The Julia set of a post-critically finite endomorphism of PC^2
Volodymyr Nekrashevych
我们构造了$PC^2$的自同态$f(z, w)=((1-2z/w)^2, (1-2/w)^2)$的朱利亚集的组合模型.
We construct a combinatorial model of the Julia set of the endomorphism $f(z, w)=((1-2z/w)^2, (1-2/w)^2)$ of $PC^2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Holomorphic motion for Julia sets of holomorphic families of endomorphisms of CP(k)
在各种等价的稳定性概念下，我们建立了CP（k）的自同态的全纯族的朱利亚集的可测全纯运动.
Julia sets for Fibonacci endomorphisms of $\mathbb{C}^2$ and $\mathbb{R}^2$
我们研究了$\mathbb{R}^2$和$\mathbb{C}^2$的自同态家族$f_c(x, y)= (xy+c, x)$的动力学，其中$c$是实参数或复参数.这样的地图可以被看作是$f_0(x,y)=(xy,x)$地图的扰动，$f_0(x,y)=(xy,x)$地图是Anosov环面地图$(u,v) \mapsto (u+v,u)$的复杂化。
Fatou directions along the Julia set for endomorphisms of CP^k
没有太多的动力学以外的支持的最大熵测度$μ$的全纯自同态$\mathbb{CP}^k$。在这篇文章中，我们研究了朱利亚集，这是典型的大于$Supp(μ)$的动力学结构。朱利亚集是所谓Green流$T$的支集，因此它允许$T$的外幂的支集的自然过滤。对于$1\leq q \leq k$，设为$J_q= Supp(T^q)$。证明了对于$J_q\setminus J_{q+1}$的一般点，在切空间中至少存在$(k-q)$“Fatou方向”.我们也给膨胀率在横向的Fatou方向的估计。
Parabolic implosion for endomorphisms of $\mathbb{C}^2$
本文利用二维Lavaurs定理，给出了一类与恒等式相切的映射的扰动的大朱利亚集的不连续性的一个估计.我们适应我们的情况，由于贝德福德，斯迈利和上田在半吸引设置的战略。我们还证明了填充朱利亚集的不连续性的正则多项式的扰动。
Holomorphic endomorphisms of P^3(C) related to a Lie algebra of type A_3 and catastrophe theory
复平面上的Chebyshev映射是典型的混沌映射。Veselov推广了这些映射。我们考虑一类这样的映射，并将它们看作三维复射影空间上的全纯自同态，利用高维复动力学理论。我们精确地确定了这些映射的朱利亚集和外射线。在朱利亚集中，出现了Moebius带和一种特殊的直纹曲面。我们还展示了这些映射与二元四次型之间的一些关系。
Julia sets and bifurcation loci
本文证明复平面和复二维空间中不同多项式动力系统产生的分形对象不可等同，特别指出 Misiurewicz PCF 三次多项式的强分歧轨迹闭包不能作为正则多项式自同态的 Julia 集，并证明 Hénon 映射与多项式自同态的 Julia 集不能重合。
Dynamics of post-critically finite maps in higher dimension
研究了P^k（C）的后临界有限自同态的动力学性质。我们证明了在后临界集上的一个弱正则性条件下，后临界有限自同态始终是后临界有限的。研究了后临界有限自同态的周期点的特征值。然后，在弱横截性条件下，假设后临界集的补集是Kobayashi双曲的，证明了唯一可能的Fatou分支是超吸引盆，从而部分地将Fornaess-Sibony和Rong在k = 2的情况下的结果推广到任意维数.
Dynamics of generic endomorphisms of Oka-Stein manifolds
研究了Oka-Stein流形$X$的一般自同态$f$的动力学性质.这样的流形包括所有连通的线性代数群，更一般地，包括复李群的所有斯坦齐性空间。给出了$f$的法图集和Julia集的几种描述.特别地，我们证明了Julia集是$f$的吸引周期点集的导集，也是$f$的排斥周期点集的闭包.证明了$f$在Julia集上是混沌的，并且$f$的每个周期点都是双曲的.我们还给出了明确的描述的“Conley分解”的$X$诱导的$f$链递归类和盆地的吸引子。对于$X=\mathbb{C}$，我们证明了每个Fatou分支都是一个圆盘，并且法图集中的每个点都被吸引到一个吸引环或位于一个动态有界的游荡域中（是否存在这样的域是一个公开问题）.
