On scattered posets with finite dimension
Maurice Pouzet, Hamza Si Kaddour, Nejib Zaguia
本文讨论了可嵌入到多个离散链的乘积中的偏序集的一个可能的特征，即通过禁用配置。
We discuss a possible characterization, by means of forbidden configurations, of posets which are embeddable in a product of finitely many scattered chains.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Planar Posets that are Accessible from Below Have Dimension at Most 6
平面偏序集可以有任意大的维数。然而，高度为$h$的平面偏序集的维数至多为$192h+96$，而具有$t$极小元的平面偏序集的维数至多为$2t+1$。特别地，具有唯一极小元的平面偏序集的维数至多为$3$。本文推广了这一结果，证明了一个平面偏序集的维数至多为$6$，如果它有一个平面图，其中每个极小元都是从下可达的.
Improved bound for the dimension of posets of treewidth two
乔雷特等人证明了树宽不大于2的覆盖图的偏序集维数不大于1276。他们的证明很长而且非常复杂。我们给出了一个简短而简单得多的证明，证明了这种偏序集的维数至多为12。
Posets with $k$-outerplanar cover graphs have bounded dimension
在2015年，Felsner，Trotter和Wiechert证明了具有外平面覆盖图的偏序集具有有界维数。我们将这个结果推广到具有$k$ -外平面覆盖图的偏序集。即证明了具有$k$ -外平面覆盖图的偏序集具有维数$\mathcal{O}(k^3)$ .因此，我们证明了每个具有平面覆盖图和高度$h$的偏序集都有维数$\mathcal{O}(h^3)$。这改进了Kozik、Micek和Trotter以前最著名的$\mathcal{O}(h^6)$的界。
Relative Dimension of Posets
本文细化偏序集维数定义得到相对维数概念，讨论其性质并给出部分知名偏序集族的相对维数界。
Boxicity and Poset Dimension
设$G$是一个简单的、无向的、有限的图，其顶点集为$V(G)$，边集为$E(G)$。$k$维盒是闭区间$[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times...\times [a_k,b_k]$的笛卡尔积. $G$，$\boxi(G)$的{ \it boxicity}是最小整数$k$，使得$G$可以被表示为$k$维盒的相交图，即每个顶点被映射到$k$维盒，并且当且仅当它们对应的盒相交时，两个顶点在$G$中相邻.设$\poset=(S,P)$是偏序集，其中$S$是基集，$P$是$S$上的自反、反对称和传递的二元关系。$\poset$，$\dim(\poset)$的维数是最小整数$t$，使得$P$可以表示为$t$总阶数的交集。令$G_\poset$为$\poset$的\emph{underlying comparability graph}，即$S$为顶点集，且两个顶点相邻当且仅当它们在$\poset$中可比较。具有相同基础可比图的偏序集具有相同的维数是众所周知的事实。本文的第一个结果将偏序集的维数与其基础相似图的盒性联系起来。特别地，我们证明了对于任意偏序集$\poset$，$\boxi(G_\poset)/(χ(G_\poset)-1) \le \dim(\poset)\le 2\boxi(G_\poset)$，其中$χ(G_\poset)$是$G_\poset$和$χ…
Dimension of unicycle posets
受随机偏序集维数研究的启发，Bollobás和Brightwell于1997年猜想：若有限偏序集的覆盖图至多含一个环，则其序维数至多为3。本文通过构造性证明给出显式的线性扩展三元组，证实该猜想。
Adjacency posets of outerplanar graphs
Felsner，Li和Trotter证明了外平面图的邻接偏序集的维数不超过5，并给出了邻接偏序集维数为4的外平面图的例子.我们改进了它们的上界为4，这是最好的可能。
The complexity of counting poset and permutation patterns
