On two-point configurations in random set
Hoi Nguyen
我们证明了$\{1,...,n\}$的大小为$Θ(n^{1-1/k})$的随机集以很高的概率包含两个元素$a$和$a+d^k$，其中$d$是正整数。作为结果，我们证明了一个类似的Sárközy-Fürstenberg定理的随机集。
We show that with high probability a random set of size $Θ(n^{1-1/k})$ of $\{1,...,n\}$ contains two elements $a$ and $a+d^k$, where $d$ is a positive integer. As a consequence, we prove an analogue of Sárközy-Fürstenberg's theorem for random set.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Concentration inequalities in spaces of random configurations with positive Ricci curvatures
本文证明了随机构形的几个经典模型中的Azuma-Hoeffding型不等式，这些模型包括Erdens-Rényi随机图模型$G(n,p)$和$G(n,M)$，随机$d$ -出（入）-正则有向图，以及随机排列空间.主要思想是使用奥利维尔的工作的里奇曲率的马尔可夫椅子度量空间。在这里，我们给出了一个更清洁的形式，这种集中不等式的图。也就是说，我们证明了，对于任何图上的Lipschitz函数$f$（配备遍历随机游动，因此具有不变分布$ν$），里奇曲率至少为$κ>0$，我们有\[ν\left( |f-E_νf| \geq t \right) \leq 2\exp\left( -\frac{t^2κ}{7} \right).\]
Sandwiching between random regular graphs and Erdős-Rényi graphs: configuration model and unions of perfect matchings
本文通过引入中间模型链的耦合框架，验证了 Kim-Vu 夹逼猜想在大度数情形并证明弱化版本，建立了随机正则图与 Erdős-Rényi 图之间的新联系。
Point-ellipse and some other exotic configurations
本文介绍了点椭圆构形和点圆锥构形。我们研究了它们的一些基本性质，并描述了两个有趣的平衡点椭圆族，分别是点圆锥$6$ -组态。第一族的构造是基于卡诺定理，而第二族的构造是基于两个正多边形的笛卡儿积。最后，我们研究了一种基于规则$24$胞腔的点椭圆构型。
Random walks and random fixed-point free involutions
给出了具有最大递减子序列长度$2p$的$\{1,2,...,2N\}$的不动点自由对合与两类局限于射线格点$l \ge 1$的恶性（不相交）随机Walker配置之间的一个双射.在一类助行器配置中，最右侧助行器的最大位移是$p$。因为已知最大减小子序列大小的缩放分布在软边GOE（随机实对称矩阵）普适类中，所以对于最右侧步行者的最大位移的缩放分布也是如此。
Random non-crossing plane configurations: A conditioned Galton-Watson tree approach
我们研究了由凸多边形对角线组成的随机非交叉配置的各种模型，并特别关注均匀剖分和非交叉树。对于这两个模型，我们证明了依分布收敛对Aldous的布朗三角的磁盘。在剖分的情况下，我们还细化了最大顶点度的研究，并验证了Bernasconi，Panagiotou和Steger的猜想。我们的主要工具是使用一个潜在的高尔顿-沃森树结构。
On the Levi Graph of Point-Line Configurations
本文证明了点线构型（v_r，b_k）的Levi图的良好覆盖维数等于0，只要r > 2。
Configurations of higher orders
本文首先将点和线的组合构形的概念扩展到点和平面的组合构形，我们称之为$2$阶构形。然后，我们继续研究进一步扩展的概念的点和$k$ -平面（$k$维超平面），我们称之为配置的顺序$k$。我们提出了一些一般的例子，如堆叠配置的顺序$k$ -直观分层低阶配置-和产品配置的顺序$k$。我们讨论了许多类似的标准配置，如对偶配置，同构，图形表示，当一个配置是几何。我们主要集中在配置的顺序$2$和具体计算的数量可能对称配置的顺序$2$时，每个平面包含$3$点的小值$n$ -配置中的点的总数。
Platonic configurations of points and lines
