程多项式的半伽玛正性。建立了置换的上下游程多项式与对偶Stirling置换的交替游程多项式之间的联系。
Generating trees and pattern avoidance in alternating permutations
我们扩展了同一作者的早期工作，列举交替排列，避免排列模式2143。我们使用生成树的方法来构造长度为2n的交替排列的集合A_{2n}（2143）与形状为（n，n，n）的标准Young表之间以及长度为2n + 1的交替排列的集合A_{2n + 1}（2143）与形状为（n，n，n）的移位的标准Young表之间的递归双射（n + 2，n + 1，n）。我们还给出了一些关于交替排列及其推广中的模式回避的解释和公开问题。
Parity alternating permutations starting with an odd integer
集合$[n] = \{1, 2,\ldots, n\}$的奇偶交替置换是偶数和奇数项交替的置换。我们处理奇偶交替排列有一个奇数的项目在第一个位置，PAP。我们研究了偶数奇偶校验和奇数奇偶校验的PAP计数。我们还研究了PAP的一个子类，奇偶交替紊乱（PAD）。此外，通过考虑这些PAD的奇偶性，我们研究了它们的统计特性。
A conjecture of Stanley on alternating permutations
本文给出了RichardStanley关于具有最大不动点数的错位和交错排列的等分布猜想的两个简单证明。
An explicit formula for the number of permutations with a given number of alternating runs
令$R(n,k)$表示具有$k$交替运行的${1,2,...,n}$的排列数。本文给出了数$R(n,k)$的一个显式公式。
Alternating, pattern-avoiding permutations
研究了避免包含132个置换模式的交替置换的计数问题。我们在132-避免排列的集合S_n（132）和交替的132-避免排列的集合A_{2n + 1}（132）之间构造了一个双射。对于每个集合p_1，...，p_k的模式和某些相关模式q_1，.，q_k，我们的双射限制为S_n（132，p_1，...，p_k）、避免132和p_i的置换集合，以及A_{2n + 1}（132，q_1，.，q_k）、交替置换避免集合132和q_i.这将后一个集合的枚举减少为前一个集合的枚举。
Hook-length formula and applications to alternating permutations
在本文中，我们感兴趣的是寻找最近在Morales Pak Panova 2016中证明的钩长公式的应用。这个公式可以用来给出交替排列与加权Dyck路之间的一个非平凡关系。首先，我们给出了一个替代证明这个结果使用连分数，然后我们应用类似的推理更一般的情况下，$k$ -交替排列。
Derivative polynomials and enumeration of permutations by their alternating descents
在本文中，我们提出了一个明确的公式，排列的数目与给定的交替下降。此外，我们还研究了这些数的生成多项式的零点的实部的交错性质。
On Pattern Avoiding Alternating Permutations
长度为$n$的交替置换是置换$π=π_1 π_2 ... π_n$，使得$π_1 < π_2 > π_3 < π_4 > ...$。令$A_n$表示${1,2,..., n}$的交替排列的集合，并且令$A_n(σ)$是$A_n$中避免模式$σ$的交替排列的集合。最近，Lewis利用生成树列举了$A_{2n}(1234)$、$A_{2n}(2143)$和$A_{2n+1}(2143)$，并对避免某些模式的交替排列的Wilf等价性提出了几点证明。其中一些命题已被证明博纳，徐和严。本文证明了Lewis提出的两个关系式$|A_{2n+1}(1243)|=|A_{2n+1}(2143)|$和$|A_{2n}(4312)|=|A_{2n}(1234)|$。
Enumeration of a dual set of Stirling permutations by their alternating runs
本文用交错游程数来计数一个Stirling置换的对偶集。研究了生成函数的性质，包括递归关系、文法解释和卷积公式。
