欧拉多项式的对称恒等式
Symmetric identities for Euler polynomials
摘要:
本文建立了关于欧拉多项式乘积和的两个对称恒等式。
英文摘要:
In this paper we establish two symmetric identities on sums of products of Euler polynomials.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
Symmetric identities for Euler polynomials
Yong Zhang, Zhi-Wei Sun, Hao Pan
本文建立了关于欧拉多项式乘积和的两个对称恒等式。
In this paper we establish two symmetric identities on sums of products of Euler polynomials.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
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New identities involving Bernoulli and Euler polynomials
本文得到了Bernoulli和欧拉多项式的几个新恒等式,其中一些恒等式推广了Miki和Matiyasevich的恒等式.我们的新方法涉及多项式的差异和衍生物。
New identities involving Bernoulli and Euler polynomials. II
本文导出了Bernoulli多项式和欧拉多项式的几个对称恒等式,它们包含了一些已知的恒等式.我们的证明依赖于新的技术开发的第一部分,并在[欧洲J. Combin。24(2003),709- 718]。
The Euler Series Transformation and the Binomial Identities of Ljunggren, Munarini and Simons
它表明,好奇的身份西蒙斯如下立即从欧拉的级数变换公式,也从一个身份由于Ljunggren。本文还讨论了西蒙斯恒等式与勒让德多项式的关系。最后利用广义欧拉级数变换得到了Munarini的两个最近的二项式恒等式。
Series Transformation Formulas of Euler Type, Hadamard Product of Functions, and Harmonic Number Identities
利用两个函数的Hadamard积的整表示证明了几个欧拉型级数变换公式。作为应用,我们得到三个二项式身份涉及调和数和身份的拉盖尔多项式。本文还对某些含调和数的幂级数级数进行了封闭形式的计算
Identities for the Euler polynomials, $p$-adic integrals and Witt's formula
由Cauchy公式可知,Bernoulli数和欧拉数可以用围道积分\begin{equation*} \begin{aligned} B_n&=\frac{n!}{2πi}\oint \frac{z}{e^z-1}\frac{d z}{z^{n+1}},\label{condefi}\\[4pt] E_n&=\frac{n!}{2πi}\oint \frac{2e^z}{e^{2z}+1}\frac{d z}{z^{n+1}}, \end{aligned} \end{equation*}表示,而下面的Witt公式则用费米$p$ -adic积分$$E_n(a)=\int_{\mathbb Z_p}(x+a)^ndμ_{-1}(x).$$表示欧拉多项式。基于上述Witt恒等式和二项式定理,我们简单地证明了欧拉多项式的一些新恒等式。特别是,欧拉多项式的一些对称性质已经被发现,这意味着许多有趣的恒等式(已知或未知),包括Kaneko-Momiyama型恒等式(由Wu,Sun和Pan证明)和欧拉多项式的Alzer-Kwong型恒等式。
Covariants of binary forms and new identities for Bernoulli, Euler and Hermite polynomials
利用经典不变量理论的方法,给出了Bernulli多项式、Euler多项式和Hermite多项式恒等式的一般求法。
Random Walk Models for Nontrivial Identities of Bernoulli and Euler Polynomials
我们考虑了$1$维反射布朗运动和$3$维Bessel过程以及一般模型。通过将连续站点的首中时分解为循环,我们得到了首中时的生成函数的恒等式,称为循环恒等式。在证明这种分解组合和归纳,我们考虑的情况下,网站是均匀分布的。然后,从回路恒等式出发,利用高阶欧拉多项式,导出了Bernoulli多项式和欧拉多项式的表达式。
Counting on Euler and Bernoulli Number Identities
虽然有许多涉及欧拉数和伯努利数的恒等式,但它们通常是通过分析或归纳来证明的。我们证明了两个身份涉及欧拉和伯努利数的组合推理通过上下排列。
Identities concerning Bernoulli and Euler polynomials
本文建立了Bernoulli和欧拉多项式的两个一般恒等式,它们是一种新的类型,具有许多推论。本文最引人注目的结果如下:若$n$是正整数,则有$r+s+t=n$和$x+y+z=1$,其中$$F(s,t;x,y):=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{s}{k}\binom{t}{n-k}B_{n-k}(x)B_k(y).$$这个对称关系包含了Miki和Matiyasevich的奇异恒等式以及一些新的伯努利多项式恒等式,如$$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2B_k(x)B_{n-k}(x)=2\sum^n\Sb k=0 k\not=n-1\endSb\binom{n}{k}\binom{n+k-1}{k}B_k(x)B_{n-k}.$$
Weighted Forms of Euler's Theorem
在回答安德鲁斯的一个问题,寻找组合证明两个身份在拉马努金的“丢失”笔记本电脑,我们得到加权形式的欧拉定理分区与奇数部分和不同的部分。这项工作的灵感来自安德鲁斯的洞察力之间的联系拉马努金的身份和欧拉定理。我们的组合配方的拉马努金的身份依赖于有根分区的概念。迭代Dyson映射和Sylvester双射是欧拉定理加权形式的主要组成部分。
An Elliptic $BC_n$ Bailey Lemma, Multiple Rogers--Ramanujan Identities and Euler's Pentagonal Number Theorems
证明了经典的双参数Bailey引理的椭圆型$BC_n$推广,并得到了一个基本的单参数$BC_n$ Bailey引理的极限情形.作为应用,证明了与根系$BC_n$有关的几个求和和变换公式,包括$_6ϕ_5$求和公式、广义Watson变换和非专门化的Rogers-Selberg恒等式.最后一个恒等式被专门化以给出多边Roger-Selberg恒等式的无限族。标准的行列式评估,然后使用计算$B_n$和$D_n$推广的罗杰斯-拉马努金身份的决定因素的θ函数。从$BC_n$ $_6ϕ_5$求和公式出发,用一个类似的程序证明了一个无穷族的$D_n$欧拉五边形定理.
