The tunnel number of the sum of n knots is at least n
我们证明了n个节点之和的隧道数至少为n。
1999-02-01 math.GT
Double branched covers of tunnel number one knots
我们提供的标准，确保隧道数1结$K$是不是由其双分支覆盖，在这个意义上，双分支覆盖也是双分支覆盖的结$K'$不等于$K$。
2019-05-14 math.GT
The growth rate of the tunnel number of m-small knots
在以前的论文中，作者定义了隧道数的增长率，这是一个不变量，可以测量隧道数在连通和下的渐近行为。本文根据m-小结点的桥指数计算了隧道数的增长率。
2015-06-12 math.GT
Involutions of knots that fix unknotting tunnels
设K为具有未打结隧道τ的结。我们证明了K承认一个强对合，固定tau逐点当且仅当K是一个两桥结和tau的上或下隧道。
2004-01-29 math.GT
On composite types of tunnel number two knots
假设$K$是隧道2号结。然后，通过考虑$(g, b)$ -分解，$K$是（3，0）-、（2，1）-、（1，2）-或（0，3）-结之一。本文从$(g, b)$ -分解的观点出发，分析了复合隧道数2结点的连通和项，并给出了这些和项的完整表。
2014-09-03 math.GT
The depth of a knot tunnel
在我们之前的论文中详细介绍了隧道1号节点的理论，节点隧道树，提供了一个非负整数不变量，称为隧道的深度。我们给出了与深度不变量有关的各种结果。注意到它等于构建隧道所需的Goda-Scharlemann-Thompson隧道移动的最小数量，我们计算了可以产生给定隧道的隧道移动的不同最小序列的数量。接下来，我们给出一个递归，告诉最小的桥梁数的一个结有一个隧道的深度D。该值的增长率提高了已知的桥数增长的估计作为相关Heegaard分裂的Hempel距离的函数。我们还给出了各种上界桥数的电缆建设需要产生一个隧道的一个结，特别是显示，最大的桥数的结N电缆建设所产生的是（N+2）的第斐波纳契数。最后，我们明确计算的“短”隧道的环面结的斜率参数。特别是，我们发现这样的隧道序列的相关结的桥数，作为深度的函数，实现最小的增长率。在给定深度的实际最小桥数不能通过环面结来实现。
2007-08-24 math.GT
Twisted Alexander polynomials of tunnel number one Montesinos knots
我们计算扭曲的亚历山大多项式的所有隧道编号1 Montesinos结相关的$SL_2(\mathbb{C})$ -表示，并获得其首项系数和程度。作为推论，我们得到了一些有趣的例子，即非纤维纽结的一元亚历山大多项式有非一元扭曲的亚历山大多项式。
2020-08-03 math.GT
There are no unexpected tunnel number one knots of genus one
唯一的隧道号和属1是那些已经知道的：2桥结通过管道连接两个unknotted annuli和卫星的例子由Eudave-Munoz和Morimoto-Sakuma分类。这证实了由Goda和Teragaito首先提出的猜想。
2001-06-04 math.GT
Classification of unknotting tunnels for two bridge knots
在本文中，我们表明，任何unknotting隧道二桥结是同位素的任何一个已知的。这与Morimoto-Sakuma的结果一起给出了两个桥结的unknotting隧道的完全分类，直到同位素和同胚。
1999-11-20 math.GT
On the degeneration ratio of tunnel numbers and free tangle decompositions of knots
本文引入了n/k-自由缠结的概念，研究了纽结隧道数的退化率。