我们引入了一个概念的模式发生，推广了经典的置换模式以及偏序集包含。关于模式统计和避免的许多问题自然地推广到这种设置，我们专注于功能复杂性问题-特别是那些通过约束模式和文本偏序集的顺序维度而产生的问题。我们证明了2维偏序集的诱导内射计数是P-困难的，2维偏序集的实现子的线性扩张的计数可以在多项式时间内完成，而对于无约束维数的线性扩张的计数是GI-完全的，2维偏序集的诱导内射计数是P-困难的;计算一维文本中任意模式的内射或不一定内射出现是P-困难的，尽管如果模式偏序集被约束为具有有界的内在宽度，则它是FP中的;并且在任意文本中计算一维模式的单射出现次数是P困难的，而在有限维文本中计算单射出现次数是FP困难的。这个框架很容易导致一些开放的问题，其中主要是（1）是它#P-hard计数的数量出现的2维模式在1维文本，和（2）是它#P-hard计数的文本，避免了给定的模式的数量？
Some frustrating questions on dimensions of products of posets
研究有限维偏序集乘积的维度函数行为，探讨其与单独偏序集维度之和的关系，并提出关于维度问题的新旧问题及相关概念。
On the dimension of posets with cover graphs of treewidth $2$
1977年，Trotter和Moore证明了当偏序集的覆盖图是森林时，它的维数至多为$3$，或者等价地，它的树宽至多为$1$ .另一方面，Kelly的一个著名的构造证明了存在任意大维数的偏序集，其覆盖图具有树宽$3$。本文主要研究树宽$2$的边界情形。最近证明了如果覆盖图是外平面的（Felsner，Trotter和Wiechert）或者如果它有路宽$2$（Biró，Keller和Young），则维数是有界的。这可以被解释为当覆盖图具有树宽$2$时，维度应该更一般地有界的证据。我们证明了事实确实如此：每个这样的偏序集的维数至多为$1276$。
Partial-conjugates and Dimensionality of Posets
偏好剖面的帕累托优势关系是偏序关系（不对称部分）。对于任何整数n，生成给定Pareto支配关系的n-代理偏好配置文件的存在性问题是调查偏序的维数。我们给出了一般情况下维数为n的偏序的一个刻画。
Posets with cover graph of pathwidth two have bounded dimension
Joret，Micek，Milans，Trotter，Walczak，和Wang最近提出了一个问题：是否存在一个常数$d$，使得如果$P$是一个偏序集，其覆盖图的路径宽度至多为$2$，则有$\dim(P)\leq d$ .我们通过证明$d=17$是足够的来肯定地回答这个问题。我们还表明，如果$P$是一个偏序集包含标准的例子$S_5$作为一个子集，那么覆盖图的$P$有树宽至少$3$。
Planarity and dimension I
本文证明了具有平面覆盖图的偏序集的维度为$\mathcal{O}(s^8)$，其中$s$是该偏序集中最大标准例子的阶数。
Improved lower bounds on the on-line chain partitioning of posets of bounded dimension
一种在线链划分算法，每次接收一个偏序集的一个元素，并将该元素可并行地分配给其中一个链。30多年前，Szemerédi证明了任何在线算法都可以强制使用$\binom{w+1}{2}$链来划分宽度为$w$的偏序集。可以在任何在线算法上强制的链的最大数量仍然未知。在Bosek等人的一篇调查论文中，结果表明，Szemerédi的论点可以得到改进，以获得一个下界几乎两倍好。变形的问题被认为是限制类的偏序集的有界维数或通过实现大小$d$的偏序集。在本文中，我们证明了两个结果。首先，我们证明了任何在线算法可以强制使用$(2-o(1))\binom{w+1}{2}$链划分宽度为$w$的$2$维偏序集。其次，我们证明了任何在线算法可以强制使用$(2-\frac{1}{d-1}-o(1))\binom{w+1}{2}$链划分的偏序集的宽度$w$通过实现大小$d$。
Boxicity, poset dimension, and excluded minors
在这篇短文中，我们将图的盒性（以及偏序集的维数）与它们的广义着色参数联系起来。特别是，与已知的估计，我们的结果意味着，任何图没有$K_t$ -小可以表示为$O(t^2\log t)$区间图的交集（提高以前的界限$O(t^4)$），并作为$\tfrac{15}2 t^2$圆弧图的交集。
Numerical semigroups, polyhedra, and posets III: minimal presentations and face dimension
作为Kunz多面体$P_m$组合学系列研究的第三篇，本文刻画数值半群极小表示的Kunz偏序集可恢复性，证明同面内部半群的极小表示基数一致，并给出由Kunz偏序集求面维度的组合方法。
On Subdivision Posets of Cyclic Polytopes
在以$n$为顶点的循环$d$多面体的所有三角剖分的集合上，存在两个相关的偏序集结构，即较高的Stasheff-Tamari阶。本文证明了它们都具有维数为$n-d-3$的球面的同伦型。此外，我们还正解了\emph{Generalized Baues Problem}的一个新的特例：$d \leq 3$维循环多面体的所有多面体分解的Baues偏序集具有$n-d-2$维球面的同伦型.