Extended Zeilberger's Algorithm for Identities on Bernoulli and Euler Polynomials
利用Chen,Hou和Mu给出的推广的Zeilberger算法,给出了一种证明伯努利多项式和欧拉多项式恒等式的计算机代数方法.其核心思想是利用Bernoulli数和欧拉数的围道积分定义建立被积函数的递推关系。这样的递归关系有一定的参数自由属性,导致所需的身份,而无需计算积分。
Finite q-identities related to well-known theorems of Euler and Gauss
我们给出了有限版本的欧拉五边形数定理和高斯的q-恒等式的推广。
Some Identities Related to the Second-Order Eulerian Numbers
我们用二阶欧拉数来表示Nörlund多项式。在此基础上,我们得到了与Bernoulli数有关的几个恒等式.特别是,我们提出了一个简短的证明Rzcadkowski和Urliveska提出的问题。
Two new identities involving the Bernoulli numbers, the Euler numbers, and the Stirling numbers of the first kind
利用第一类Stirling数的一个著名恒等式的解析延拓,得到了涉及Bernoulli数、欧拉数和第一类Stirling数的两个新恒等式.
Beck-type identities for Euler pairs of order $r$
分区标识通常是断言服从条件$X$的$n$的分区的集合$\mathcal P_X$与服从条件$Y$的$n$的分区的集合$\mathcal P_Y$是等数量的语句。贝克型身份是$|\mathcal P_X|=|\mathcal P_Y|$的伴随身份,其断言$\mathcal P_X$中所有分区中的部分数目与$\mathcal P_Y$中所有分区中的部分数目之间的差异$b(n)$等于$c|\mathcal P_{X'}|$且也等于$c|\mathcal P_{Y'}|$,其中$c$是与原始身份相关的某一常数,且$X'$分别等于$Y'$,是分区上的一个条件,它是条件$X$和$Y$的一个非常轻微的放松。第二种贝克型同一性涉及$\mathcal P_X$中所有分区中不同部分的总数与$\mathcal P_Y$中所有分区中不同部分的总数之间的差异$b'(n)$。我们将这些结果扩展到贝克型身份伴随着所有的身份欧拉对的顺序$r$(任何$r\geq 2$)。因此,我们得到了许多新的贝克型恒等式。我们给出了分析和双射证明我们的结果。
Euler's partition theorem for all moduli and new companions to Rogers-Ramanujan-Andrews-Gordon identities
我们推广欧拉的分割定理,涉及奇数部分和不同的部分,所有的模,并提供新的同伴罗杰斯-Ramanujan-Andrews-Gordon身份与此定理。
Euler's partition theorem for all moduli and new companions to Rogers-Ramanujan-Andrews-Gordon identities
本文给出了一个猜想,它推广了欧拉关于所有模的奇部和异部的划分定理。我们证明了这两个家庭划分猜想。当模为3时,我们给出了相关母函数的$q$ -差分方程.在此猜想下,我们给出了Rogers-Ramanujan-Andrews-Gordon恒等式的新的伴随恒等式.