Restricted 132-alternating permutations and Chebyshev polynomials
如果一个排列以上升开始，然后依次下降和上升，则称之为\emph{alternating}。本文研究了$n$字母上避免或恰好包含一次132的交替排列数的生成函数，以及$k$字母上避免或恰好包含一次任意模式的生成函数。在几个有趣的情况下，生成函数只依赖于$k$，并通过第二类切比雪夫多项式表示。
Generating functions of permutations with respect to their alternating runs
我们提出了一个简短的，直接的事实证明，生成函数的所有排列的一个固定长度的$n\geq 4$是整除的$(1+z)^m$，其中$m=\lfloor (n-2)/2 \rfloor$。
Alternating runs of permutations and the central factorial numbers
设R（n，k）是$\{1,2,\ldots,n\}$的k次交替运行的排列数。本文建立了R（n，k）与偶数阶的中心阶乘数以及给定交错游程数的符号置换数与奇数阶的中心阶乘数之间的关系.建立了置换的峰多项式和左峰多项式以及正切函数和正割函数的导数多项式的显式表达式。
Beyond alternating permutations: Pattern avoidance in Young diagrams and tableaux
我们探讨模式避免交替排列及其推广。首先，我们研究模式避免交替模拟杨图。特别是，我们扩展巴布森-韦斯特的形状-威尔夫等价的概念，适用于交替排列，因此推广的结果Backelin-West-Xin和Ouchterlony交替排列。其次，我们研究了在更一般的上下行受限的排列中的模式回避。我们考虑一个问题的刘易斯关于排列是阅读的话加厚楼梯杨tableaux，即排列，有（k - 1）上升，其次是下降，其次是（k - 1）上升，等等。我们根据禁止模式确定了避免模式的（k - 1）-上升排列集合的相对大小。此外，我们给出了在这种情况下，从形状等价类型枚举的进一步扩展所产生的模式避免排列的集合的大小不等式。
A new refinement of Euler numbers on counting alternating permutations
在微积分和组合学的交叉点，正割数和正切数（欧拉数）的生成函数提供了交替排列的枚举。在这篇文章中，我们提出了欧拉数的一个新的改进，以回答Heneghan-Petersen证明的关于欧拉数的某些特定关系的组合问题，幂级数用于上下最小-最大排列，College Math. Journal，Vol.45，No.2（2014），83-91。
Longest alternating subsequences of permutations
对称群S_n中置换w的最长递增子序列的长度是（w）一直是研究的对象。我们开发了类似的结果的长度为（W）的最长交替子序列W，其中序列a，b，c，d，.如果a>b <c>d<...，则是交替的。例如，如果n>1，则S_n中w的as（w）的期望值（平均值）正好是（4 n +1）/6。
Sign-balance of excedances over mod-k-alternating permutations and gamma-positivity
本文研究了mod-k-alternating排列及其错排关于excedance统计量的符号平衡，通过构造矩阵联系行列式求解，并证明了特定条件下excedance枚举多项式的gamma-正性。
Counting permutations by alternating descents
我们发现的指数母函数的置换与所有的山谷甚至和所有的高峰奇，并用它来确定其系数的渐近，回答了一个问题提出的利维乌尼古拉斯库。生成函数可以表示为涉及欧拉数的和的倒数。给出了该公式的两个证明。第一种方法使用一个微分方程系统。第二个证明得出的生成函数直接从一般置换枚举技术，使用非交换对称函数。生成函数是大卫和巴顿的生成函数的“交替”类似物，用于没有增加长度为3或更长的排列。我们的一般结果给出了置换计数公式的进一步交替类似物，包括Chebikin和Remmel的结果。
Quadrant marked mesh patterns in alternating permutations II
本文是对S。Kitaev和J. Remmel，象限标记的网格模式，J. Sequences 12，第4期（2012年），第12.4.7条。".我们研究了四分之一标记的网格模式上下和上下排列。