Forcing Posets with Large Dimension to Contain Large Standard Examples
偏序集$P$的维数记为$\dim(P)$，是最小正整数$d$，其中$P$是$P$的$d$线性扩张的交集。具有$|P|\le 2n+1$的偏序集$P$的最大维数是$n$，条件是$n\ge2$，并且当$P$包含标准示例$S_n$时，这个不等式是紧的。然而，有偏序集与大的维度，不包含标准的例子$S_2$。此外，对于每个固定的$d\ge2$，如果$P$是具有$|P|\le 2n+1$的偏序集，并且$P$不包含标准示例$S_d$，则$\dim(P)=o(n)$。同样，对于大的$n$，有一个包含$|P|=2n$和$\dim(P)\ge (1-o(1))n$的偏序集$P$，使得最大的$d$使得$P$包含标准示例$S_d$是$o(n)$。在本文中，我们将证明，对于每个整数$c\ge1$，有一个整数$f(c)=O(c^2)$，使足够大的$n$，如果$P$是一个偏序集与$|P|\le 2n+1$和$\dim(P)\ge n-c$，那么$P$包含一个标准的例子$S_d$与$d\ge n-f(c)$。从下面我们可以看出，$f(c)=Ω(c^{4/3})$。另一方面，我们也证明了分数维的一个类似结果，在这种情况下，PDMATHBNF在PDMATHBNG中是线性的。这里的结果是最好的可能的乘法常数的值。
The Kelly--Trotter product conjecture for posets of dimension three
该研究证明了三维偏序集下的Kelly–Trotter乘积猜想，否定了Trotter的相关猜想，还得出特定偏序集乘积维数的结论，所用方法涉及偏序集分类与图着色搜索。
The Dimension of Divisibility Orders and Multiset Posets
本文研究偏序集的Dushnik-Miller维数，改进了整数区间上可除性序的维数上界至O((log κ)^3/(log log κ)^2)，并推广到多重集偏序及多项式可除性序。
Comparing Dushnik-Miller Dimension, Boolean Dimension and Local Dimension
偏序集的维数的最初概念是由Dushnik和Miller提出的，并在文献中得到了广泛的研究。最近，有相当大的兴趣在两个变化的维度称为布尔维度和局部维度。对于偏序集$P$，$P$的布尔维数和$P$的局部维数都由$P$的维数从上到下有界，并且可以小得多。作为一个例子，已知偏序集的维数作为其高度和其覆盖图的树宽度的函数而有界。一个偏序集的布尔维数是有界的覆盖图的树宽度，它的高度无关。我们证明了偏序集的局部维数不能以其覆盖图的树宽为界，而与高度无关。我们还证明了偏序集的局部维数是有界的覆盖图的路宽。在我们的几个结果中，Ramsey理论方法将被应用。
Simplex inequalities of order and chain polytopes of recursively defined posets
本文研究了有限偏序集的序多面体和链多面体的单纯形面，证明由$\mathbf{X}$-free偏序集递归构造的偏序集，其链多面体在任意维度的单纯形面数量不少于序多面体，推广了Mori的先前结果。
On Cohen-Macaulay posets of dimension two and permutation graphs
本文刻画了二维 Cohen-Macaulay 偏序集为可壳化且强连通的偏序集，并利用余可比图与置换图的关系，给出了 Cohen-Macaulay 置换图的特征描述。
Dimension is polynomial in height for posets with planar cover graphs
我们证明了具有平面覆盖图的高度$h$偏序集具有维数$\mathcal{O}(h^6)$。以前，最佳上界是$2^{\mathcal{O}(h^3)}$。平面性在我们的论证中起着关键作用，因为存在偏序集使得（1）维数在高度上是指数的，以及（2）覆盖图排除$K_5$作为子图。
Dimensions of toggleability spaces