2009-03-31 math.GT
Tunnel number degeneration under the connected sum of prime knots
研究了隧道数为2的纽结的2-弦自由缠结分解。作为应用，我们构造了无穷多个反例来证明文献中的一个猜想，即素数结的连通和的隧道数退化不超过1。
2013-06-17 math.GT
Tunnel number one, genus one fibered knots
我们确定亏格1纤维结的透镜空间，隧道数为1。我们还表明，每一个隧道数1，一旦穿孔环面束的结果，德恩填充组件的Whitehead链接在3球。
2007-02-02 math.GT
The tunnel number of all 11 and 12 crossing alternating knots
使用详尽的技术和结果从Lackenby和许多其他人，我们计算隧道数的所有1655交替11和12交叉节和881非交替11和12交叉节。我们还发现所有5525蒙特西诺斯结与14个或更少的交叉点。
2021-08-17 math.GT
Iterated splitting and the classification of knot tunnels
对于3-球面中的亏格-1,1-桥结，即（1，1）-结，中间隧道是对于某些（1，1）-位置不是上隧道或下隧道的隧道。大多数环面结都有一个中间隧道，而非环面结的例子是由Goda，Hayashi和Ishihara获得的。在以前的论文中，我们推广了它们的构造，并计算了所得例子的斜率不变量。我们给出了一个迭代版本的建设，产生更多的例子，并计算其斜率不变量。如果从平凡纽结开始，迭代构造产生所有的2桥纽结，给出隧道的斜率不变量的新计算。在最后一节中，我们编译了一个给定隧道编号1结的隧道集合的已知可能性列表。
2011-10-15 math.GT
On hyperbolic L-space knots with braid index four and tunnel number two
Hiroshima University（广岛大学）
本文首次发现具有四号线性指数和二号线性数的双曲L空间结的无限族，包含t10496和o9_34409。
2026-04-18 math.GT
Hyperbolic (1,2)-knots in S^3 with crosscap number two and tunnel number one
如果S^3中的一个纽结束缚一个被刺破的克莱因瓶，而不是一个莫比乌斯带，则称该纽结有第二个交叉环。本文给出了一种构造既不是2-桥也不是（1，1）-纽结，但隧道数为1的交叉数为2的双曲（1，2）-纽结的方法。一个明确的无限家庭这样的结进行了详细讨论。
2008-12-16 math.GT
Essential meridional surfaces for tunnel number one knots
我们证明了对于每对正整数g和n，存在无穷多个隧道1号纽结，其外部包含亏格g的本质三角曲面，且有2n个边界分支.我们还表明，对于每一个正整数n，有隧道1号节点，其外部包含n个不相交的，非平行的，封闭的不可压缩曲面，每个亏格n。
2001-05-19 math.GT
On tunnel number one knots that are not (1,n)
我们表明，在$S^3$的$t$桥结的桥数相对于一个unknotted属$t$表面是有界以下的距离的函数的Heegaard分裂诱导的$t$桥梁。因此，对于任何自然数$n$，$S^3$中存在一个不是$(1,n)$的隧道1号结。
2007-01-17 math.GT
Additive tunnel number and primitive elements
本文证明了：如果3-球面中两个1号隧道纽结的连通和是2号隧道纽结，则至少有一个被加数纽结具有亏格2 Heegaard分裂，其中子午线作为本原元.因此，这是隧道1号节点具有附加隧道数的充要条件。
1999-06-10 math.GT
Tunnel leveling, depth, and bridge numbers