我们提出了一些方法来构建连接的空间几何配置$(p_{q}, n_{k})$的点和线，保持相同的旋转（和反射）的欧几里得空间$E^{3}$作为所选择的柏拉图固体。在本文中，我们主要感兴趣的平衡配置$(n_{3}), (n_{4})$和$(n_{5})$，但也在非平衡配置$(p_{3},n_{4}), (p_{3}, n_{5})$和$(p_{4}, n_{5})$。
A model for random braiding in graph configuration spaces
定义并研究了非碰撞粒子在有限树中的缠绕模型。我们证明了这个统计量的渐近行为满足一个中心极限定理，类似于缠绕有界粒子在平面上的类似结果。我们还提出了一些自然的开放问题和命题，它们的确认将为树的构形空间提供新的见解。
The number of cyclic configurations of type $(v_3)$ and the isomorphism problem
一个点和线的构形是循环的，如果它有一个在一个完整的循环中置换它的点的自同构。本文导出了（v_3）型非同构连通循环构形个数的一个闭公式，即其具有V个点和线，并且每个点/线恰好与3个线/点相关联。此外，证明了循环构形的Bays-Lambossy型定理，如果点数是两个素数或一个素数幂的乘积。
Cactus, Pascal, and Pappus Point-Line Configurations: An Algebraic-Geometric Perspective
本文从代数几何视角研究仙人掌、帕斯卡与帕普斯点线构型，通过格拉斯曼-凯莱代数等技术推导相关理想，证明三类构型拟阵理想的生成元，并给出回路簇的不可约分解。
Iterated Point-Line Configurations Grow Doubly-Exponentially
从实际平面上的一组四个点开始。将通过这些点对的所有直线的交点添加到此集合。迭代。Ismailescu和Radoičić（2003）证明了极限集在平面上是稠密的。我们给双指数上界和下界的点的数量在每个阶段。该证明采用了Szemerédi-Trotter定理的一个变体和对增长配置的“最小度”的分析。
Webs of stars or how to triangulate free sums of point configurations
将分解为自由和的点构形的三角剖分按其和数的三角剖分进行分类。该方法采用了两种新的偏序集来处理点集的任意三角剖分，即“星网”和“刺偏序集”。光滑Fano多面体的三角剖分作为一个案例进行了讨论。
Kronecker covers, V-construction, unit-distance graphs and isometric point-circle configurations
我们称一个3维多面体P是可容许的，如果它具有以下两个性质：（1）对于P的每个顶点，它的第一邻点的集合是共面的;（2）由第一邻点确定的所有平面是不同的。证明了由容许多胞形P通过V-构造得到的点-平面构形的Levi图是其1-骨架的Kronecker覆盖。我们研究了V-结构的组合性质，并将其用于单位距离图上，构造了新的等距点圆构型。特别是，我们提出了一个无穷级数的所有成员的子配置著名的Clifford配置。
Points and lines configurations for perpendicular bisectors of convex cyclic polygons
我们刻画了在圆上放置n个点并画出相应凸循环n边形的n条边的n条中垂线时可能出现的点和线的拓扑构形。我们还提供了精确和渐近公式描述一个随机的可实现的配置，通过采样点均匀随机的圆或采样均匀随机的可实现的配置。
Random linear configurations in dense sets and primes
该研究证明了$[N]$的多对数稠密子集及素数的多对数相对稠密子集包含特定线性构型的结论，核心方法涉及定量广义冯·诺依曼定理等，拓展了数论中稠密集合与素数的构型研究。
A rotor configuration with maximum escape rate
转子游动是简单随机游动的确定性模拟。对于任何给定的图，我们构造一个转子配置，其对应的转子行走的逃逸率等于简单随机游动的逃逸率，从而回答了Florescu，Ganguly，Levine和Peres（2014）的问题。
Parking on trees with a (random) given degree sequence and the Frozen configuration model
本文通过将给定度序列树上的停车过程与有向配置模型自然耦合，重新推导出临界 Bienaymé–Galton–Watson 树上停车相变的位置。
Configurations of points with sum 0
计算了椭圆曲线上$n$序点的位形空间的虚Poincaré多项式，其和为0。