本文证明了 Defant 等人关于若干偏序集可切换性空间维数的猜想，并将其推广到受限图定义的一类更广偏序集，证明维数等于偏序集的秩加一。
Poset Associahedra and Stack-sorting
本研究针对一类介于经典排列多面体与结合多面体之间的偏序集结合多面体，给出其$h$-向量的组合解释，关联栈排序理论并证明部分$h$-多项式的实根性。
Planar posets have dimension at most linear in their height
证明了每个高度为$h$的平面偏序集$P$的维数至多为$192h + 96$ .这改进了以前的指数界限，最好是一个常数因子。我们补充这一结果与建设的平面偏序集的高度$h$和尺寸至少$(4/3)h-2$。
Further thoughts on dimensions of posets
本文围绕有限偏序集维度展开，回顾相关概念与猜想，指出两个可推出该猜想的不等式，还定义了\(P\preccurlyeq P'\)和\(P\approx P'\)关系，给出关于这些关系的结果及问题。
CW posets after the Poincare Conjecture
安德斯比约纳的特点是有限分次偏序集出现的偏序集的封闭关系的细胞有限，经常CW复杂。他对这些“CW偏序集”的刻画要求每一个开区间$(\hat{0},u)$都有一个与维度为$rk(u)-2$的球面同胚的序复体。Danaraj和Klee的工作证明了偏序集是薄可壳的充分条件。Poincare猜想的证明使得可壳性的要求可以被同伦Cohen-Macaulay性质所取代。这扩展了可以用来证明偏序集是CW偏序集的工具的范围。
The Kelly--Trotter conjecture and dimension of poset products
本文研究有限偏序集乘积的序维数，否证了Kelly--Trotter猜想，构造了具有$(3,d)$-覆盖性质的偏序集$Q_d$，并给出$(r,s)$-覆盖的等价刻画。
Local Dimension is Unbounded for Planar Posets
1981年，Kelly证明了平面偏序集可以有任意大的维数。然而，Kelly例子中的偏序集具有有界的布尔维数和有界的局部维数，这就很自然地引出了平面偏序集类的布尔维数和局部维数是否有界的问题。布尔维数的问题最早是由Nešetzil和Pudlák在1989年提出的，至今仍未得到解答。局部维度的概念是相当新的，由Ueckerdt于2016年引入。从那时起，研究人员已经获得了许多有趣的结果有关布尔维数和局部维数，对比这些参数与经典的Dushnik-Miller概念的尺寸，并建立两个参数之间的联系和结构图论，路径宽度，特别是树宽度。本文证明了局部维数在平面偏序集类上是无界的。我们的证明还表明，偏序集的局部维数是没有界的最大局部维数的块，它提供了一个替代的证明，偏序集的局部维数不能有界的树宽度的覆盖图，独立于它的高度。
The Order Dimension of the Poset of Regions in a Hyperplane Arrangement
研究了Coxeter群弱序的序维数等于其秩，并为其他有限类型给出了序维数的界限，通过统一方法简化了A和B类型已知结果。
Poset dimension and maximum comparability degree
本文证明了有限偏序集的维数上界可改进为$O(d \log d)$，其中$d$为可比图最大度，从而确认了Erdős等人下界的紧性。
Planarity and dimension II
研究具有平面（哈斯）图的偏序集维度计算问题，给出常数因子多项式时间近似算法，通过对标准示例的结构理解得出算法结果，证明了\(\mathrm{dim}(P) \leq 96\mathrm{se}(P)+672\)这一更强界。
Random bipartite posets and extremal problems