这是三篇论文中的第三篇，它们完善和扩展了我们早期预印本的部分内容，“结隧道的深度”。“他们一起重新制作了整个预印本。本文利用我们在“结点隧道树”中引入的隧道数为1的结点理论，加强了H。Goda，M. Scharlemann和A.汤普森这就产生了关于隧道1号节的桥梁编号的大量信息。特别是，我们计算的最小桥数的一个结作为其隧道的最大深度不变量d的函数。该值的增长大约为（1+ \sqrt{2}）^d。我们还发现，最大的桥梁数量作为一个功能的电缆建设需要产生的隧道，特别是显示，最大的桥梁数量的一个结产生的n电缆建设是（n+2）的第二斐波纳契数。最后，我们研究特殊情况下的“中间”隧道的环面结。
2008-12-07 math.GT
On nonsimple knots in lens spaces with tunnel number one
闭可定向三维流形中的纽结k称为非单纽结，如果k的外表面具有适当嵌入的非负欧拉示性数的本质曲面.我们证明了如果k是透镜空间M（其中M不包含任何嵌入的克莱因瓶）中的非单素隧道1号纽结，则k是（1，1）纽结.证明的内容包括Jaco，Eudave-Munoz和Gordon的句柄加法和Dehn填充结果/技术以及Schultens关于图流形的Heegaard分裂的结构结果。
2009-08-12 math.GT
Middle tunnels by splitting
对于3-球面中的亏格-1,1-桥结，即（1，1）-结，中间隧道是对于某些（1，1）-位置不是上隧道或下隧道的隧道。大多数环面结都有一个中间隧道，而非环面结的例子是由Goda，Hayashi和Ishihara获得的。我们概括他们的建设，并计算所得的中间隧道的斜率不变。特别是，我们得到的斜坡序列的原始例子的戈达，林，石原。
2011-08-17 math.GT
The tree of knot tunnels
我们提出了一个新的理论，它描述了收集的所有隧道的隧道数1节的3球（到方向保持等价的意义上的Heegaard分裂）使用盘复杂的属2的bodies和相关的结构。它表明，每个结隧道是从隧道的平凡结通过一个唯一确定的序列简单的电缆建设。一个电缆结构是由一个单一的合理的参数，所以有一个相应的数值参数化的所有隧道序列的这些参数和一些额外的数据。除了定义上的表面差异之外，该序列的最终参数是隧道的沙尔曼-汤普森不变量，其他参数是施工产生的中间隧道的沙尔曼-汤普森不变量。我们计算了二桥结隧道的参数序列。该理论很容易扩展到链接，并允许等价的隧道同胚，可能是方向反转。
2007-08-24 math.GT
On the growth rate of tunnel number of knots
给定闭可定向流形$M$中的一个纽结$K$，我们定义$K$的隧道数的增长率为$gr_t(K) = \limsup_{n \to \infty} \frac{t(nK) - n t(K)}{n-1}$。作为我们的主要结果，我们证明了$M$的Heegaard亏格严格小于纽结外部的Heegaard亏格当且仅当增长率小于1。特别地，这表明$S^3$中的非平凡结从来不是渐近超可加的。主要结果给出了Morimoto猜想为假的条件。
2004-02-03 math.GT
Constructing real rational knots by gluing
我们表明，构建一个合理的低程度的真正的理性结的问题可以减少到一个代数问题，涉及纯辫子群：表示纯辫群的标准生成元的纯辫群的相伴元。我们还预测存在一个真正的理性结的程度，表示在其多边形表示的边数。
2016-08-13 math.GT
On critical Heegaard splittings of tunnel number two composite knot exteriors
本文证明了：如果存在两个弱约化对，使得每个弱约化对包含每个隧道的共核圆盘，则隧道2号纽结在其外部诱导临界Heegaard分裂.此外，作为主要定理的例子，我们证明了两个2-桥纽结的连通和或更一般的两个$(1,1)$ -纽结的连通和可以在其外部诱导临界Heegaard分裂.最后，当流形是闭的、不可约的、Heegaard分裂是亏格3的且不稳定时，我们给出了弱约化对由压缩圆盘唯一确定的一个等价条件.