Mating, paper folding, and an endomorphism of PC^2
研究复射影平面$PC^2$到自身的映射$F(z, p)=((2z/(p+1)-1)^2, ((p-1)/(p+1))^2)$的朱利亚集的拓扑性质.我们展示了这个有理函数与一个不可数的“折纸”平面填充曲线族的关系。
Julia sets with Ahlfors-regular conformal dimension one
本文研究了后临界有限的超限有理映射的Julia集的Ahlfors-正则共形维数一的条件，证明其等价于该映射为crochet映射，即存在一个不变的连通图包含后临界集且其在图上的拓扑熵为零。
Filled Julia set of some class of Hénon-like map
本文考虑$f(x,y)=(xy+c,x)$定义的一类$\mathbb{R}^2$的自同态，其中$c\in\mathbb{R}$是实数，证明了当$-1<c<0$为实数时，$f$的前向填充朱利亚集是$f$的不动点和$3-$周期点的稳定流形的并集.证明了$f$的后向填充朱利亚集是$f$的鞍不动点和$3-$周期点的不非稳定流形的并.
Structure of Julia sets for post-critically finite endomorphisms on $\mathbb{p}^2$
设$f$是$\mathbb{P}^2$上的后临界有限自同态（简称PCF映射），$J_1$表示Julia集，$J_2$表示极大熵测度的支撑.在本文中，我们表明：1。$J_1\setminus J_2$包含在临界分量环的（多个）盆和偶发超鞍环的稳定流形的联合中。2.对于任何不包含在偶发超鞍圈的稳定流形中的$x\in J_2$，不存在包含$x$的Fatou圆盘.这里，零星意味着超鞍循环不包含在关键分量循环中。在$PC(f)$的所有分支光滑且横截相交的条件下，证明了不存在偶发超鞍环.因此，在这种情况下，$J_1\setminus J_2$包含在关键组分循环的盆的并集中，并且对于每个$x\in J_2$，不存在包含$x$的Fatou盘。作为我们的结果的后果：1.回答了Fornaess-Sibony关于无散在超鞍圈的$\mathbb{P}^2$上PCF映射的非游荡集的一些问题。2.对于$\mathbb{P}^2$上的PCF映射，给出了$J_1\setminus J_2$中格林电流的de Thélin分层性的新证明. 3.证明了$\mathbb{P}^2$上的PCF映射的不变紧集是扩张的当且仅当它不包含临界点，并给出了$\mathbb{P}^2$上的PCF映射在$J_2$上扩张或满足公理A的刻画.