以前，Erdenses，Kierstead和Trotter研究了随机高度~ $2$偏序集的维数.他们的研究主要有两个目标：（1）~分析Füredi-Kahn上界在最大度方面的相对紧密性;（2）~开发用于估计$n$点上随机标记偏序集的期望维数的机器。由于这些原因，他们的大部分精力都集中在$0<p\le 1/2$这个案例上。虽然给出了范围$1/2\le p <1$的界限，但当$p$接近~ $1$时，原始论文中结果的相对准确度恶化。受两个极值问题的启发，这些极值问题涉及迫使偏序集包含一个大的标准例子的条件，我们被迫重新讨论这个问题，但现在主要强调$1/2\le p<1$的范围。我们的锐化分析表明，随着$p$接近~ $1$，维数的期望值先增加后减少，回答了原论文中提出的一个否定问题。一路上，我们应用Talagrand和Janson不等式，建立与拉丁矩形和欧拉乘积函数的联系，并在两个极值问题上取得进展。
On an extremal problem for poset dimension
设$f(n)$是最大整数，使得$n$元素上的每个偏序集都有$f(n)$元素上的$2$维子集.什么是$f(n)$的渐近性？很容易看出，$f(n)\geqslant n^{1/2}$。我们改进了已知的上界并给出了$f(n)=\mathcal{O}(n^{2/3})$ .对于更高的维度，我们显示$f_d(n)=\mathcal{O}\left(n^\frac{d}{d+1}\right)$，其中$f_d(n)$是最大的整数，使得每个偏序集上的$n$元素有一个$d$ -维子集上的$f_d(n)$元素。
Relation between the Weyl group orbits of fundamental weights for multiply-laced finite dimensional simple Lie algebras and d-complete posets
已知有限维单李代数的通过极小权的外尔群轨道与自对偶连通d-完备偏序集的所有阶滤子的集合之间存在序同构。本文利用Dynkin图自同构的“折叠”技巧，将这一事实推广到多条有限维单李代数的情形。
Weak orders on symmetric groups and posets of support $τ$-tilting modules
给出了有限维代数的支撑$τ$ -倾斜偏序集同构于弱序对称群的偏序集的一个充要条件。证明了存在无穷多个有限维代数的支撑$τ$ -倾斜偏序集同构于弱序对称群的偏序集。
Dimension of posets with planar cover graphs excluding two long incomparable chains
40多年前，人们就知道存在具有任意大维数的平面覆盖图的偏序集。最近，Streib和Trotter证明了这样的偏序集必须有大的高度。事实上，所有已知的这种偏序集的构造都有两个大的不相交链，其中一个链中的所有点都不能与另一个链中的所有点相比较。Gutowski和Krawczyk认为这个特性是必要的。更正式地说，他们证明了对于每个$k\geq 1$，都有一个常数$d$，使得如果$P$是一个具有平面覆盖图的偏序集，并且$P$不包括$\mathbf{k}+\mathbf{k}$，则$\dim(P)\leq d$。我们对他们的猜测做出了肯定的回答。我们还讨论了通过放宽覆盖图是平面图的条件来推广结果的可能性。
Cliquewidth and dimension
本文证明有界团宽且维数足够大的偏序集必含标准例子或Kelly例子，并据此完整刻画了覆盖图在子图封闭图类中时偏序集维数有界的条件，同时证明有界团宽蕴含布尔维数有界。
The proof of the removable pair conjecture for fractional dimension
1971年Trotter证明了在至少$3$点上的每一个有限偏序集都有一个对，它的删除不会使维数减少超过$1$。1992年Brightwell和Scheinerman引入了偏序集的分数维，并对分数维提出了类似的猜想。本文解决了后一个猜想。
$2$-colourability of the maximum ranked elements of a combinatorially sphere-like ranked poset
研究通过引入有向球状有向格的概念，证明在特定条件下，有向格的最大有向元素可被2-着色。
2-Dimension from the topological viewpoint
本文从拓扑的角度研究了有限偏序集的二维性。利用有限拓扑空间的同伦理论和拍点的概念，改进了2维空间的经典结果，给出了n点偏序集的所有可能2维空间的更完整的答案.