2012-10-15 math.GT
On Heegaard splittings of knot exteriors with tunnel number degenerations
令$K_1, K_2$为两个节点，分别为$t(K_1)+t(K_2)>2$和$t(K_1 # K_2)=2$。然后，本文证明了$E(K_1 # K_2)$的任何亏格为3的Heegaard分裂都是强不可约的，并且$E(K_1 # K_2)$至多有4个亏格为3的Heegaard分裂直到同胚.此外，我们将给出这四种三种Heegaard分裂的完整分类，并给出对应于这些Heegaard分裂的纽结$K_1 # K_2$的解结隧道系统。
2013-10-28 math.GT
Levelling an unknotting tunnel
这是Gordon-Reid [Tangle decompositions of tunnel number one knots and links，J.纽结理论及其分支，4（1995）389-409]和Thompson [Thin position and bridge number for knots in the 3-sphere，Topology，36（1997）505-507]的定理的结果，如果将一个隧道号结置于薄的位置，也会在桥上。我们表明，在这样一个薄的介绍，隧道可以使水平，使它位于一个水平的领域。这解决了Morimoto提出的一个问题[A note on unknotting tunnels for 2-bridge knots，Bulletin of Faculty of Engineering Takushoku University，3（1992）219-225]，他表明，如果已知任何unknotting tunnel都可以被制成水平的，那么用于2-bridge knots的unknotting tunnel的（现在已知的）分类将很快出现。
2000-10-13 math.GT
Constructing doubly-pointed Heegaard diagrams compatible with (1,1) knots
一个3-流形M中的（1，1）纽结K是一个与M的亏格为1的Heegaard分裂的每个实心环面相交于一个平凡弧的纽结。Choi和Ko通过四元组整数开发了一种参数化的纽结族，他们称之为舒伯特范式。本文给出了一个构造与K相容的双点Heegaard图的算法，给出了K的Schubert标准形。该构造与Ozsváth和Szabó的结果相结合，为计算（1，1）纽结的弗洛尔同调群提供了一种实用的方法.该建筑使用训练轨道，其方法受到Goda，Matsuda和Morifuji工作的启发。
2011-10-25 math.GT
Constructing knots with low rational genera
该研究通过构造方法展示了某些结在不同同调球中具有不同的亏群，并证明了所有结在有理同调球中可界定了莫比乌斯带。
2025-11-19 math.GT
Constructing thin subgroups commensurable with the figure-eight knot group
本文在$SL(4,\mathbb{R})$中找到了无穷多个格，每个格都含有可与8字形纽结群交换的薄子群。
2015-01-12 math.GT
The Poincare homology sphere, lens space surgeries, and some knots with tunnel number two
我们展示了一个无限家庭的节在庞加莱同调球隧道数2，有一个透镜空间手术。值得注意的是，这些结不是双重原始的，并提供了一些反例。在附录中，它表明，双曲纽结的庞加莱同调球与透镜空间手术要么没有对称性或只有一个单一的强对合。
2019-10-03 math.GT
Constructing and Cataloging 2-Adjacent Knots
该研究推广解结数概念提出2-邻接纽结，借助Heegaard Floer d-不变量与Alexander多项式开发阻碍2-邻接性的新技术，确定12交叉以内的2-邻接纽结并证明Ito和Kato的相关猜想。
2025-09-30 math.GT
On tunnel numbers of a cable knot and its companion