Periodic points of post-critically algebraic endomorphisms
$\mathbb{CP}^n$的全纯自同态是后临界代数的，如果它的临界超曲面是周期的或预周期的.这个概念推广了一维后临界有限有理映射的概念。我们将研究这样一个映射的微分沿周期循环的特征值。当$n=1$时，一个众所周知的事实是，沿着一个后临界有限有理映射的周期圈的特征值是超吸引或排斥的。我们证明了当$n=2$的特征值仍然是超吸引或排斥。这是Mattias Jonsson的一个结果的改进。当$n\geq 2$和圈在后临界集之外时，我们证明了特征值是排斥的.这个结果改进了Fornaess和Sibony在后临界集的补集上的双曲性假设下已经得到的结果。
On the spectrum of stochastic perturbations of the shift and Julia sets
本文通过在不同的巴拿赫空间（$\ell^α(\N), c_0(\N),c_c(\N)$）中研究与随机加法机相关的移位算子在基2和Fibonacci基中的随机扰动的点谱、连续谱和剩余谱，扩展了Killeen-Taylor在\cite{KT}中的研究.对于基为2的二次映射，其谱与其朱利亚集相连。在斐波那契的情况下，谱涉及$\C^2$的自同态的朱利亚集。
Rigidity and height bounds for certain post-critically finite endomorphisms of projective space
射影空间的全纯自同态f称为后临界有限（PCF），如果在f的迭代下，临界轨迹的前向像具有代数支撑（即，是超曲面的有限并集）。在1维的情况下，Thurston的一个深刻结果意味着PCF态射不存在代数族，除了一个众所周知的例外类，称为柔性拉特斯映射。本文证明了任意维数下态射的一个相应结果。具体来说，我们限制注意度至少为2的态射f，具有完全不变的超平面H，使得f到H的限制是某些坐标中的d次幂映射。这个条件定义了（给定维数的）射影空间的无坐标自同态空间的一个子簇。我们证明了在这个空间中不存在PCF映射族，并得到了几个相关的算术结果。
Invariant graphs in Julia sets and decompositions of rational maps
本文证明任意后临界有限有理映射的 Julia 集中存在在迭代下不变且包含全部后临界点的有限连通图，其构造基于 cluster-Sierpinski 分解。
Periodic points of weakly post-critically finite all the way down maps
研究了高维$\mathbb{CP}^n$的后临界有限自同态的周期环上的特征值。当$n = 1$时，这些值要么是$0$，要么具有严格大于$1$的模量，这是一个经典的结果。在《易经》中，后临界代数全纯自同态的周期点，遍历论和动力系统，第1-33页，2020年]，相同的结果适用于每个$n \geq 2$。本文证明了[Matthieu Astorg，Dynamics of post-critical finite maps in higher dimension，遍历论and动力系统，40（2）：289-308，2020]中提出的关于一类弱后临界有限一直向下映射的猜想.此类包含在[Sarah Koch，Teichmüller理论和临界有限自同态，数学进展，248：573-617，2013]中构造的一类著名的后临界有限映射。因此，我们验证了Koch映射的猜想。
Dynamics of semigroups of entire maps of $\mathbb{C}^k$
本文研究了$\mathbb{C}^k,\; k \ge 2$的一类全纯自同态的Fatou集和朱利亚集的一些基本性质.我们特别感兴趣的研究这些集的半群生成的各种类的全纯自同态的$\mathbb{C}^k,\; k \ge 2.$我们证明了，如果朱利亚集的半群$G$生成的最大通秩$k$在$\mathbb{C}^k$的自同态包含一个孤立点，那么$G$必须包含一个元素，共轭的上三角自同构的$\mathbb{C}^k.$这推广了Fornaess-Sibony定理。其次，我们定义了半群的回归域，并在一定条件下给出了这类域的刻画。
Decomposition of rational maps by stable multicurves
本文研究后临界有限有理映射的稳定多重曲线分解，证明小 Julia 集不相交的充要条件是被盘绕曲线分隔，并证明具有盘绕曲线的映射可重整化，同时给出 Fatou 域为 Jordan 域的充分条件及相应例子。
An a priori bound of endomorphisms of $\mathbb{C}\mathbb{P}^k$ and a remark on the Makienko conjecture in dimension one
令$f$是次数为$>1$的$\mathbb{C}\mathbb{P}^k$的自同态，并假设对于$f$的任何具有周期$p\in\mathbb{N}$的循环Fatou分量$W$，平衡测度$μ_f$在$W$的边界上具有正电荷当且仅当$f^{-p}(W)=W$。然后我们得到了$f$动力学的局部一致先验界，特别是得到了$f$在其整环奇点上的动力学的Diophantine型估计.我们还指出，在$k=1$的情形下，我们的假设的陈述既与$f$的Julia集不可能是Wada湖的边界有关，也与关于$f$的剩余Julia集非空的Makienko猜想有关.
Bifurcations in the elementary Desboves family
给出了一类$\mathbb P^2 (\mathbb C)$的自同态的例子，其朱利亚集连续依赖于参数，其分支轨迹具有非空内部.