New scattered subspaces in higher dimensions
本文构造了任意大于二阶的异常散射序列无穷系列，得到无法由低维散射子空间直和表示的高维新散射子空间，并讨论了等价性问题。
On difference graphs and the local dimension of posets
由Dushnik和Miller（1941）引入的偏序集（偏序集）的维数在文献中得到了广泛的研究。最近，Ueckerdt（2016）提出了一种称为局部维数的变体，它利用了部分线性扩展。虽然局部维度在上面由维度限定，但是它们可以任意远离，因为标准示例的维度是$n$，而其局部维度仅是$3$。Hiraguchi（1955）证明了$n$阶偏序集的最大维数是$n/2$。然而，我们发现了一个非常不同的结果，证明了$Θ(n/\log n)$的一个界。这是从使用差图的覆盖图的连接得出的，差图是二部图，其顶点在单个类中具有嵌套的邻域。我们还证明了$n$维布尔格的局部维数是$Ω(n/\log n)$，并在解决局部维数的可去对猜想方面取得了进展。
Boolean dimension and local dimension
维数是度量偏序集复杂性的一个标准且已被广泛研究。最近的研究为各种结构受限偏序集类提供了许多新的维数上界。有界维数给出了偏序集的一个简洁的表示，允许对形式为“是$x<y$？".这个应用激发了寻找更强的维度概念，可能导致更一般的偏序集类的简洁表示。我们专注于两个：布尔维，在20世纪80年代推出，并在最近的研究中重新审视，和当地的维度，一个非常新的。我们精确地确定维度/布尔维度/局部维度的哪些值意味着另外两个参数是有界的。
Additive posets, CW-complexes, and graphs
我们引入并研究了可加偏序集。我们证明了有限维CW-复形的顶同调群（系数为Z/2 Z）具有可加偏序集不变量的结构. CW-复形和图的应用进行了讨论。
Topological minors of cover graphs and dimension
我们证明了覆盖图不包含固定图作为拓扑子图的有界高度偏序集具有有界维数。这个结果已经被Walczak证明了。然而，我们的论点是完全组合的，并不依赖于结构分解定理。给定一个维数大但高度有界的偏序集，我们直接在它的覆盖图中找到一个大团剖分。因此，不熟悉拓扑图论的读者也可以使用我们的证明，并且它允许我们提供明确的维数上界。与所介绍的工具，我们展示了第二个结果，是支持一个简化的推广以前的结果。我们证明了$(k+k)$ -自由偏序集的覆盖图排除一个固定的图作为一个拓扑子包含只有标准的例子的大小有界的$k$。
Algebraic properties of classes of path ideals
我们考虑路径理想与特殊类别的偏序集，如树偏序集和周期。我们表示他们的性质是序列Cohen-Macaulay的基础偏序集。此外，由代数统计中的Luce-可分解模型产生的单项理想，可以被看作是某些偏序集的路理想。我们研究这些所谓的\emph{Luce-decomposable} monomial理想的钻石偏序集和产品的链的不变量。特别地，对于这些偏序集类，我们明确地计算了它们的克鲁尔维数、投射维数、正则性和贝蒂数.