设$K$是$S^{3}$中的一个非平凡纽结，而$t(K)$是它的隧道数。对于$S^{3}$中$ K$的闭合正则邻域的环面边界中的任何$(p\geq 2,q)$-斜率，记为$K^{\star}$，它是$S^{3}$中的非平凡索结。通过$t(K^{\star})\leq t(K)+1$，第1节中的实施例1.1表明，在某些情况下，$ t(K^{\star})\leq t(K)$。因此，了解$t(K^{\star})= t(K)+1$何时出现是很有趣的。利用组合技巧证明了：（1）对任意非平凡索结$K^{\star}$及其伴随$K$，$t(K^{\star})\geq t(K)$;（2）若$K$允许高距离Heegaard分裂或$p/q$远离Farey图中的固定子集，则$t(K^{\star})= t(K)+1$.利用第二个结论，我们构造了一个卫星纽结和它的同伴，使得它们的隧道数之差是任意大的。
2020-02-18 math.GT
Tunnel number one knots satisfy the Berge Conjecture
本文证明在 $S^3$ 或 $S^2\ imes S^1$ 与透镜空间连通和中，隧道数为一且外部不可约的纽结若可经非平凡 Dehn 手术得到透镜空间，则必为双本原纽结，从而解决相应 Berge 猜想及相关猜想。
2024-11-01 math.GT
On the degeneration of tunnel numbers under connected sum
证明了对任意整数$n\ge 3$，存在一个素纽结$k$，使得（1）$k$不是非本原纽结，（2）对任意$m$ -桥纽结$k'$和$m\leq n$，隧道数满足$t(k\# k')\le t(k)$ .这给出了一个反例Morimoto和Moriah的猜想隧道数下连接的总和和degenerally原始结。
2013-10-22 math.GT
Tunnel-number-one knot exteriors in $S^3$ disjoint from proper power curves
作为$S^3$中双曲基元/塞弗特纽结分类项目的背景文件之一，其完整列表在[BK 20]中给出，本文对位于亏格二体$H$边界上的两条不相交的简单闭曲线$R$和$β$的所有可能的R-R图进行了等价分类，使得$β$是真幂曲线，而$β$是2-沿着$R$的手柄附加$H[R]$嵌入$S^3$中，使得$H[R]$是隧道一号结的外部。因此，如果$R$是亏格二阶体边界上的非分离简单闭曲线，使得$H[R]$嵌入$S^3$，则存在与$R$不相交的真幂曲线当且仅当$H[R]$是未结、环面结或环面结的隧道一号索的外部。本文的结果将主要用于证明P/SF纽结的双曲性和对$S^3$中的一次穿孔环面上的P/SF纽结进行分类，$S^3$是[BK 20]中的P/SF纽结的一种类型.与这些结果一起，本文的初步结论（包括Heegaard图、R-R图和混合图三个图、“剔除引理”和在R-R图中定位波）也将用于$S^3$中的双曲原始/Seifert纽结的分类。
2020-03-31 math.GT
Constructing Infinitely Many Geometric Triangulations Of The Figure Eight Knot Complement
本文考虑尖点双曲三维流形的“几何”理想三角剖分，即分解成正体积的理想双曲四面体。我们展示了无穷多个几何理想三角形的数字8结补。据我们所知，这是第一次构造一个尖点双曲三维流形的无穷多个几何三角剖分。相比之下，我们的方法并没有扩展到图8姐妹流形，它是未知的，如果有无限多个几何三角形的这个流形。
2015-08-20 math.GT
State Cycles, Quasipositive Modification, and Constructing H-thick Knots in Khovanov Homology
我们研究了Khovanov同调类的状态循环代表，并研究他们如何与Jacobsson同态和李的地图$Φ$。作为一个应用，我们描述了一个一般的程序，拟正修改，用于构建H厚结的合理Khovanov同调。此外，我们表明，这种结的特定家庭不能检测到Khovanov的厚度标准。我们还展示了一系列的准正修改相关的主要环节的宽度增加。
2009-06-09 math.GT
Hyperbolic tunnel-number-one knots with Seifert-fibered Dehn surgeries
假设$α$和$R$是在亏格两体$H$的边界中的不相交的简单闭合曲线，使得$H[R]$嵌入在$S^3$中作为双曲结$k$的外部（因此，$k$是隧道编号一的结），并且$α$是$H$中的Seifert（即，2-手柄加法$H[α]$是塞弗特纤维空间），而不是$H[R]$的子午线。然后，对于由$α$表示的$k$的斜率$γ$，$γ$-Dehn手术$k(γ)$是塞弗特纤维空间。Seifert纤维Dehn手术的这种构造推广了由结的原始/Seifert位置产生的Seifert纤维Dehn手术，其在[D 03]中引入。本文证明了在$\partial H$中存在$k$（或$H[R]$）的二次曲线$M$，使得$α$与$M$横交于一点.因此，Seifert-纤维化Dehn手术$k(γ)$的这种构造可以由具有$γ$的表面斜率的$k$的原始/Seifert位置产生。这一结果部分支持了以下两个假设：（1）在$S^3$中双曲结上的任何塞弗特纤维化手术都是完整的，（2）在双曲隧道一号结上的任何塞弗特纤维化手术都是从一个原始/塞弗特位置产生的，该位置的表面斜率对应于手术斜率。