Puzzle Pieces, Bi-accessibility, and Connectivity of the Julia Set for Generalized Blaschke Products
研究广义Blaschke产品的动力学，通过拼图碎片的组合分析，证明在Arnold舌区域内相邻参数存在双可及的排斥周期，从而排除多重连通的Fatou分量，完整刻画Julia集的连通性。
Good Reduction for Endomorphisms of the Projective Line in Terms of the Branch Locus
设$K$是数域，$v$是$K$上的非阿基米德赋值.我们说一个自同态$Φ\colon \mathbb{P}_1\to \mathbb{P}_1$在$v$上有好约化，如果存在一个$Φ$的模型$Ψ$使得$\degΨ_v$，$Ψ$模$v$的约化度，等于$\degΨ$且$Ψ_v$是可分的。我们证明了一个标准，好约化是自然的推广结果由于Zannier在\cite{Uz3}。我们的结果与好约化的另外两个概念，简单约化和临界好约化有关。本文的最后一部分致力于证明其迭代在某种意义上保持临界好约化的映射的一个特征。
A non-laminar dynamical Green current
CP ^2的一个全纯自同态f允许一个朱利亚集J_1和一个（典型的）更小的朱利亚集J_2，前者通常被定义为其迭代的非正规性轨迹，后者本质上是排斥周期轨道集的闭包。已经提出的问题是否J_1 \J_2充满（可能在测度论意义上）与“Fatou subvariants”沿其动力学是局部等度连续的。在这篇文章中，我们构建的例子表明，这不是一般情况下
Topology of Fatou components for endomorphisms of CP^k: Linking with the Green's Current
本文通过定义闭正 (1,1) 电流与闭回路之间的环绕数，研究 CP^k 全纯自同态 Fatou 集的整体拓扑，并证明 CP^2 中多类自同态的 Fatou 分支具有无限生成的一阶同调。
Strong probabilistic stability in holomorphic families of endomorphisms of $\mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ and polynomial-like maps
本研究证明$\u2119^k(\u2102)$自同态稳定族中满足熵条件的不变测度可全纯延拓，推广了已有结果，并将类似结论拓展至大拓扑度类多项式映射族，给出Lyapunov指数正性的充分条件。
Unmating of expanding Thurston maps with Julia set $\mathbb{S}^2$
本文针对临界预周期扩展 Thurston 映射，通过调整拆配算法以适应同伦意义下完全不变的非 Jordan 曲线，实现了无需迭代即可进行多项式拆配。
Fixed points of Koch's maps
我们研究了Sarah Koch在她的论文中所构造的自同态，并着重研究了这类映射的微分在其不动点的特征值。在Koch的论文中，Koch将$\mathbb{CP}^k$的后临界代数自同态与每个后临界有限单临界多项式相关联。Koch证明了这类映射的微分的特征值沿后临界集外的周期环的模严格大于$1$。本文证明了微分在不动点的特征值是$0$或模严格大于$1$ .这证实了作者在论文中提出的一个猜想。我们还提供了一个具体的描述，这样的价值观的一个单临界多项式的乘数。
On hyperbolic rational maps with finitely connected Fatou sets
本文研究了具有连通Fatou集的双曲有理映射.我们为此类映射构建了后临界有限双曲树映射方案的模型，推广了连通朱利亚集情况下的后临界有限有理映射。我们证明了它们是理性映射的一般极限，因为我们拟共形拉伸的动态。相反，我们使用拟共形手术，以显示任何后临界有限双曲树映射计划出现这样的限制。我们构造了丰富的例子，由于灵活的模型，并使用它们来构建一个序列的理性映射的一个固定的程度与无限多的非单项重标度限制。
Rational Maps Whose Fatou Components Are Jordan Domains
我们证明：如果$f(z)$是一个临界有限有理映射，且恰有两个临界点，且不与多项式共轭，则$f$的每个Fatou分支的边界是Jordan曲线.如果$f(z)$是一个双曲临界有限有理映射，且其临界后点都是周期的，则存在一个以Jordan曲线为边界的Fatou分支圈.我们给出了临界有限双曲有理映射$f$的例子，其性质是：在满足$f(Ω)=Ω$的Fatou分支$Ω$的闭包上，$f|_{\bdry Ω}$不与其朱利亚集上的任何多项式的动力学拓扑共轭.