Boolean Dimension, Components and Blocks
我们调查的行为布尔尺寸相对于组件和块。为了把我们的结果放在上下文中，我们注意到，对于Dushnik-Miller维数，如果$\dim(C)\le d$对于偏序集$P$的每个分量$C$，则$\dim(P)\le \max\{2,d\}$ ;如果$\dim(B)\le d$对于偏序集$P$的每个块$B$，则$\dim(P)\le d+2$。通过递归的方式，局部维数对于分量表现良好，但对于块表现不好：如果对于偏序集$P$的每个分量$C$，$\text{ldim}(C)\le d$，则$\text{ldim}(P)\le d+2$ ;然而，对于每个$d\ge 4$，存在具有$\text{ldim}(P)=d$的偏序集$P$和对于$P$的每个块$B$的$\dim(B)\le 3$。本文证明了布尔维数对于分量和块的行为类似于Dushnik-Miller维数：如果$\text{bdim}(C)\le d$对于$P$的每个分量$C$，则$\text{bdim}(P)\le 2+d+4\cdot2^d$ ;如果$\text{bdim}(B)\le d$对于$P$的每个块，则$\text{bdim}(P)\le 19+d+18\cdot 2^d$ .
Semi-pointed partition posets and Species
我们定义了半点划分偏序集，这是一个推广的划分偏序集，并表明他们是科恩-麦考利。然后利用多重链计算了这些对称群作用于它们的同调的维数和特征标。最后研究了关联霍普夫代数，它类似于Fa{à} di Bruno霍普夫代数.
Posets and spaces of $k$-noncrossing RNA Structures
RNA分子是DNA的单链类似物，可以折叠成各种结构，影响其在细胞内的生物学功能。RNA的结构可以用一种叫做RNA图的图来组合建模。在本文中，我们引入了一个新的偏序集的RNA图$\mathcal{B}^r_{f,k}$，$r\ge 0$，$k \ge 1$和$f \ge 3$，我们称之为Penner-Waterman偏序集，并利用结果从理论的多重三角，我们表明，这是一个纯粹的偏序集秩$k(2f-2k+1)+r-f-1$，其几何实现是一个连接的一个单纯球的尺寸$k(f-2k)-1$和一个$\left((f+1)(k-1)-1\right)$ -单纯形的情况下$r=0$。作为特例$k=1$的推论，我们得到了Penner和Waterman关于RNA二级结构空间拓扑的一个结果。这些结果可能最终导致新的方法来研究RNA $k$ -非交叉结构的景观。
Avoiding Brooms, Forks, and Butterflies in the Linear Lattices
设$n$是正整数，$q$是素数的幂，$\mathcal{L}_n(q)$是具有$q$元素的域上的$n$维向量空间的子空间的偏序集.这个偏序集是一个正规化的匹配偏序集，并且$\left\lfloor n/2 \right\rfloor$维的子空间集或$\left\lceil n/2 \right\rceil$维的子空间集是这个偏序集中唯一的最大反链.加强这一著名的和庆祝的结果，我们表明，除了在$\mathcal{L}_3(2)$的情况下，这些相同的子空间的集合是唯一的最大规模的家庭在$\mathcal{L}_n(q)$，避免了$\wedge$和$\vee$作为一个子集。我们将一些结果推广到扫帚和叉子，并且我们还证明了对于$k = \left\lfloor n/2 \right\rfloor$或$k = \left\lceil n/2 \right\rceil-1$，维数为$k$和$k+1$的子空间的集合的并集是$\mathcal{L}_n(q)$中唯一避免蝴蝶的最大规模族（定义见下文）。
Graphical view on linear extensions of finite posets
本文通过图论视角揭示有限偏序集的隐喻定义，证明测地凸性与线性扩展的关系，并探讨其几何和组合特性。
Dimension-Preserving Saturated Embeddings of Finite Posets into the Spectra of Noetherian UFDs
本文刻画了有限偏序集可保维饱和嵌入局部诺特UFD谱的充分必要条件，并进一步构造了任意有限偏序集到半局部拟优环谱的饱和嵌入，使其极小元对应极小素理想且余高与最长链长度一致。
Minors and dimension
30年前，人们就知道具有有界高度和有界最大度覆盖图的偏序集具有有界维数。最近，Streib和Trotter证明了高度有界的偏序集和平面覆盖图的维数有界，而Jaret等人证明了高度有界的偏序集和树宽有界的覆盖图的维数有界。本文证明了覆盖图不含固定拓扑子式的有界高度偏序集的维数有界。这推广了上述所有结果，并验证了Joret等人的一个猜想，证明依赖于Robertson-Seymour和Grohe-Marx图结构定理.