Counting alternating permutations with restricted prefix and suffix
该研究借助 Hasse 图与生成函数，枚举长度3、4的前缀或后缀满足模式及数值约束的交错排列，并处理前后缀同时受限情形。
Alternating permutations containing the pattern 123 or 321 exactly once
受Zeilberger最近的一个笔记（arXiv：1110.4379）的启发，Alejandro Morales问是否可以计数交替（即，上-下）排列，其包含模式123或321恰好一次。在本文中，我们对这个问题作了肯定的回答，特别证明了：当m > 1时，a_（2 m）（123）= 10（2 m）！((m- 2）！（m + 3）！），a_（2m）（321）= 4（m - 2）（2m + 3）！/ ((m+ 1）！（m + 4）！），a_（2m + 1）（123）= a_（2m + 1）（321）= 3（3m + 4）（m - 1）（2m + 2）！/ ((m+ 1）！（m + 4）！）其中a_n（p）是长度为n的交替排列的数目，该交替排列恰好包含一次模式p。
A q-enumeration of alternating permutations
欧拉的一个经典结果指出正切数是欧拉数的交替和。Roselle的一个对偶结果指出，割线数可以通过有符号的乱序计数来获得。我们表明，这两个身份可以细化与以下统计：交叉排列和乱序的数量，以及在交替排列的模式31-2的数量。利用Corteel，Rubey，Prellberg和作者以前的结果，我们导出了q-正切数和q-正割数的闭公式。有两种不同的方法来获得这些公式：一种是用置换表，另一种是用加权Motzkin路径（Laguerre历史）。
Characterizing Alternating Sign Triangles
交替符号三角形是由Carroll和Speyer在立方体递归中引入的，类似于八面体递归的交替符号矩阵。通过与置换矩阵类比，置换三角形是其条目为0或1的交替符号三角形。在本文中，我们证明了一个简单的刻画置换三角形，最初由Glick。我们还将证明交替符号三角形的一些性质。
Enumeration of snakes and cycle-alternating permutations
施普林格数是有符号置换群的欧拉数的类似物。Arnol展示了他们计算了一些被称为蛇的物体，这些物体概括了交替排列。霍夫曼建立了斯普林格数之间的联系，蛇，和一些多项式有关的连续衍生物的三角函数。本文的目的是给出导数多项式的进一步组合性质，在蛇和其他对象方面：循环交替排列，加权Dyck或Motzkin路径，增加树和森林。我们得到的生成函数，在三角函数的指数和普通的J-分数的条款。我们还定义了自然的q-类似物，使正常的排序问题和组合理论的微分方程的链接。
Alternating permutations and symmetric functions
我们利用对称函数的理论来列举{1，2，.，n}。这些类别包括以下内容：（1）w和w^{-1}都是交替的，（2）w具有某些特殊形状，例如（m-1，m-2，...，1），在RSK算法下，（3）w具有指定的循环类型，以及（4）w具有指定数目的不动点。我们还列举了交替排列的多重集。我们的大多数公式都是本影表达式，其中将表达式展开为变量E的幂后，E^k被解释为欧拉数E_k。作为一个小的推论，我们得到一个组合的解释系数的渐近展开出现在拉马努金的丢失的笔记本。
Unlimited parity alternating partitions
我们引入了一种新类型的分区，其由不同部分在奇偶性上交替的分区组成（例如，$3+2+2+1+1$）。研究了这种分拆函数的各种性质。特别地，我们利用Ingham的Tauberian定理得到了它的渐近行为。
Parity-Alternate Permutations and Signed Eulerian Numbers
为了研究有符号欧拉数，我们引入一种特殊类型的排列，称为奇偶交替排列，因为它们交替地取偶数和奇数项。本文件的目的有两个。第一种方法是将这些排列细分为偶数和奇数，从而推导出它们的几个性质。第二个是讨论这些和有符号欧拉数之间的关系。还推导了符号欧拉数和几个相关数的素数幂整除性。
Pattern avoidance and RSK-like algorithms for alternating permutations and Young tableaux