Chromatic properties of generic planar configurations of points
我们研究了平面上点的一般构型（也称为序型）的Orchard关系。我们引入无穷小闭点，并分析了这个概念与果园关系的关系。第二部分的文件涉及单色配置（果园关系）。我们给出了所有单色配置的完整列表，最多7点，并提出了一些单色配置的建设和家庭。
An Exploration of the Symmetry Groups of Certain Configurations of Points
我们首先介绍点和线的组态的基础知识，然后讨论这些组态的对称群。具体来说，我们将探讨如何对$(9_3)$和$(10_3)$几何配置的对称性进行分类，给出它们的基本集合配置的图自同构。最后，我们展示了如何使用这个术语来探索一类特定的组合配置称为广义循环配置，并给出了几个有趣的几何结果。
Balanced configurations of points in the plane
球面$S^2$上点的平衡构形是一组（有限的）点，如果它们根据任何只取决于两点之间距离的力定律相互作用，则这些点处于平衡状态。如果对于配置$\mathcal{C}$中的每个点，存在仅固定该点及其对极的$\mathcal{C}$的对称性，则该配置另外是组平衡的。Leech通过对所有可能的平衡构型进行分类，证明了这些定义在球面$S^2$上是等价的。另一方面，Cohn、Elkies、Kumar和Schürmann指出，对于$n\geq 7,$，在$S^{n-1}$中有平衡构型的例子，但它们不是群平衡的。他们还建议将平衡构形的概念扩展到欧几里得空间，并证明至少在平面的情况下，$\mathbb{R}^n$中所有离散的平衡构形都是群平衡的。我们验证了这一猜想的重新提供一个完整的分类的平衡配置在$\mathbb{R}^2$满足一定的最小距离属性。
On some points-and-lines problems and configurations
本文应用一种在平面上构造点线面形的老方法，研究了一些新近的关联几何问题。
The degree of point configurations: Ehrhart theory, Tverberg points and almost neighborly polytopes
点构形的度定义为其内表面的最大余维数。这个概念的动机是从一个相应的Ehrhart-theory概念格多面体和相关的邻居多面体和广义下界定理，并通过盖尔对偶，Tverberg理论。本文的主要结果是一个1次点构形的完全分类，以及一个小于1/3维的点构形的结构结果。陈述和证明涉及弱凯莱分解的新概念，并暗示R^r中n个点的集合S的m-核包含在S的3 m-2（n-r）阶Tverberg点的集合中。
On the configurations of nine points on a cubic curve
本文根据共线关系研究了平面上九点的相互位置。特别是，我们考虑的情况下，其中九个点包含在一个不可约的三次曲线，我们给他们的分类。如果我们考虑两种不同的构型，当相关的入射结构不是同构的时，我们看到有131种构型可以在$\mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}$中实现，在$\mathbb{P}^2_K$中还有两种，其中$K =\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$（其中一种是由三次曲线的九个拐点给出的海塞构型）。最后，我们计算了这九个点的理想的可能的Hilbert函数。
On $k$-point configuration sets with nonempty interior
我们给出了薄集的$k$ -点配置集具有非空内部的条件，适用于各种配置。这是我们早期工作的延续\cite{GIT19}上的2点配置，扩展了一个定理的马蒂拉和Sjölin \cite{MS99}的距离集在欧氏空间。我们发现，对于一般类的$k$ -点配置，配置集的$k$ -元组的集合，$E_1,\,\dots,\, E_k$，具有非空的内部提供的Hausdorff维数的总和满足一个下限，规定通过优化$L^2$ -Sobolev估计相关的广义拉东变换在所有非平凡分区的$k$点成两个子集。我们用许多具体的例子来说明一般定理。三点构型的应用包括$\mathbb R^2$中三角形的面积或其外接圆的半径; $\mathbb R^3$中钉扎平行六面体的体积;以及$\mathbb R^2$和$\mathbb R^3$中钉扎距离的比值。4点配置的结果包括$\mathbb R$上的交比、由$\mathbb R^2$中的四边形确定的三角形面积对以及$\mathbb R^d$中差异的点积。
Steiner systems and configurations of points