Complete Valuations on Finite Distributive Lattices
我们刻画了有限分配格，它允许一个完全赋值，即在一组连续自然数上是双射的，具有完备性的附加条件（定义2.3）。我们证明了这样的格是维数至多为2的有限偏序集的降集格，并通过与赋值相关的偏序集上的权之间的递归关系来确定一个实现子。这个关系表明，权计数链的互补偏序集。相反，我们证明了定义在一个偏序集的维数最多为2，通过权函数计数链的补偏序集，是完整的。
Better bounds for poset dimension and boxicity
证明了相似图具有最大度$Δ$的偏序集的维数至多为$Δ\log^{1+o(1)} Δ$。这个结果改进了Füredi和Kahn的30年前的界，并且在最优的$\log^{o(1)}Δ$因子内。我们通过盒性的概念证明了这个结果。图$G$的“盒度”是最小整数$d$，使得$G$是$d$维轴对齐盒的交图。我们证明了具有最大度$Δ$的图的盒度至多为$Δ\log^{1+o(1)} Δ$，并且也在最优的$\log^{o(1)}Δ$因子之内.我们还证明了具有Euler亏格$g$的图的最大盒度是$Θ(\sqrt{g \log g})$，它解决了Esperet和Jaret的一个公开问题，并且紧到一个$O(1)$因子.
A Note on Covering Young Diagrams with Applications to Local Dimension of Posets
我们证明了在每个覆盖的杨图与$\binom{2k}{k}$步骤与广义矩形有一行或一列的图中，至少使用$k+1$矩形。我们表明，这是最好的可能分区任何杨图与$\binom{2k}{k}-1$步骤到实际的矩形，每行和每列使用的最多$k$矩形。这回答了Kim et al.（2018）的两个问题。我们的结果可以用完全二部图的差图的局部覆盖数来表示，它在最近的偏序集的局部维数概念中有应用.
Fractional Local Dimension
偏序集的维数最初是由Dushnik和Miller在1941年提出的，并在文献中得到了广泛的研究。1992年，Brightwell和Scheinerman发展了分数维的概念，作为Dushnik-Miller概念的自然线性规划松弛。2016年，Ueckerdt引入了局部维数的概念，在短短三年内，已经发表了几篇研究这一新参数的研究论文。本文引入并研究了分数局部维数。正如术语所示，我们的参数是分数维和局部维的共同推广。对于一对$(n,d)$与$2\le d<n$，我们考虑由$\{1,\dots,n\}$的所有$1$ -元和$d$ -元子集组成的偏序集$P(1,d;n)$按包含偏序.这个偏序集具有分数维$d+1$，但对于固定的$d\ge2$，它的局部维数随着$n$而趋于无穷大。另一方面，我们表明，$n$趋于无穷大，分数局部维数$P(1,d;n)$趋于一个值$\text{FLD}(d)$，我们将能够准确地确定。对于所有的$d\ge2$，$\text{FLD}(d)$严格小于$d+1$，对于大的$d$，为$\text{FLD}(d)\sim d/(\log d-\log\log d-o(1))$。作为直接推论，我们证明了如果$P$是偏序集，$d$是$P$的可比图中顶点的最大度，则$P$的分数局部维数至多为$2+\text{FLD}(d).$.
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