我们定义了一个类L_{n, k}的置换，推广交替（上下）置换，并给出了双射证明的某些模式，避免此类结果。作为我们结果的一个特例，我们给出了长度为2n且没有四项递增子序列的交替排列集合A_{2n}（1234）与形状为（3 ^n）的标准Young tableaux之间以及集合A_{2n + 1}（1234）与形状为（3^{n - 1}，2，1）的标准Young tableaux之间的两个双射.这表示避免长度为4的模式的交替排列的第一次枚举。我们还扩展以前的工作双交替排列（交替排列的逆交替），我们更一般的情况下。集合L_{n, k}可以被看作是具有特定倾斜形状的标准杨氏表格的阅读单词的集合。在本文的最后一节中，我们扩大了我们的研究，考虑模式避免在阅读的话，标准的杨tableaux的任何歪斜的形状。我们双射表明，标准杨tableaux的形状lambda/mu的阅读单词避免213的数量是一个自然的mu模拟的加泰罗尼亚数字（特别是不依赖于lambda，一个简单的技术条件），并有类似的结果为模式132，231和312。
Continued fractions for cycle-alternating permutations
该研究针对循环交替排列的计数多元多项式得到Stieltjes型连分数，引入其推广结构交替Laguerre有向图并给出对应计数多项式的指数生成函数，还从图的角度解释了相关连分数对应的两类Rogers矩阵。
A Note on the Structure of Roller Coaster Permutations
我们考虑Ahmed和Snevily[1]提出的过山车排列的结构。过山车排列被描述为使该排列及其所有子排列同时从上升到下降或从下降到上升的总切换最大化的排列。本文着眼于这些排列的交替结构，然后我们引入一个概念的条件强于交替的排列，我们将称为递归交替。我们还研究了哪些条目可以出现在排列中的偶数，奇数和结束位置的优先级。
Partial permutation and alternating sign matrix polytopes
本文定义并研究了一类新的多面体，它们由部分交替符号矩阵的凸包构成。我们确定这些多面体的不等式描述，面数，面格。我们还研究了部分置换面体，我们显示自然产生的这些多面体的投影。在布尔格中，我们列举了面，并以链的形式刻画了部分置换面的面格。最后，当一个参数固定为两个时，我们得到了关于部分置换面体体积的一个结果和一个猜想。
Counting permutations by alternating runs via Hetyei-Reiner trees
本文通过Hetyei-Reiner树作用，提出新的方法解释Bóna商多项式，并扩展到B和D类型排列，获得相关恒等式组合证明。
Heaps of rhombic dodecahedra, catalan congruences on alternating sign matrices, and bases of the Temperley-Lieb algebra
研究了交替符号矩阵格上的卡坦 congruences，证明其与covexillary排列和避免321模式排列的关系，并扩展了温度利布代数的基础。
Parity statistics on restricted permutations and the Catalan--Schett polynomials
受可栈排序排列与Jacobi椭圆函数研究启发，本文构造新双射并细化$321$-避免排列的下降生成函数，解决了Kitaev和Zhang关于非重叠上升的公开问题，给出Catalan–Schett多项式的组合解释。
Alternating sign matrices of finite multiplicative order
研究了一般线性群中的非置换矩阵但具有有穷级的交替符号矩阵。我们将所有这样的例子分类为$P+T$的形式，其中$P$是置换矩阵，$T$有四个非零元素，形成一个正方形，每行和每列都有元素$1$和$-1$。我们证明了这些矩阵的乘法阶并不总是与相同大小的置换矩阵的乘法阶一致。提出了由交替符号矩阵生成的一般线性群的有限子群的判别问题。
Permutation Statistics on the Alternating Group