Renormalizations and wandering Jordan curves of rational maps
我们实现了允许组合分解的后临界有限有理映射的动力学分解。我们把黎曼球面分成两个完全不变的子集。一个是由不可数多个Jordan曲线分量组成的朱利亚集的子集。他们中的大多数都在流浪。另一个由许多重正化的拉回组成，可能有无数个点。分解后的块上的商作用由树突动力系统编码。我们还介绍了一个手术程序，以产生后临界有限理性映射与游荡约旦曲线和规定的重正化。
Teichmuller distance for some polynomial-like maps
在这篇文章中，我们将证明某类广义多项式映射（非临界双曲广义多项式映射）的所有元素的Teichmüller距离实际上是一个距离，就像Sullivan研究的具有连通朱利亚集的实多项式的情况一样。这个类包含几个重要的类广义多项式映射，即：Yoccoz，Lyubich，Sullivan和Fibonacci。在我们的证明中，我们不能使用外部参数（如外部类）。相反，我们在映射的朱利亚集中使用双曲集。这些双曲集将允许我们使用我们的主要分析工具，即沙利文的刚性定理的非线性解析双曲系统。Lyubich在任意有理函数$f$的朱利亚集上构造了极大熵测度$m$.当$m$的Hausdorff维数等于朱利亚集的豪斯多夫维数时，Zdunik可以准确分类.证明了当$f$为非临界双曲时，除切比雪夫多项式外，严格不等式成立.如果我们把$f$看作多项式，则这个结果是Zdunik结果的一个特例，但是如果$f$是广义多项式映射，则这个结果是Zdunik结果的一个推广。证明如下从不存在不变仿射结构。
To Define the Core Entropy for All Polynomials Having a Connected Julia Set
本文为所有具有连通Julia集的多项式定义了核心熵，并研究了其在Mandelbrot集上的连续性及性质。
Geometry of $Q$-recurrent maps
给定一个临界周期二次映射，我们引入了$Q$ -递归二次多项式的概念。我们证明了$Q$ -递归映射$f_c$的主巢在形状上收敛于$Q$的朱利亚集.我们利用这一事实来计算$f_c$的嵌套的解析不变量，给出了复二次Fibonacci映射的完整刻画，并得到了Mandelbrot集上的一个新的自相似结果。
Quasisymmetric conjugacy between quadratic dynamics and iterated function systems
我们考虑在平面上具有常数收缩比的线性迭代函数系统（IFS），其中“重叠集”$\Ok$是有限的，并且在吸引子$A$上是“可逆的”，即存在一个连续满射$q: A\to A$，其逆分支是IFS的收缩。在$q$不是恰好在$\Ok$的局部同胚的意义上，重叠集是临界集。我们还假设有一个有理函数$p$，其Julia集$J$使得$(A,q)$和$(J,p)$是共轭的。证明了若$A$有界转向且$p$无抛物圈，则共轭是拟对称的。这个结果被应用到一些具体的例子，包括一个不可数的家庭。我们的主要重点是家庭的IFS $\{λz,λz+1\}$的$λ$是一个复杂的参数在单位磁盘，使其吸引$A_\lam$是一个树突，每当$\Ok$是一个单例。C. Bandt观察到，这样的IFS的简单修改（不改变吸引子）是可逆的，并在$A_\lam$上产生类似二次映射$q_\lam$。如果IFS是后临界有限的，则A. Kameyama证明了存在一个二次映射$p_c(z)=z^2+c$，其Julia集$J_c$使得$(A_\lam,q_\lam)$和$(J_c,p_c)$是共轭的.我们证明了这种共轭是准对称的，并在一般情况下（非后临界有限）得到部分结果。
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