Signed Euler-Mahonian identities
1992年Désarmenien和Foata给出了$\mathfrak{S}_n$上的带符号欧拉多项式和经典欧拉多项式之间的关系,同年Wachs提出了一个改进的版本,称为带符号欧拉-Mahonian恒等式,并给出了一个双射证明。通过推广这个双射,本文将上述结果推广到$B_n$,$D_n$和复反射群$G(r,1,n)$的Coxeter群,其中“符号”取为任何一维特征标.一些获得的恒等式可以进一步限制在一些特定的排列集合上。我们还得到了$B_n$和$D_n$型的一些新的有趣的符号平衡多项式。
Visible Point Partition Identities for Polylogarithms, and Parametric Euler Sums
本文利用已知多对数关系与 Euler 和值,系统推导二维至五维可见点向量加权划分的约六十个新组合恒等式,并推广至 n 维超卦限和超棱锥格点情形。
The new combinatorial identities of symmetric functions
本文利用指数生成函数等初等方法,研究了与对称函数相关的二项式卷积及Bernoulli、Euler和Genocchi数与多项式的卷积和,推导并建立了二元多项式及相关特殊多项式的多个新组合恒等式。
Symmetric identities on Bernoulli polynomials
本文得到了Carlitz关于伯努利多项式的一个恒等式的推广。然后我们利用这个推广公式导出了两个对称恒等式,这两个恒等式可归结为关于伯努利多项式和伯努利数的一些已知恒等式,包括Miki恒等式.
A tiling proof of Euler's pentagnal number theorem and generalizations
在两篇论文中,小和塞勒斯介绍了一个令人兴奋的新的组合方法证明分区身份,这是不直接双射。相反,他们考虑了具有方块和多米诺骨牌的$1 \times \infty$板的各种加权平铺,并且对于每种类型的平铺,他们以两种不同的方式构造生成函数,该生成函数生成$q$系列恒等式。利用这种方法,他们恢复了不少经典的$q$ -级数恒等式,但欧拉的五边形数定理不在其中。在本文中,我们引入了一个关键参数时,构建的生成函数的各种组的平铺,使我们能够恢复欧拉的五边形数定理以及无限家庭的推广。
Specializations of colored quasisymmetric functions and Euler-Mahonian identities
本文通过特殊化 Poirier 着色拟对称函数,建立统一框架推导着色置换上 Euler–Mahonian 联合分布公式,统一并推广多个已知结果,且在有符号置换上引入新的双参数 flag major index 并给出分布公式。
Combinatorial aspects of poly-Bernoulli polynomials and poly-Euler numbers
本文介绍了多伯努利多项式和多欧拉数的组合模型。作为它们的应用,我们给出了一些涉及多伯努利多项式的恒等式的组合证明。
Combinatorial identities related to degenerate Stirling numbers of the second kind
本文研究退化第二类 Stirling 数的性质、恒等式、递推关系与显式表达式,并结合退化 Euler 公式探讨相关多项式和幂级数。
Combinatorial proofs of two Euler type identities due to Andrews
我们证明组合的一些身份有关欧拉的分区身份($n$的分区成不同的部分的数量等于$n$的分区成奇数部分的数量)。它们由Beck提出并由Andrews通过生成函数证明。令$a(n)$是$n$的分区的数目,使得偶数部分的集合恰好具有一个元素,$b(n)$是$n$的所有奇数分区中的部分的数目与$n$的所有不同分区中的部分的数目之间的差,并且$c(n)$是$n$的其中恰好一个部分被重复的分区的数目。然后是$a(n)=b(n)=c(n)$。等式$a(n)=c(n)$由Fu和Tang组合地(更一般地)证明。我们组合地证明了$a(n)=b(n)$和$b(n)=c(n)$ .我们的证明依赖于一个集和一个多集之间的双射,其中多集中的分区用位串装饰。令$c_1(n)$为$n$的分区数,使得恰好有一个部分出现三次,而所有其他部分仅出现一次,并令$b_1(n)$为$n$划分为不同部分的分区中的部分总数与$n$划分为奇数部分的分区中的不同部分总数之差。我们组合地证明了$c_1(n)=b_1(n)$ .除了Andrews的这些结果外,我们还组合地证明了$b_1(n)=a_1(n)$,其中$a_1(n)$对$n$的划分进行计数,使得偶数部分的集合恰好有一个元素并满足一些附加条件.我们还处理的情况下,正好一个部分出现两次,而所有其他部分只出现一次。
Explicit formulae for computing Euler polynomials in terms of Stirling numbers of the second kind
本文初步统一和推广了涉及函数$\frac{\pm1}{e^{\pm t}-1}$及其导数的八个恒等式。利用其中的一个恒等式,作者建立了计算欧拉多项式和双参数欧拉多项式的两个显式公式。
Kronecker product identities from D-finite symmetric functions
利用一个计算D-有限对称函数的Kronecker积的算法,我们得到了一些新的Kronecker积恒等式。这些恒等式给出了Kronecker积的迹型值的封闭形式公式。
Symmetric Grothendieck polynomials, skew Cauchy identities, and dual filtered Young graphs