令$A_n\subseteq S_n$表示$1,...,n$上的交错群和对称群。关于$S_n$中长度和主要指数的等分布的MacMahaon定理，已经由Foata，Carlitz，Foata-Schutzenberger，Garsia-Gessel和追随者们得到了广泛的改进和推广。我们的主要目标是寻找交替群$A_{n}$的类似统计和恒等式。引入了$S_n$的一个新的统计量{ \it delent number}。这一新统计数据涉及新的$S_n$等分布恒等式，完善了Foata-Schutzenberger和Garsia-Gessel的一些结果。通过某个覆叠映射$f:A_{n+1}\to S_n$，这样的$S_n$恒等式被“提升”到$A_{n+1}$，产生相应的$A_{n+1}$等分布恒等式。
Variations on Descents and Inversions in Permutations
我们研究新的统计排列的下降和反转统计的变化。特别地，我们考虑置换sigma = sigma_1sigma_2.的交替下降集。sigma_n定义为索引i的集合，使得i为奇数且sigma_i > sigma_{i+1}，或者i为偶数且sigma_i < sigma_{i+1}。我们发现，这个统计量是等分布的3-下降集统计排列sigma = sigma_1 sigma_2.其中sigma_1 = 1，定义为索引i的集合，使得三重sigma_i sigma_{i+1} sigma_{i+2}形成大小为3的奇置换。然后，我们引入对应于两个新的变化下降的Mahonian反转统计，并表明所产生的下降反转对的联合分布是相同的。我们研究涉及交替欧拉多项式的生成函数，通过与使用交替下降的经典欧拉多项式sum_{sigma in S_n} t^{des（sigma）+1}类比来定义。对于交替下降集统计量，我们通过类比布尔代数B_n的ab-指标定义了两个非交换变量的生成多项式，并对它进行了观察，通过观察交替（下-上）排列中交替反转的个数，我们得到了欧拉数E_n的一个新的q-模拟，并说明了它如何出现在表示E_n为Dyck路加权和的恒等式的q-模拟中.
A combinatorial proof of Jacobi's elliptic identity via alternating permutations
本文通过交替排列方法，结合Entringer数和Dumont-Viennot蛇，为雅可比椭圆恒等式提供了一个新的组合证明。
Permutations with Extremal number of Fixed Points
我们延长斯坦利的工作交替置换与极值数的不动点在两个方向：第一，交替置换取代置换与规定的下降集;第二，而不是简单地计数排列，我们研究他们的生成多项式的超越数。使用了几种技术：Desarmenien的重排组合学、Gessel的钩分解以及两个新的置换统计量“DEZ”和“lec”的分析性质。最大情况下的显式公式推导使用对称函数工具。
Enumeration of permutations by the parity of descent positions
本研究发现近期部分下降多项式变体属Carlitz-Scoville四变量多项式特例，证明了该生成函数的q-模拟与B型模拟，还得到Chebikin公式的q-模拟、Sun二元欧拉多项式伽马正性新证及细化Petersen结果的B型模拟。
On the group of alternating colored permutations
交替色置换群是经典交替群的自然类似物，在圈积$\mathbb{Z}_r \wr S_n$内。我们提出了一个“考克斯特样”的介绍，这组和计算长度函数的介绍。然后，我们把这个群看作是$\mathbb{Z}_{\frac{r}{2}} \wr S_n$的一个覆盖，并利用这个观点给出了长度函数的另一种表达式。我们也使用这个覆盖提升几个已知的参数的$\mathbb{Z}_{\frac{r}{2}} \wr S_n$的交替着色排列。
A directed graph structure of alternating sign matrices
在交替符号矩阵集上引入了一种新的有向图结构。这包括作为子图（subposet）的对称群的Bruhat图（Bruhat阶）。Drake-Gerrish-Skandera（2004，2006）给出了置换单项式的全非负性（TNN）和无减Laurent（SFL）表达式对Bruhat序的刻画。我们的有向图，我们扩展他们的想法在两个方面：第一，从置换交替符号矩阵;第二，$q$ -类似物（我们命名为$q$ TNN和$q$ SFL属性）。在我们的讨论中，富尔顿在一个相当不同的背景下引入的基本集起着关键作用。作为副产品，我们得到了一种新的排列统计量，签署bigrassmannian统计量，利用Dodgson的凝聚行列式。