2020-03-31 math.GT
The spectrum of the growth rate of the tunnel number is infinite
在以前的文件小林和Rieck定义的增长率隧道数的结$K$，一个结不变的措施下的渐近行为隧道数迭代连接和$K$。我们用$\mbox{gr}_t(K)$表示生长速率。本文对任意的$ε> 0$，构造了一个双曲纽结$K \subset S^{3}$，使$1 - ε< \mbox{gr}_t(K) < 1$ .这是第一次证明隧道数增长率的谱是无限的。
2015-07-13 math.GT
L-space knots with tunnel number >1 by experiment
University of Miami（迈阿密大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；Temple University（天普大学）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Hacettepe University（哈塞特佩大学）；University of Maryland（马里兰大学）；Dartmouth College（达特茅斯学院）；University of Melbourne（墨尔本大学）；University of Nebraska-Lincoln（内布拉斯加大学林肯分校）
通过实验确定22个L空间结具有隧道数大于1，并发现其中9个是非对称的，同时展示了这些结作为正辫子闭合的表示。
2021-01-18 math.GT
Semisimple tunnels
在亏格为1的1-桥位置（称为（1，1）-位置）的3-球面中的纽结可以用环面中两点的辫群的元素来描述。我们的主要结果告诉如何转换之间的辫群元素和（1，1）-位置的上，下隧道的斜率不变量的序列。在使用它们来验证以前的计算的所有隧道的2桥结和（1，1）-隧道的环面结的斜率不变量，我们得到的2桥结隧道的斜率序列的特征，一类隧道，我们称之为环形。的主要结果导致一个通用的算法来计算的上，下隧道的编织描述的斜率不变量。该算法已实现为软件，我们给出了一些示例计算。
2011-08-03 math.GT
Montesinos knots, Hopf plumbings, and L-space surgeries
使用平泽Murasugi的纤维Montesinos结的分类，我们分类的L-空间Montesinos结，提供进一步的证据对猜想的Lidman-Moore，L-空间结没有必要的康威领域。在这个过程中，我们分类的纤维Montesinos结，其开放的书籍支持紧切触结构的$S^3$。我们还构造了任意大隧道数的L-空间节点，并讨论了在卫星操作和隧道数的背景下，L-空间节点是否允许本质的纠缠分解的问题。
2014-04-30 math.GT
Genus two Heegaard splittings of exteriors of 1-genus 1-bridge knots II
称3-流形M中的纽结K为1-亏格1-桥纽结，如果（M，K）有Heegaard分裂（V_1，t_1）\cup（V_2，t_2），其中Vi是实环面，ti是适当嵌入Vi的边界平行弧.如果一个结的外部有亏格2的Heegaard分裂，我们说这个结有一个解结隧道。自然地，1亏格1桥结K的外部允许亏格2 Heegaard分裂，即，K有一个不打结的隧道。但是，一般来说，有解开隧道，这不是来自这个过程。其中有些可以用环面\partial V_1= \partial V_2来拉平，我们在前面的文章中研究了这种情况。在本文中，我们考虑剩下的情况。
2010-09-13 math.GT
Constructing knots with specified geometric limits
本文针对几何有限、驯顺双曲3流形，给出构造显式纽结族使其补空间几何收敛于给定流形的构造性证明，并将完全增广链环类推广至Kleinian群设置。
2023-05-09 math.GT
On the tunnel number and the Morse-Novikov number of knots
证明了三维球面中链环L的Morse-Novikov数小于或等于L的隧道数的两倍。
2008-11-16 math.DG math.GT
Tunnel number and bridge number of composite genus 2 spatial graphs