对称格罗滕迪克多项式是格拉斯曼K-理论中舒尔多项式的类似物。我们使用Schur算子建立对称Grothendieck多项式的对偶族。用这种方法,我们证明斜柯西恒等式,然后得到各种应用:斜Pieri规则,对偶过滤的杨氏格,生成系列和枚举的身份。对Grothendieck多项式乘积的有限展开性质给出了新的解释。
In Praise of an Elementary Identity of Euler
我们调查的应用程序的一个基本身份所使用的欧拉在他的证明之一的五边形数定理。使用一个适当的重新制定的版本,这个身份,我们称之为欧拉的望远镜引理,我们给所有的关键求和定理的替代证明终止超几何级数和基本超几何级数,包括终止二项式定理,楚-范德蒙和,普法夫-Saalch\”utz和,和他们的$q$ -类似物。我们还证明了杰克逊的$q$ -模拟杜格尔的总和,一个终止的,平衡的,非常平衡的$_8ϕ_7$总和。我们的证明在概念上与WZ方法相同,但不使用计算机。本文综述了Macdonald给出的广义超几何级数的恒等式,并证明了组合中出现的斐波那契数、多项式和Pell数的类似物$q$的几个恒等式.其中一些身份似乎是新的。
Bilinear identities on Schur symmetric functions
利用Pluecker关系得到了Schur对称函数的一系列双线性恒等式。
Identities involving (doubly) symmetric polynomials and integrals over Grassmannians
我们得到的身份涉及对称和双对称多项式。这些恒等式提供了一种处理出现在格拉斯曼的Atiyah-Bott-Berline-Vergne公式中的表达式的方法。作为推论,我们得到了重言式丛的特征类的格拉斯曼算子上的积分公式。此外,我们提供了一个有效的证明马丁公式的经典格拉斯曼。
Eulerian polynomials and descent statistics
我们证明了几个身份表示多项式计数排列的各种下降统计欧拉多项式,Stembridge,彼得森和Brändén的结果的延伸。此外,我们发现$q$ -指数母函数的$q$ -这些下降统计多项式的类似物,也保持跟踪的反转数或逆主指数。我们还提出了有关这些下降统计多项式的B型欧拉多项式和标志下降多项式的符号置换的负字母的数量的改进的身份。我们的方法包括置换枚举技术涉及非交换对称函数,Brändén的修改后的Foata-Strehl行动,和一个群作用的彼得森签署置换。值得注意的是,修改后的Foata-Strehl行动之间的Narayana多项式和联合分布的峰值数和下降数超过231-避免排列,我们也解释在二叉树和戴克路径类似的关系。
Combinatorial Proofs of Identities Involving Symmetric Matrices
Brualdi和Ma发现了具有$k$下降的长度为$n$的对合与具有非负整数项和为$n$且没有零行或零列的对称$k\times k$矩阵之间的联系。从他们的主要定理,他们得出两个交替总和代数手段,并要求组合证明。本文利用对称矩阵与半标准Young Tableau之间的Robinson-Schensted-Knuth对应关系,给出了此类证明。此外,我们用这个观点重新证明了Brualdi和Ma的主要结果,从而缩短了论证。
Determinant identities and a generalization of the number of totally symmetric self-complementary plane partitions
我们证明了Robbins和Zeilberger(J. Combin. Theory Ser.A66(1994),17-27),通过将问题转化为行列式评估问题并评估行列式。该行列式推广了给出包含在$(2n)\times(2n)\times(2n)$盒中的所有全对称自互补平面划分的数目的行列式,并且该行列式由Andrews(J. Combin. Theory Ser.A66(1994),28-39)以及Andrews和Burge(Pacific J.Math.158(1993),1-14)来明确地计算这个数。广义行列式的评价是独立的安德鲁斯和伯奇的计算,因此,特别是构成了一个新的解决方案,这个著名的计数问题。我们还评估了一个相关的行列式,从而推广了安德鲁斯和伯格(同上)的另一个行列式的身份。cit.)。通过将我们的一些行列式恒等式转化为常数项恒等式,我们得到了几个新的常数项恒等式.
q-Hypergeometric proofs of polynomial analogues of the triple product identity, Lebesgue's identity and Euler's pentagonal number theorem
我们提出了替代,q-超几何证明的一些多项式类似物的经典q-系列身份最近发现的Alladi和Berkovich,和Berkovich和Garvan。
New Polynomial Identities and Some Consequences
本文借助 Euler Beta 函数与二项式定理推导两个多项式恒等式,推广已知结果,并由此得到及推广 Frisch、Klamkin 组合恒等式,还给出一类恒等式的推导方案。
Orbifold Euler characteristics and the number of commuting n-tuples in symmetric groups
得到了对称群中交换m元组个数的生成函数。定义了作用在流形X上的有限群G的“轨道欧拉示性数”的自然序列.我们的定义推广了X/G的普通欧拉示性数和弦论轨道折叠欧拉示性数。我们的公式交换m元组的基础公式,推广的结果麦克唐纳和Hirzebruch-Hyndham关于普通和弦理论的欧拉示性数的对称产品。
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