Determinantal representations of alternating run polynomials
本文基于函数商高阶导数的行列式公式，推导了Eulerian多项式、Andre多项式及多种交错游程多项式的行列式表示，并揭示了其递推关系及与对偶Stirling排列的联系。
Synchronicity of descent and excedance enumerators in the alternating subgroup
本文推广 Dey 的工作，定义实数序列的超同步性，并证明对所有 n≥5，偶/奇排列的下降数与超越数四类计数序列均超同步，从而加强了 Dey 的两个猜想。
On the longest k-alternating subsequence
证明了随机置换的最长k-交错子串的长度渐近于2（n-k）/ 3。
Signed Alternating-runs enumeration in Classical Weyl Groups
交替游程多项式枚举对称群中的交替游程。有三个公式的排列数，$R_{n,k}$在$\mathfrak{S}_n$与$k$交替运行，但它们都是复杂的。我们表明，当枚举的符号考虑，得到一个{ \it整洁的公式}。由此，我们得到了Wilf关于$(1+t)$在交替群$\mathcal{A}_n$中整除交替游程多项式时的指数的一个结果的近似加细.其他应用包括矩型恒等式和$\mathcal{A}_n$中交替排列的枚举。对于B型和D型Coxeter群也得到了类似的结果。
On weak twins and up-and-down sub-permutations
两个排列$(x_1,\dots,x_w)$和$(y_1,\dots,y_w)$弱相似，如果$x_i<x_{i+1}$当且仅当$y_i<y_{i+1}$对所有$1\leqslant i \leqslant w$。令$π$是集合$[n]=\{1,2,\dots, n\}$的置换，并且令$wt(π)$表示最大整数$w$，使得$π$包含一对长度为$w$的不相交弱相似子置换（称为弱孪生）。最后，令$wt(n)$表示$wt(π)$在$[n]$的所有排列$π$上的最小值。显然，$wt(n)\le n/2$。在本文中，我们展示了$\tfrac n{12}\le wt(n)\le\tfrac n2-Ω(n^{1/3})$。我们还研究了这个问题的一个变种。假设$π'=(π(i_1),...,π(i_j))$，$i_1<\cdots<i_j$，是$π$的交替（或上下）子置换，如果是$π(i_1)>π(i_2)<π(i_3)>...$或$π(i_1)<π(i_2)>π(i_3)<...$。令$Π_n$是从$[n]$的所有$n!$排列中均匀选择的随机排列。已知$Π_n$中最长交替置换的长度是渐近几乎必然（a.a.s.）接近$2n/3$。本文研究了$Π_n$中一对不相交的交替子置换的最大长度$α(n)$，证明了存在两个常数$1/3<c_1<c_2<1/2$使得a.a.s. $c_1n\le α(n)\le c…
On the Limiting Distribution for the Longest Alternating Sequence in a Random Permutation
最近Richard Stanley开始研究对称群$S_n$中随机置换w中最长交替子序列的长度as（w）的分布。除其他事项外，他发现了一个明确的公式的生成函数（对n和k）的概率，作为（w）是最多的k和propretured的分布，适当的中心和规范化，往往高斯方差8/45。本文给出了一个基于生成函数的猜想的证明。
Cycle structures and parities of linearized permutation polynomials
本文刻画线性化置换多项式的循环结构与奇偶性，为Mullen和Vaughan1988年的问题提供迪克森矩阵形式表述，推导奇偶性判据并给出判定算法，应用于编码、密码等领域。
Motzkin paths, 321-avoiding permutations, and standard Young tableaux with rows of equal parity
本文引入一类由 Motzkin 数计数的 321-避免排列，建立其与 Motzkin 路径及三行标准杨表的双射，使 Riordan 路径对应 Riordan 排列，并连接至更多 Riordan 数计数族。
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