连通和和三价顶点和是亏格为2的空间图上的自然操作，并且与节点一样，隧道数在这些操作下以有趣的方式表现。证明了复合亏格2空间图的隧道数的Scharlemann-Schultens型界。对于复合Brunnian $θ$ -曲线的隧道数，我们的结果意味着隧道数至少是被加数的个数，就像纽结的情况一样。我们还证明了一个版本的Morimoto定理的节点：隧道数的复合m-小亏格2空间图的隧道数至少是的隧道数的因素的总和。我们还研究了复合亏格2图的桥数的下界。特别是，我们的结果意味着，对于一个Brunnian复合$θ$曲线的$m$因子在其素分解，桥数至少是$m+3/2$。
2021-06-28 math.GT
Knots with g(E(K)) = 2 and g(E(K#K#K)) = 6 and Morimoto's Conjecture
我们证明了S ^3中存在结点K，g（E（K））=2，g（E（K#K#K））=6。与[1]的定理1.5一起证明了Morimoto猜想（[2]的猜想1.5）的反例的存在性。这是arxiv.org/abs/math.GT/0701765 [1] Tsuyoshi Kobayashi和Yo'av Rieck的一个特例。关于隧道节数的增长率。J. Reine Angew。数学，592：63- 78，2006. [2]森本坎吉关于纽结隧道数的超可加性。数学安，317（3）：489- 508，2000。
2007-03-13 math.GT
Annuli in generalized Heegaard splittings and degeneration of tunnel number
我们分析了一个家庭的本质annuli在一个紧凑的3-流形将导致，从一个强不可约的广义Heegaard分裂的环境流形，广义Heegaard分裂的互补组件。对纽结隧道数的次可加性有具体的应用，改进了Kowng的界。例如，在没有2桥被加数的情况下，n个节点之和的隧道数不小于隧道数之和的小于2/5。
1999-03-12 math.GT
On the intersection of unknotting tunnels and the decomposing annulus in connected sums
给定$(V_1,V_2)$一个复合结$K=K_1# K_2$在$S^3$的补的Heegaard分裂，其中$K_i, i=1,2$是素结，我们有一个唯一的，直到同伦，分解环$A$。当$A$和$V_1$的交集是一个最小的磁盘集合时，我们研究了$V_1-N(A)$的组成部分，并表明最多有一个组成部分是一个3球会议$A$在两个磁盘。这是证明猜想的一个关键步骤，即连通和的隧道数小于或等于隧道数之和的充要条件是其中一个节点具有Heegaard分裂，其中merdian曲线是原始的。
2002-11-26 math.GT
Genus two Heegaard splittings of exteriors of 1-genus 1-bridge knots
闭连通可定向3-流形M中的纽结K称为1-亏格1-桥纽结，如果（M，K）分裂为两对实心环面Vi（i= 1，2）和边界平行弧，这种分裂自然地导致K的外部的亏格2 Heegaard分裂，即，K有一个不打结的隧道。然而，一般情况下，反过来并不正确。本文对这类一般情况进行了研究。其中一个结论是，解开隧道可能与圆环\partial V_1= \partial V_2齐平。
2010-09-11 math.GT
Unknotting tunnels and Seifert surfaces
假设$K$是具有未打结隧道$γ$的结，并假设$K$不是2桥结。存在为对$(K, γ)$定义的不变$ρ= p/q \in \mathbb{Q}/2 \mathbb{Z}$，$p$奇数。不变的$ρ$具有有趣的几何性质：它通常是简单的计算; e。G.对于$K$为环面结，$γ$为跨环弧，$ρ(K, γ) = 1$。虽然$ρ$的定义是抽象的，但当$K \cup γ$被置于薄的位置时，它会自然地显露出来。如果是$ρ\neq 1$，则存在$K$的最小亏格Seifert表面$F$，使得隧道$γ$可以滑动并同位素化以位于$F$上。一个结果：如果是$ρ(K, γ) \neq 1$，则是$genus(K) > 1$。这证实了Goda和Teragaito关于$(K, γ)$与$ρ(K, γ) \neq 1$对的猜想。
2000-10-22 math.GT
Additive invariants for knots, links and graphs in 3-manifolds
本文定义了两类新的（3-流形，图）对不变量，它们能检测出解结，并且在连通和下是可加的，在三顶点和下是（-1/2）-可加的.第一类与桥梁编号和隧道编号密切相关。这些家庭的第二个是一个变化和推广的Gabai的宽度结在3球。给出了纽结连通和的隧道数和高亏格桥数的应用。
2018-01-11 math.GT