本文的目的是使设计理论和代数几何/交换代数之间的联系。特别地，给定任何Steiner系统$S(t,n,v)$，我们在一个合适的多项式环中关联两个理想，定义点的Steiner配置及其补。我们重点研究后者，研究它的同调不变量，如Hilbert函数和贝蒂数。我们还研究了象征性的和经常性的权力与理想定义一个补充的施泰纳配置的点，发现其Waldschlavian常数，规律性，其复苏和渐近复苏的界限。我们还计算了与点的任何Steiner配置及其补相关的线性码的参数。
On defectivity of families of full-dimensional point configurations
点构形族的混合判别式可以看作是一个Laurent多项式的$A$ -判别式到一族Laurent多项式的推广。推广亏度的概念，如果一个点构形族的混合判别式是平凡的，则称它是亏的。利用Furukawa和Ito最近提出的一个判别准则，在所有点构形都是全维的情况下，给出了一族亏格的一个必要条件.这暗示了Cattani、Cueto、Dickenstein、Di Rocco和Sturmfels的猜想：当且仅当其元素的凸包的混合体积为$1$时，$\mathbb{Z}^n$中的一族$n$全维配置是有缺陷的。
From Pappus Theorem to parameter spaces of some extremal line point configurations and applications
在本工作中，我们研究的参数空间的两个线点配置介绍了Böröczky。从Green和Tao最近解决的Dirac-Motzkin猜想的观点来看，这些组态是极值的。他们最近也出现在交换代数与包容问题的象征性和普通权力的齐次理想和代数几何中的考虑围绕有界负猜想。我们的主要结果是定理A和定理B。我们表明，我们称之为$B12$配置的参数空间是一个三维的有理簇。作为结果，我们得到了存在的三维家庭的合理$B12$配置。另一方面，$B15$组态的模空间被证明是一个椭圆曲线，只有100多个有理点，所有对应的退化配置。因此，有些令人惊讶的是，我们得出结论，没有合理的$B15$配置。
Configuration spaces of labeled points on a circle with two anchors
本文研究圆上含两个固定锚点的 $n$ 个标记点构型空间，利用离散 Morse 理论确定其 Betti 数，并给出同调与上同调基的显式组合描述。
Local convergence of large random triangulations coupled with an Ising model
我们证明了存在的局部弱极限的措施，通过采样随机三角形的大小$n$装饰的伊辛配置的重量成比例的能量，这种配置。为了做到这一点，我们建立了代数性和渐近行为的分拆函数的三角与自旋的任何边界条件。特别是，我们表明，这些分拆函数都有相同的相变在相同的临界温度。推导出了极限物体的一些性质--称为无限伊辛平面三角剖分--包括临界温度下简单随机游动的重现性。
Patterns in Random Fractals
利用$A$的几乎必然维数刻画了分形渗流极限集$A$中某些几何构型的存在性.我们研究的配置的一些例子是：位似副本的有限集，角度，距离和体积的单形。在随机离散集的相对Szemerédi定理的精神下，我们还考虑了正$ν$ -测度集的相应问题，其中$ν$是$A$上的自然测度.在这两种情况下，我们确定了每一类配置的尺寸阈值。这些结果是通过调查的产品的交叉点的$m$独立实现的$A$与横截平面，更一般地说，代数品种，并扩展一些众所周知的功能，独立渗流树的设置与长程依赖。
Isometric point-circle configurations on surfaces from uniform maps
我们将图的邻域几何嵌入曲面上作为点圆构型。我们给出的例子来自正规映射的表面上的最大数量的自同构为他们的属和调查的几何实现的五边形几何来自摩尔图。给出了具有两个$p$ -仿射的$p$ -仿射曲面上的点圆$v_4$构型的无限族.本文还描述了这些组态在两个$p$ -态射下在球面上的象.
Quasi-configurations: building blocks for point-line configurations
本文提出拟构型作为构建模块，研究射影平面中点线关联结构的存在性，并利用$3|4$-拟构型构造了首个$(37_4)$和$(43_4)$构型，同时指出$(22_4)$、$(23_4)$和$(26_4)$构型的存在性仍未解决。
Projective rigidity of point-line configurations in the plane
本文提出“射影刚性矩阵”框架研究平面上点线构型的保关联运动，并引入对称自适应矩阵分析对称构型及其保对称运动。
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